方程式ですか？却って難しいですね。

(1)点Ｑが１周するのにｘ分かかるとします。
　最初Ｐ、Ｑともに、地点Ａにいて点ＰはＡ→Ｂ→Ｄ、点ＱはＡ→Ｃ→Ｄ　と進むものとします。
　Ａ→Ｂ→Ｄ：Ａ→Ｃ→Ｄ
の距離の比は、５：２ です。（点Ｐのかかる時間比より）
よって、点ＱがＡ→Ｃ→Ｄと進む時間は
　２ｘ／７ 分であり、これが５分にあたるので、
　２ｘ／７＝５
　ｘ＝３５／２
　答え　３５／２分

(2)
円周の長さをｘｍとします。
１分たつと点Ｒと点Ｓの距離の差は０．４ｍ増えます。
※距離の差が円周の半分を超えても、そのまま加算することにします。
ｘｍの差がつくまでの時間は
　ｘ／０．４(分)
であり、これが１５分にあたるので、
　ｘ／０．４＝１５
　ｘ＝６
　答え　６ｍ

普通の計算で出るのばかりで、かえって違和感がありますね。
　
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ベクトルの矢印を省略して書きます。
PQと垂直なのは直線GについていえばAPまたはaです。
PQ･AP＝0，または PQ･a＝0が言えますが
PQ･a＝0 の方が簡単な式になります。
OPは点Pの位置ベクトルなのでPQに垂直であるとは言えません。

(1)
求める共有点のｘ座標をｘ₁ とおきます。
ｙ座標が等しいことより　ａｘ₁²＝logｘ₁　・・・(i)
接線の傾きが等しいことより　２ａｘ₁＝１／ｘ₁
ａを消去して　logｘ₁/ｘ₁²＝１/２ｘ₁²
これを解いて　ｘ₁＝ｅ^1/2
このとき(i)より　ａｅ＝1/2、ａ＝１/２ｅ
共有点は、ｙ＝ａｘ₁²＝１／２　より
　(ｅ^1/2, 1/2)

(2)
求める面積Ｓは、
　Ｓ＝∫_x=0〜1ａｘ²dx＋∫_x=1〜√e(ａｘ²−logｘ)dx

(3)
求める体積Ｖは
　Ｖ＝π∫_x=0〜√e(ａｘ²)²dx−∫_x=1〜√e(logｘ)²dx

となります。
　
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半球の体積から、残った分を引けば流れ出た量がわかります。
図の、ｘ座標ｘにおける断面の半径は
　ｙ＝√(144−x^2)
であるので、断面積は　π(144−ｘ^2)
これを、ｘ＝６〜１２で積分します。
　
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(1)ｙをｘで微分して、
　ｙ’＝{6(x²＋2)−6x・2x}/(x²＋2)²
　　＝(−6x²＋12)/(x²＋2)²
より、ｙ’＝０ となるのは　ｘ＝±√2
さらに微分して、
　ｙ”＝(12x³−72x)/(x²＋2)³
より、ｙ”＝０ となるのは　ｘ＝±√6，０
また、ｘ→−∞　のとき、ｙ→−０、ｘ→∞　のとき　ｙ→＋０
以上より、増減表およびグラフは上図のようになります。

(2)
f(x)＝ｙ とおきます。
点(1,2) における接線の傾きは
　f'(1)＝2/3
であるので、接線の式は
　ｙ＝(2/3)(x-1)＋2
　　＝2x/3＋4/3
これと、ｙ＝f(x) を連立させて、
　6x/(x²＋2)＝2x/3＋4/3
これを解いて、
　ｘ＝１，−４
よって、求める点の座標は、(-4, -4/3)

(3)
　ｙ＝2x/3＋4/3−6x/(x²＋2)
を、ｘ＝−４　から　ｘ＝１ まで積分して、
　∫{2x/3＋4/3−6x/(x²＋2)}dx
　　＝x²/3＋4x/3−3∫{(x²＋2)'/(x²＋2)}dx
より、求める面積は
　[x²/3＋4x/3−3log(x²＋2)]_x=-4〜1
　＝(1/3＋4/3−3log3)−(16/3−16/3−3log18)
　＝5/3＋3log18−3log3＝5/3＋3log6
　
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これ、まさか教科書や、市販の問題集じゃないですよね？
写真では切れて見えないですが、１行目の
　２ＡＰ＋３ＢＰ＋４ＣＰ
はベクトルですよね？だとすると、右辺の＝０　も、ゼロベクトルで
あるはずです。初歩的ミスですね。

(以下、太字はベクトルです)

(1)
　２ＡＰ＋３ＢＰ＋４ＣＰ＝０
より、
　２ＡＰ＋３(ＡＰ−ＡＢ)＋４(ＡＰ−ＡＣ)＝０
よって、
　ＡＰ＝(３ＡＢ＋４ＡＣ)/９

(2)
点Ｑは、ＡＰの延長上にあるので、
　ＡＱ＝ｋＡＰ
と書けます。また、点Ｑは、ＢＣ上にあるので、
　ＡＱ＝ｓＡＢ＋ｔＡＣ　　（ｓ＋ｔ＝１）
と書けます。
(1) の結果を9/7倍すると、ちょうど係数の和が１となり、
　ＡＱ＝(9/7)ＡＰ＝(３ＡＢ＋４ＡＣ)/７
となります。
以上より、
　ＢＱ：ＱＣ＝４：３
　ＡＰ：ＰＱ＝７：(９−７)＝７：２
となります。

(3)
上の図より、
△ＢＰＱの面積を[10] とすると、△ＰＡＢは[35]、△ＣＰＱは[8]、△ＰＣＡは[28] となり、
△ＰＡＢ：△ＰＢＣ：△ＰＣＡ＝３５：１８：２８
となります。
　
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ヨッシーさんおはようございます。
回答の初めから7行目までしかわかりません。

＞g(2)=-50は調べないのですか？
調べる必要がないので、調べません。

g(X) のグラフは図のように、
　Ｘ＜−１　で１個、
　−１＜Ｘ＜０　で１個
　０＜Ｘ＜１　で１個
の解があり、これ以外にはありません。
Ｘ＞１　の部分では、g(X) は、小さくなる一方なので、
解は存在しません。

＞90度と270度の２つしか存在しないと思うのですが
cosθ＝０　となるのは、そうかもしれませんが、
f'(θ)＝０ となるのは、４つあります。
　
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すみません。
ＵＰが遅れています。
図は、上の通りです。
　
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