２．オクターブと完全５度から平均律へ

振動数が １：２ の関係にある２つの音を、完全８度(オクターブ)と言います。
440Hz のＡ音に対して、１オクターブ下、１オクターブ上のＡ音の振動数は、
それぞれ、220Hz、880Hz です。


１オクターブで、振動数２倍、２オクターブで振動数４倍、３オクターブで振動数８倍となります。

振動数が １：２ の完全８度とともに、振動数が２：３ の完全５度の存在も、
心地よく響く音程として、昔から知られていました。

そこで、振動数を１．５倍する（完全５度上げる）、または０．５倍する（１オクターブ下げる）
ことを繰り返しすと、１２回で、元の音に近い振動数になります。

これを、音名順に並べると、

となります。

さて、音の間隔（音程）は、振動数比によって決まります。
　Ｘ(440Hz)、Ｙ(470Hz)、Ｚ(500Hz)
の３つの音があるとします。ＸとＹ、ＹとＺ の振動数の差はいずれも30Hz ですが、
これら２組の音のペアは、同じ音程には、聞こえません。

一方、
　Ｌ(440Hz)、Ｍ(660Hz)、Ｎ(990Hz)
において、ＬとＭ、ＭとＮの、振動数の比は、いずれも ２：３ です。
これら２組の音のペアは、同じ音程に聞こえます。

上の Ｌ、Ｍ、Ｎ の例では、
　ＭはＬの1.5倍
　ＮはＭの1.5倍
　ＮはＬの1.5²倍
の振動数になっています。以下、Ｌの振動数の
　1.5³倍、1.5⁴倍、1.5⁵倍　・・・
の音を連ねると、隣り合う２音の音程が同じ音列を作ることが出来ます。

同様にして、隣り合う２音の音程が同じ音列を作り、12回目で、１オクターブ（振動数が２倍）
にするには、隣り合う２音間の振動数比を、いくらにすればいいでしょうか?



一番下の音の振動数を ｆ 、求める振動数比を ｒ（ｒ＞１） とすると、音列の振動数は
　ｆ、ｆｒ、ｆｒ²、ｆｒ³、ｆｒ⁴　・・・　ｆｒ¹²
となります。ｆｒ¹² が ｆ の２倍の振動数になればいいので、
　ｒ¹²＝２
　ｒ＝¹²√２＝1.05946309・・・
この振動数比で、表２の振動数を計算すると

となります。これらの音列は、どの隣り合った２音をとっても、同じ音程であり、
また、同じ間隔どうしの２音（例えば、間を２つ空けて取った任意の２音）は、
どれも同じ音程になります。例えば、
ＡとＣ、Ａ#とＣ#、ＢとＤ などはすべて同じ音程です。
このように、１オクターブを均等に12に分けて決めた音程を平均律といいます。
また、表３で隣り合った２音の音程を半音、半音２つ分の音程を全音といいます。

１．振動数　へ
３．セント　へ