問題
四面体ＯＡＢＣにおいて、線分ＯＡを１：２に内分する点をＰ，線分ＯＢを１：３に内分する点をＱ，線分ＯＣを１：４に内分する点をＲとする。
(1) ２点Ｐ，Ｑを通る直線と、２点Ａ，Ｂを通る直線との交点をＴとするとき、
ＯＴ＝□ＯＡ+□ＯＢ+□ＯＣ
である。
(2) ２点Ｑ，Ｒを通る直線と、２点Ｂ，Ｃを通る直線との交点をＵとすると
ＯＵ＝□ＯＡ+□ＯＢ+□ＯＣである。
(3) △ＡＢＣの面積は△ＴＢＣの何倍か？また△ＴＵＢの面積の何倍か？
解答
(1)
解法１
メネラウスの定理より、
(ＡＰ/ＰＯ)(ＱＢ/ＯＱ)(ＢＴ/ＴＡ)＝１
ＢＴ/ＴＡ＝３/２
よって、ＡＴ：ＡＢ＝２：１
ＯＴ＝ＯＡ＋ＡＴ
＝ＯＡ＋２ＢＡ
＝ＯＡ＋２(ＯＡ−ＯＢ)
＝３ＯＡ−２ＯＢ
解法２
ＴはＡＢ上にあるので、
ＯＴ＝(１−ｓ)ＯＡ＋ｓＯＢ （ｓは実数）
ＴはＰＱ上にあるので、
ＯＴ＝(１−ｔ)ＯＰ＋ｔＯＱ
＝(１−ｔ)ＯＡ/３＋ｔＯＢ/４ （ｔは実数）
とそれぞれおけます。ＯＡとＯＢは平行でないので、
１−ｓ＝(１−ｔ)/３
ｓ＝ｔ/４
これを解いて、ｓ＝−２、ｔ＝−８。よって、
ＯＴ＝３ＯＡ−２ＯＢ
答え ＯＴ＝３ＯＡ−２ＯＢ＋０ＯＣ
(2)
解法１
メネラウスの定理より、
(ＣＵ/ＢＵ)(ＱＢ/ＯＱ)(ＯＲ/ＲＣ)＝１
ＣＵ/ＢＵ＝４/３
よって、ＢＵ：ＢＣ＝３：１
ＯＵ＝ＯＢ＋ＢＵ
＝ＯＢ＋３ＣＢ
＝ＯＢ＋３(ＯＢ−ＯＣ)
＝４ＯＢ−３ＯＣ
解法２
ＵはＢＣ上にあるので、
ＯＵ＝(１−ｓ)ＯＢ＋ｓＯＣ （ｓは実数）
ＵはＱＲ上にあるので、
ＯＵ＝(１−ｔ)ＯＱ＋ｔＯＲ
＝(１−ｔ)ＯＱ/４＋ｔＯＲ/５ （ｔは実数）
とそれぞれおけます。ＯＡとＯＢは平行でないので、
１−ｓ＝(１−ｔ)/４
ｓ＝ｔ/５
これを解いて、ｓ＝−３、ｔ＝−１５。よって、
ＯＵ＝４ＯＢ−３ＯＣ
答え ＯＵ＝０ＯＡ＋４ＯＢ−３ＯＣ
(3)
メネラウスの定理を使った場合は、
ＢＴ：ＡＢ＝３：１
ＢＵ：ＢＣ＝３：１
であることがわかっています。そうでないときは、
ＡＴ＝ＯＴ−ＯＡ＝２(ＯＡ−ＯＢ)＝２ＢＡ
ＢＵ＝ＯＵ−ＯＢ＝３(ＯＢ−ＯＣ)＝３ＣＢ
より、上記の比が求まります。以上より、
△ＡＢＣは、△ＴＢＣの１／３倍、△ＴＵＢの１／９倍 とわかります。
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