贋金を探せ

１２枚でのイラスト付き説明はこちら

このような問題がよく出されます。
「ここに、１３枚の硬貨がある。このうち１枚は贋金で重さが他のものと違う。
ただし、本物より軽いか重いかはわからないが、１枚だけ含まれていることは
確実である。天秤を３回だけ使って、その１つを見つけよ」

ここでは、３進法を使った解き方を紹介し、天秤を４回使った場合、また、
軽いか重いかがあらかじめわかっている場合について、考えます。

解説

天秤を３回使ったとき
例えば、３回とも傾いたとしましょう。このとき、３回とも軽い側にのっていた
硬貨が１つだけあり、しかも、３回とも重い側にのっていた硬貨がないとき、
その硬貨が軽いとわかります。（軽い、重いを言い換えても同じです）
また、例えば、３回のうち２回は釣り合い、１回が傾いたとしましょう。
このとき、釣り合った２回には、天秤にのせずに、傾いたときに軽い側にのって
いた硬貨が１つだけあり、同様に重い側についてそのような硬貨がないとき、
その硬貨が軽いとわかります。
さらに、３回とも釣り合ったとき、３回とも天秤にのせなかった硬貨が１つだけあるとき
それが、贋金だとわかります。（軽いか重いかはわかりません）。

さて、天秤は１回につき、左が軽い、釣り合う、右が軽いの３通りの結果がありますから、
３回使うと、３×３×３＝２７通りの結果が得られます。
そこで、左が軽いを１、右が軽いを２、釣り合うを０として、３回の結果を、左から順に
　１２０
のように表し、これを３進数と見なします。
一方、１３枚の硬貨に例えば、
　Ａ：０００
　Ｂ：００１
　Ｃ：０１０
　Ｄ：０２２
　Ｅ：０２１
　Ｆ：１００
　Ｇ：１０１
　Ｈ：１０２
　Ｉ：１１０
　Ｊ：２２２
　Ｋ：２２１
　Ｌ：２１０
　Ｍ：２１２
のように、３進数の番号を付けます。このとき、注意することは
・各位に１，２が同数ずつ現れるようにする
・００１　と　００２、０２１　と　０１２　のように、１を２に、２を１に置き換えたペア（裏番号と呼ぶことにします）
　を両方使ってはいけない。
です。
１回目は３^２の位、２回目は３の位、３回目は１の位において、
１である硬貨を左に、２である硬貨を右に載せ、結果を記録します。
具体的には、
　１回目：ＦＧＨＩ−ＪＫＬＭ
　２回目：ＣＩＬＭ−ＤＥＪＫ
　３回目：ＢＥＧＫ−ＤＨＪＭ
です。
結果を表す３進数と、硬貨の番号が一致すれば、その硬貨が軽いということが分かります。
結果を表す３進数と、硬貨の裏番号が一致すれば、その硬貨が重いということが分かります。
ただし、結果が　０００　のときは、Ａが偽物ではありますが、重いか軽いかは分かりません。


天秤を４回使う場合
　００００　　０００１　　００１０　　００１２　　００２２
　０１０１　　０１０２　　０１１０　　０１１１　　０１１２
　０１２０　　０１２１　　０１２２　　０２００　　１１１１
　１１１２　　１１２０　　１１２１　　１１２２　　１２００
　１２０１　　１２０２　　１２１０　　１２１１　　１２１２
　１２２０　　１２２１　　２０００　　２００１　　２００２
　２０２０　　２０２１　　２０２２　　２０１０　　２０１１
　２０１２　　２２００　　２２０１　　２２０２　　２２２０
のように番号を付けて、同様に量れば、天秤４回で、４０個から１枚の贋金を見つけられます。


軽い／重いが分かっている場合
軽い／重いが分かっていない場合の裏番号も使い、合計２７個の硬貨について、
贋金を見つけることが出来ます。

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