三角さんからの質問３
問題
zを複素数とし、iを虚数単位とする。
2次方程式z²＝1の解はz＝+1、-1であり、2次方程式z²＝-1の解はz＝+i、-iである。
そこで、2次方程式z²＝iの解を求めたい。
　z＝ｒ（cosα+isinα）　
（ｒ、αは実数で、ｒ≧0、0≦α＜2π）と置くとき、次の各問いに答えよ。
　（1）ｒ（cosα+ｉsinα）＝ｉを満たすように、定数ｒ、αの値を求めよ。
　（2）ｚ²＝ａcos（ｂα）+ｉｃsin（ｄα）を満たすように、実数ａ、ｂ、ｃ、ｄの値を求めよ。
　（3）2次方程式ｚ²＝ｉを満たすように、ｒ、αの値をもとめよ。
　（4）2次方程式ｚ²＝ｉの解を求めよ。

解答
(1) 実部、虚部を比較して、
　ｒcosα＝０
　ｒsinα＝１
ｒ≧０ より、 cosα＝０
このとき、sinα＝±１であるが、ｒ≧０より、
　sinα＝１、ｒ＝１
よって、α＝π/2
答え　ｒ＝１，α＝π/2

(2) ｚ²＝ｒ²（cosα+isinα）²
　　　＝ｒ²(cos²α−sin²α＋2ｉsinαcosα)
　　　＝ｒ²(cos２α＋ｉsin２α)＝ａcos（ｂα）+ｉｃsin（ｄα）
実部、虚部を比較して、
　ａ＝ｒ²、ｂ＝２、ｃ＝ｒ²、ｄ＝２・・・答え

(3) ｚ²＝ｒ²(cos２α＋ｉsin２α)＝ｉ　より、
実部、虚部を比較して
　ｒ²cos２α＝０
　ｒ²sin２α＝１
これより、cos2α＝０、sin２α＝１、ｒ²＝１
ｒ≧０より、ｒ＝１
0≦α＜2π より、0≦2α＜4π
sin２α＝１より、２α＝π/2、5π/2　よって、　α＝π/4、5π/4

(4)
(3) の結果より
　ｚ＝cos(π/4)＋ｉsin(π/4)＝√2/2＋√2ｉ/2
または
　ｚ＝cos(5π/4)＋ｉsin(5π/4)＝−√2/2−√2ｉ/2
答え　ｚ＝±√2(１＋ｉ)/2

複素数と複素平面もご覧下さい。

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