しんさんからの質問３

問題
PA=PB=PC=4,AB=6,BC=4,CA=5である三角錐PABCの体積Vを求めよ。

解答

図の点線は、この三角錐の展開図、実線は、それを組み立てたものを、△ＡＢＣに垂直な方向から見た図です。
ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ（空間上の長さではなく、平面図上の長さ）なので、Ｐは、△ＡＢＣの外心になります。

△ＡＢＣにおける余弦定理より、
　cosＡ＝(ＡＢ²＋ＡＣ²−ＢＣ²)/(２ＡＢ・ＡＣ)＝３／４
cos²Ａ＋sin²Ａ＝１　より、
　sinＡ＝√７／４

正弦定理より、
　２ＰＡ＝ＢＣ/ｓｉｎＡ＝１６/√７
　ＰＡ＝８/√７

次に、立体上で、点Ｐから△ＡＢＣに下ろした垂線の足をＱとすると、

図のような関係になり、三平方の定理より、ＰＱ＝4√21/７

一方、ヘロンの公式より、△ＡＢＣ＝15√7/４

以上より、求める体積Ｖは
　Ｖ＝15√7/４ × 4√21/７ ÷ ３ ＝５√３

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