みゅゥさんからの質問６
２問あります。

問題１
円Ｏの円周外の１点Ｐから接線ＰＡ、ＰＢをひき、ＰＯと弦ＡＢとの交点をＭとする。
また、点Ｐより円Ｏへ割線をひき、円周との交点をＱ，Ｒとする。
このとき、４点Ｏ、Ｍ、Ｑ、Ｒは同一円上にあることを証明せよ。

解答１

ＰＡは円Ｏの接線なので、方べきの定理より、
　ＰＱ・ＰＲ＝ＰＡ²
一方、△ＰＡＯと△ＰＭＡは相似なので、
　ＰＯ：ＰＡ＝ＰＡ：ＰＭ
より、
　ＰＯ・ＰＭ＝ＰＡ²
したがって、
　ＰＱ・ＰＲ＝ＰＯ・ＰＭ
となり、方べきの定理の逆より、４点Ｏ、Ｍ、Ｑ、Ｒは同一円上にある。


問題２
円Ｗと直線Ｌがある。今、円Ｗの周上の点Ａを、ＡＯ⊥Ｌとなるようにとる。
さらに、直線Ｌ上に任意の点Ｐをとり、ＡＰと円Ｗとの交点をＱとする。
このとき、ＡＰ・ＡＱの値は一定であることを２つの場合で証明せよ。
（１）Ｌが円Ｗの接線であるとき、ＡＰ・ＡＱ＝ＡＴ²（ＡＴは円Ｗの直径）
（２）Ｌが円Ｗの割線であるとき、ＡＰ・ＡＱ＝ＡＨ・ＡＢ

解答２
　
（１）
　図において、ＴＱ⊥ＡＰより、
　△ＡＰＴと△ＡＴＱは相似。
　よって、
　　ＡＴ：ＡＰ＝ＡＱ：ＡＴ
　より、
　　ＡＰ・ＡＱ＝ＡＴ²

（２）
　
　i) Ｐが円の内側にある場合（左図）
　　△ＡＰＨと△ＡＢＱは相似なので、
　　　ＡＰ：ＡＢ＝ＡＨ：ＡＱ
　　よって、
　　　ＡＰ・ＡＱ＝ＡＨ・ＡＢ
　ii) Ｐが円上にある場合
　　i) と同様にして、ＡＰ・ＡＱ＝ＡＨ・ＡＢ を示すことができる。
　iii) Ｐが円の外側にある場合。
　　　右図において、、i) と同様にして、ＡＰ・ＡＱ＝ＡＨ・ＡＢ を示すことができる。

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