問題
底面がAB=CD=8,AD=BC=6の長方形で、OA=OB=OC=OD=6である四角錘OABCDを考える。
また、Oから平面ABCDに下ろした垂線と平面ABCDの交点をEとするとき、OE=√(ア)である。
さらに、線分OB,ODの中点をそれぞれG,Hとし、平面AHGと線分OC,OEの交点をそれぞれ
I,JとするときAG=(イ)、AJ=√(ウ)/(エ)である。
ここで、OI=ａ、ＪＩ＝ｂとおくと、ＯＪは∠ＡＯＩの二等分線だから、ｂ＝√(オ)/(カ)
と表され、ＯＩ＝(キ)、△ＯＩＪ/△ＯＡＪ＝(ク)/(ケ)である。
解答
３点Ａ,Ｃ,Ｏを通る平面で、この四角錐を切ると、断面は上のようになります。
ＡＣは三平方の定理により10であり、ＥはＡＣの中点なので、
ＡＥ＝ＥＣ＝５
です。よって、
ＯＥ＝√(62−52)＝√11………(ア)の答え
ＡＧは△ＯＡＢの点Ａからの中線なので、中線定理より、
ＡＢ2＋ＡＯ2＝２(ＡＧ2＋ＢＧ2)
64＋36＝2(ＡＧ2＋9)
ＡＧ2＝41
ＡＧ＝√41………(イ)の答え
３点Ｇ,Ｈ,Ｊ はいずれも△ＯＢＤ上にあり、これとは異なる平面ＡＨＧ上にあるので、
ＧＨＪは、同一直線上にあります。つまり、ＪはＧＨの中点であり、ＯＥの中点にもなります。
△ＡＥＪにおける三平方の定理より、
ＡＪ2＝ＡＥ2＋ＪＥ2＝25＋11/4＝111/4
ＡＪ＝√111/2………√(ウ)/(エ)の答え
Ｊから、ＯＣに平行な線を引きＡＣとの交点をＫとします。
ＫはＥＣの中点なので、
ＡＪ：ＪＩ＝ＡＫ：ＫＣ＝３：１
よって、ｂ＝ＪＩ＝ＡＪ÷３＝√111/6………√(オ)/(カ)の答え
ＯＪは∠ＡＯＩの二等分線なので、ＯＡ：ＯＩ＝ＡＪ：ＪＩ＝３：１
よって、ＯＩ＝６÷３＝２………(キ)の答え
△ＯＩＪ/△ＯＡＪ＝ＩＪ/ＡＪ＝１/３………(ク)/(ケ)の答え
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