三角関数の加法定理
　

２倍角の公式
　

（証明）

図のように、単位円上に、４点 Ａ，Ｐ，Ｑ，Ｒ をとります。このとき
　ＡＲ²＝{cos(α＋β)−１}²＋{sin(α＋β)−０}²
　　　　＝cos²(α＋β)−２cos(α＋β)＋１＋sin²(α＋β)
　　　　＝２−２cos(α＋β)
　ＰＱ²＝(cosα−cosβ)²＋(sinα＋sinβ)²
　　　　＝cos²α−２cosαcosβ＋cos²β＋sin²α＋２sinαsinβ＋sin²β
　　　　＝２−２(cosαcosβ−sinαsinβ)
となります。ＡＲ²＝ＰＱ² より、
　cos(α＋β)＝cosαcosβ−sinαsinβ
を得ます。また β を −β に置き換えると、
　cos(α−β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
を得ます。一方、
　sinＡ＝cos(90°−Ａ)
より、
　sin(α＋β)＝cos{90°−(α＋β)}＝cos{(90°−α)−β}
　　　＝cos(90°−α)cosβ＋sin(90°−α)sinβ
　　　＝sinαcosβ＋cosαsinβ
を得ます。β を −β に置き換えると、
　sin(α−β)＝sinαcosβ−cosαsinβ
を得ます。
　tanＡ＝sinＡ／cosＡ
より、
　tan(α＋β)＝sin(α＋β)／cos(α＋β)
　　　＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)／(cosαcosβ−sinαsinβ)
分母子を cosαcosβ で割って,
　tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)／(１−tanαtanβ)
を得ます。β を −β に置き換えると
　tan(α＋β)＝(tanα−tanβ)／(１＋tanαtanβ)
を得ます。
また、加法定理の公式において、β＝α とおくと、２倍角の公式が得られます。

以上

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