norikoさんからの質問

Norikoさんからの質問

２問あります。

問題１
原点Oを中心とする半径１の円をＣ１とし、
　x²+y²-2tx-2ty+2t^2-4=0　　（ｔは正の定数）
で表せる円をＣ２とする。
（１）Ｃ２の中心Ｍはある直線上にある。その直線の方程式を求めよ。
（２）Ｃ１とＣ２が異なる二点で交わるように、正の定数ｔがとり得る値の範囲を定めよ。
（３）Ｃ１とＣ２の２つの交点を結ぶ線分の長さが２となるようなｔの値を求めよ。
　　また、そのとき、Ｃ１の周および内部とＣ２の周および内部との共通部分の面積を求めよ。

解答１
　x²+y²-2tx-2ty+2t²-4=0
を変形すると、
　x²-2tx+t²+y²-2ty+t²-4=0
　(x-t)2+(y-t)2=4
となるので、Ｃ２は、中心が(t, t)、半径２の円になります。
（１）中心が(t, t) の形なので、x=t, y=t とおくと
　x=y
となり、Ｃ２の中心は、この直線上にあります。
　答え　y=x （ただし x＞0）

（２） t は正の定数なので、Ｃ２の中心は第１象限にあります。
　この範囲で、Ｃ１とＣ２が異なる２点で交わるのは、図のような範囲です。

　原点をＯ、Ｃ２の中心をＡ、Ｃ１とＣ２の接点をＢとすると、
　ＯＢ＝１、ＡＢ＝２より、
　左図では、ＯＡ＝１　より、t²+t²=1²　t=√２/２
　右図では、ＯＡ＝３　より、t²+t²=3²　t=３√２/２
　答え　√２/２＜t＜３√２/２

（３）Ｃ１とＣ２の交点を結ぶ線分の長さが２のとき、Ｃ２の位置は、下図のようになります。

　図において、ＡはＣ２の中心、ＢＣはＣ１とＣ２の交点であると同時にＣ１の直径になります。
　このとき、ＯＡは一辺が２の正三角形の高さになるので、
　　ＯＡ＝√３
　よって、
　　t²+t²=3　より、t=√６/２
　求める面積は、Ｃ１の半分と、Ｃ２をＢＣで切ったときの小さい方の弓形の面積の和です。
　Ｃ１の半分は、π/２
　弓形は、扇形Ａ－ＢＣから正三角形ＡＢＣを引いたものなので、
　　４π/６－√３
　以上より、求める面積は、
　　７π/６－√３　・・・　答え

問題２　以下、太字はベクトルを表します。
三角形OABにおいて、辺ABを３：１に内分する点をＣとする。
また、点Ｄを
　OD＝３OA+２OB
をみたす点とし、ODとABの交点をＥとする。
（１）ＯＣをＯＡ、ＯＢで表せ。
（２）ＯＥをＯＡ、ＯＢで表せ。
（３）辺ＯＡの中点をＭとし、ＣＭとＯＤの交点をＰとするとき
　　(i) ＯＰをＯＡ、ＯＢで表せ。
　　(ii)三角形ＯＡＢと三角形ＯＰＣの面積比を求めよ。

解答２
　以下のような図になります。

（１）公式により、
　OC=(OA+3OB)/4
（２）
　OE=tOD
とおくと、
　OE=3tOA+2tOB
点E はAB 上の点なので、
　3t+2t=1
でなければならない。よって、
　t=1/5
　OE=(3OA+2OB)/5
（３）解き方その１
(i)
　MP=sMC
とおくと、
　OP=OM+MP・・・(a)
一方、
　MC=OC-OM
　　=(OA+3OB)/4-OA/2
　　=(-OA+3OB)/4
よって、(a) より、
　OP=OM+sMC
　　=OA/2+s(-OA+3OB)/4
　　={(2-s)OA+3sOB}/4・・・(b)
ここで、OP はOD 上の点なので、
　OP=tOE
とおくと、
　OP=3tOA/5+2tOB/5・・・(c)

OA と OB は平行でないので、 (b) (c) より、
　(2-s)/4=3t/5
　3s/4=2t/5
これを解いて、
　s=4/11, t=15/22
よって、
　OP=9OA/22+3OB/11

(ii)
　ABの長さを１とすると、CB=1/4, EB=3/5 より、
　　EC=3/5-1/4=7/20
　　△OAB : △OEC = AB : EC = 20 : 7
　OP=15OE/22 より、
　　△OEC : △OPC = OE : OP = 22 : 15
　以上より、
　　△OAB : △OEC = 440 : 154
　　△OEC : △OPC = 154 : 105
　　△OAB : △OPC = 440 : 105 = 88 : 21
　　△OAB : △OPC = 88 : 21

（３）解き方その２
(i)
　AE : EB = 2 : 3
　AC : CB = 3 : 1
より、AB=20 とおくと、
　AE = 8, EB = 12, AC = 15, CB = 5
より、EC = EB-CB = 12-5=7
よって、EC/AC=7/15
メネラウスの定理より、
　(OP/PE)・(EC/AC)・(AM/MO) = 1
　(OP/PE)・(7/15)・(1/1)=1
　OP/PE = 15/7
よって、OP=OE×15/22
　OE=(3OA+2OB)/5
より、
　OP=9OA/22+3OB/11

(ii) 上と同じです。

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