2.オクターブと完全5度から平均律へ

振動数が 1:2 の関係にある2つの音を、完全8度(オクターブ)と言います。
440Hz のA音に対して、1オクターブ下、1オクターブ上のA音の振動数は、
それぞれ、220Hz、880Hz です。


1オクターブで、振動数2倍、2オクターブで振動数4倍、3オクターブで振動数8倍となります。

振動数が 1:2 の完全8度とともに、振動数が2:3 の完全5度の存在も、
心地よく響く音程として、昔から知られていました。

そこで、振動数を1.5倍する(完全5度上げる)、または0.5倍する(1オクターブ下げる)
ことを繰り返しすと、12回で、元の音に近い振動数になります。

表1(音名はその振動数に近い音を当てはめたものです)
音名(英) F# C# G# D# A# A?
振動数 440 660 990 743 1114 835 1253 940 705 1057 793 1189 892
1オクターブ
下の振動数
    495   557    626 470   529   595 446

これを、音名順に並べると、

表2
音名 A# C# D# F# G#
振動数 440 470 495 529 557 595 626 660 705 743 793 835 892

となります。

完全5度を12回繰り返すと、元の音に近い音に戻る

さて、音の間隔(音程)は、振動数比によって決まります。
 X(440Hz)、Y(470Hz)、Z(500Hz)
の3つの音があるとします。XとY、YとZ の振動数の差はいずれも30Hz ですが、
これら2組の音のペアは、同じ音程には、聞こえません。

一方、
 L(440Hz)、M(660Hz)、N(990Hz)
において、LとM、MとNの、振動数の比は、いずれも 2:3 です。
これら2組の音のペアは、同じ音程に聞こえます。

音程は、2音の振動数の差ではなく比で決まる

上の L、M、N の例では、
 MはLの1.5倍
 NはMの1.5倍
 NはLの1.52
の振動数になっています。以下、Lの振動数の
 1.53倍、1.54倍、1.55倍 ・・・
の音を連ねると、隣り合う2音の音程が同じ音列を作ることが出来ます。

同様にして、隣り合う2音の音程が同じ音列を作り、12回目で、1オクターブ(振動数が2倍)
にするには、隣り合う2音間の振動数比を、いくらにすればいいでしょうか?



一番下の音の振動数を f 、求める振動数比を r(r>1) とすると、音列の振動数は
 f、fr、fr2、fr3、fr4 ・・・ fr12
となります。fr12 が f の2倍の振動数になればいいので、
 r12=2
 r=12√2=1.05946309・・・
この振動数比で、表2の振動数を計算すると

表3:平均律の振動数
音名 A# C# D# F# G#
振動数 440 466 494 523 554 587 622 659 698 739 783 830 880

となります。これらの音列は、どの隣り合った2音をとっても、同じ音程であり、
また、同じ間隔どうしの2音(例えば、間を2つ空けて取った任意の2音)は、
どれも同じ音程になります。例えば、
AとC、A#とC#、BとD などはすべて同じ音程です。
このように、1オクターブを均等に12に分けて決めた音程を平均律といいます。
また、表3で隣り合った2音の音程を半音、半音2つ分の音程を全音といいます。

平均律の半音の振動数比は 21/12=1.05946309・・・

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