問題
xy平面上において、点(p,0)を通る直線と放物線y^2=4px(p＞0)の交点をA,Bとし、
線分ABの長さを r とする。∠AOB＝θとするとき tanθ を r, p で表せ。
解答
点(p,0) は、この放物線の焦点であるので、準線ｘ＝−ｐに対して、放物線の性質
「放物線上の任意の点から、焦点までの距離と、準線までの距離が等しい」 より、
図のように、長さａ、ｂを決めます。
このとき、上図のような△ＡＤＦにおいて、
ＡＦ：ＡＤ＝ＡＧ：ＡＢ＝(a-b)：(a+b)
さらに、三平方の定理より、
ＡＦ：ＡＤ：ＦＤ＝(a-b)：(a+b)：2√(ab)
ここで、
ｒ＝ａ＋ｂ
ｐ＝ａｂ/(ａ＋ｂ)
である。（導出省略）
一方、
∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＣ
より、まず、∠ＡＯＣ、∠ＢＯＣの正接を求める。
△ＡＯＩにおいて、
tan∠ＡＯＣ＝ＡＩ/ＯＩ
ここで、
ＡＩ＝a×2√(ab)/(a+b)＝2a√(ab)/(a+b)
ＯＩ＝a-p＝a2/(a+b)
よって、
tan∠ＡＯＣ＝2√(ab)/a
△ＢＯＨにおいて、
tan∠ＢＯＣ＝ＢＨ/ＯＨ
ここで、
ＢＨ＝b×2√(ab)/(a+b)＝2b√(ab)/(a+b)
ＯＨ＝b-p＝b2/(a+b)
よって、
tan∠ＢＯＣ＝2√(ab)/b
三角関数の加法定理より、
tan∠ＡＯＢ＝(tan∠ＡＯＣ＋tan∠ＢＯＣ)/(1-tan∠ＡＯＣ・tan∠ＢＯＣ)
＝2√(ab)・(a+b)/-3(ab)＝-2/3・√(r/p)
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