問題
(1) 四角形ＯＡＢＣは平行四辺形で、２点Ａ、Ｄは関数y=x2/4 (x>0) のグラフ上にある。
点Ｏは原点で、点Ｃの座標は（３、６）、点Ｄの座標は８である。
平行四辺形ＯＡＢＣの面積が６の時、点Ａの座標を求めよ。
ただし、点Ａの座標は 3<x<8の範囲にあるものとする。
(2) 関数y=x2/2のグラフ上に、４点Ａ（−２、２）、Ｂ（４、８）、Ｃ、Ｄがあり、
四角形ＡＢＣＤはＡＢ//ＤＣ、ＡＢ：ＤＣ＝３：２となる台形である。
線分ＡＤに平行な直線Ｌが台形ＡＢＣＤの面積を２等分するとき、Ｌの式を求めよ。
解答
(1) 点Ｄについての情報はこの際無関係なので、無視します。
点Ａの座標を（ｔ、ｔ2/４）と置きます。ただし、３＜ｔ＜８。
平行四辺形の面積の公式を利用して、
ＯＡ＝（ｔ、ｔ2/４）、ＯＣ＝（３，６） より、平行四辺形ＯＡＢＣの面積を出すと、
|ｔ・６−(ｔ2/４)・３|＝６
両辺４/３を掛けて
|８ｔ−ｔ2|＝８
０＜ｔ＜８ の範囲で ８ｔ−ｔ2＞０なので、絶対値記号をはずして
８ｔ−ｔ2＝８
これを解いて、
ｔ＝４±２√２
３＜ｔ＜８ より、
ｔ＝４＋２√２
このとき、
ｔ2/４＝６＋４√２
答え：（４＋２√２、６＋４√２）
(2)
まず、点Ｄの座標を求めます。
直線ＡＢの傾きは１なので、直線ＣＤの傾きも１です。
一方、点Ａと点Ｂのｘ座標の差が６なので、点Ｃと点Ｄのｘ座標の差は４です。（ＡＢ：ＣＤ＝３：２ より）
上図のように、点Ｃのｘ座標をβ、点Ｄのｘ座標をα（α＜β）とすると、
β−α＝４
直線ＣＤの式を
ｙ＝ｘ＋ｍ
とおく。これと、
y=x2/2
との連立方程式の解が２点Ｃ、Ｄになる。２式よりｙを消去して、
x2/2＝ｘ＋ｍ
x2−２ｘ−２ｍ＝０
これの解がα、βとなります。
解と係数の関係より、
α＋β＝２、αβ＝−２ｍ
一方、
（β−α）2＝（α＋β）2−４αβ＝４＋８ｍ＝１６
ｍ＝３／２
よって、x2−２ｘ−２ｍ＝０ に代入した
x2−２ｘ−３＝０
を解いて、
ｘ＝−１，３
よって、点Ｄの座標は（−１，1/2） となります。
直線ＡＤの傾きは、-3/2 です。
上底２，下底３の台形の面積は、高さが同じで、底辺２．５の平行四辺形の面積と同じです。
つまり、台形ＡＢＣＤをＡＤに平行な直線で二等分するには、ＡＢを 1.25:1.75 に内分する点を
通るようにすればよい。
1.25:1.75＝５：７
より、求める点は、（1/2、9/2）
よって、Ｌの式は、
ｙ−9/2＝-3/2（ｘ−1/2）
変形して、
６ｘ＋４ｙ＝２１・・・答え
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