問題
△OABのOA.OB上にそれぞれ点C,Dをとり、ADとBCの交点をP とする。
また、2点Q,Rを四角形OCQD、四角形OARBがそれぞれ平行四辺形となるようにとると、
3点P,Q,Rは一直線上であることを証明せよ。
解答（太字はベクトルです）
ＯＡ＝ａ、ＯＢ＝ｂ とおき、ＯＣ＝ｓａ、ＯＤ＝ｔｂ （ただし、０＜ｓ＜１，０＜ｔ＜１） とおきます。
つまり、ＯＣ：ＣＡ＝ｓ：（１−ｓ）、 ＯＤ：ＤＢ＝ｔ：（１−ｔ） です。
チェバの定理より、
(AS/SB)(DB/OD)(OC/CA)＝１
(AS/SB){(１−ｔ)/ｔ}{ｓ/(１−ｓ)}＝１
よって、
ＡＳ：ＳＢ＝(１−ｓ）ｔ：(１−ｔ)ｓ＝(ｔ−ｓｔ)：(ｓ−ｓｔ)
一方、メネラウスの定理より
(OP/PS)(SB/AB)(AC/CO)＝１
(OP/PS){(ｓ−ｓｔ)/(ｓ＋ｔ−２ｓｔ)}{(１−ｓ)/ｓ}＝１
より、
ＯＰ：ＰＳ＝(ｓ＋ｔ−２ｓｔ)：(１−ｓ)(１−ｔ)
つまり、
ＯＰ：ＯＳ＝(ｓ＋ｔ−２ｓｔ)：(１−ｓｔ)
よって、
ＯＳ＝{(ｓ−ｓｔ)ａ＋(ｔ−ｓｔ)ｂ}/(ｓ＋ｔ−２ｓｔ)
ＯＰ＝(ｓ＋ｔ−２ｓｔ)ＯＳ/(１−ｓｔ)
＝{(ｓ−ｓｔ)ａ＋(ｔ−ｓｔ)ｂ}/(１−ｓｔ)
また、
ＯＱ＝ｓａ＋ｔｂ
ＯＲ＝ａ＋ｂ
以上から
ＰＲ＝ＯＲ−ＯＰ
＝{(１−ｓ)ａ＋(１−ｔ)ｂ}/(１−ｓｔ)
ＱＲ＝ＯＲ−ＯＱ
＝(１−ｓ)ａ＋(１−ｔ)ｂ
よって、
ＰＲ＝ＱＲ/(１−ｓｔ)
となり、Ｐ，Ｑ，Ｒ は一直線上にあることになります。
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