2007年09月 の投稿ログ


34104．極限  
名前：ちゃー    日付：9月30日(日) 23時23分
lim　{√(n+1) + √n }
n→∞


コレはどうやって解くんですか？


34105．Re: 極限
名前：ヨッシー    日付：9月30日(日) 23時32分
どう見ても、∞に飛びますね。
　√(n+1) - √n
ではないですか？
　
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34108．Re: 極限
名前：ちゃー    日付：10月1日(月) 0時50分
どう見ても、∞に飛びますね。
とありますが

これの答案の書き方はどうすればいいんですか？


√(n+1) - √n
は分子の有利化でいいんですかね？

34109．Re: 極限
名前：ヨッシー    日付：10月1日(月) 8時34分
√(n+1) + √n＞2√n
lim 2√n は∞に飛ぶので、(以下略)
みたいな感じでどうでしょう。
　
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34100．微分と速度  
名前：ケンタ    日付：9月30日(日) 23時0分
平面上を運動する線Pの,時刻tにおける座標(x,y)が,x=sint+cost,y=sintcostで表されるとき,点Pの速さの最大を求めよ。　
の解答をお願いします。


34101．Re: 微分と速度
名前：ケンタ    日付：9月30日(日) 23時2分
解答は3/2です。

34106．Re: 微分と速度
名前：ヨッシー    日付：9月30日(日) 23時39分
速さは
　√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}
で表されます。
　dx/dt＝cosｔ－sinｔ
　dy/dt＝cos２ｔ
　(dx/dt)^2＝１－sin２ｔ
　(dy/dt)^2＝cos^2２ｔ＝１－sin^2２ｔ
　(dx/dt)^2+(dy/dt)^2＝－sin^2２ｔ－sin２ｔ＋２
　　＝－(sin２ｔ＋1/2)^2＋9/4
よって、sin２ｔ＝-1/2 のとき、(dx/dt)^2+(dy/dt)^2 の最大値 9/4
√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2} の最大値は 3/2 となります。
　
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34123．Re: 微分と速度
名前：ケンタ    日付：10月1日(月) 22時41分
ありがとうございましたヾ(^▽^)ﾉ
数Ⅲの微分になると、頭が混乱してきて、変チクリンな解答をしてしまうんです(泣)

34099．微分  
名前：ケンタ    日付：9月30日(日) 22時57分
曲線y=x/x^2+aの変曲点の個数を調べよ。
という問題の解答をお願いします。


34110．Re: 微分
名前：豆    日付：10月1日(月) 13時31分
y=x/(x^2+a)ですね。
y’=(x^2+a-x・2x)/(x^2+a)^2
=(-x^2+a)/ (x^2+a)^2
y”=(-2x(x^2+a)^2-(-x^2+a)・2(x^2+a)・2x)/(x^2+a)^4
=2x(x^2-3a)/(x^2+a)^3
よって、y"=0となる個数を数えて、
a＜0のとき1個
a=0のとき　0個
a＞0のとき　3個

34124．Re: 微分
名前：ケンタ    日付：10月1日(月) 22時52分
y''=0から、答えまでがわかりません。数値を代入して考えるのですか？

34127．Re: 微分
名前：ヨッシー    日付：10月2日(火) 8時45分
2x(x^2-3a)/(x^2+a)^3=0 の実数解がいくつあるかということです。
分子が 2x(x^2-3a) ですから、解があるとすれば、
　ｘ＝０、√3a、－√3a
です。
ａ＞０ だと、分母も常に正になるので、解が３つ存在します。
ａ＜０ だと、ｘ＝√3a、－√3a は実数解でなくなり、ｘ＝０ のみが解になります。
ａ＝０ だと、2x(x^2-3a)/(x^2+a)^3=0 は、2x^3/x^3＝０　となり、
無効な式になります。よって、実数解は存在しません。

というわけで、上のようになります。
　
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34098．数と方程式  
名前：りく　高校三年    日付：9月30日(日) 22時6分
自然数x,yを用いて　

p^2＝x^3＋y^3

と表せるような素数pをすべて求めよ。
また、このときのx,yをすべて求めよ。

答えは分かっているんですが、考え方が
分かりません。

答え；P＝3、(x,y)＝(1,2)、(2,1)


すみません。おねがいします。
教えてください。


34102．Re: 数と方程式
名前：ヨッシー    日付：9月30日(日) 23時2分
p^2＝x^3＋y^3＝(x+y)(x^2-xy+y^2)
となります。
ｐは素数なので、
　ｘ＋ｙ＝１、ｘ^2－ｘｙ＋ｙ^2＝ｐ^2　・・・(1)
　ｘ＋ｙ＝ｐ^2、ｘ^2－ｘｙ＋ｙ^2＝１　・・・(2)
　ｘ＋ｙ＝ｐ、ｘ^2－ｘｙ＋ｙ^2＝ｐ　・・・(3)
のいずれかです。ｘ、ｙは自然数なので、(1) はあり得ません。
また、相加・相乗平均より
　ｘ^2－ｘｙ＋ｙ^2≧２√(ｘ^2ｙ^2)－ｘｙ＝ｘｙ
より、
　ｘ^2－ｘｙ＋ｙ^2＝１
となるのは、ｘ＝ｙ＝１ のときですが、このとき
　ｘ＋ｙ＝ｐ^2＝２
となり、適当なｐは存在しません。よって、(2) もあり得ません。
以上より、
　ｘ＋ｙ＝ｘ^2－ｘｙ＋ｙ^2
を考えます。移項して
　ｘ^2－(１＋ｙ)ｘ＋ｙ^2－ｙ＝０　・・・(4)
ｘの２次方程式と考えると、解は自然数なので、判別式に当たる
　(１＋ｙ)^2－４(ｙ^2－ｙ)＝－３ｙ^2＋６＋１
が、平方数である必要があります。
　－３ｙ^2＋６＋１＝ｑ^2　(ｑは自然数)
とおくと、移項して、
　－３ｙ^2＋６ｙ＋１－ｑ^2＝０
同様に、解は自然数なので、判別式
　９＋３(１－ｑ^2)＝３(４－ｑ^2)
が平方数になります。４－ｑ^2≧０ より、ｑは１または２です。
ｑ＝１のとき　ｙ＝２　（ｙ＝０は除外)
ｑ＝２のとき　ｙ＝１
(4) より
ｙ＝１ のとき　ｘ＝２　（ｘ＝０は除外)
ｙ＝２ のとき　ｘ＝１，２
ｘ＝ｙ＝２ のとき、ｐ＝４ となり不適
以上より、上のような答えになります。
　
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34131．Re: 数と方程式
名前：りく　高校三年    日付：10月2日(火) 18時48分
ありがとうございました。

よく分かりました。分かりやすかったです。

こんなに長い解説をしていただいて申し訳ありません。

本当にありがとうございました

34138．Re: 数と方程式
名前：らすかる    日付：10月3日(水) 1時43分
ヨッシーさんの解答により x+y=x^2-xy+y^2=p
x-y=q とおくと xy=(p^2-q^2)/4
これを x+y=x^2-xy+y^2 に代入して整理すると
(p-2)^2+3q^2=4
(p-2)^2≧0 なので q=0,±1
q=0 のとき (p-2)^2=4
このとき p=0,4 となりどちらも素数でないので不適
q=±1 のとき (p-2)^2=4-3=1
このとき p=1,3 となりp=3のみ適
よって (p,q)=(3,1),(3,-1) となるので
x=(p+q)/2, y=(p-q)/2 から (x,y)=(2,1),(1,2)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

34093．速度  
名前：美柚    日付：9月30日(日) 11時58分
直円錐上の容器が、容器の頂点を下にし、軸を鉛直にして置かれている。但し、上面の円の半径は容器の深さの√２倍になっている。この容器に毎秒ｗ㎝^3の割合で水を注ぐとき、水の量がｖ㎝^3になった瞬間に置ける水面の上昇する速度を求めよ。
わからないのでおしえてください。お願いします。


34112．Re: 速度
名前：教得手　学    日付：10月1日(月) 18時38分
水を入れ始めてからｘ秒後の水深をｙｃｍとすると、水面の半径は(√２)ｙ ｃｍ
このときの水の量をｖｃｍ3とすると
ｖ＝(２π/３)ｙ^3
ゆえに、ｙ＝(３/２π)^(1/3)×ｖ^(1/3)
ｄｙ/ｄｖ＝(３/２π)^(1/3)×(１/３)ｖ^(-2/3)＝{３/(２πｖ^2)}^(1/3)
ｄｖ/ｄｘ＝ｗ　より
ｄｙ/ｄｘ＝(dy/dv)(dv/dx)＝ｗ{３/(２πｖ^2)}^(1/3)
よって、水面の上昇する速度は、ｗ{３/(２πｖ^2)}^(1/3)　(ｃｍ/秒)
となります。

34114．Re: 速度
名前：教得手　学    日付：10月1日(月) 19時5分
上の私のレスにおいて、途中の式から次のように訂正します。

ｄｙ/ｄｖ＝(３/２π)^(1/3)×(１/３)ｖ^(-2/3)＝{１/(１８πｖ^2)}^(1/3)
ｄｖ/ｄｘ＝ｗ　より
ｄｙ/ｄｘ＝(dy/dv)(dv/dx)＝ｗ{１/(１８πｖ^2)}^(1/3)
よって、水面の上昇する速度は、ｗ{１/(１８πｖ^2)}^(1/3)　(ｃｍ/秒)
失礼しました。

34126．Re: 速度
名前：美柚    日付：10月2日(火) 0時8分
わかりました。ありがとうございました。

34090．置換積分  
名前：wj（大学1年）    日付：9月29日(土) 22時26分
次の問題がわかりません…。解説よろしくお願いします！
① √(x^2+3) (x+√(x^2+3)=t)
② x^2/{(1-x^2)^(3/2)} (x=sinθ)
③ 1/{x^2*(x^2-9)^(3/2)} (x=3secθ)
()内の置換で積分せよ。

答えは以下です。
① 1/2*{x*√(x^2+3)+3log|x+√(x^2+3)|}
② x/√(1-x^2)-arcsinx
③ -1/81*{x/√(x^2-9)+√(x^2-9)/x}


34128．Re: 置換積分
名前：教得手　学    日付：10月2日(火) 9時17分
② ∫x^2/{(1-x^2)^(3/2)} dx＝∫{(1-x^2)^(-1/2)}’*ｘ・dx
　　＝{(1-x^2)^(-1/2)}ｘ－∫(1-x^2)^(-1/2)dx

∫(1-x^2)^(-1/2)dx において、ｘ＝sinθ　とおくと、dx＝cosθ・dθ
∫(1-x^2)^(-1/2)dx ＝∫(1/cosθ)cosθ・dθ＝∫dθ＝θ＝arcsinx

∴∫x^2/{(1-x^2)^(3/2)} dx＝ｘ/√(１－ｘ^2)－ arcsinx

34129．Re: 置換積分
名前：教得手　学    日付：10月2日(火) 10時8分
③ｘ＝３secθ とおくと、cosθ＝３/ｘ、ｘ≧３より　sinx＝√(ｘ^2－９)/ｘ
また、dx＝3secθtanθdθ＝3sinθ/cos^2θ・dθ
ｘ^2＝cos^2θ/9、(ｘ^2－9)^(3/2)＝27sin^3θ/cos^3θ になることから

∫1/{x^2*(x^2-9)^(3/2)} dx＝∫cos^5θ/(243sin^3θ)・3sinθ/cos^2θ・dθ＝
(1/81)∫cos^3θ/sin^2θ dθ＝(1/81)∫cosθ(1-sin^2θ)/sin^2θ dθ
sinθ＝ｔとおくと、
(1/81)∫cosθ(1-sin^2θ)/sin^2θ dθ＝(1/81)∫(1/t^2－１)dt
＝(1/81)(-1/ｔ－ｔ)
＝－1/81(1/sinθ＋sinθ)＝-1/81*{x/√(x^2-9)+√(x^2-9)/x}

34132．Re: 置換積分
名前：wj（大学1年）    日付：10月2日(火) 19時56分
とてもわかりやすかったです。ありがとうございます！

34133．Re: 置換積分
名前：教得手　学    日付：10月2日(火) 21時26分
①∫√(ｘ^2＋３)dx＝∫(ｘ)'√(ｘ^2＋３)dx＝ｘ√(ｘ^2＋３)－∫(ｘ^2+3-3)/√(ｘ^2＋３)dx
＝ｘ√(ｘ^2＋３)－∫√(ｘ^2＋３)dx＋３∫ｄｘ/√(ｘ^2＋３)
∴∫√(ｘ^2＋３)dx＝(1/2)｛ｘ√(ｘ^2＋３)＋３∫ｄｘ/√(ｘ^2＋３)｝・・・・・（１）

∫ｄｘ/√(ｘ^2＋３)｝を求めるのに少し省略しますので、自分で確かめてください。

ｘ+√(ｘ^2＋３)＝ｔ　とおくと、ｘ＝(ｔ^2－3)/2t、dx＝(t^2+3)/2t^2dt、√(ｘ^2＋３)＝ｔ－(t^2-3)/2t
だから
∫ｄｘ/√(ｘ^2＋３)｝＝∫ｄｔ/ｔ＝log|ｘ+√(ｘ^2＋３)|+Ｃ
これを（１）に代入すると
∫√(ｘ^2＋３)dx＝(1/2)｛ｘ√(ｘ^2＋３)＋３*log|ｘ+√(ｘ^2＋３)|}+Ｃ

34137．Re: 置換積分
名前：wj（大学1年）    日付：10月3日(水) 0時36分
最後まで面倒を見ていただき、本当にありがとうございました。

34087．整数Ⅰ  
名前：じま    日付：9月29日(土) 20時59分
２以上の整数ａ、ｂが１８ａ＋ｂ－３ａｂ＝１３６・・・①を満たしている。
①を満たすａ、ｂの値をもとめよ。

（解答）１８ａ－ｂ（３ａ－１）＝１３６
　　　　（３ａ－１）（６－ｂ）＝１３０となる。３ａ－１、６－ｂは１３０　　　　の約数であり３ａ－１≧５、６－ｂ≦４であることより
　　　　３ａ－１＝６５、６－ｂ＝４であることより、ａ＝２２、ｂ＝４

「３ａ－１≧５、６－ｂ≦４」という部分がよくわかりません。
なぜ５と４がポイントとしてでてきているのでしょうか？
解答お願いします


34088．Re: 整数Ⅰ
名前：トマホーク    日付：9月29日(土) 21時1分
ヒント：２以上の整数ａ、ｂが…

34089．Re: 整数Ⅰ
名前：ヨッシー    日付：9月29日(土) 21時1分
ａ，ｂは２以上の整数 だからです。
　
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34096． 整数Ⅰ
名前：じま    日付：9月30日(日) 18時9分
わかりました！！！
参考にして早速問題に取り組んでみます☆☆

34084．(untitled)  
名前：こじ    日付：9月29日(土) 19時14分
ａ、ｘを実数とし、集合A＝｛２、４、x＾２＋４x＋６｝　Ｂ＝｛３、ｘ＾２＋ａｘ＋ａ｝　Ｃ＝｛１、x＾２＋（ａ＋１）x－３｝
２∈Ｂ　かつ　Ｂ⊂Ａ　　となるようなａ、ｘの値をもとめよ。

「∈」の意味がよくわかりません･･･。「⊂」とどう違うのでしょうか？
解答お願いします！！！


34085．Re: (untitled)
名前：ラディン.ms    日付：9月29日(土) 20時15分
あまり自信はありませんが。

2∈Bより　x^2+ax+a=2……①　　∴　B={3,2}
これとB⊂Aより　x^2+4x+6＝3  ∴ (x+1)(x+3)=0  ∴　x=-3,-1
ⅰ) x=-1のとき  ①に適さない
ⅱ) x=-3のとき　①より　9-3a+a=2  ∴　a=7/2
    このとき　x^2+（a+1）x-3＝-15/2 となって　C={1,-15/2}
ⅰ)，ⅱ)より　x=-3,a=7/2


> 「∈」の意味がよくわかりません･･･。「⊂」とどう違うのでしょうか？
Ａ∈Ｂは，ＡがＢの要素であることを表します。
例えばＢ＝｛３，５，７｝ならば　３∈Ｂ，５∈Ｂ，７∈Ｂが成り立ちます。

一方Ａ⊂Ｂは，ＡがＢの部分集合であることを表します。
Ａという集合，Ｂという集合，2つの集合があってそれらの関係を表します。
例えばＡ＝｛０，２，４｝，Ｂ＝｛０，２，４，６，８｝ならばＡ⊂Ｂです。

34095．(untitled)
名前：こじ    日付：9月30日(日) 18時6分
ラディン.msさんわかりやすい解説ありがとうございます！！
解けました♪♪

34078．小学六年生  
名前：さとる    日付：9月29日(土) 12時9分
毎度すみませんがまた考え方の説明お願いします。
問題①
Ａ君は午前６時前に家を出て、午前９時半前に目的地に着きました。
このとき、時計の長針と短針の位置はちょうど時計の短針と長針の
位置と入れ替わっていました。
このとき次の問題に答えなさい。（１）（２）は式も書きなさい。
（１）Ａ君が家を出てから目的地に着くまでに短針が動いた角度を
　　　　ｘ度、長針が動いた角度をｙ度とします。
　　　　ｙはｘの何倍になりますか
（２）（１）の角度を求めなさい。
（３）目的地に着いた時刻は９時何分ですか

問題②
兄が３歩で歩く距離を弟は４歩で歩きます。また、兄が８歩
歩く間に弟は７歩歩きます。
（１）兄が３２歩歩く間に弟が歩いた距離を、兄は何歩で
　　　歩きますか
（２）兄と弟の歩く早さの比を、最も簡単な整数比で表しなさい。
（３）この二人が校庭のトラックで、スタート地点から反対向きに
　　　同時に出発して歩き始めたところ、弟が２１０歩歩いた
　　　時に、反対から来た兄と出会いました。そのまま歩き続けて
　　　スタート地点まで１周するには、弟はさらにあと何歩歩き
　　　ますか
（４）次に同じスタート地点から、弟が先に１７６歩進んだ後、
　　　兄が同じ向きに追いかけると、兄は何歩歩いたところで
　　　弟に追いつきますか

答え
問題①（１）１２倍　（２）１１０か１３分の１０度
　　　（３）２８か１４３分の１３６分

問題②（１）２１歩　（２）３２：２１　（３）３２０歩　
　　　（４）３８４歩

以上です。よろしくお願いいたします。
　　


34081．Re: 小学六年生
名前：ヨッシー    日付：9月29日(土) 13時33分
関係ないことをまず聞きます。

帯分数　１と1/2　などを、１か1/2 というのは、
どこにのっていた呼び方ですか？

「か」の意味を何十年も探しているのですが、なかなかこれといったものがなくて。
　
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34082．Re: 小学六年生
名前：ヨッシー    日付：9月29日(土) 13時51分
問題１
(1) ｘが何度であっても、長針の動く角度は、短針の１２倍です。
(2)

図において、短針が動く角度は、Ａの位置からＢの位置までです。
一方、長針は右の図の位置から、さらにＢの位置まで進めば
４周(1440°)ですが、ｘだけ手前にいるので、長針の動いた角度は
　(1440－ｘ)°
です。

図より、ｘは、1440°の1/13 とわかります。
ｘは1440/13＝110と10/13
(3)
時計の図の右は、９時の時点で、短針が長針よりも270°先にいるのが、
１分間に5.5°ずつ縮まって、ｘまで来たと考えると、その間の時間は、
　(270－1440/13)÷5.5＝2070/13×2/11＝4140/143
　　＝28と136/143(分)

こちらの、時計算も見てください。
　
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34083．Re: 小学六年生
名前：ヨッシー    日付：9月29日(土) 17時32分
問題２
(1)
兄が３２歩歩くあいだに、弟は
　３２×７／８＝２８歩
歩きます。その歩幅は兄の3/4倍なので、兄の歩幅で言うと、
　２８×３／４＝２１(歩)
分となります。
(2)
兄の１歩を１とすると、兄が３２進むあいだに、弟は２１進みます。
速さの比は、３２：２１　です。

(3)
兄と弟の速さの比は、３２：２１なので、
出会った位置は、スタートから、３２：２１の位置になっています。
よって、弟は残り
　２１０×32/21＝３２０(歩)
分歩くことになります。

(4)
弟の１７６歩分の距離を、兄と弟が３２：２１ で歩いて追いつくには、
弟の歩数で、
　１７６÷(３２－２１)＝１６
　１６×３２＝５１２　・・・追いつくまでに兄の進んだ距離
　１６×２１＝３３６　・・・追いつかれるまでに弟の進んだ距離
兄が、弟の歩幅で５１２歩分歩いたところで追いつく。
兄の歩数では
５１２×３／４＝３８４(歩)
　
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34086．Re: 小学六年生
名前：さとる    日付：9月29日(土) 20時16分
ヨッシー先生、いつもありがとうございます。
か、という呼び方はお母さんがそう呼んでいるので
そういう呼び方なのかと思っていました。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=138769128
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?queId=7493071
ここにもそういうことが書いてあるようなのですが‥？

34073．微分3  
名前：ケンタ    日付：9月28日(金) 22時9分
次の関数のグラフをかけ｡
y＝1/x＋logx


34076．Re: 微分3
名前：教得手　学    日付：9月29日(土) 11時3分
ｆ(x)＝y＝1/x＋logx　において
ｆ'(x)＝－１/ｘ^2＋１/ｘ＝(ｘ-１)/ｘ^2
だから、０＜ｘ＜１のときｆ'(x)＜０
　　　　ｘ＝１のとき　ｆ'(x)＝０、ｆ(x)＝１
　　　　ｘ＞１のとき　ｆ'(x)＞０
このことと、ｙ＝１/ｘ、ｙ＝logｘのグラフを参考にすれば、大体の形はかけると思います。（ヨッシーさんに時間があれば・・・）

34079．参考
名前：七    日付：9月29日(土) 13時14分
Original Size: 700 x 757, 79KB

だいたい図の赤線のグラフのようになります。
図をクリックして拡大してみてください。


34072．微分2  
名前：ケンタ    日付：9月28日(金) 22時7分
次の関数の最大値、最小値を求めよ。
y＝(2x－1)e^－2x (0≦x≦3)


34075．Re: 微分2
名前：教得手　学    日付：9月29日(土) 10時45分
ｆ(x)＝y＝(2x－1)e^－2x 　において
ｆ'(x) を計算して、増減表を書けばどうでしょう。
ｆ'(x)＝０であるｘをｋとおくとき、０＜ｋ＜３になると思うので
ｆ(０),ｆ(ｋ),ｆ(３)を計算すれば何とかなるでしょう。

34107．Re: 微分2
名前：ケンタ    日付：9月30日(日) 23時40分
グラフはどんな風になりますか？

34116．Re: 微分2
名前：教得手　学    日付：10月1日(月) 19時58分
ここでは上手くグラフを書けないので、次のことからグラフのおおよその形をつかんでください。

ｆ'(x)＝４(１-ｘ)e^(－2x) より、ｘ＝１のときｙは最大値

ｆ(０)＝-１、ｆ(1/2)＝０、ｆ(１)＝１/ｅ^2、ｆ(３)＝５/ｅ^6

34071．微分  
名前：ケンタ    日付：9月28日(金) 22時3分
次の関数の極値をもとめよ。
y＝x＋√3sinx－cosx (0≦x≦2π)


34074．Re: 微分
名前：成瀬    日付：9月29日(土) 0時20分
y = x + √3sinx - cosx を微分すれば,
y' = 1 + √3cosx + sinx となるので √3cosx + sinx を合成でもして
y' = 0 を満たす x を求めればその x に対応する y が極値となります.

34103．Re: 微分
名前：ケンタ    日付：9月30日(日) 23時3分
ありがとうございます。僕は微分する前に合成してました。

34064．辺の長さと角の関係  
名前：ジューパニス    日付：9月28日(金) 16時56分
△ABCの３辺が等しいことは、△ABCの３つの角が等しいための十分条件か？　必要条件か？　それ以外か？

という問題なんですが
証明部分でよくわからないところがあります。
３辺が等しいのでAB=BC=CA
AB=BC から　∠C=∠A
BC=CA から　∠A=∠B
となっています。
どうしてAB=BCから、∠C=∠Aがわかるんでしょうか？
BC=CA から　∠A=∠B　というのも理解できません。

おねがいします。


34065．Re: 辺の長さと角の関係
名前：gaku    日付：9月28日(金) 17時2分

> どうしてAB=BCから、∠C=∠Aがわかるんでしょうか？
> BC=CA から　∠A=∠B　というのも理解できません。
中学校2年生のときに，次のことを証明しています。
「二等辺三角形の底角は等しい。」
中学生はこれを三角形の合同を使って証明します。

34063．解を持つときと、解が無数にあるとき  
名前：ジューパニス    日付：9月28日(金) 16時51分
文字はすべて実数とする。次の命題を対偶を利用して証明せよ。

xについての方程式ax+b=0がただ一つの解を持つならばa≠0

答えで
a=0,　b≠0　ならば　解を持たない
a=0, b=0　　ならば　無数の解を持つ
となっています。
ここがよくわかりません。
どうして、そういいきれるのでしょうか？
おねがいします。
あと有理数は1以上の数ですよね？


34067．Re: 解を持つときと、解が無数にあるとき
名前：らすかる    日付：9月28日(金) 17時27分
a=0, b≠0 ならば方程式の左辺は 0×x+b≠0 となって
xに何を入れても成り立ちません。よって解がありません。
a=0, b=0 ならば方程式の左辺は 0×x+0=0 となって
xが何であっても成り立ちます。よって無数の解があります。

＞有理数は1以上の数ですよね？
いいえ、0や負の数も含みます。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

34068．Re: 解を持つときと、解が無数にあるとき
名前：ヨッシー    日付：9月28日(金) 17時31分
まずここで証明する対偶命題は
ａ＝０　ならば　方程式ax+b=0 の解が１つではない（解がないか、２つ以上)
ということです。
ａ＝０　であるとき
　ｂ≠０　のとき、ａｘ＋ｂ＝０　は解を持ちません。
　　ｘにどんな数を当てはめても、ａｘ＋ｂ＝０　は成立しないということです。
　ｂ＝０　のとき、ａｘ＋ｂ＝０　は解を無数に持ちます。
　　ｘにどんな数を当てはめても、ａｘ＋ｂ＝０　は必ず成立するということです。

疑う前に、いろいろ当てはめて見ましょう。

＞有理数は１以上の数ですよね？
有理数は、整数／整数　の分数の形に書ける(整数は分母が１の分数)数です。
０，－１　なども有理数ですし、1/3, 1/2 も有理数です。
　
http://yosshy.sansu.org/

34062．既約分数で挫折  
名前：ジューパニス    日付：9月28日(金) 16時47分
命題「nは整数とする。n^(2)が3の倍数ならば、nは3の倍数である」は真である。
これを利用して、√3が無理数であることを証明せよ。

√3が無理数ではないと仮定して、証明していくのは分かるのですが、
教科書には、√3=b/a
b/aは既約分数である、としています。
どうして既約分数というようなあまり聞かない難しいものを使うんでしょうか？
√3=c
cは有理数、としてはいけないのでしょうか？
既約分数で解く場合の流れも詳しく知りたいです。
おねがいします。


34066．Re: 既約分数で挫折
名前：らすかる    日付：9月28日(金) 17時25分
＞どうして既約分数というようなあまり聞かない難しいものを使うんでしょうか？
＞cは有理数、としてはいけないのでしょうか？

「cは有理数」としても証明できないからです。
有理数は必ず既約分数で表せます。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

34069．Re: 既約分数で挫折
名前：ヨッシー    日付：9月28日(金) 17時53分
√3 が有理数とすると、√3 = b/a (b/a は既約分数)
　(a と b は互いに素ということもあります。互いに素とは１以外の公約数を持たないことです。)と書けます。
　√3 = b/a
を２乗して、
　３＝b^2/a^2
　b^2＝3a^2
よって、b^2 は３の倍数ですが、ｂそのものが３の倍数でないと
b^2 は３の倍数にならないので、ｂは３の倍数です。
そこで、b=3c(cは整数)とおくと、
　b^2＝3a^2
は、
　9c^2＝3a^2
　3c^2＝a^2
と書け、同様にａは、３の倍数になります。
ａ，ｂともに３の倍数となり、b/a が既約分数であることと矛盾します。
よって、√３は、有理数ではなく、無理数であるといえます。
　
http://yosshy.sansu.org/

34070．Re: 既約分数で挫折
名前：ヨッシー    日付：9月28日(金) 17時55分
b/a が既約分数と言っておかないと、
ａ，ｂともに３の倍数となっても、別にどうということはなく、
話はここで止まってしまいます。
　
http://yosshy.sansu.org/

34056．数A。教えてください。  
名前：なお　高1    日付：9月27日(木) 22時38分
数A：「場合の数」
和の法則と積の法則の違いと使い方を教えてください！
和の法則　Ａ、Ｂとなる場合がありＡ、Ｂは共に同時には起こらないとしま　　　　　す。Ａになる場合はｍ通り、Ｂはｎ通りのときＡ，Ｂのいずれかが起　　　　こる場合の数はｍ＋ｎ通りとなる　　　　　
積の法則　Ａ、Ｂとなる場合がありＡの起こり方がｍ通り、それ１つ１つ　　　　　　についてＢの起こり方がｎ通りあるとします。
　　　　　このときＡ，Ｂがともに起こる場合の数はｍ×ｎ通りとなる。
と教科書には書いてあるのですがどういうことをいってるのかわかりません。くわしく教えてください。


34057．Re: 数A。教えてください。
名前：ヨッシー    日付：9月27日(木) 23時4分
こちらに、具体的な例があります。
　
http://yosshy.sansu.org/

34058．Re: 数A。教えてください。
名前：なお　高１    日付：9月28日(金) 9時41分
お答えいただきありがとうございます！
具体例を見さしてもらったのですが、まだよくわかりません。

34059．Re: 数A。教えてください。
名前：ヨッシー    日付：9月28日(金) 10時5分
６枚のカードがあり、それぞれ１から６までの数字が１つずつ書かれています。
１，２，３のカードは数字が赤で書かれています。
４，５のカードは数字が青で書かれています。
６のカードは数字が黄色で書かれています。
これら６枚のカードから１枚を引くとき、
(1) 赤のカードを引く引き方は何通りありますか？
(2) 青のカードを引く引き方は何通りありますか？
(3) 赤または青のカードを引く引き方は何通りありますか？

(4) ２の倍数を引く引き方は何通りありますか？
(5) ３の倍数を引く引き方は何通りありますか？
(6) ２の倍数または３の倍数を引く引き方は何通りありますか？

(1)(2)(3) は、和の法則が成り立つ場合です。
(4)(5)(6) は、和の法則が成り立たない場合です。
どこが違うか、和の法則の定義を良く見て考えてみてください。

同じく、上のカードを２回引くとき
１回目に２の倍数、２回目に３の倍数を引く引き方を
(7) １回目に引いたカードを元に戻して、２回目を引くとき
(8) １回目に引いたカードを元に戻さずに、２回目を引くとき
それぞれについて、何通りあるか？
(7) は積の法則が成り立つ場合です。
(8) は積の法則が成り立たない場合です。

和の法則と積の法則は、考え方が全然違います。
紹介した具体例を見ればわかるように、
和の法則は、多くの場合、１回の試行において、その内訳について考えています。
積の法則は、試行を次々に繰り返した場合、そのトータルの場合の数について
考えています。
　
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34060．Re: 数A。教えてください。
名前：なお　高1    日付：9月28日(金) 14時29分
ありがとうございます！
なぜ
(1)(2)(3) は、和の法則が成り立つ場合です。
(4)(5)(6) は、和の法則が成り立たない場合です。
このようになるのでしょうか？
和の法則の定義を見てみましたが
共に同時には起こらないとします。とかいてありますが、同時に起こらないとはどういうときですか？Ａ，Ｂのいずれかが起こる場合の数はｍ＋ｎ通りとなる。とも書いてありますが、いずれかが起こる場合はどのようなときでしょうか？
質問が多くてすいません。　　　　

34061．Re: 数A。教えてください。
名前：ヨッシー    日付：9月28日(金) 15時9分
見ている場所は正しいですね。
ポイントは「同時に起こる」ということです。
カードを１枚引いたとき、
「赤のカードを引く」と「青のカードを引く｣は、
同時に起こりますか？起こりませんね？
そのようなときは、
(3)の答え＝(1)の答え＋(2)の答え
になります。一方、
「２の倍数を引く｣と「３の倍数を引く」が
同時に起こることはあるでしょう。６を引いたときがそうです。
このような時は、
(6)の答え＝(4)の答え＋(5)の答え
にはなりません。

(1)(2)(3) でいうと、
赤を引くのが３通り、青を引くのが２通り、赤または青を引くのが３＋２＝５通りです。

(4)(5)(6) でいうと、
２の倍数は３通り、３の倍数は２通りですが、２または３の倍数は
３＋２＝５　ではなく　４通り（２，３，４，６）です。
普通に考えると、
３＋２ では、６を引いたときを２回数えているので、正しくないのです。
「同時に起こらない」ときは、この２回数えるものがない状態なので、
足せばいいのです。
　
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34077．Re: 数A。教えてください。
名前：なお　高1    日付：9月29日(土) 12時8分
なるほど！ありがとうございます！
7種類のセ－タ－と5種類のマフラ－の中から、それぞれ1種類ずつ選んで、
セ－タ－とマフラ－の組を作る方法は何通りあるか？
という問題です。なぜ、積の法則を使うのでしょうか？

34080．Re: 数A。教えてください。
名前：ヨッシー    日付：9月29日(土) 13時25分
セーターをＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ
マフラーをａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ　とし、
Ａａで、Ａのセーターとａのマフラーを選んだことを表すとします。
Ａのセーターを選んだとき、マフラーの選び方は５通り、つまり
Ａａ
Ａｂ
Ａｃ
Ａｄ
Ａｅ
です。Ｂのセーターを選んだときも、マフラーの選び方は５通り、つまり
Ｂａ
Ｂｂ
Ｂｃ
Ｂｄ
Ｂｅ
です。これを、Ｇまで７回繰り返すので、
　７×５＝３５
です。
何とかの法則を使うとかいちいち気にするより、
どのような数え方をするべきか、そのためにはどういう式になるかを
考えた方がいいと思います。
　
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34091．Re: 数A。教えてください。
名前：なお　高1    日付：9月29日(土) 23時36分
なるほど！ありがとうございます。
（a+b）(p+q+r)(x+y)を展開した式の項の個数を求めよ。という問題の場合はどこから手をつければいいのでしょうか？

34092．Re: 数A。教えてください。
名前：ヨッシー    日付：9月30日(日) 8時15分
場合の数の基本は｢数え上げ｣です。
apx
apy
aqx
aqy
arx
ary
bpx
・・・
のように、まずは数えましょう。
答えは１２と出ますが、それで終わってはいけません。
答えが出た後で、なぜ１２か吟味します。
最初がaのものが６通り。最初がbのものが６通り。
よく見ると、最初がaの場合も、bの場合も
px
py
qx
qy
rx
ry
の部分は同じと気づきます。つまり、この６通りが、aの場合と、bの場合の
２通りに存在するので　２×６＝１２　です。
さらに、この６通りは、
p に対してx,yの２通り。
q に対してx,yの２通り。
r に対してx,yの２通り。
であるので、３×２＝６です。
以上を見つけた上で、２×３×２　という式を見つけるのです。

この数え上げをせずに、
積の法則より、２×３×２=１２　とだけ言われても、
身に付きません。
　
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34094．Re: 数A。教えてください。
名前：なお　高1    日付：9月30日(日) 16時20分
なるほど！ありがとうございます★
次々に質問してすいません。
Ａ，Ｂの2つのチームで優勝戦を行い、先に2勝した方を優勝チームとする。
まず、Ａが勝ったとき、優勝が決定するまでの勝負の分かれ方は何通りあるか。ただし、試合では引き分けもあるが、引き分けの次の試合は必ず勝負がつくものとする。という問題です。

樹形図を書いてみましたが。。

A
A<B<A
B
でいいのでしょうか？
Aが勝ったときと書いてあるのでA-AときたらAが優勝。
A-Bときたら引き分けなのでもう1試合だけ。
という解釈でよいのでしょうか？

34097．Re: 数A。教えてください。
名前：ヨッシー    日付：9月30日(日) 19時27分
Ａが勝った場合をＡ、Ｂが勝った場合をＢ、引き分けた場合を＝と書くことにします。
２試合目からの結果を書くと
Ａ・・・Ａが２勝
＝Ａ・・・Ａが２勝
ＢＡ・・・Ａが２勝
＝ＢＡ・・・Ａが２勝
Ｂ＝Ａ・・・Ａが２勝
＝Ｂ＝Ａ・・・Ａが２勝
ＢＢ・・・Ｂが２勝
＝ＢＢ・・・Ｂが２勝
Ｂ＝Ｂ・・・Ｂが２勝
＝Ｂ＝Ｂ・・・Ｂが２勝
の１０通りです。

もう少し、要領よくすると、引き分けがないとすると、
Ａ　・・・(1)
ＢＡ　・・・(2)
ＢＢ　・・・(3)
です。
(1) の場合は、Ａの前に＝が付く場合と付かない場合の２通り。
(2)(3) の場合は、１つ目の文字の前に＝が付くか付かないかの２通り。
その２通りそれぞれについて、２つ目の文字の前に＝が付くか付かないかの２通り。
積の法則により　２×２＝４通り
合わせて　２＋４＋４＝１０　(通り)
　
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34111．Re: 数A。教えてください。
名前：なお　高１    日付：10月1日(月) 16時35分
ありがとうございます！
Ａ・・・Ａが２勝
＝Ａ・・・Ａが２勝
ＢＡ・・・Ａが２勝
＝ＢＡ・・・Ａが２勝
Ｂ＝Ａ・・・Ａが２勝
＝Ｂ＝Ａ・・・Ａが２勝
ＢＢ・・・Ｂが２勝
＝ＢＢ・・・Ｂが２勝
Ｂ＝Ｂ・・・Ｂが２勝
＝Ｂ＝Ｂ・・・Ｂが２勝
の１０通りです。
どうして↑こうなるのですか？

34113．Re: 数A。教えてください。
名前：ヨッシー    日付：10月1日(月) 19時2分
なぜ、そういう疑問を持つのかと、よく見たら、
＞A-Bときたら引き分けなので
の解釈が違いますね。
それは、１勝１敗というだけで引き分けとは言いません。
　
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34115．Re: 数A。教えてください。
名前：ひろ　高1    日付：10月1日(月) 19時43分
ありがとうございます☆
そうなんですか？！では引き分けとはどういうときでしょうか？

34117．Re: 数A。教えてください。
名前：ヨッシー    日付：10月1日(月) 20時33分
たとえば、野球などの試合で、
Ａが２点、Ｂが１点だと、Ａの勝ち。
Ａが２点、Ｂが３点だと、Ｂの勝ち。
Ａが２点、Ｂが２点だと、引き分け。
です。
引き分けが２試合続くことはないというのが、この問題の条件です。
　
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34134．Re: 数A。教えてください。
名前：なお　高1    日付：10月2日(火) 21時43分
ありがとうございます！
たとえば、野球などの試合で、
Ａが２点、Ｂが１点だと、Ａの勝ち。
Ａが２点、Ｂが３点だと、Ｂの勝ち。
Ａが２点、Ｂが２点だと、引き分け。
です。
↑このように教えてくださったのですがＡが２点、Ｂが２点だと、引き分け。
とありますが先に2勝したほうが優勝なのに両方2点、2点というのはどういうことでしょうか？すいません。なんか混乱してしまって・・

34136．Re: 数A。教えてください。
名前：ヨッシー    日付：10月2日(火) 23時14分
１点取ることと、１勝することは違いますよ。
野球とかサッカーはご覧になりませんか？
相撲だけですか？
　
http://yosshy.sansu.org/

34139．Re: 数A。教えてください。
名前：なお　高1    日付：10月3日(水) 15時23分
お答えいただきありがとうございます！
サッカーや野球は見ないですね・・相撲も見ないです。
すいません。本当に。そういうのわからなくて。

34051．数列  
名前：ひな    日付：9月27日(木) 13時12分
a1=1,a2=3,an=4an-1-3an-2(n≧3)のときのanを求めよ。
この問題の解答の書き方が、解りません。
どなたか解る方教えてください？
自分の解答
an=4an-1-3an-2を変形して
an-an-1=3(an-1-an-2),bn=an+1-anとおくと
b1=a2-a1=2,公比が3の等比数列なので(ここから下が×)
bn=2.3n-1というのは、an-an-1=2.3n+1-1ということなので
anの階差数列は2.3n+1-1よって、階差数列の公式より
an=3n-1


34052．Re: 数列
名前：七    日付：9月27日(木) 13時53分
a1＝1，a2＝3，an＝4an－1－3an－2 (n≧3)

an＝4an－1－3an－2
より
an－3an－1＝an－1－3an－2＝……＝a2－3a1＝0
したがって {an} は初項1公比3の等比数列だから
an＝3n－1
の方が簡単ですね。

34053．Re: 数列
名前：ひな    日付：9月27日(木) 14時41分
すみません。
もう少し詳しく知りたいのですが！

34054．Re: 数列
名前：七    日付：9月27日(木) 14時59分
an＝4an－1－3an－2
より
an－3an－1＝an－1－3an－2
はわかりますか？

この式は，第n項から第n－1項の3倍を引いた値は常に等しいことを表しますから，順にnを減らしていって
an－3an－1＝an－1－3an－2＝an－2－3an－3＝……＝a2－3a1＝3－3･1＝0
となり，
その第n項から第n－1項の3倍を引いた値は0ということになります。
an－3an－1＝0
an＝3an－1
したがってこの数列は公比3の等比数列です。

34045．二次関数  
名前：まりな    日付：9月25日(火) 22時44分
２次方程式Ｘ^2－(a＋1)x＋a＋1が1＜x＜３の範囲に異なる2つの解をもつとき、(　)＜a＜(　)である。

教えてください(≧Å≦)


34046．Re: 二次関数
名前：gaku    日付：9月25日(火) 23時35分
多分 x^2-(a+1)x+a+1=0　ですね。
グラフを使って考えます。
f(x)=x^2-(a+1)x+a+1　とおきます。
問題の意味を，このグラフが1<x<3でx軸と共有点が2つあるときと
読み替えると，y=f(x)には条件を条件が条件が積み重なっていく。
①f(x)=0の判別式がD>0　②軸が1より大きく3より小さい　③f(1)>0かつf(3)>0
この3つの条件を満たせばよいからaの範囲が決まっていくと思います。
こちらの計算では，3<a<7/2となりました。

34047．ありがとうございます！
名前：まりな    日付：9月26日(水) 0時39分
すみません(>_<)
x^2-(a+1)x+a+1=0　でした。
間違いに気づいてくださって、ありがとうございます。
3つの条件で問題を解きました。
私も計算をしたら、3<a<7/2になりました。

すごく分かりやすい説明でした！
本当にありがとうございました(≧∀≦)！

34042．小六算数  
名前：亜季    日付：9月25日(火) 21時42分
　　　　　　　　　遠足の計画を立てています。　　　　　　　　　　１人分120円の電車で行く場合と160円で行くバスの場合とでは、費用が1000円違うそうです。　　　遠足に行く人数は、何人でしょう。　　　　誰か教えてください。　　　　　　　　　　


34044．Re: 小六算数
名前：Kurdt    日付：9月25日(火) 21時53分
こんばんは。

行く人が１人だとすると、差額は40円。
行く人が２人だとすると、差額は80円。
行く人が３人だとすると、差額は120円。

行く人が１人増えるたびに差額は40円ずつ増えます。
したがって答えは 1000÷40=25人 となります。
http://fairytale.holy.jp/

34040．複素数  
名前：Rei    日付：9月24日(月) 23時17分
C[0]={1-t^2+ti:-1≦t≦1},C[1]={cost+isint:-π/2≦t≦π/2}
を図示せよ.

すみません…どなたか教えてください。


34041．Re: 複素数
名前：ヨッシー    日付：9月24日(月) 23時50分
複素数平面上で、実部をｘ軸、虚部をｙ軸に取ります。
C[0]
　ｘ＝１－ｔ^2
　ｙ＝ｔ
より、
　ｘ＝１－ｙ^2　-1≦t≦1

C[1]
　ｘ＝cosｔ
　ｙ＝sinｔ　-π/2≦t≦π/2
以上より、下のような図になります。

　
http://yosshy.sansu.org/

34038．二項定理  
名前：みほ    日付：9月24日(月) 22時50分
[ｘ＋（１／ｘ）]＾１０を展開したとき、定数項は２５２であり、１／ｘ＾２の項の係数は２１０である。このことから、１０．１＾１０の一の位の数はＡであることがわかる。
Ａをもとめよ。
読みにくいかもしれませんが解答おねがいします♪


34039．Re: 二項定理
名前：ヨッシー    日付：9月24日(月) 23時10分
(x+1/x)^10
　＝x^10＋・・・＋252x^5(1/x)^5＋210x^4(1/x)^6＋・・・＋(1/x)^10
と展開されます。
ここで、ｘ＝１０　とおくと、
10.1^10
　＝10^10＋・・・＋252・10^5・(1/10)^5＋210・10^4・(1/10)^6＋・・・＋(1/10)^10
　＝10^10＋・・・＋252＋210・0.01＋・・・＋(1/10)^10
となり、１の位に関する部分は
　252＋210・0.01
であり、それ以外は100以上の位か、0.0001以下の位になります。
よって、１の位は　２＋２＝４　です。
　
http://yosshy.sansu.org/

34037．確率  
名前：カナリア    日付：9月24日(月) 20時32分
ある硬貨を８回投げたところ、表が７回、裏が１回出た。この硬貨について「表が出る確率が1/2である」という仮説を有意水準5%で検定せよ。

どなたか、教えてください。

34034．また質問です。  
名前：なお　高１    日付：9月24日(月) 18時14分
cos180°,tan180°の比を求めよ。という問題なんですが求め方を教えてください！

三角比の相互関係
tanθ＝sinθ/cosθ
sin^2θ＋cos^2θ＝1
1＋tan^2θ＝1/cos^2θ
なぜ、鈍角の場合も上の公式が成り立つのでしょうか？


34036．Re: また質問です。
名前：ヨッシー    日付：9月24日(月) 18時30分
cos180°,tan180°を求めよ。　または
cos180°,tan180°の値を求めよ。　ではなくて、比を求めよなのですか？

ちなみに cos180°＝－１，tan180°＝０　です。

もう、鈍角では、直角三角形は使わずに、単位円での三角比の定義を
使うと言うのは、理解されたと思っていいですか？

その上で、もう一度定義ですが、
単位円上で、点（１，０）から原点の周りに反時計回りに、角度θだけ
回転した点をＡ（ｘ、ｙ）とするとき、
　sinθ＝ｙ
　cosθ＝ｘ
　tanθ＝ｙ／ｘ　ただし、ｘ＝０のときは定義しない
とします。

何度も言いますが、上に書いてあるような、相互関係も含めて、
鋭角のときに直角三角形を使って成り立つことを認めた諸々の
性質が成り立つように、上の定義を決めたのです。
ですから、これらの性質は成り立つことは織り込み済みの定義なので、
成り立つに決まっているのです。

と言っても、納得しないと思いますので、あえて、解説します。

tanθ＝sinθ/cosθ
　sinθ＝ｙ
　cosθ＝ｘ
　tanθ＝ｙ／ｘ
なので、明らかに成り立ちます。ただし、cosθ≠０

sin^2θ＋cos^2θ＝1
　sinθ＝ｙ
　cosθ＝ｘ
および、点（ｘ、ｙ）は、単位円上の点なので、
　ｘ^2＋ｙ^2＝１
以上より、明らかに　sin^2θ＋cos^2θ＝1　が成り立ちます。

1＋tan^2θ＝1/cos^2θ
　sin^2θ＋cos^2θ＝1 の両辺を、cosθで割ると、
　(sinθ/cosθ)^2＋１＝１/cos^2θ
sinθ/cosθ＝tanθ　なので
　tan^2θ＋１＝1/cos^2θ
　
http://yosshy.sansu.org/

34048．Re: また質問です。
名前：なお　高1    日付：9月26日(水) 19時55分
ありがとうございます。
cos180°,tan180°の比を求めよではなく、cos180°,tan180°=□とあり□をうめよ。という問題です。

また質問させていただきます。
>もう、鈍角では、直角三角形は使わずに、単位円での三角比の定義を
使うと言うのは、理解されたと思っていいですか？
正直まだ微妙です。
なぜ点Pのｙ座標はsinθ、x座標はcosθ、になるのでしょうか？前に質問しているのですが。
そして、鈍角でも鋭角でも、180°を超えた角であっても、
三角比の定義が成り立つという確証がほしいのです。

34049．Re: また質問です。
名前：ヨッシー    日付：9月26日(水) 20時24分
点Pのｙ座標はsinθ、x座標はcosθ、になるのではなく、
点Pのｙ座標をsinθ、x座標をcosθ、とするのです。

なお　高１ さんの質問は、
「なぜ平行四辺形の向かい合う辺は平行なのですか？」
というのと同じです。
決め事に対して「なぜ」と言われても答えようがありません。

＞三角比の定義が成り立つという確証がほしいのです。
成り立つも何もこれが定義です。
　
http://yosshy.sansu.org/

34050．Re: また質問です。
名前：なお　高1    日付：9月26日(水) 22時49分
そうですか。ありがとうございます！

34028．混合溶液  
名前：マリオ    日付：9月24日(月) 13時31分
化学についての質問があります。
モル濃度がそれぞれx、y(mol/l)硫酸と塩酸の混合溶液1リットルがある場合、この溶液中の水素イオンの合計の物質量は1×x×2 + 1×y×1と硫酸、塩酸がともに1ℓあるという感じで計算できるのはなぜですか。個人的には混合溶液中の硫酸と塩酸の比がわからないと無理なような気がするのですが。


34029．Re: 混合溶液
名前：ヨッシー    日付：9月24日(月) 13時44分
x、y(mol/l)の硫酸と塩酸を、適当に混ぜて１Lの溶液を作ったのではなく、
混ぜて作った１Ｌの溶液の、硫酸、塩酸の濃度が、ｘ、ｙ だと言っているのではないでしょうか？
　
http://yosshy.sansu.org/

34025．中3　入試問題  
名前：くみ    日付：9月24日(月) 11時59分
Original Size: 240 x 320, 6KB

問題
図1のような直方体の空の水槽がある。この水槽の両サイドには
段差があり、段差の部分は浴槽の端から端まで隙間のない
直方体である。これに毎分一定の割合で水を入れていったところ
125分で満水になった。図2は水を入れ始めてからの時間をx分、
水の深さをycmとして、xとyの関係をグラフに表したものである。
このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
低いほうの段差をacmとするとき、aの値を求めなさい。

という問いなのですが、2時間考えてもわかりませんでした。
見にくい図ですが、詳しく解き方を教えて欲しいです！
宜しくお願いします！


34026．Re: 中3　入試問題
名前：くみ    日付：9月24日(月) 12時1分
図はクリックしたほうがちょっとは見やすいかもしれません(´・ω・｀)

34027．Re: 中3　入試問題
名前：ヨッシー    日付：9月24日(月) 13時20分

図の各部分の寸法、グラフの横軸の数値、縦軸の数値を書き上げてください。

読み誤った数値で解いても、またやり直しになるので。
　
http://yosshy.sansu.org/

34030．Re: 中3　入試問題
名前：くみ    日付：9月24日(月) 15時10分
やっぱり見にくかったですね；
すみません。

ヨッシーさんの図の記号を使わさせてもらいます。
a=acm
b=60cm
c=40cm
d=40cm
e=200cm
f=150cm

グラフの縦軸
上から順に60,34,a

グラフの横軸
原点から右に24,60,125

34032．Re: 中3　入試問題
名前：ヨッシー    日付：9月24日(月) 18時11分
ｆはたぶん使わないでしょう。
　１：高さ０からａ　の　24分間
　２：高さａから34　の　36分間
　３：高さ34から60　の　65分間
の３段階で、底面積がそれぞれ違い、その比は、
　１２０：１６０：２００＝３：４：５
深さの増える速さは、底面積の逆比になって、
　1/3：1/4：1/5＝20:15:12
３の段階で１分間に
　(60-34)÷65＝０．４
深さが増えているので、２の段階では１分間に
　0.4×(15/12)＝０．５
の速さで深くなります。
３６分間では、
　36×0.5＝18
だけ深くなるので、ａの深さは
　３４－１８＝１６
です。

ちなみに、１の段階では、
　0.4×(20/12)＝2/3
の速さで深くなり、24分間では、
　24×(2/3)＝１６
となり、つじつまが合います。
　
http://yosshy.sansu.org/

34022．高１　命題と論証  
名前：まり    日付：9月24日(月) 8時49分
(1)実数x,yについて次の命題の真偽を調べよ。
(ア)「x^2=y^2 ならば x=yである」
(イ)「xy=0 ならば x^2＋y^2=0」
(ウ)「lx=3l<1 ならば 2x^2＋x－1>0」
(エ)「xy≠6 ならば x≠2またはy≠3」
(2)命題「a=0かつb=0ならばab=0」について、逆は(　)、裏は(　)、対偶は(　)である。

(1)は反例も添えて教えていただきたいです。
よろしくお願いします。


34024．Re: 高１　命題と論証
名前：ヨッシー    日付：9月24日(月) 10時32分
(1)
(ア) ２乗した数どうしが等しければ、元の数どうしも等しいでしょうか？
　ｘ^2＝４　を解いてみましょう。何か気づきませんか？
(イ) ｘｙ＝０ を満たす、ｘ、ｙの組を、最低２つ挙げて下さい。
　それらは、必ず x^2＋y^2=0 を満たすでしょうか？
　満たさなければ、それが反例になります。
(ウ) lx=3l<1 の式が間違っています。

(エ) 真です。


(2)
Ａ：a=0かつb=0
Ｂ：ab=0
とします。
Ａの否定を書いてください。
Ｂの否定を書いてください。
これが出来ないと始まりません。　
　
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34031．Re: 高１　命題と論証
名前：まり    日付：9月24日(月) 17時22分
ありがとうございます。
申し訳ないです･･･。
(ウ)は「lx－3l<1 ならば 2x^2＋x－1>0」
でした。(＞＜)

本当すみません。

34035．Re: 高１　命題と論証
名前：ヨッシー    日付：9月24日(月) 18時17分
（ウ）lx－3l＜1 ならば 2x^2＋x－1＞0 において、
lx－3l＜1 が表すｘの範囲は、
ｘ＜３　のとき
　３－ｘ＜１　より、２＜ｘ＜３
ｘ≧３　のとき
　ｘ－３＜１　より、３≦ｘ＜４
以上より、　２＜ｘ＜４　・・・(i)

2x^2＋x－1＞0　が表すｘの範囲は
　(2x-1)(x+1)＞０
より、　ｘ＜－１　または　ｘ＞1/2　・・・(ii)

(i) の範囲にあるｘは、必ず(ii)の範囲にあると言えるでしょうか？
　
http://yosshy.sansu.org/

34043．Re: 高１　命題と論証
名前：まり    日付：9月25日(火) 21時44分
本当にありがとうございます。
理解できました(^∀^)

34017．小６です。  
名前：aaa    日付：9月23日(日) 23時17分
重さの異なる４つの荷物A.B.C.Dがあります。BはCより重く、AとDの重さの和は、BとCの重さの和に等しいです。また、あとAとBの重さの和は、CとDの重さの和より少ない事がわかっています。重さの重たい順に並べると、どうなりますか？
　説明つきで教えてください。。。


34018．Re: 小６です。
名前：ヨッシー    日付：9月23日(日) 23時26分
BはCより重く、AとDの重さの和は、BとCの重さの和に等しいです。
このことから、重い順に
　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ
　Ｄ，Ｂ，Ｃ，Ａ
　Ｂ，Ａ，Ｄ，Ｃ
　Ｂ，Ｄ，Ａ，Ｃ
のいずれかとわかります。
４つの異なる重さの荷物があるとき、ある２個と、残る２個が同じ重さになるのは、
一番重いものと一番軽いものの和と、あいだの２つの和を比べたときしかないからです。

このうちで、
AとBの重さの和は、CとDの重さの和より少ない
を満たすのは、
　Ｄ，Ｂ，Ｃ，Ａ
だけとなります。
　
http://yosshy.sansu.org/

34019．Re: 小６です。
名前：aaa    日付：9月23日(日) 23時42分
あっ!!!わかりました!!!!教えて下さってありがとうございます!!!!!!

34020．Re: 小６です。
名前：aaa    日付：9月23日(日) 23時48分
すいません。。。もう1問教えて下さい。。。
４つの異なる整数A.B.C.Dについて、次の事がわかっています。
（ア）小さい方から順に、A.B.C.Dである。
（イ）AとBの和が22で、BとCの和は、26である。
（ウ）B.C.Dの平均は、Cより小さい。
(1)（ア）、（イ）からBはいくつとわかりますか。
(2)Dはいくつですか。

34021．Re: 小６です。
名前：Kurdt    日付：9月24日(月) 0時0分
こんばんは。

「AとBの和が22」から、Bは11より大きい（B＞11）とわかります。
もし11以下なら、AがBより小さいことにならないからです。
次に「BとCの和は26」から、Bは13より小さい（B＜13）とわかります。
もし13以上なら、BがCより小さいことにならないからです。

したがって、Bは12であることがわかります。
ここからA=10、C=14であることも求まりますね。

「B, C, Dの平均は、Cより小さい」は「B, C, Dの和はCの3倍より小さい」と言い換えられます。
B, C, Dの和は26+D、Cの3倍は42となります。
この26+Dが42より小さくなることから、Dは42-26=16より小さいとわかります。

DはC(14)よりも大きく、16よりも小さいので15と求められますね。
http://fairytale.holy.jp/

34023．Re: 小６です。
名前：aaa    日付：9月24日(月) 9時53分
よくわかりました!!!!!!!!ありがとうございます!!!

34010．平面図形　（高１）  
名前：ゆう    日付：9月23日(日) 18時9分
解き方が分かりません。考え方を詳しく教えてください。

△ABCの３辺BC,CA,ABをそれぞれ1：2の比に内分する点をL,M,Nとし、
ALとCNの交点をP、ALとBMの交点をQ、BMとCNの交点をRとするとき、
　
（1）BR:RMを求め、△BCRの面積と△ABCの面積の比を求めよ。
（2）△PQRの面積と△ABCの面積の比を求めよ。

答えは　
（1）BR:RM=6:1
△BCR:△ABC=2:7
（2）△PQR：△ABC=1:7 です。


34011．Re: 平面図形　（高１）
名前：ラディン.ms    日付：9月23日(日) 18時54分
（１）△ＢＭＡと直線ＮＣでメネラウスの定理より
(NB/AN)･(RM/BR)･(CA/MC)=1　　∴　2･(RM/BR)･3=1 ∴　RM/BR=1/6
すなわち　BR:RM=6:1
よって　△ＢＣＲ＝(6/7)△BCM=(6/7)･(1/3)△ＡＢＣ＝(2/7)△ＡＢＣ
すなわち　△BCR:△ABC=2:7
（２）（１）と同様に　△ＢＣＲ＝△ＢＱＡ＝△ＡＰＣ＝(2/7)△ＡＢＣ
よって　△ＰＱＲ＝△ＡＢＣ-△BCR-△BQA-△APC={1-(2/7)･3}△ABC=(1/7)△ＡＢＣ
すなわち　△PQR：△ABC=1:7

34013．Re: 平面図形　（高１）
名前：教得手　学    日付：9月23日(日) 19時36分
(1) メネラウスの定理をご存知なら。
　(ＢＮ/ＮＡ)×(ＡＣ/ＣＭ)×(ＭＲ/ＲＢ)＝１
をつかえば、すぐに　ＢＲ：ＲＭ＝６：１　が求まるのですが、ご存知
でなければ,次のような解法になります。

Ｍを通りＡＢに平行な直線を引き、ＣＮとの交点をＳとし、ＭＳ＝[１]とします。
ＭＳとＡＮは平行で、ＭＣ：ＣＡ＝１：３ より、ＡＮ＝３ＭＳ＝[３]
すると、ＢＮ＝２ＡＮ　より、ＢＮ＝[６]
△ＢＲＮ∽△ＭＲＳ ,ＭＳ：ＢＮ＝１：６ より
ＭＲ：ＢＲ＝１：６

このことより、△ＢＣＲ＝△ＢＣＭ×(6/7)
また、ＣＭ：ＣＡ＝１：３ より、△ＢＣＭ＝△ＡＢＣ×(1/3)
よって、△ＢＣＲ＝△ＡＢＣ×(1/3)×(6/7)＝△ＡＢＣ×(2/7)
　　∴　△ＢＣＲ:△ＡＢＣ＝２：７

(2) 同様にして、△ＢＡＰ＝△ＡＢＱ＝△ＡＢＣ×(2/7)
　よって、△ＰＱＲ＝△ＡＢＣ－(△ＢＣＲ＋△ＢＡＰ＋△ＡＢＱ)　
　　　　　＝△ＡＢＣ×(1－6/7)
　　∴　△ＰＱＲ：△ＡＢＣ＝１：７　となります。

34014．Re: 平面図形　（高１）
名前：教得手　学    日付：9月23日(日) 19時38分
ラディンさん、すみません。かぶってしまいました。

34015．Re: 平面図形　（高１）
名前：ゆう    日付：9月23日(日) 20時34分
とても助かりました(e^u^e)
回答してくださった方々ありかとうございました!!

34007．不等式の証明（高１）  
名前：頑張るぞ＊数学＊    日付：9月23日(日) 16時16分
（１）a,bをa<b,1/a+1/bを満たす任意の自然数とするとき、1/a+1/bの最大値が5/6であることを証明せよ（２）a,b,cをa<b<c,1/a+1/b+1/c<1を満たす任意の自然数とするとき、1/a+1/b+1/cの最大値が41/42であることを証明せよという問題です。これはあてはまる自然数をすべてあげて代入するぐらいしか思いつきません。もっとほかに証明の仕方があれば教えてください。


34009．Re: 不等式の証明（高１）
名前：らすかる    日付：9月23日(日) 17時21分
(1)
「1/a+1/bを満たす」が「1/a+1/b＜1を満たす」の誤りならば、
a=1 のとき 1/a+1/b＞1 となり不適。
a=2,b=3 のとき 5/6 となる。
1/nはnが小さいほど大きいので、
a=2,b＞3 のとき 1/a+1/b＜1/2+1/3=5/6 なので5/6より小さい。
a＞2 のとき b＞3 となり、 1/a+1/b＜1/2+1/3=5/6 なので5/6より小さい。
よって5/6が最大。

(2)
a=1は(1)と同様、不適。
a=2,b=3のとき条件を満たして最大となるのはc=7の場合で、このとき41/42。
a=2,b=4のとき条件を満たして最大となるのはc=5の場合で、このとき19/20。
a=2,b＞4のとき 1/a+1/b+1/c＜1/2+1/4+1/5=19/20 なので19/20より小さい。
a＞2のときb＞3,c＞4となり、この場合の最大値はa=3,b=4,c=5のときの47/60。
41/42＞19/20＞47/60なので、41/42が最大。

こういうふうに証明したということでしょうか。
「もっと簡単に証明する方法」は、なさそうに思います。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

34055．Re: 不等式の証明（高１）
名前：頑張るぞ＊数学＊    日付：9月27日(木) 18時33分
有難うございます。　場合わけも良く分かりました。

34004．(untitled)  
名前：たんぽぽ    日付：9月23日(日) 9時17分
分かりました。ありがとうございました。

33999．高２です。数列  
名前：たんぽぽ    日付：9月22日(土) 23時9分
等比数列がある。その第P項から第Q項までの和が常に第（P-1）項と第Q項の差に等しいという。公比を求めよ。但し１＜P＜Qである。



絶対ありえないのに、どうしても公比が１とでてしまいます。
お願いします。


34000．Re: 高２です。数列
名前：ヨッシー    日付：9月22日(土) 23時31分
｢常に｣と書いてあるので、適当な数で当たりをつけましょう。
第１，２，３項を、ａ，ａｒ，ａｒ^2 とします。
第２項から第３項の和は、第３項と第１項の差に等しいので、
　ａｒ＋ａｒ^2＝|ａｒ^2－ａ|
ａ＝０　だと、この問題自体意味がなくなるので、ａ≠０　とします。
両辺ａで割って、
　ｒ＋ｒ^2＝|ｒ^2－１|
ｒ^2≧１　のとき、
　ｒ＋ｒ^2＝ｒ^2－１
　ｒ＝－１
ｒ^2＜１　のとき
　ｒ＋ｒ^2＝１－ｒ^2
　ｒ＝1/2

ｒ＝－１　だとすると、数列
　１，－１，１，－１
において、第２項から第４項の和－１と第１項と第４項の差２と一致しないので不適。

ｒ＝1/2 とすると、初項ａとすると、
第Ｐ項　ａ(1/2)^(P-1) から 第Ｑ項 ａ(1/2)^(Q-1) までの和は、
　Ｓ＝ａ(1/2)^(P-1)＋・・・＋ａ(1/2)^(Q-1)
　２Ｓ＝ａ(1/2)^(P-2)＋・・・＋ａ(1/2)^(Q-2)
下式から上式を引いて、
　Ｓ＝ａ(1/2)^(P-2)－ａ(1/2)^(Q-1)
これは、第Ｐ－１項　ａ(1/2)^(P-2)　と　 第Ｑ項 ａ(1/2)^(Q-1)　の
差に等しく、題意を満たします。

答え　公比は1/2
　

　


　
http://yosshy.sansu.org/

34002．Re: 高２です。数列
名前：たんぽぽ    日付：9月23日(日) 7時21分
ａｒ＋ａｒ^2＝|ａｒ^2－ａ|
で絶対値をつける意義というのはどういったことなのでしょうか？

34003．Re: 高２です。数列
名前：ヨッシー    日付：9月23日(日) 9時10分
「差」と言っているので、大きい方から小さいほうを引きますが、
この時点では、第Ｐ－１項と第Ｑ項(この場合は、第１項と第３項)の、
どちらが大きいかわからないので、絶対値を付けておいて、
そのあと、ｒの大きさによって場合分けしています。

最初から、
ｒ^2≧１ のときは、第１項≦第３項なので、
　ａｒ＋ａｒ^2＝ａｒ^2－ａ
ｒ^2＜１ のときは、第１項＞第３項なので、
　ａｒ＋ａｒ^2＝ａ－ａｒ^2
と書いても同じことです。
　
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33996．コンビネーションの計算　２項定理？  
名前：はじめ    日付：9月22日(土) 18時35分
高３です。
{nC0}^2+{nC1}^2+{nC2}^2+・・・・+{nCn}^2
の計算の方法について教えてください。


33998．Re: コンビネーションの計算　２項定理？
名前：らすかる    日付：9月22日(土) 22時14分
(1+x)^n・(1+x)^n=(1+x)^(2n)
この恒等式のx^nの項の係数は
左辺
nC0・nCn+nC1・nC(n-1)+…+nCn・nC0
=nC0・nC0+nC1・nC1+…+nCn・nCn
=(nC0)^2+(nC1)^2+…+(nCn)^2
右辺
(2n)Cn
よって
(nC0)^2+(nC1)^2+…+(nCn)^2=(2n)Cn
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33990．場合の数  
名前：涼子    日付：9月22日(土) 16時5分
こんにちは。
高３です。どなか次の問いについてお教え下さい。

４つの数字１、２、３、４だけからなるn桁の自然数全体の集合をUとする。
１）１が現れないUの要素の個数を求めよ。
２）１、２、３の３個の数字のどれもが少なくとも１回現れるUの要素の個数を求めよ。

（１）は、3^nであっていますか？？
問題は、（２）なのですが、これがなかなか方針が見えません。
１がある要素、２がある要素、３がある要素の共通部分を求めればいいんですよね...

簡単な問いでしたらたいへん恐縮です。なにとぞよろしくお願い致します。


33993．Re: 場合の数
名前：らすかる    日付：9月22日(土) 16時42分
(1,2,3の3個の数字のどれもが少なくとも1回現れる)
=(全体)-(1,2,3のうち現れない数字がある)
=(全体)-(1を含まない)-(2を含まない)-(3を含まない)
　+(1と2を含まない)+(2と3を含まない)+(3と1を含まない)
　-(1と2と3を含まない)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33994．Re: 場合の数
名前：チョッパ    日付：9月22日(土) 16時50分
すみません。
間違ったレスをつけてしまったので削除しました。

33995．Re: 場合の数
名前：涼子    日付：9月22日(土) 17時5分
らすかるさん、チョッパさん、早速ご返信ありがとうございます。

らすかるさん。
式の意味はわかりました。
それでは、4^n-3^(n+1)+3×2^n-1となったのですが、これであっていますか。

33997．Re: 場合の数
名前：ヨッシー    日付：9月22日(土) 19時21分
合ってますね。
　
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34001．Re:
名前：涼子    日付：9月23日(日) 1時39分
らすかるさん、どうもありがとうございました。
とっても助かりました。

33982．小学六年生  
名前：さとる    日付：9月22日(土) 10時57分
続き
途中切れてしまいました
問題２
２時と３時の間で、長針と短針のつくる角が、ちょうど２時のときの
長針と短針のつくる角の２倍になるのは、２時何分と２時何分ですか
答え
３２十一分の八分
５４十一分の六分


33984．Re: 小学六年生
名前：コッチェビ    日付：9月22日(土) 12時48分
長針の短針に対する相対角速度は330度/時なので
60*180/330分と60*300/330分が答えになります。

33985．Re: 小学六年生
名前：さとる    日付：9月22日(土) 13時22分
コッチェビ様へ
ご回答ありがとうございました

33986．Re: 小学六年生
名前：ヨッシー    日付：9月22日(土) 13時23分
まず、２時のときの長針と短針の角度は６０°です。
２倍の角といえば、１２０°ですが、長針と短針の角がそうなるのは、
長針が１２の位置をスタートして、
　短針に追いつき（６０°差を縮めた）
　さらに 120°差をつけたとき　・・・　Ａ
と、
　さらに 120°差をつけたとき　・・・　Ｂ　差は240°で、残りの角が120°
の２箇所です。
２時ちょうどから、Ａの時刻までに、長針は短針より
　６０＋１２０＝１８０°
多く進んでいます。また、Ｂの時刻までに、
　６０＋１２０＋１２０＝３００°
多く進んでいます。
１分間に長針は６°、短針は0.5度進むので、
１分間に長針は短針より5.5°多く進みます。

Ａの時刻
　180÷5.5＝360/11＝32と8/11　２時32と8/11分
Ｂの時刻
　300÷5.5＝600/11＝54と6/11　２時54と6/11分

こちらの、「時計算」もご覧ください。
　
http://yosshy.sansu.org/

33988．Re: 小学六年生
名前：さとる    日付：9月22日(土) 13時28分
ヨッシー 先生へ
和算目録のほうは全て印刷して勉強させていただいてます。
ただ応用問題がくるとどうしても足が止まってしまって‥
ご回答ありがとうございました。

33989．Re: 小学六年生
名前：ヨッシー    日付：9月22日(土) 13時47分
恐れ入ります。
　
http://yosshy.sansu.org/

33980．小学六年生  
名前：さとる    日付：9月22日(土) 10時52分
またわからなく考え方よろしくお願いいたします
問題１）
１周１２０ｍのプールがあります。Ａ君はスタートの位置から
水の流れに乗って泳ぎ始めます。それと同時にスタートの位置から
浮き輪を流したところ、ちょうど１．５周泳いだところで浮き輪に
追いつきました。また、Ａ君が水の流れに逆らって泳いだところ、
１周泳ぐのに６分かかりました。次の各問いに答えなさい
ただしＡ君が静水で泳ぐ速さは一定であるとします。
①Ａ君が静水で泳ぐ速さは、プールの水が流れる速さの何倍ですか
②プールの水が流れる速さは毎分何ｍですか
③Ａ君が水の流れにのって１周泳ぐのに何分かかりますか
答え
①２倍
②毎分２０ｍ
③２分

問題２


33983．Re: 小学六年生
名前：コッチェビ    日付：9月22日(土) 12時43分
①プールの水の流れの速さ　＝　浮輪の流れる速さ　です。
＞ちょうど１．５周泳いだところで浮き輪に追いつきました
という文章から、浮輪が１流れたとき、Ａ(敬称略)は３泳いだことになる。同じ時間内で３倍の距離を流れたのだから速さは３倍になりますが、水の流れの速さがこれに加わっているので３から１を引きまして２となり、答えは２倍となります。
②　①より、Ａの静水時の速さは水の流れの２倍であることがわかりました。水の速さが１だとするとＡの速さは２です。水の流れに逆らって泳ぐと２-1で１の速さになります。これは水の流れの速さに等しいので
120m/6分を計算して20m/分となる。
③Ａが水の流れにのると速さは水の流れの３倍になります。
６分÷３で２分が答えとなります。

33987．Re: 小学六年生
名前：さとる    日付：9月22日(土) 13時23分
コッチェビ様へ
ご回答ありがとうございました

33977．高１範囲  
名前：数学を得意になりたい＊    日付：9月21日(金) 22時3分
a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,ac+bd=1のとき、ad-bc,a^2+d^2,b^2+c^2の値を求めよ　　という問題です。解答は０、１、１です。どういう風に式を変形させていったらよいでしょうか？どなたか、お願いします。


33978．Re: 高１範囲
名前：チョッパ    日付：9月21日(金) 22時41分
a2＋b2＋c2＋d2－2(ac＋bd)＝1＋1－2

(a－c)2＋(b－d)2＝0

a＝c かつ　b＝d

これを用いてみてください。

33991．Re: 高１範囲
名前：チョッパ    日付：9月22日(土) 16時6分
ad－bc＝ad－ad＝ 0

a2＋d2＝a2＋b2＝ 1

b2＋c2＝d2＋c2＝ 1

＃これで如何でしょうか？

34006．Re: 高１範囲
名前：数学を得意になりたい＊    日付：9月23日(日) 16時1分
有難うございました。分かりました。☆

33973．三角比  
名前：なお　高１    日付：9月21日(金) 15時55分
なぜ、鋭角の三角比の定義が鈍角のときも成り立つのでしょうか?


33974．Re: 三角比
名前：ヨッシー    日付：9月21日(金) 17時15分
鋭角の三角比の定義とは、何を言うのでしょうか?
私の解釈では、∠Ｂが直角の直角三角形ＡＢＣがあるとき、
　sin∠Ａ＝ＢＣ／ＡＣ
　cos∠Ａ＝ＡＢ／ＡＣ
　tan∠Ａ＝ＢＣ／ＡＢ
というものですが、この範囲では、鋭角以外では成り立ちません。

そこで、単位円を使った、角度の定義と、その三角比の定義を
新たに行い、鋭角の三角比で成り立っていた諸々の性質が
鋭角以外でも成り立つように、定義を広げたのです。
　
http://yosshy.sansu.org/

33975．Re: 三角比
名前：なお　高１    日付：9月21日(金) 20時14分
お答えいただきありがとうございます！
説明不足ですいません。三角比の関係ではなく下に書いてあることがなぜなのかと疑問に思います。
・鈍角の三角比
原点Ｏを中心とした半径ｒの半円周（ｙ≧0）上の点Ｐの座標が
（ｘ,ｙ）、∠ＰＯＡ=Θとするとき
sinΘ=ｙ/ｒ、cosΘ=ｘ/ｒ、tanΘ=ｙ/ｘと定める。
（ただし、0°≦Θ≦180°でtan90°は考えない）
と参考書にかいてあるのですがどうしてですか。

33976．Re: 三角比
名前：ヨッシー    日付：9月21日(金) 20時39分
「定める」と書いてあるので、これは定義そのものです。

鋭角の三角比しか知らない人にとっては、これが、直角･鈍角への定義の拡張です。

上の記事で、
そこで、単位円を使った、角度の定義と、その三角比の定義を
新たに行い、鋭角の三角比で成り立っていた諸々の性質が
鋭角以外でも成り立つように、定義を広げたのです。
と書いたこと以上の理由はないと思います。
　
http://yosshy.sansu.org/

33979．Re: 三角比
名前：なお　高１    日付：9月22日(土) 10時41分
返答をありがとうございます！
すいません。また訂正します。混乱させて申し訳ありません。
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sankaku/donkaku/image/zahyou1.gif
「上の図のように，点 P'(x,y) が，第２象限(黄色の部分)
にとられたとします。線分 OP' と x 軸となす角を β (x 軸の正の部分を基準とします)とすると，β は第２象限にあるので 鈍角 となり，今まで学習した三角比の定義を適用することができません。」この時，今までの鋭角の三角比の性質を保持しながら，拡張することにします。そこで，次のように定義することにします。
sinａ=ｙ/ｒ、cosａ=ｘ/ｒ、tanａ=ｙ/ｘ
ｒ＞0、0≦ｘ≦ｒ、0≦ｙ≦ｒ
となります。

と別の参考書に書いてあるのですが、「」までは理解できるのですが、
「」以下の文が理解できません。
なぜ、鋭角の三角比の性質を保持することができるのですか？
教えてください！






　

33981．Re: 三角比
名前：七    日付：9月22日(土) 10時57分
＞この時，今までの鋭角の三角比の性質を保持しながら，拡張すること＞にします。そこで，次のように定義することにします。
＞sinａ=ｙ/ｒ、cosａ=ｘ/ｒ、tanａ=ｙ/ｘ
＞ｒ＞0、0≦ｘ≦ｒ、0≦ｙ≦ｒ

の部分は図の鋭角αについての三角比ですから，当然こうなります。
解説はまだ続いていて，そのあとに鈍角βについての三角比に言及しているように思われます。

34005．Re: 三角比
名前：なつ　高1    日付：9月23日(日) 14時29分
答えていただきありがとうございます！
何度も申し訳ありませんが、また質問させていただいてもよろしいですか？
鋭角の三角比の定義では、直角三角形ができ、単位円を使うと、
sinθ=ｙ/1=y、cosθ=ｘ/1=x、tanθ=ｙ/ｘ
となり、sinθはｙ座標、cosθはｘ座標、tanθは傾きとなるので理解できます。
しかし鈍角は、直角三角形ができません。
どうやって、sinθ=ｙ/1=y、cosθ=ｘ/1=x、tanθ=ｙ/ｘを作り出すことが
できるのでしょうか？
ややこしくてすいません。

34012．Re: 三角比
名前：ヨッシー    日付：9月23日(日) 19時8分
直角三角形が出来ないので、直角三角形で三角比を定義するのはやめて、
単位円上の点の座標で定義する方法に変えたのです。
　
http://yosshy.sansu.org/

34016．Re: 三角比
名前：angel    日付：9月23日(日) 21時57分
なおさん = なつさん = みささん でしょうか?
もし、同じ質問を色々な掲示板で同時進行させているのであれば、あなた自身や回答者の混乱を招きかねないので、何箇所どこで質問しているか明記したり、貰った回答や整理した考えのまとめを載せるなりした方が良いと思います。

> 鋭角の三角比の定義では、直角三角形ができ、単位円を使うと、…(中略)…理解できます。
> しかし鈍角は、直角三角形ができません。

直角三角形で考えるのであれば、単位円は忘れた方が良いでしょう。
逆に単位円で考えるのであれば、直角三角形は忘れた方が良いでしょう。
※鋭角の範囲であれば、確かに両方同時に考えても混乱しないでしょうけど。

もし図形的にキッチリ考えたいなら、直角三角形だけに頼らず、余弦定理・正弦定理を元にした方が良いと思います。
つまり、
　∠A を固定した三角形ABC において、
　　(b^2+c^2-a^2)/2bc は一定 ( ∠A によって決まる )、これを cosA とする
　　a/(2r) は一定 ( r は△ABCの外接円の半径 )、これを sinA とする
のように。鋭角の範囲では、直角三角形を使った定義と同じです。

これを元にすれば、鈍角の範囲において、
　cosθ=-cos(180°-θ), sinθ=sin(180°-θ)　( θは鈍角 )
ということも分かります。

…で、この性質を分かりやすく表すには、単位円は正にうってつけです。単位円を持ち出した時点で、もはや直角三角形なりの図形的な話は気にしなくて良くなるのです。

34033．Re: 三角比
名前：なお　高１    日付：9月24日(月) 18時13分
そうですね。
お答えいただきありがとうございます！

33968．小６です  
名前：櫻　井    日付：9月20日(木) 18時49分
正方形のタイルを隙間なく並べて大きな正方形を作ったところ、５７枚のタイルが残りました。残ったタイルで周りを囲み、一回り大きな正方形を作ろうとしたら、必要な枚数の４分の１が足りませんでした。タイルの枚数は何枚ですか？


33969．Re: 小６です
名前：gaku    日付：9月20日(木) 18時59分
最後の一周は4辺のうち三辺までは置けたのだから
57÷3=19
1辺は19枚と考えていけばどうでしょう。

33970．Re: 小６です
名前：ヨッシー    日付：9月20日(木) 19時19分
「1辺は19枚」は、やや危うい表現ですね。

こういう図がイメージ出来てればいいですが。
　
http://yosshy.sansu.org/

33971．Re: 小６です
名前：gaku    日付：9月20日(木) 22時23分
ややどころかかなり危うかったです。
自分自身も1辺19枚のイメージでした。
申し訳ない。

33953．(untitled)  
名前：なtu　高１    日付：9月20日(木) 10時52分
sinΘ+cosΘ=1/3のとき、sinΘcosΘ,cosΘ/sinΘ+sinΘ/cosΘの値を求めよ。
という問題です。
どういうふうに解いていけばいいのかヒントをください。
お願いします！


33954．Re: (untitled)
名前：教得手　学    日付：9月20日(木) 11時33分
２sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)^2－(sin^2θ＋cos^2θ)
ですね。

cosθ/sinθ+sinθ/cosθ　を通分して、上で求めた sinθcosθ の値を使えばどうでしょう。

33955．Re: (untitled)
名前：なtu　高１    日付：9月20日(木) 11時58分
答えてくださってありがとうございます！
２sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)^2－(sin^2θ＋cos^2θ)は公式でしょうか?
また、なぜ↑このようになるのでしょうか？
質問が多くてすいません。

33957．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：9月20日(木) 13時10分
公式として知られているのは、
　(ｘ＋ｙ)^2＝ｘ^2＋ｙ^2＋２ｘｙ
ですね。これを変形したのが、
　２ｘｙ＝(ｘ＋ｙ)^2－(ｘ^2＋ｙ^2)
です。これにさらにｘ＝cosθ、ｙ＝sinθ を入れたものが、上の式です。
　
http://yosshy.sansu.org/

33958．Re: (untitled)
名前：なtu　高１    日付：9月20日(木) 13時46分
なるほど！ありがとうございます☆
cosΘ/sinΘ+sinΘ/cosΘは、（cosΘ）/（sinΘ）+（sinΘ）/（cosΘ）の値を求めよ。という意味です。
（）をつけていませんでした。説明不足で申し訳ありません。
cosθ/sinθ+sinθ/cosθを通分するのと、（cosΘ）/（sinΘ）+（sinΘ）/（cosΘ）を通分するのとでは、答えが違ってくるのでしょうか？

33960．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：9月20日(木) 13時57分
cosΘ/sinΘ+sinΘ/cosΘは、（cosΘ）/（sinΘ）+（sinΘ）/（cosΘ）以外の
とらえ方をしていませんので、同じことです。
安心して通分してください。
　
http://yosshy.sansu.org/

33961．Re: (untitled)
名前：なtu　高１    日付：9月20日(木) 14時8分
ありがとうございます!!
あの、それでですね、通分の仕方を度忘れしてしまいまして。
お手を煩わせて申し訳ないのですが教えていただけませんでしょうか?

33962．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：9月20日(木) 14時37分
a/b＋c/d なら、分母をbとdの(最小)公倍数であるbd にそろえるため、
　a/b＝ad/bd
　c/d＝bc/bd
という変形をします。
　a/b＋c/d＝(ad＋bc)/bd
です。
　
http://yosshy.sansu.org/

33964．Re: (untitled)
名前：なtu　高１    日付：9月20日(木) 15時3分
なるほど。ありがとうございます！！
ということは、（cosΘ）/（sinΘ）＋（sinΘ）/（cosΘ）
=(cos^2Θ+sin^2Θ)/（sinΘcosΘ）
　　　　　　　=1/sinΘcosΘ
ということになるのでしょうか？　　
　　　　　　

33965．Re: (untitled)
名前：教得手　学    日付：9月20日(木) 15時33分
そういうことになります。
（ヨッシーさん、フォロー有難うございます。）

33966．Re: (untitled)
名前：なつ　高1    日付：9月20日(木) 16時15分
（cosΘ）/（sinΘ）＋（sinΘ）/（cosΘ）
=(cos^2Θ+sin^2Θ)/（sinΘcosΘ）
　　　　　　　=1/sinΘcosΘ
とでたら、sinΘcosΘの値はどんなふうに求めればよいのでしょうか？

33967．Re: (untitled)
名前：gaku    日付：9月20日(木) 16時29分
sinθcosθの値はもう前半で求めています。
その値をそのまま使います。

33972．Re: (untitled)
名前：なお　高１    日付：9月21日(金) 15時55分
ありがとうございます！

33951．数Ⅲ  
名前：高3    日付：9月19日(水) 21時30分
a[1]を正の実数とし、a[n+1]＝2√(a[n])（ただし、n＝1、2、3、・・・）によって数列a[ｎ]を定める。このときlim(n→∞)a[n]を求めよ。
という問題が分かりません。教えてください。


33952．Re: 数Ⅲ
名前：gaku    日付：9月20日(木) 0時22分
両辺を底2で対数をとると，
log_2a[n+1]=1+1/2log_2a[n]
これで，漸化式は何とかなると思います。

33956．Re: 数Ⅲ
名前：高３    日付：9月20日(木) 13時8分
初項が与えられてないんで、解けないんですよ……… この問題ではいらないのですか？？

33959．Re: 数Ⅲ
名前：ヨッシー    日付：9月20日(木) 13時55分
初項はいりません。
もし、どうしても無いと解きにくいなら、a[1]＝ｍ（＞０）などとおけばいいでしょう。
　
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33963．Re: 数Ⅲ
名前：高３    日付：9月20日(木) 14時55分
解けました。ありがとうございます!!

33948．また質問です！の付けたしです。θの範囲を書いていませんでした。  
名前：なつ　高1    日付：9月19日(水) 20時12分
θの範囲がありました。見落としていてすいません。
θの範囲は、0°＜θ＜180°です。

33947．また質問です！  
名前：なつ　高1    日付：9月19日(水) 16時15分
ｆ（θ）＝2sin＾2θ＋3cosθとするとき、次の問いに答えよ。
（1）cosθ＝tとおくとき、f（θ）をｔだけで表せ。
（2）（1）で求めたｔの式をｇ（ｔ）＝0を解け。
（3）f（θ）＝0となるθの値を求めよ。
という問題です。
（1）は、sin＾2θ＝（1-cos＾2θ）となり、
f（θ）＝2（1-cos＾2θ）＋3cosθ
　　　＝2-2ｔ＾2θ＋3ｔθでいいのでしょうか？
それと、↑こういう場合θはどうしたらよいのでしょうか？
（2）は、2-2ｔ＾2θ＋3ｔθ＝0を解いて、
　　　　-（2ｔ＾2θ-3ｔθ-2）＝0←この場合θはどうすればよいのですか？
　　　　-（2ｔ-1）（ｔ＋2）＝0
　　　　ｔ＝1/2,-2でいいのでしょうか？
（3）は、どいうふうに求めたらいいのでしょうか？
教えてください！


33949．Re: また質問です！
名前：ヨッシー    日付：9月19日(水) 20時49分
θも含めて　ｔ＝cosθ なので、
　ｆ（θ）＝2sin＾2θ＋3cosθ＝２(１－ｔ^2)＋３ｔ
です。
　２ｔ^2－３ｔ－２＝０
より、(２ｔ＋１)(ｔ－２)＝０　より、ｔ＝－１／２，２
－１≦ｔ≦１　より、ｔ＝－１／２
このとき、θは・・・
という感じです。
　
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33950．Re: また質問です！
名前：なつ　高1    日付：9月19日(水) 20時57分
ありがとうございます！

33941．また質問です！  
名前：なつ　高1    日付：9月18日(火) 19時39分
0°≦θ≦180°で、tan=-2のとき、次の各式の値を求めよ。
（1）tan＾θ（2）1/cos＾θ（3）cosθ（4）sinθ
という問題なんですが、tan=-2ということは、傾きが-2だから、傾きが-2のグラフを書いて求めるというやり方はできますか？
それとも、ただ単に三角比の相互の関係の公式にあてはめるだけですか？


33942．Re: また質問です！
名前：ヨッシー    日付：9月18日(火) 19時56分
下で七さんが書かれているように、＾だけでは２乗の意味はありません。
（1）tan^2θ（2）1/cos^2θ
ですね。

傾き－２の直線と、単位円が交わる点で、角度が
　0°≦θ≦180°
の範囲にある点が１つあります。その点の、ｘ座標がcosθ、ｙ座標が sinθ です。
　
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33944．Re: また質問です！
名前：なつ　高1    日付：9月18日(火) 21時16分
そうですね。書き直してなくてすいません。

（3）と（4）は、ヨッシーさんの言ったとおりででますが、
（1）はただ単にtanθを２乗し、（2）もcosθを２乗し、割るのでしょうか？

33945．Re: また質問です！
名前：ヨッシー    日付：9月18日(火) 22時13分
この方法(傾き－２の直線を使う方法)なら、そういうことです。
(1) は、どちらにしろ tanθ を２乗するだけですね。
(2) は、tan^2θ＋１＝1/cos^2θ　を使う方法もあります。
　
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33946．Re: また質問です！
名前：なつ　高1    日付：9月19日(水) 16時15分
ありがとうございます！

33938．教えてください。数I：三角比です。  
名前：なつ　高1    日付：9月18日(火) 9時31分
（sinθ＋cosθ）＾を展開して簡単にせよ。という問題なんですが、
sin^θ＋2sinθcosθ＋cos^θ
＝1＋2sinθcosθ
まではできたのですが2sinθcosθをどういうふうに簡単にしたらいいのか
わかりません。教えてください！
それと、2sinθcosθは、2sinθcosθと書いていいのですか？
2sincosθと書くのですか？


33939．Re: 教えてください。数I：三角比です。
名前：成瀬    日付：9月18日(火) 11時13分
2倍角の公式から sin(2θ) = 2sinθcosθ ですね.

2sinθcosθ を 2sincosθ と書いてはいけません.
このように書くと2sin(cosθ) となってしまい2(sinθ)(cosθ) と意味が違ってきてしまいます.

33940．Re: 教えてください。数I：三角比です。
名前：七    日付：9月18日(火) 11時30分
(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ
＝1＋2sinθcosθ
なら，これでOKです。このあと変形は出来ますが簡単になるわけではありません。

ついでですが
「^」 の記号は数式の中で使うと，この記号の次の文字は上つき文字であることを表すようです。
ですから，例えば
x2 を表すには x^2
xn＋1 を表すには x^(n＋1)
のように書いてください。
あとの方の例で カッコ が無いと
xn＋1 と間違えられてしまいます。
また
x＜sup＞2＜/sup＞ の＜，＞ を半角で書けば，ここのようにタグが有効に出来るところでは x2 と表示されます。

33943．Re: 教えてください。数I：三角比です。
名前：なつ　高1    日付：9月18日(火) 21時11分
成瀬さん、答えてくださってありがとうございます！
わかりました。助かりました。


七さん、いつもありがとうございます！
OKなんですね。安心しました。

そうだったんですか。＾は2乗のことかと思っていたので・・
教えてくださってありがとうございます。

33932．定積分  
名前：マリオ    日付：9月17日(月) 23時39分
①∫(1/cosx)dx[x=0～π/4]
②∫(1/cos^3x)dx[x=0～π/4]
③∫√(x^2+1)dx[x=0～1]

①はsinxで置換して何とかできたのですが②、③がどうしたらいいのか分かりません。解法をお願いします。


33934．Re: 定積分
名前：宏之    日付：9月18日(火) 0時39分
(2) は私の力では出来ませんでしたが,
http://calc101.com/webMathematica/derivatives-jp.jsp に依ると
∫ 1/cos3x dx = (1/2)log(secx + tanx) + (secxtanx)/2 + C となるようです.

(3)
u = tanx とおけば良いと思います.

33936．Re: 定積分
名前：らすかる    日付：9月18日(火) 1時46分
(2)
∫1/(cosx)^3dx
=∫1/(cosx)^2・1/cosxdx
=∫(tanx)'・1/cosxdx
=tanx/cosx-∫tanx・sinx/(cosx)^2dx
=sinx/(cosx)^2-∫(sinx)^2/(cosx)^3dx
=sinx/(cosx)^2-∫{1-(cosx)^2}/(cosx)^3dx
=sinx/(cosx)^2-∫1/(cosx)^3dx+∫1/cosxdx
∴∫1/(cosx)^3dx=(1/2){sinx/(cosx)^2+∫1/cosxdx}
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33931．微分  
名前：やす    日付：9月17日(月) 22時57分
こんにちは、いつもお世話になっています。
授業でやっと微分のしかたなどを習ったのですが、１つ学校の授業でも日本の参考書でみてもわからないことがあります。

f(x)を微分するとf`(x)が求められて、これは接線の式になり、
これに点（a,b)のaを代入して　f`(a)を解くと、ｘ＝aのときの傾きが求められると習ったのですが、これは何故ですか？

参考書には図も載っていて、xがaに近づくと傾きはf`(a)になる、みたいな説明が書いてあるのですが、いまいちよくわかりません。
何故なのかが曖昧なままでも問題を解くことはできるのですが、私の性格上、何故がわからないと集中できないので、ここの掲示板ならわかりやすく説明できる方がいるはずだ、と思って質問しました。
数学の理解力はあまりないので、どなたかわかりやすい説明を知っている人がいたら是非教えてください、お願いします。


33933．Re: 微分
名前：宏之    日付：9月18日(火) 0時28分
まず定義より, f'(a) = limh→0 {f (a+h) - f (a)}/h です.
ここで {f (a+h) - f (a)}/h は曲線上の点 (a , f (a)),(a + h , f (a+h))を結ぶ直線の傾きを表しています.
なので h → 0 とすれば {f (a+h) - f (a)}/h は (a , f (a)) と この点に限りなく近い点 (a + h , f (a+h))を結ぶ直線つまり接線の傾きとなる.

如何でしょうか？
あまり上手く説明できているか自信ありませんが・・・

33935．Re: 微分
名前：gaku    日付：9月18日(火) 0時44分
> こんにちは、いつもお世話になっています。
> 授業でやっと微分のしかたなどを習ったのですが、１つ学校の授業でも日本の参考書でみてもわからないことがあります。
>
> f(x)を微分するとf`(x)が求められて、これは接線の式になり、
> これに点（a,b)のaを代入して　f`(a)を解くと、ｘ＝aのときの傾きが求められると習ったのですが、これは何故ですか？
>
> 参考書には図も載っていて、xがaに近づくと傾きはf`(a)になる、みたいな説明が書いてあるのですが、いまいちよくわかりません。
> 何故なのかが曖昧なままでも問題を解くことはできるのですが、私の性格上、何故がわからないと集中できないので、ここの掲示板ならわかりやすく説明できる方がいるはずだ、と思って質問しました。
> 数学の理解力はあまりないので、どなたかわかりやすい説明を知っている人がいたら是非教えてください、お願いします。

図をかけないので，わかりにくいかもしれないですが，ちょっと説明してみます。
y=x^2という放物線をかいてみてください。
x=1のときy=1，x=3のときy=9となります。中学校で習った「変化の割合」をやってみると，
(9-1)/(3-1)=4となります。
これは，A(1,1)，B(3,9)を結ぶ直線の傾きに他ならないのです。
では，Bを少しずつAに近づけてみましょう
B’(2,4)のときの変化の割合は
(4-1)/(2-1)=3
さらに，Aに近づけます。
B’’(1.5,2.25)のときの変化の割合は
(2.25-1)/(1.5-1)=2.5
さらに，Aに近づけます。
B'''(1.2,1.44)のときの変化の割合は
(1.44-1)/(1.2-1)=2.2
このように，Bを限りなくAに近づけていくと「変化の割合」は点Aにおける接線の傾きに近づくことが想像できます。

このようにして，y=f(x)のx=aにおける接線の傾きを求める場合
lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h…①
をすればいいではないか。これをf’(a)とかき，微分係数を呼ぼう。

上の例では，
lim(h→0){(1+h)^2-1^2}/h=lim(h→0)(2h+h^2)/h=lim(h→0)(2+h)=2

でもf’(1)は出たがf’(2)はまた始めから計算するのは面倒
そこで，xに2を代入するだけでx=2における接線の傾きを求めることのできる関数を考えよう。①のaをxに書き換えるだけでできるじゃないか。
f’(x)=lim(h→0){f(x+h)-f(x)}/h
を計算すれば，xに値を代入するだけでそこで接する接線の傾きを知ることができる。これを導関数と呼ぶ。

上の例では，
lim(h→0){(x+h)^2-x^2}/h=lim(h→0)(2xh+h^2)/h=lim(h→0)(2x+h)=2x

これさえあれば，y=x^2のx=-1における接線の傾きも-2，x=3における接線の傾きも6だとたやすく求めることができる。

上のように，導関数を求めることを「微分」と呼ぶ。

長々と書いた割には，答えになっていない。

33919．角の三等分  
名前：√    日付：9月16日(日) 15時43分
ヨッシーさんが紹介された
「差し金」を使った角の三等分の仕方に感動し、

大工さんに、廻り階段の角の三等分の仕方を教わりました。
正方形を十文字に四つに分け
角を軸にして１／４円を描くと
「円周と十文字の交点」と「角」を結ぶと３０度づつに分けられる。
そーです。
自分では証明が出来ないのですが、ただ感覚は分かるので感動しました。
http://www2u.biglobe.ne.jp/~tyouken/tukuru/habaki.gif


33921．Re: 角の三等分
名前：らすかる    日付：9月16日(日) 16時13分
隣の角を軸にしてもう一つ1/4円を描いてみてください。
前の1/4円と十文字の線上で交わり、その交点と1/4円の
中心にした2つの角で正三角形になっていますね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33923．Re: 角の三等分
名前：√    日付：9月16日(日) 17時26分
なるほどーーー
らすかるさん　有り難うございました。

33916．(untitled)  
名前：奈々    日付：9月16日(日) 15時5分
中学3年です
平方根のところの問題で答えはわかるのですが
うまく説明が書けないのでよかったら教えてください；

次の事柄は正しいですか？誤りがあるものはただしくなおしなさい。

√４９＝±７である。


33917．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：9月16日(日) 15時20分
√49とは、2乗すると49になる負でない数のことなので、√49=7であり-7は誤り。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33918．Re: (untitled)
名前：七    日付：9月16日(日) 15時22分
49の平方根は±√49＝±7 です。
このうち正の方が √49＝7，負の方が －√49＝－7 です。
したがって √49＝7 です。

33929．Re: (untitled)
名前：奈々    日付：9月17日(月) 14時7分
らすかる様
七様

ありがとうございました!
理解しました＾＾*

33915．通過算  
名前：さとる    日付：9月16日(日) 15時3分
すみません、また考え方がわからなくよろしくお願いいたします。
問題
速さが毎秒１９ｍで長さ１５０ｍの電車Ａ、速さが毎秒１６ｍで
長さ１８９ｍの電車Ｂ、長さ２０６ｍの橋を渡り始めてから
渡り終わるまでに１６秒かかる電車Ｃがあります。
次の問いに答えなさい。
１）電車Ａがトンネルを通り抜けるのに１．２分かかりました。
　　　トンネルの長さは何ｋｍですか
２）電車Ａが電車Ｂに追いついてから追い越すまで何秒かかりますか
３）電車Ａが電車Ｃと出会ってからすれ違い終わるまでに７秒
　　かかったとき、電車Ｃの速さは毎秒何ｍですか。また電車
　　Ｃの長さは何ｍですか

答え
１）１２１８ｋｍ
２）１１３秒
３）毎秒２１ｍ、１３０ｍ
です。よろしくお願いいたします。


33920．Re: 通過算
名前：さとる    日付：9月16日(日) 15時50分
答えの1）は１．２１８ｋｍの間違いでした。

33922．Re: 通過算
名前：gaku    日付：9月16日(日) 17時26分
このような問題を「通過算」というとは知りませんでした。

問題を解くとき，トンネルや電車の絵を描くことをお勧めします。
1.列車Aは毎秒19mの速さで72秒間走ってトンネルを抜けたのだから
19*72=1368m
しかし，トンネルを抜けるにはトンネルの長さと自分自身の長さ
分だけ走らないといけないから(絵を描けばわかります。)
トンネルをxmとすると，x+150=1368よって，x=1218m=1.218km

速い列車が遅い列車を追い抜くとき遅い列車に乗っていると，ゆっくり
抜いていくのを知っていますね。

また，逆にすれ違うときは実際の速さより速く感じます。

2.追い抜かれ時は速さの差，つまり19-16=3mの速さで抜いていきます。
このような時は，列車B(抜かれる方)が止まっていると仮定すると考えやすくなります。
止まっているBを速さ毎秒3mでAが通過すると考えると1.と全く同じ。

Aは追い抜くのにBの長さと自分自身の長さを走るから，150+189=339m
毎秒3mで走るので339÷3=113秒

3.すれ違うときは一方を止まっていると仮定するともう一方は速さの和が出ています。ここからは連立方程式です。
Cの速さを毎秒xm，長さをymとすると，
「長さ206mの橋を16秒で渡るから」　16x=206+y
「長さ150mのAを7秒で通過するから」7(19+x)=150+y
これを解けばx=21，y=130

33924．Re: 通過算
名前：ヨッシー    日付：9月16日(日) 17時46分
こちらの、旅人算、および通過算もごらんください。
　
http://yosshy.sansu.org/

33927．Re: 通過算
名前：さとる    日付：9月16日(日) 20時34分
お忙しいのにご説明いただきましてありがとうございました
大変勉強になりました

33913．双曲線  
名前：ちはる　高３    日付：9月16日(日) 12時39分
媒介変数tを用いてx=tant,y=√3/costであらわされる曲線上を動く点ｐ、y軸上の点a(0,2)およびpから直線ｙ＝ｋにひいた垂線の足hを考える。比pa/phの値がpの位置によらず一定になるような定数ｋが決まることを示せ。

という問題なんですが回答の中に-π≦ｔ≦π(ｔ≠π/2)
をtは満たすとあってそれがわかりません。なぜt≠π/2なのでしょうか？


33914．Re: 双曲線
名前：ヨッシー    日付：9月16日(日) 12時51分
ｔ＝π/２ だと、ｘ＝tanｔ, ｙ＝３/cosｔ ともに定義できないからです。
同様に　ｔ≠－π/２ です。
　
　
http://yosshy.sansu.org/

33926．Re: 双曲線
名前：ちはる　高３    日付：9月16日(日) 19時57分
わざわざありがとうございます！
つまりtanθの方がθ＝±π/2で定義できないからということですか？

33928．Re: 双曲線
名前：ヨッシー    日付：9月17日(月) 8時34分
tanθの方がと書くと、1/cosθ は、定義できるみたいに見えますが、
こちらも分母が０になるので、定義できません。
この点は、tanθ＝sinθ/cosθ が定義できないのと同じです。
　
http://yosshy.sansu.org/

33937．Re: 双曲線
名前：ちはる　高３    日付：9月18日(火) 1時46分
そうですねわかりました！

ありがとうございました！

33910．三角形の成立条件について  
名前：涼子    日付：9月15日(土) 21時1分
こんばんは。
高３です。

鋭角三角形の成立条件についてお聞きします。

a,b,cを３辺とする鋭角三角形ができるためには。
三角形の成立条件｜a-b｜＜c＜a+bに加えて
b^2+c^2-a^2＞0
a^2+b^2-c^2＞0
c^2+a^2-b^2＞0
である。

ここで、a^2＜b^2+c^2＜(b+c)^2
だから、
a＜b+cは常に成立する。
よって

b^2+c^2-a^2＞0
a^2+b^2-c^2＞0
c^2+a^2-b^2＞0だけで良い。

らしいのです。上の３つの式に三角形の成立条件は含まれているそうですが、なんで、a＜b+cは常に成立する。
ことが言えただけで、三角形の成立条件はクリアするんですか。
aが最大辺という条件がないのに。

つまらない疑問ですみません。
どうかよろしくお願い致します。


33911．Re: 三角形の成立条件について
名前：ヨッシー    日付：9月15日(土) 21時7分
b^2+c^2-a^2＞0　→　ａ＜ｂ＋ｃ
a^2+b^2-c^2＞0　→　ｃ＜ａ＋ｂ
c^2+a^2-b^2＞0　→　ｂ＜ｃ＋ａ
の３点セットで三角形成立となります。
解答では、１つ目を言って、以下同様、という感じで省略しているのだと思います。
　
http://yosshy.sansu.org/

33912．Re:
名前：涼子    日付：9月16日(日) 1時6分
ヨッシーさん返信ありがとうございます！
おかげさまで、理解できました!!

33905．数列の和  
名前：チョッパ    日付：9月15日(土) 15時30分
中学入試問題での質問です。

【問題】
　18を連続した整数の和で表すと，5＋6＋7や3＋4＋5＋6のようになります。
　では，60を連続した整数の和で，考えられるだけすべて表しなさい。

【答え】
　4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11
　10＋11＋12＋13＋14
　19＋20＋21

何か工夫して解く方法があるのでしょうか？アドバイスをお願いします。


33906．Re: 数列の和
名前：らすかる    日付：9月15日(土) 16時7分
連続した「自然数」の和ということでよろしいでしょうか。
ある数を連続した自然数の和で表す方法は、その数の奇数の約数と
一対一に対応します（１つだけの“和”も含む）。
ある数nが奇数の約数mを持つとき、全部でm項で中央の項がn/mである
「整数」の和になります。
このとき、負の数や0を含む場合がありますが、例えば-aからbまでの
和となった場合、-a～aまでを削除すれば和は同じになります。

60の場合、60=2^2×3×5ですから、奇数の約数は1,3,5,15です。
1は単一項になるので除外します。
約数3に対して、全部で3項で中央の項が60/3=20である連続整数を
考えればよいので、 19+20+21 となります。
約数5に対して、全部で5項で中央の項が60/5=12である連続整数を
考えればよいので、 10+11+12+13+14 となります。
約数15に対して、全部で15項で中央の項が60/15=4である連続整数を
考えると (-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 となりますが、
「(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3」を削除しても和は変わりませんので
「4+5+6+7+8+9+10+11」という解が得られます。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33907．Re: 数列の和
名前：チョッパ    日付：9月15日(土) 16時30分
らすかるさん，返信ありがとうございます。

＞連続した「自然数」の和ということでよろしいでしょうか。
中学入試問題と書いたので，既知のものとしていました。すみません。

＞ある数を連続した自然数の和で表す方法は、その数の奇数の約数と一対一に対応します（１つだけの“和”も含む）。
そのようなことは全く気が付きませんでした。すごいですね。

らすかるさんの方法を私はどうにか理解することはできましたが，小学生にはちょっときついかもしれません。
何かいい噛みくだき方はないものでしょうか。

33908．Re: 数列の和
名前：らすかる    日付：9月15日(土) 17時2分
より小学生的に簡単に考えるなら、
中心（初項と末項の平均）は項の数が奇数のとき自然数、偶数のとき
自然数+0.5になることに注意して、
2個の和 → 中心は60÷2=30で項の数は奇数でないと出来ないので不可
3個の和 → 中心は60÷3=20なので 19+20+21
4個の和 → 中心は60÷4=15で項の数は奇数でないと出来ないので不可
5個の和 → 中心は60÷5=12なので 10+11+12+13+14
6個の和 → 中心は60÷6=10で項の数は奇数でないと出来ないので不可
7個の和 → 中心は60÷7=60/7で不可
8個の和 → 中心は60÷8=7.5なので 4+5+6+7+8+9+10+11
9個の和 → 中心は60÷9=20/3で不可
10個の和 → 中心は60÷10=6で項の数は奇数でないと出来ないので不可
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66なので11項以上は不可
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33909．Re: 数列の和
名前：チョッパ    日付：9月15日(土) 17時29分
わかりました。
個数によっての場合分けがどうしても必要になりそうですね。
分配算的にも考えてもみたのですが，どうしてもうまくいきませんでした。
本当にありがとうございました。感謝しています。

33903．教えてください！三角方程式  
名前：ひろ　高1    日付：9月15日(土) 12時27分
数I：「三角比」の三角方程式の単元です。
0°≦θ≦180°のとき、次の各等式「を満たすθの値を求めよ。
（1）sinθ＝√3/2　の解き方を教えてください。
　　それと、答えはθ＝60°,120°なんですけどなぜ120°も答えになるので　　すか？　　　　　　　
（2）tanθ＝-1の解き方を教えてください。
　　sinθはｙ座標、cosθはｘ座標を表していますがtanθはなにをあらわして　　いますか？　　　　
多くてすいませんがお願いします！


33904．Re: 教えてください！三角方程式
名前：七    日付：9月15日(土) 13時25分
Original Size: 456 x 425, 29KB

(2) 単位円の動径OPとx軸の正の向きとのなす角をθとすると
P(cosθ，sinθ)，OPの延長と直線x＝1との交点(1，tanθ)となります。
図はθ＝135°のときのもので
cosθ＝－1/√2，sinθ＝1/√2，tanθ＝－1 です。

図で解るように
0°≦θ≦180°の範囲で cosθ＝－1/√2 や tanθ＝－1 になるのは
θ＝135どのときだけですが
y座標 sinθ＝1/√2 になるのは θ が135°のときだけでなく45°のときもあります。
(1)も同様に考えましょう。


33930．Re: 教えてください！三角方程式
名前：なつ　高1    日付：9月17日(月) 18時50分
返事が遅くなってすいません。旅行に行っていたもので。
答えてくださってありがとうございます！

33899．数学Ⅲ　導関数  
名前：りく　高校三年    日付：9月15日(土) 0時31分
すみません。さきほど質問したのは内容が間違えていました。
すみません。書き直しました。よろしくおねがいします。

f(x)をxの関数とし、すべてのx,yに対して次の等式
　　　f(x＋y)=f(x)＋f(y)
が成り立っているものとする。

(1)　f(0)＝0であることを示せ。また、すべての実数xに対して
　　f(－x)＝－f(x)が成り立つことを示せ。

(2)　すべての0でない整数ｎに対して、f(1/n)＝f(1)/n であることを
　　　示せ。

(3)　f(x)のx＝0における微分係数f′(0)が定まるとき、
　　　f′(0)＝f(1)となることを示せ。

よろしくおねがいします。


33901．Re: 数学Ⅲ　導関数
名前：gaku    日付：9月15日(土) 1時25分
(1)x=y=0を代入すると
f(0)=2f(0)だから，f(0)=0

y=-xを代入すると，
f(0)=f(x)+f(-x)であるが，f(0)=0より，f(-x)=-f(x)
(2)f(a+b+c)=f(a+b)+f(c)=f(a)+f(b)+f(c)だから，
f(1)=f(1/n+1/n+…1/n)=f(1/n)+f(1/n)+…+f(1/n) (n個の和)
よって，f(1)=nf(1/n)だから，f(1/n)=f(1)/n

(3)
微分係数h→0をh=1/nにすると，
f'(0)=lim(1/n→∞){f(0+1/n)-f(0)}/{1/n}
=lim(1/n→∞){f(0)+f(1/n)-f(0)}/{1/n}
=lim(1/n→∞){f(1/n)}{1/n}
=lim(1/n→∞)nf(1/n)
(2)より
=lim(1/n→∞)f(1)
=f(1)

よって，f'(0)=f(1)

自信がありません。悪しからず。

33902．Re: 数学Ⅲ　導関数
名前：gaku    日付：9月15日(土) 1時31分
’は全角でないのでついてないみたいです。

33925．Re: 数学Ⅲ　導関数
名前：りく　高校三年    日付：9月16日(日) 19時20分
たぶん分かりました～。
また分からなくなったら質問していいですか？

すみません。理解力なくて。

とてもお世話になりました。
ありがとうございました。

33898．数学Ⅲ　導関数  
名前：りく　高校三年    日付：9月15日(土) 0時24分
f(x)をxの関数とし、すべてのx,yに対して次の等式
　　　f(x＋y)=f(x)＋f(y)
が成り立っているものとする。

(1)　f(x)＝0であることを示せ。また、すべての実数xに対して
　　f(－x)＝－f(x)が成り立つことを示せ。

すみません。おしえてください。よろしくおねがいします。

(2)　すべての0でない整数ｎに対して、f(1/n)＝f(1)/n であることを
　　　示せ。

(3)　f(x)のx＝0における微分係数f′(0)が定まるとき、
　　　f′(0)＝f(1)となることを示せ。


33900．Re: 数学Ⅲ　導関数
名前：りく　高校三年    日付：9月15日(土) 0時32分
すみませんっ。間違えたので新しく
書き直しました。申し訳ありません。

33894．因数分解  
名前：ラディン.ms    日付：9月14日(金) 17時37分
x30-1を因数分解せよ。ただし，係数は有理数で因数は8個である。

よろしくお願いします。


33895．Re: 因数分解
名前：らすかる    日付：9月14日(金) 19時48分
公式から
x^30-1=(x^15+1)(x^15-1)
=(x^5+1)(x^10-x^5+1)(x^5-1)(x^10+x^5+1)
=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^10-x^5+1)
　(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^10+x^5+1)　… (1)
と分解できて、一方
x^30-1=(x^15+1)(x^15-1)
=(x^3+1)(x^12-x^9+x^6-x^3+1)(x^3-1)(x^12+x^9+x^6+x^3+1)
=(x+1)(x^2-x+1)(x^12-x^9+x^6-x^3+1)
　(x-1)(x^2+x+1)(x^12+x^9+x^6+x^3+1)　… (2)
とも分解できます。
よって(1)は(x^2-x+1)(x^2+x+1)という因数を含みますが、
(x^4-x^3+x^2-x+1)と(x^4+x^3+x^2+x+1)は(x^2-x+1)や(x^2+x+1)で
割り切れませんので、(x^10-x^5+1)と(x^10+x^5+1)が
(x^2-x+1)や(x^2+x+1)で割り切れると予想できます。
あとは頑張って割り算してください。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33896．Re: 因数分解
名前：ラディン.ms    日付：9月14日(金) 20時28分
ありがとうございました。割り切れました。

33889．お願いします！三角比です。  
名前：ひろ　高1    日付：9月14日(金) 10時48分
http://www.nhk.or.jp/kokokoza/suugaku1/2006/study33/images/33-6.jpg
↑数I:「三角比の拡張」の単元で鈍角の三角比は、マイナスの方向にｘがあるのに 、なぜPの座標は（x,y）なのですか？（-x,y）ではないのですか？


33890．Re: お願いします！三角比です。
名前：七    日付：9月14日(金) 11時25分
普通ある点の座標を (a，b) と表すとき，
a，b は正の数でも，0でも，負の数でもかまいません。aはその点のx座標，bはその点のy座標です。例えばaが正の数と決まっているときでなければx座標が負であるからといって(－a，b)という書き方はしません。

例えば OP がx軸の正の向きと120°
の角をなしているとすると
P(x，y) のそれぞれの座標は
x＝－r/2，y＝√3r/2 です。
つまり
P(－r/2，√3r/2) です。

このとき，cos120°＝x/r＝－1/2
sin120°＝y/r＝√3/2 となります。

33891．Re: お願いします！三角比です。
名前：ひろ　高1    日付：9月14日(金) 11時58分
３回もすいません。七さんにはお世話になってばかりです。
ほんとにありがとうございます！

33886．旅人算  
名前：さとる    日付：9月14日(金) 7時21分
いつもご丁寧な説明していただきましてありがとうございます。
また次の問題でつまずくましたのでよろしくお願いいたしたいのですが

問題
正樹君は、妹と弟の３人で家から公園まで競走しました。
妹が出発し、３分後に弟が、その２分後に正樹君が出発しました。
正樹君が出発してから１５分後に妹を追い抜き、その３分後に
弟と同時に公園に着きました。
その時妹は公園まで１５０ｍのところを走っていました。
次の問いに答えなさい。また、求め方も書きなさい。
①妹は、出発してから何分後に公園に着きましたか
②家から公園までの道のりは何ｍですか

という問題です。どうかよろしくお願いします。


33887．Re: 旅人算
名前：ヨッシー    日付：9月14日(金) 8時49分
Size: 240 x 230, 3KB

図のようなダイヤグラムを描きます。
正樹君が妹を追い抜いた地点をＡ地点とすると、
家～Ａ地点と、Ａ地点～公園 の距離の比は、
　１５：３＝５：１
です。すると、図のｘの部分の時間が、
妹～正樹君の時間５分の１／５で、１分となります。
よって、妹が公園に着いたのは、
　３＋２＋１５＋３＋１＝２４(分)
弟と正樹君が公園に着いたときに、妹のいる位置をＢ地点とすると、
家～公園と、Ｂ地点～公園 の距離の比は、
　２４：１
であり、Ｂ地点～公園の距離は１５０ｍなので、家から公園までの距離は
　１５０×２４＝３６００（ｍ）
　
http://yosshy.sansu.org/


33892．Re: 旅人算
名前：チョッパ    日付：9月14日(金) 15時43分
別解です。

正樹君が15分かかる道のりを，妹は3＋2＋15＝20分かかる。
ここで①を解くことができる。
【①の解法】
正樹君は15＋3＝18分で公園に着くので，妹がかかる時間を□分とすれば，
15分：20分＝18分：□分
□＝20×18÷15＝24分


『道のりが一定のとき，かかる時間の比と速さの比は逆比になる』ことを利用すれば②を解くことができる。
【②の解法】
正樹君と妹の時間の比＝15分：20分＝3：4
→　正樹君と妹の速さの比＝4：3

ここで妹が正樹君に追いつかれた地点から，公園までの道のりを ４ とすれば，
そのときの妹は，公園まであと ４ － ３ ＝ １ の位置にいる。
この １ が150mとなるので， ４ ＝600mとなる。

その600mを正樹君は3分で行くので，正樹君の速さは200m/分となり，
正樹君は公園まで18分かかることから，200m/分×18分＝3600m

33893．Re: 旅人算
名前：さとる    日付：9月14日(金) 17時10分
いま学校から帰ってきたところです
ご丁寧に説明していただきましてありがとうございました
繰り返し読みながら考えて見ます
いつもありがとうございます
ヨッシー先生、チョッパさまへ

33881．教えてください。  
名前：ひろ　高1    日付：9月13日(木) 22時5分
180°－θの三角比を使うとsin160°＝(180°-20°）＝sin20°と出ると思うんですがsin160°＝sin20°になるのはなぜですか？


33882．Re: 教えてください。
名前：gaku    日付：9月13日(木) 22時49分
単位円をかいてみてください。

0度から20°動径をまわした場合と160°まわした場合とを書いてみると
高さは同じになるはずです。

sinとはy座標，すなわち高さです。したがって
sin(180-θ)=sinθという公式が生まれてきます。

同様に図を描いて考えれば
cos(180-θ)=-cosθ(符号が逆)という公式も理解できます。

33888．Re: 教えてください。
名前：ひろ　高1    日付：9月14日(金) 9時50分
ありがとうございます！

33876．高次方程式  
名前：みな♪    日付：9月13日(木) 11時37分
xの整式P(x)はx-aで割り切れ､そのときの商をQ(x)とする｡また､Q(x)をx-bで割ると､商がx､余りが3となる｡(a,bは実数)
(1)Q(x)をbを用いて表せ｡
(2)方程式P(x)が虚数解をもつようなbの値の範囲を求めよ｡
(3)P(x)をx-bで割った余りが－3であるとき､方程式P(x)が重解をもつようなaの値を求めよ｡

すみません。お願いします。


33878．Re: 高次方程式
名前：七    日付：9月13日(木) 13時49分
xの整式P(x)はx－aで割り切れ，そのときの商をQ(x)とする｡
P(x)＝(x－a)Q(x) … [1]

(1)
Q(x)をx－bで割ると，商がx，余りが3となるから
Q(x)＝(x－b)x＋3＝x^2－bx＋3 … [2]

(2)
方程式P(x)＝0 と解釈します。
[2]を[1]に代入して
P(x)＝(x－a)(x^2－bx＋3)＝0
この方程式は実数解 x＝a を持つから，虚数解をもつためには
x^2－bx＋3＝0 が虚数解をもたねばならない。
したがって判別式 D＜0 の不等式を解けばいいですね。

(3)P(x)をx－bで割った余りが－3である
P(b)＝－3 だから
(b－a)(b^2－b^2＋3)＝－3
3(b－a)＝－3
b－a＝－1
b＝a－1
したがって
P(x)＝(x－a){x^2－(a－1)x＋3}＝0
方程式P(x)＝0 が重解(3重解は含まないものと解釈します)をもつのは
x^2－(a－1)x＋3＝0 がaとは異なる重解をもつ。
または
x^2－(a－1)x＋3＝0 がx＝aとa以外の解をもつ。
の2つの場合を考えてください。

33872．ヨッシーさん　ご無事ですか  
名前：√    日付：9月13日(木) 0時43分
インドネシアで大地震
ヨッシーさん　大丈夫ですか？


33873．Re: ヨッシーさん　ご無事ですか
名前：ヨッシー    日付：9月13日(木) 0時46分
ご心配いただきましてありがとうございます。
こちらは、地震があったことすら知らず、日本からの
問い合わせで知ったくらいです。
　
http://yosshy.sansu.org/

33874．ご無事で、なによりです
名前：√    日付：9月13日(木) 1時28分
ヨッシーさん　お返事有り難うございました。
ヨッシーさんが、ご無事で、なによりです。

33870．数Ⅲ  
名前：美柚    日付：9月12日(水) 22時17分
自然数ｎに対して、
P_n＝(１＋１／ｎ^2)(１＋２／ｎ^2)……(１＋ｎ／ｎ^2)
とおくとき、ｌｉｍＰ_nを求めよ。
　　　　　　n→∞
がわからないので教えてください。

33868．数Aです。  
名前：ひろ　高1    日付：9月12日(水) 21時53分
数A：6個の数字1,1,2,2,2,3をすべて使って6桁の数を作るとき、次の数は何個できますか？？
（1）総数　　（2）偶数
解き方がよくわかりません。くわしく教えてください。
お願いします！


33869．Re: 数Aです。
名前：ラディン.ms    日付：9月12日(水) 22時5分
○○○○○○の６つのマスに数字を入れていきます
（１）まず１をおくマスの決め方は　6C2=15（通り）
これで残りのマスは４つです。
次に３をおくマスの決め方は４通り
３を決めると自動的に２の置き方も決まるので　１５＊４＝６０（通り）
（２）条件から一の位の数字は２です。よって
　　　○○○○○
　　の５つのマスに{1,1,2,2,3}を入れると考えます。
（１）と同様に考えると5C2*3=30（通り）

すなわち
　（１）６０個　　（２）30個

33875．Re: 数Aです。
名前：らすかる    日付：9月13日(木) 9時41分
別解
(1) 全部で6個で、同じものは1が2個と2が3個ですから6!/(2!3!)=60個です。
(2) 一の位に2を当てはめ、残りの1,1,2,2,3で計算すればよいので、5!/(2!2!)=30個です。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33879．Re: 数Aです。
名前：ひろ　高1    日付：9月13日(木) 17時40分
ありがとうございます！

33865．また質問です。三角比です。  
名前：ひろ　高1    日付：9月12日(水) 19時8分
cosA/1－sinA＋cosA/1＋sinA
この式の解き方を教えてください。
お願いします！！


33866．Re: また質問です。三角比です。
名前：勅使河原大介    日付：9月12日(水) 20時30分
ふつうに通分すればＯＫ　Ｌ(^▽^)ノ

33867．Re: また質問です。三角比です。
名前：ひろ　高1    日付：9月12日(水) 20時55分
わかりました！！やってみます。
答えていただいてありがとうございます!!

33860．図形の問題  
名前：なおき    日付：9月11日(火) 21時47分
Original Size: 493 x 624, 233KB

分からない問題がありますので教えてください。

解説を読んでいくと△PJK、△OLK、△RNMが正三角形とかかれていますが、なぜそうなるのかがよく分かりません。

図形の問題で空間になれば二等辺三角形や正三角形などいつも見つけにくいと感じます。

それを克服するようなコツがあればご教授ください！


33862．Re: 図形の問題
名前：tombi    日付：9月12日(水) 1時21分
●平行な２つの平面と交わる平面によってできる交線は平行になります。

△PQR が正三角形ならば、PQ//NM，QR//JI，RP//KL で
　△PJK、△OLK、△RNM は正三角形になります。

33863．Re: 図形の問題
名前：なおき    日付：9月12日(水) 10時50分
＞tombiさん

●平行な２つの平面と交わる平面によってできる交線は平行になります。

と書かれていますが、今ひとつよく分かりません。
もう少し具体的に説明してもらってもよろしいですか？


交線がどの部分なのかよくわかりません。

33864．Re: 図形の問題
名前：七    日付：9月12日(水) 12時5分
横から失礼します。

図が小さくて見にくいのですが
例えば立方体の上面と底面は平行ですね。
これに平面PQRが交わっていて
上面との交線はMN，底面との交線はPQです。
図では範囲が限られていますが
MNは上面上の直線，PQは底面上の直線です。
立方体の上面と底面は平行ですからこの2つの平面は
いくら延長しても交わることはありません。
ということはMNとPQも交わりません。
一方この2直線はどちらも平面PQR上の直線です。
1つの平面上にある2直線が交わらなければ平行です。

33871．Re: 図形の問題
名前：tombi    日付：9月12日(水) 23時39分
なおきさん。説明不足でした。すみません。
七さん。追加説明、ありがとうございます。

基本的には七さんに説明して頂いたことと同じです。

(1)立方体は向かい合う面はそれぞれ平行で、面PQR が、
　①上の面(Cを含む)と下の面と交わって、JK，NMという交線ができています。
　②C，O，Bを含む面とそれに対する面とに交わって、LM，JIという交線ができています。
　③A，O，Bを含む面とそれに対する面とに交わって、NI，LKという交線ができています。

(2)平行な２つの平面と交わる平面によってできる交線は平行になることから
　JK//NM，LM//JI，NI//LK　で、PQ//NM，QR//JI，RP//KL となります

(3)△PJK、△OLK、△RNM は、それぞれ２角が等しく相似となり、
　　△PQR が正三角形ならば、△PJK、△OLK、△RNM は正三角形になります。

33877．Re: 図形の問題
名前：なおき    日付：9月13日(木) 12時22分
＞七さん
＞tombiさん

ご説明ありがとうございます！
大体の大筋はつかめました！
が、最後の一息のところでつまってしまいす汗

(3)△PJK、△OLK、△RNM は、それぞれ２角が等しく相似となり、
　　△PQR が正三角形ならば、△PJK、△OLK、△RNM は正三角形になります

ということですが・・・、三角ＰＪＫ書かれていますが、これって三角形ですか？

ここから二つの角が等しいという条件が、この図からよみとれません；；

良ければもう一度教えてください；；

33883．Re: 図形の問題
名前：七    日付：9月13日(木) 23時31分
Original Size: 245 x 234, 7KB

△PJK というのは正しくは △PJI のはずですが…
なおきさん，あなたが質問で△PJKと書いているんですよ。
tombiさんはそれをコピペされただけです。

立体の中では解りにくければこういう図を抜き出しましょう。
例えば NM//PQ ですから
平行線の同位角になる ○，△は等しいですね。ついでに●は共通ですから△PQR∽△NMRです。
どちらかが正三角形ならもう一方も正三角形です。
あとの二つも解りますね。


33884．Re: 図形の問題
名前：tombi    日付：9月14日(金) 0時14分
七さん、ありがとうございます。
　図とフォロー感謝です。

なおきさん、混乱させてすみませんでした。
　確かに三角形にならないですね。(＾＾；私の確認がたりませんでした。

「平行なら同位角が等しくなる」ということを思い出しながら
　七さんに描いて頂いた図を見れば一発だと思います。

33885．Re: 図形の問題
名前：なおき    日付：9月14日(金) 0時6分
＞七さん

あ～僕がみすってました；；
tonbiさんすみません(｡´Д⊂)


七さん、大変よく分かりました！平行についてもかなり詳しく学べました！

はじめに教えてくださったtonbiさんも本当にありがとうございました！

33852．数学とは関係ないんですが････  
名前：笹之介    日付：9月11日(火) 13時45分
どなたか生物の質問ができる掲示板をご存知でしょうか？
数学の掲示板にこのようなことを書くのはヘンだとわかっているんですが、なかなか自分では見つけられなくて････
教えてください
お願いします


34008．Re: 数学とは関係ないんですが････
名前：Ｂｏｂ    日付：9月23日(日) 17時11分
http://www.yuki.to/
とかどうですか？

33850．また質問です。  
名前：しほ　高1    日付：9月11日(火) 10時16分
「三角比の拡張」のところで単位円と半径ｒ（rはどんな数でもいい）をどんなふうに使うのですか??また、どちらを使うのですか??


33851．Re: また質問です。
名前：ヨッシー    日付：9月11日(火) 10時31分
どちらを使っても良いですが、単位円の方が、ｘ座標、ｙ座標が、
そのまま、cos、sin の値になるので、簡単です。

単位円を使った、三角比のあらわし方は、
こちらをご覧ください。
　
http://yosshy.sansu.org/

33855．Re: また質問です。
名前：しほ　高1    日付：9月11日(火) 16時15分
あっそうなんですか！！どっちをつかってもいいんですね。
教えてくださってありがとうございます!!!

33847．数Ⅲです。  
名前：美柚    日付：9月11日(火) 0時43分
線分ＡＢを１対２に内分する点をＯとする。Ｏを中心とし、Ａを通る半円上に点Ｐをとる。ただしＰは線分ＡＢ上にないものとする。点Ｐと点Ｂを通る直線がＡを通りＡＢに垂直な直線と交わる点をＱとする。弧⌒ＡＰの長さは線分ＡＱの長さより大きいことをしめせ。
がわからないので教えてください。


33858．Re: 数Ⅲです。
名前：花パジャ    日付：9月11日(火) 16時48分
x=∠AOPとすると　弧⌒AP=x
tan∠BOP=sinx/(2+cosx)　で
∠BOP=∠AOQ　なので
AQ=3sinx/(2+cosx)
今　f(x)=3sinx/(2+cosx)-x　とすると
f'(x)=-((1-cosx)/(2+cosx))^2≦0
f(0)=0　なので　0<x<π　で　f(x)≦0
すなわち、弧⌒APの長さは線分AQの長さより大きい

33861．Re: 数Ⅲです。
名前：美柚    日付：9月11日(火) 22時11分
わかりました。ありがとうございました。

33846．重複組合せの応用  
名前：ShoWat    日付：9月10日(月) 23時18分
以下の（１）の問題があり理解したのですが、解きながら（２）のような
場合はどうなるのだろう、と疑問がわきました。

【問題】
（１）リンゴ３個、柿２個、みかん５個を６人に分ける
　　　（０個の人がいてもよい）
（２）リンゴ３個、柿２個、みかん５個を６人に分ける
　　　（最低１個はどの人にも分ける）

【模範解答】
（１）はリンゴ３個、柿２個、みかん５個のそれぞれを０個からあるだけ６人
　　　に分ける重複組合せで、同時に起こるので、積の法則より、
　　　6H3*6H2*6H5

【質問】
（２）の場合、場合分けをするなどいろいろ考えたのですが、頭の中が
こんがらがってわかりません。
問題集にあった問題ではないのですが、気になって仕方がありません。
どうかよろしくお願いいたします。


33848．Re: 重複組合せの応用
名前：gaku    日付：9月11日(火) 2時28分
全然自信がないのですが，
一人占め…6通り
二人占め
どの2人かで6C2
リンゴで4C1，柿で3C1，みかんで6C1
よって，4C1*3C1*6C1
これには一人占めも含まれるので4C1*3C1*6C1-2=70通り
6C2*70=1050通り
三人占め
どの3人かで6C3
リンゴで5C2，柿で4C2，みかんで7C2
これには2人占めと一人占めも含まれるので
5C2*4C2*7C2-3C2*70-3=1047
6C3*1047=20940通り

と5人占めまで出して(1)からひけば…
やっぱり破綻してるかな。

33853．Re: 重複組合せの応用
名前：gaku    日付：9月11日(火) 14時51分
自己レスです。
やっぱりおかしかったです。

33854．Re: 重複組合せの応用
名前：みやこびと    日付：9月11日(火) 16時14分
めんどくさそうですね･･･今は近くに紙がなくて私は計算できないので、間違いかもしれませんが思いついたことを書いておきます。
えっと、みんな最低一個はもらえるのだから、はじめから全員に一個ずつ配っておけばいいわけですね。そうすれば、残りの４個を（1）と同じように分けてやればいいですね。めんどうなのは、はじめの一個の配り方でしょうか･･･「みかんを５個とリンゴ一個をはじめに分ける」「みかんを５個と柿一個」「みかん4個と･･･」とみかん中心にすればやってできなくはなさそうですが･･･私も後でやってみます

33857．Re: 重複組合せの応用
名前：らすかる    日付：9月11日(火) 16時34分
gakuさんの方法で問題ないと思いますよ。
そのまま続ければ正解にたどり着くと思います。

リンゴ3個、柿2個、みかん5個をn人に分ける方法は
0個の人がいてもよい場合 a[n]=nH3*nH2*nH5 通りですね。
まずa[6]に含まれている「貰う人が5人となる場合の数」を引きます。
a[6]-6a[5] となります。

貰う人が4人となる場合の数は
a[6]の中に6C4=15通り、a[5]の中に5C4=5通り含まれており、
15-6×5=-15で15通り少ないのでこの分を足します。
a[6]-6a[5]+15a[4] となります。

貰う人が3人となる場合の数は
a[6]の中に6C3=20通り、a[5]の中に5C3=10通り、
a[4]の中に4C3=4通り含まれており、
20-6×10+15×4=20通り多いのでこの分を引きます。
a[6]-6a[5]+15a[4]-20a[3] となります。

貰う人が2人となる場合の数は
a[6]の中に6C2=15通り、a[5]の中に5C2=10通り、
a[4]の中に4C2=6通り、a[3]の中に3C2=3通り含まれており、
15-6*10+15*6-20*3=-15で15通り少ないのでこの分を足します。
a[6]-6a[5]+15a[4]-20a[3]+15a[2] となります。

貰う人が1人となる場合の数は
a[6]の中に6C1=6通り、a[5]の中に5C1=5通り、a[4]の中に4C1=4通り、
a[3]の中に3C1=3通り、a[2]の中に2C1=2通り含まれており、
6-6*5+15*4-20*3+15*2=6通り多いのでこの分を引きます。
a[6]-6a[5]+15a[4]-20a[3]+15a[2]-6a[1] となります。

これを計算すると、答は
a[6]-6a[5]+15a[4]-20a[3]+15a[2]-6a[1]
=6H3*6H2*6H5-6*5H3*5H2*5H5+15*4H3*4H2*4H5
　-20*3H3*3H2*3H5+15*2H3*2H2*2H5-6*1H3*1H2*1H5
=43326通りとなります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33859．Re: 重複組合せの応用
名前：らすかる    日付：9月11日(火) 17時39分
少し違う考え方です。

リンゴ3個、柿2個、みかん5個をn人に分ける方法は
0個の人がいてもよい場合 a[n]=nH3*nH2*nH5 通りです。
人をA,B,C,D,E,Fとします。

Aが0個となるのはa[5]通りなので、Aが1個以上となるのはa[6]-a[5]通りです。
Bが0個でAが1個以上となるのは、最初からBが不在で1人少ないと考えればよく、
a[5]-a[4]通りとなりますので、AもBも1個以上となるのは
(a[6]-a[5])-(a[5]-a[4])=a[6]-2a[5]+a[4]通りです。
Cが0個でAもBも1個以上となるのは再び一人少ないと考えればよいので
a[5]-2a[4]+a[3]通りとなり、AもBもCも1個以上となるのは
(a[6]-2a[5]+a[4])-(a[5]-2a[4]+a[3])=a[6]-3a[5]+3a[4]-a[3]通りとなります。
同様に考えていくと
A,B,C,Dが1個以上となるのは
(a[6]-3a[5]+3a[4]-a[3])-(a[5]-3a[4]+3a[3]-a[2])
=a[6]-4a[5]+6a[4]-4a[3]+a[2]通り
A,B,C,D,Eが1個以上となるのは
(a[6]-4a[5]+6a[4]-4a[3]+a[2])-(a[5]-4a[4]+6a[3]-4a[2]+a[1])
=a[6]-5a[5]+10a[4]-10a[3]+5a[2]-a[1]通り
A,B,C,D,E,Fが1個以上となるのは
(a[6]-5a[5]+10a[4]-10a[3]+5a[2]-a[1])
-(a[5]-5a[4]+10a[3]-10a[2]+5a[1]-a[0])
=a[6]-6a[5]+15a[4]-20a[3]+15a[2]-6a[1]+a[0]通り
となり、a[0]=0ですから上と同じ結果となります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33880．Re: 重複組合せの応用
名前：ShoWat    日付：9月13日(木) 20時32分
gakuさん、みやこびとさん、らすかるさん
本当にありがとうございます。

ふとした疑問から大事になってしまいましたが、じっくり考えさせて
いただきしっかり考え方をマスターしたいと思います。

33841．三角比　教えてください。  
名前：しほ　高1    日付：9月10日(月) 11時38分
90°-θの三角比の公式の意味がわかりません。


33842．Re: 三角比　教えてください。
名前：ヨッシー    日付：9月10日(月) 13時19分
sin(90°－θ)＝cosθ
cos(90°－θ)＝sinθ
tan(90°－θ)＝cotθ
というものですね。

sin30°＝cos60°
cos15°＝sin75°
などのことを言っています。

一般の角については、単位円上で理解する必要がありますが、
意味だけを知りたいなら、具体的な角度で、確認してはどうでしょう？
　
http://yosshy.sansu.org/

33849．Re: 三角比　教えてください。
名前：しほ　高1    日付：9月11日(火) 10時13分
そうですね。よくわかりました!!
ありがとうございます。

33838．数Ⅲ  
名前：美柚    日付：9月9日(日) 16時16分
関数ｆ(ｘ)＝sinax＋cosaxについて、次の問いに答えよ。ただしａは０＜ａ＜１/√２をみたす定数とする。
(1)方程式ｘ＝ｆ(ｘ)はただ1つの実数解αをもつことを示せ。
(2)任意の実数ｐ,ｑに対して、|ｆ(ｐ)―ｆ(ｑ)|≦√(２)ａ|ｐ－ｑ|を証明せよ。
(3)任意の実数ｘに対して、ｘ[1]＝ｘ、ｘ[n+1]＝ｆ(ｘ[n])　(n=１,２,３…)で定義される数列{ｘ[n]}について|ｘ[n+1]―α|≦√(２)ａ|ｘ[n]―α|を証明せよ。
(4)(3)の数列{ｘ[n]}について、極限ｌｉｍｘ[n]を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　 n→∞　
がわからないので教えてください。


33839．Re: 数Ⅲ
名前：成瀬    日付：9月9日(日) 21時45分
(1)
x = f(x) が唯1つの実数解 α をもつ.
⇔ f(x) - x = 0 が唯1つの実数解 α をもつ.

g(x) = f(x) - x = sin(ax) + cos(ax) - x とします.

g'(x) = acos(ax) - asin(ax) - 1
= a√2{(1/√2)cos(ax) - (1/√2)sin(ax)} - 1
= a√2sin(π/4 - ax) - 1
≦ (√2)a - 1
＜ 0
となるので , g(x) は単調増加関数です.
なので g(x) = 0 を満たす実数 x は唯1つしか存在しません.

(2)
平均値の定理より ,
|f(p) - f(q)|/|p - q| = f'(c) (cはある実数)
⇔ |f(p) - f(q)| = a√2|p - q|

33840．Re: 数Ⅲ
名前：美柚    日付：9月10日(月) 1時0分
わかりました。ありがとうございます。

33837．(untitled)  
名前：IGA(浪１)    日付：9月9日(日) 16時3分
線分ＯＡの端点Ａにおいて、ＯＡに垂直な直線lをひき、その直線上の任意の点をＱとする。半直線ＯＱ上にＯＰ・ＯＱ＝２を満たすような点Ｐをとるとき、Ｐの軌跡はどんな図形をえがくか。点Ｐの軌跡の方程式を、Ｏ極、ＯＡを始線とする極方程式で求め、図示せよ。

という問題なのですが
解答ではOA=aとして答えにaを使って表しているのですが自分で設定した文字を答えに使っていいのでしょうか。


33843．Re: (untitled)
名前：豆    日付：9月10日(月) 16時9分
OQcosθ=OA
OP=rを掛けて、
2cosθ=OA・r
r=(2/OA)cosθなので、OAは残りますね。aと置いてもよいでしょう。
(1/OA,0)中心、半径1/OAの円（但し、原点を除く）ですね。
（図示となると、OAと√2の大小で分けるのかな？）

33833．円順列と数珠順列  
名前：ShoWat    日付：9月9日(日) 10時12分
【問題】（１）１０人から３人選んで円形に並べる。（２）異なる１０個の玉から３個選んで首飾りを作る。【模範解答】（１）10P3/3（２）(10P3/3)/2【私の答案】（１）まず１０人から３人選び出すので、10C3・・・①。　　　選び出した３人を円形に並べるので（３－１）！の円順列・・・②。　　　①と②は同時に起こるので積の法則より、10C3*(3-1)!（２）（１）を裏返しにすると同じことなので（１）を２で割って　　　(10C3*(3-1)!)/2【質問】（１）（２）は「私の答案」の考え方しか思いつきませんでした。（１）の「模範解答」の10P3/3　はどのような考え方なのでしょうか、教えてください。また、（３）区別のつかない１０個の玉から３個選んで首飾りを作る。という問題の場合、答えは　10C3　と考えましたが、これでいいのかどうかも教えてください。よろしくお願いします。


33834．Re: 円順列と数珠順列（再掲：改行がなく見にくかったので）
名前：ShoWat    日付：9月9日(日) 10時15分
【問題】
（１）１０人から３人選んで円形に並べる。
（２）異なる１０個の玉から３個選んで首飾りを作る。

【模範解答】
（１）10P3/3
（２）(10P3/3)/2

【私の答案】
（１）まず１０人から３人選び出すので、10C3・・・①。　　　
選び出した３人を円形に並べるので（３－１）！の円順列・・・②。　　　
①と②は同時に起こるので積の法則より、10C3*(3-1)!

（２）（１）を裏返しにすると同じことなので（１）を２で割って　　　(10C3*(3-1)!)/2

【質問】
（１）（２）は「私の答案」の考え方しか思いつきませんでした。
（１）の「模範解答」の10P3/3　はどのような考え方なのでしょうか、
教えてください。
また、（３）区別のつかない１０個の玉から３個選んで首飾りを作る
という問題の場合、答えは　10C3　と考えましたが、これでいいのかどう
かも教えてください。よろしくお願いします。

33835．Re: 円順列と数珠順列
名前：angel    日付：9月9日(日) 12時3分
10人から3人選んで ( 一列に ) 並べる、は正に P で表現できます。
端が 10通り、その次が 9通り、最後(3人目)が8通り、ということで。
つまり、10P3 = 10×9×8

今回は円順列なので、一列に並べる場合に対して重複度合いが 3 ( abc, bca, cab のパターンが重複 ) ということで、10P3÷3 と計算できます。

もちろん、P ではなく C で考えても良いです。
10人から3人選ぶのが 10C3 通り、もし一列に並べるなら×3!、円順列なら ×2! ということで。これは ShoWatさんの解答の通り。

「選ぶ」という言葉にあまり拘らないことです。

33836．(3)
名前：angel    日付：9月9日(日) 12時5分
(3) は問題集にあったものでしょうか?
「区別のつかない１０個の玉から３個選んで首飾りを作る」だと、どう選んで作ろうとも、見かけは常に同じ、つまり答えは 1通りということになりますが…。

33845．Re: 円順列と数珠順列
名前：ShoWat    日付：9月10日(月) 21時25分
angel さま

（３）は確かに私のミスです。
ご教示・ご指摘ありがとうございました。

33831．場合の数  
名前：ShoWat    日付：9月8日(土) 21時28分
【問題】
２つのサイコロを投げて、目の和が奇数の場合の数
（ア）サイコロを区別する
（イ）サイコロを区別しない

【模範解答】
（ア）3*3*2!=18
（イ）3*3=9


【私の答案】
答えは同じなのですが、下のように考えました。
（ア）A、B２つのサイコロの片方のAの目の出方は６通り。
　　　そのそれぞれの出方に対して、和が奇数になるBの目の出方は
　　　それぞれ３通り。
　　　よって、6*3=18
（イ）サイコロの区別がないので、（ア）を2!で割って
　　　6*3/2!=9

【質問】
模範解答は、
（ア）Aで偶数の目が出るのが３通り、その３通りに対してBで奇数が
　　　出るのがそれぞれ３通り。さらにAが奇数、Bが偶数の場合があるの　　　　で、（偶数）－（奇数）の順列が2!通り、
と解釈したのですが、間違いですか。
また、模範解答の考え方は、当然模範ではあるのですが、ごく当たり前の
一般的なものでしょうか。
私の答案はまれな考え方でしょうか、ご教示ください。

　


33832．Re: 場合の数
名前：らすかる    日付：9月8日(土) 21時34分
＞模範解答は、・・・と解釈したのですが、間違いですか。
間違っていません。その解釈の通りです。

＞また、模範解答の考え方は、当然模範ではあるのですが、
＞ごく当たり前の一般的なものでしょうか。
はい。

＞私の答案はまれな考え方でしょうか
いいえ。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33844．Re: 場合の数
名前：ShoWat    日付：9月10日(月) 21時24分
らすかる様
ありがとうございました。

33825．(untitled)  
名前：マリオ    日付：9月7日(金) 23時7分
さいころをn回投げるとき、出る目の積が10の倍数となる確率を求めよ。

10＝2×5より5と2、4、6のいずれかの組み合わせが入っていれば10の倍数になるというところまで考えたのですが、その後どうしたらいいのかが分かりませんでした。
いい方法があれば教えてください。


33826．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：9月8日(土) 4時38分
10の倍数とならない確率を求めて、1から引きます。
(10の倍数とならない確率)
=(2の倍数とならない確率)+(5の倍数とならない確率)
　-(2の倍数にも5の倍数にもならない確率)
ですね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33821．(untitled)  
名前：菊    日付：9月7日(金) 21時4分
10センチの直線を正確に3等分にわけなさい

分数はなしでおねがいします


33823．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：9月7日(金) 21時19分
対角線ACが10センチである正方形ABCDを描き、
AD,BCの中点をそれぞれE,FとしてBE,DFを引くと、
対角線ACは3等分されます。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33829．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：9月8日(土) 8時28分
私のページの「ミニ講座」に「線分の三等分」があります。
　
http://yosshy.sansu.org/

33819．数列  
名前：ケミ    日付：9月7日(金) 20時14分
Bn＋２　＋　２Bn＋1　＋　Bn＝n

B１＝０、B２＝０

Bnを求めよ。


宜しくお願いします。


33827．Re: 数列
名前：ケミ    日付：9月8日(土) 5時6分
＋２や１は小文字です。

＝nがどうすればいいかわかりません。

宜しくお願いします。

33828．Re: 数列
名前：らすかる    日付：9月8日(土) 5時22分
C[n]=B[n+1]+B[n] とすると
C[n+1]+C[n]=n, C[1]=0
C[n+1]=-C[n]+n
C[n+1]-n/2=-C[n]+n/2
C[n+1]-n/2-1/2=-C[n]+n/2-1/2
C[n+1]-(n+1)/2=-C[n]+n/2-1/2
C[n+1]-(n+1)/2+1/4=-C[n]+n/2-1/4
C[n+1]-{2(n+1)-1}/4=-C[n]+(2n-1)/4
D[n]=C[n]-(2n-1)/4 とすると
D[n+1]=-D[n], D[1]=C[1]-1/4=-1/4 なので
D[n]=(-1)^n/4
C[n]=D[n]+(2n-1)/4=(-1)^n/4+n/2-1/4
B[n+1]+B[n]=(-1)^n/4+n/2-1/4
B[n+1]=-B[n]+(-1)^n/4+n/2-1/4
B[n+1]=-B[n]+(n+1)(-1)^n/4-n(-1)^n/4+n/2-1/4
B[n+1]=-B[n]-(n+1)(-1)^(n+1)/4-n(-1)^n/4+n/2-1/4
B[n+1]+(n+1)(-1)^(n+1)/4=-B[n]-n(-1)^n/4+n/2-1/4
B[n+1]+(n+1)(-1)^(n+1)/4-n/4=-B[n]-n(-1)^n/4+n/4-1/4
B[n+1]+(n+1)(-1)^(n+1)/4-n/4-1/4=-B[n]-n(-1)^n/4+n/4-1/2
B[n+1]+(n+1)(-1)^(n+1)/4-(n+1)/4=-B[n]-n(-1)^n/4+n/4-1/2
B[n+1]+(n+1)(-1)^(n+1)/4-(n+1)/4+1/4=-B[n]-n(-1)^n/4+n/4-1/4
B[n+1]+{(n+1)(-1)^(n+1)-(n+1)+1}/4=-B[n]-{n(-1)^n-n+1}/4
E[n]=B[n]+{n(-1)^n-n+1}/4 とすると
E[n+1]=-E[n], E[1]=B[1]+(-1-1+1)/4=-1/4 なので
E[n]=(-1)^n/4
B[n]=E[n]-{n(-1)^n-n+1}/4
=(-1)^n/4-{n(-1)^n-n+1}/4
=(n-1){1-(-1)^n}/4
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33830．Re: 数列
名前：ケミ    日付：9月8日(土) 11時45分
置けば、よかったのですね、
ずっと、三項間漸化式を試してました。
ありがとうございました。

33818．(untitled)  
名前：ラディン.ms    日付：9月7日(金) 19時21分
(1/a)+(1/b)+(1/c)=1を満たす自然数の組(a,b,c)をすべて求めよ。

よろしくお願いします。


33820．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：9月7日(金) 20時45分
a≦b≦c とすると 1/a≧1/b≧1/c なので
1=1/a+1/b+1/c≦1/a+1/a+1/a=3/a ∴a≦3
また a=1 では(左辺)＞1 となり成り立たないので、a＞1
よって a=2,3
a=2 のとき
1/2+1/b+1/c=1 を整理して (b-2)(c-2)=4
a=2≦b≦c から (b-2,c-2)=(1,4),(2,2)
よって (a,b,c)=(2,3,6),(2,4,4)
a=3 のときは c＞3 では(左辺)＜1となり成り立たないので
(a,b,c)=(3,3,3)

入れ替えを考えると
(a,b,c)=(2,3,6)(2,6,3)(3,2,6)(3,6,2)(6,2,3)(6,3,2)
(2,4,4)(4,2,4)(4,4,2)(3,3,3)
の10通りが答
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33822．Re: (untitled)
名前：ラディン.ms    日付：9月7日(金) 21時9分
わかりました。詳しい解説ありがとうございました。

33814．しばらく不在です  
名前：ヨッシー    日付：9月7日(金) 8時30分
８月２７日より、インドネシアでの勤務になっています。
自宅にインターネットが引かれるまでは、頻繁にやってくることが
出来ません

例によって、よろしくお願いします＞＞常連回答者の方々
　
http://yosshy.sansu.org/


33815．Re: しばらく不在です
名前：√    日付：9月6日(木) 12時14分
ヨッシーさん
インドネシアは暑くて大変ですね。
ご自愛ください。

33824．Re: しばらく不在です
名前：熊    日付：9月7日(金) 22時35分
どうも、ご苦労様です．．。

33809．パーセントのフシギ  
名前：算数苦手    日付：9月5日(水) 10時50分
100の95パーセントは95ですよね？ では、95の105パーセントはなぜ100にならないのでしょうか？？


33810．Re: パーセントのフシギ
名前：花パジャ    日付：9月5日(水) 12時39分
「100の50パーセントは50ですよね？ では、50の150パーセントはなぜ100にならないのでしょうか？？」
「100の0パーセントは0ですよね？ では、0の200パーセントはなぜ100にならないのでしょうか？？」
と同じような意味での質問ですか?

もしそうなら
　[100*{(100-x)/100}]*{(100+x)/100}=100-(x^2/10000)≠100
だからです

33812．Re: パーセントのフシギ
名前：教得手　学    日付：9月5日(水) 19時54分
感覚的に、「５％減らしたものを５％増やしたら元に戻るのではないの
か」と、疑問に思っておられるのでしょう。

「％」というのは、「何の何パーセント」の「何の」が大事です。

減らす分の５％は・・・「100」の５％
増やす分の５％は・・・「95」の５％
ですね。同じ５％でも元になる数が違うから、この２つの量は違うの
で、元のすうには戻らないのです。

33813．Re: パーセントのフシギ
名前：ast    日付：9月6日(木) 2時40分
"%" は足し算引き算ではなく掛け算割り算だからです.

95% というのは "100 で割って 95 を掛ける" ことを意味するので, 元に戻したければ 95 で割って 100 を掛けることをしなければなりません. これは 105% つまり 100 で割って 105 を掛けることとは一致しませんが, 不思議なことではないはずです.

# お, 書けるようになってる

33801．教えてください(><)  
名前：まり    日付：9月4日(火) 19時38分
半径rの円に内接する正十角形の長さをl,その面積をsとする。また半径rの円に外接する正十角形の長さをＬ,その面積をＳとしする。
(1)l/Lをaを用いて表せ
(2)s/Ｓをaを用いて表せ


33802．Re: 教えてください(><)
名前：まり    日付：9月4日(火) 19時58分
さっきの問題間違っていました(/_;)
半径rの円に内接する正十角形の長さをl,その面積をsとする。また半径rの円に外接する正十角形の長さをＬ,その面積をＳとしする。cos18゜=aとして
(1)l/Lをaを用いて表せ
(2)s/Ｓをaを用いて表せ
です
本当にすみません(ノ_・。)

33805．Re: 教えてください(><)
名前：moto    日付：9月4日(火) 21時15分
●正十角形の頂点と円の中心を結んでできる
　頂角36°となる二等辺三角形について考える

①半径rの円に内接する正十角形の周の長さをｌ、その面積をｓとすると
　等辺が、r となることから、
　　底辺(ｌ/10)＝2r(sin18)
　　高さh＝r(cos18)
　　面積ｓ＝r^2(sin18)(cos18)

②半径rの円に外接する正十角形の周の長さをＬ、その面積をＳとすると
　高さH＝r となることから
　　底辺(Ｌ/10)＝2r(tan18)
　　等辺＝r/(cos18)
　　面積Ｓ＝r^2(tan18)

ｌ/Ｌ＝(sin18)/(tan18)＝(cos18)＝a
ｓ/Ｓ＝(sin18)(cos18)/(tan18)＝(cos18)^2＝a^2

33807．Re: 教えてください(><)
名前：まり    日付：9月4日(火) 22時43分
ありがとうございます。
すごく感謝です(;ω;)

33800．速さを求める  
名前：えり    日付：9月4日(火) 18時53分
こんにちは。教えてください。
Ａは30ｋｍの道のりを自転車でＢより15分早く出て10分おくれて着きました。Ｂはバイクで同じ距離をＡの1.5倍の速さで行きました。Ｂの速さはいくらでしょうか。という問題で答えは時速24ｋｍなんですが
解説には、30/ｘ＝30/1.5ｘ+25/60　となっていました。
ｘ（エックス）＝Ｂの速さです。25/60というところがよくわかりません。25分多くかかったということはわかりますが。
他にもっとわかりやすい解き方があれば、そちらで説明していただいても
かまいません。
よろしくお願いいたします。


33803．Re: 速さを求める
名前：moto    日付：9月4日(火) 20時36分
①「Ａは、Ｂより、15分早く出て10分おくれる」
　　　Ａは、Ｂより、25(分)多く時間がかかる・・・15＋10＝25
②25(分)は、１時間が60分、1分が(1/60)時間であることから
　　　(1/60)＊25＝(5/12)(時)　
③「Ｂの速さは、Ａの速さの1.5倍(3/2)」
　　　Ａの速さは、Ｂの速さの(2/3)倍

●時間の関係について、道のり30(km)とＡ，Ｂの速さから式をつくると
　　Ｂの速さ　x(km/時)とすると
　　Ａの速さ　(2x/3)(km/時)となり
　Ａ，Ｂの時間を、速さと道のり30(km)から考えると
　　Ａの速さ (2x/3)(km/時)･･･Ａの時間　30÷(2x/3)＝(45/x)(時)
　　Ｂの速さ　x(km/時)･･･････Ｂの時間　30÷x＝(30/x)(時)
　時間の関係【Ａは、Ｂより、25(分)多く時間がかかる】より
　　(45/x)(時)＝(30/x)(時)＋(5/12)(時)
　これを解いて、x＝36　で
　　Ｂの速さ　36(km/時)

●速さについて、道のり30(km)とＡ，Ｂの速さと時間から式をつくると
　　Ｂの時間　x(時)とすると
　　Ａの時間　{x＋(5/12)}(時)となり
　Ａ，Ｂの速さを、時間と道のり30(km)から考えると
　　Ａの時間 {x＋(5/12)}(時)･･･Ａの速さ　30÷{x＋(5/12)}＝{360/(12x＋5)(km/時)
　　Ｂの速さ　x(時)･･･････Ｂの時間　30÷x＝(30/x)(km/時)
　速さの関係【Ｂの速さは、Ａの速さの1.5倍】より
　　(30/x)(km/時)＝{360/(12x＋5)(km/時)＊1.5
　これを解いて、x＝5/6(時)で、30(km)÷(5/6)(時)＝36(km/時)
　　Ｂの速さ　36(km/時)　

●小学生風に比をつかうと
　同じ道のりなので、
　　Ａの速さ：Ｂの速さ＝1：1.5＝2：3　より
　　Ａの時間：Ｂの時間＝3：2
　この比の差{3－2＝1}が時間の差{(5/12)(時)}なので
　　Ａの時間　(5/12)(時)×3＝(5/4)(時)
　　Ｂの時間　(5/12)(時)×2＝(5/6)(時)
　道のり30(km)から、30(km)÷(5/6)(時)　で
　　　Ｂの速さ、36(km/時)

33806．Re: 速さを求める
名前：えり    日付：9月4日(火) 22時31分
moto　さんへ

さっそく解答ありがとうございました。
解き方もいろいろ説明してくださって
ありがとうございました。
よくわかりました。（＾＾）

33791．二次方程式の解並びにsinとその辺の比について  
名前：なおき    日付：9月3日(月) 22時0分
二つほど分からないので質問させてください。

一つ目は、二次方程式です。
（１）b^2－2√3b－4＋4√３＝０
　　　を解きたいのですが、どうしても解けません。


(２）正弦定理のsinの比と辺の比が何故一致するのかがいまいち理解　できません。


質問はこの二つですが、分かる方教えてください。お願いします。


33793．Re: 二次方程式の解並びにsinとその辺の比について
名前：angel    日付：9月4日(火) 0時3分
(1) 次のように考えれば因数分解できます。
　b^2 - 2√3 b - 2(2-2√3) = 0

(2) 円周角から攻めます
　△ABC が半径 R の円に内接しているとします。( 外接円の半径が R ということ )
　ここで、BC を1辺とし、同じ円に内接する直角三角形を考えます。
　実際、B を端とする直径を BX とすると、△XBC は∠Cが直角となる直角三角形です。

　このとき、BC の円周角として、∠A = ∠X
　三角比の性質として、BC = BXsin∠X
　ここで、∠X = ∠A, BX = 2R ( 直径 )
　よって、BC = 2Rsin∠A
　同様にして、CA = 2Rsin∠B, AB = 2Rsin∠C
　ゆえに、BC/sin∠A = CA/sin∠B = AB/sin∠C = 2R ( 正弦定理 )
　

33808．Re: 二次方程式の解並びにsinとその辺の比について
名前：なおき    日付：9月4日(火) 23時25分
理解できました！

angelさんどうもありがとうございました！

33790．読解力の無さ？  
名前：√    日付：9月3日(月) 21時47分
宜しく、お願い致します。

９／２放送の「熱血平成教育学院」で灘中の問題が出ました。
下記サイトです。
申し訳ありません。お手数ですが見て下さいｍ（＿）ｍ

私は、文章から
「１円玉を全て５円玉に両替してもらった」
と書いてあるので、

「全て」という言葉があるので
答えは
１円玉・・・７５枚

次に
１０円玉５枚
　５円玉５枚
　で計１０枚
と答えを出してしまったのですが、
間違っていました。

「１円玉を『全て』５円玉に両替してもらった」
このよーな文章の場合、必ず、
４枚以下の１円玉が残っているかも知れない、
と考えないとイケナイのでしょうか？

私なら
「１円玉を可能な限り５円玉に両替してもらった」
と書かれていないと誤解してしまいます。

問題文は少し曖昧な書き方のように思ってしまうのですが、
私の答えだと×になってしまうのでしょうか？
http://www.fujitv.co.jp/gakuin/34/05.html


33792．Re: 読解力の無さ？
名前：angel    日付：9月3日(月) 23時48分
確かにあの問題は少々紛らわしいと思いました。
女性アナもいらんことを言ったましたし。
※私も惑わされて75枚が答えかと思いました。

しかし、一般的な話として、√さんのような解釈をさせるっていうのは、問題として面白みもなくなるのですよね。
ということは、TV局側が、適切な問題説明をできなかったため、問題の内容が違うものとして解釈できるようになった、と考えるのが妥当でしょう。

元の問題文はおそらくこちら。
http://members.jcom.home.ne.jp/sansuu/nyuushi/03nada/03-1-2q.html
これなら紛れがないですね。

33794．Re: 読解力の無さ？
名前：√    日付：9月4日(火) 0時52分
ａｎｇｅｌさんはＴＶをご覧になったのですね。
私はＴＶは見なかったのでネット上で問題を見ました。

ａｎｇｅｌさんが紹介して下さったサイトが、
今、何故か開けなかったので、まだ見ていないのですが、
「灘中の元の問題文」が、きちんとしているのなら
安心しました。
そうでないと受験した小学生が可愛そうですよね。

ａｎｇｅｌさん　有り難うございました。

33795．Re: 読解力の無さ？
名前：√    日付：9月4日(火) 1時8分
さっき家族に話したら、

「１円玉を全て５円玉に両替した」
という文章でも、
普通は、４個以下の１円玉が残っているかも？
と考えるよ。と言われてしまいました（ＴＴ）

33796．Re: 読解力の無さ？
名前：angel    日付：9月4日(火) 8時22分
> 「１円玉を全て５円玉に両替した」
> という文章でも、
> 普通は、４個以下の１円玉が残っているかも？
> と考えるよ。と言われてしまいました（ＴＴ）

うーん。それは微妙なところ。
でも、1円玉が残る可能性も考えるべきではあるのでしょう。

TVで見ていた時は、次のような感じでした。
　マス北野：1円玉を全て5円玉に両替したら60枚減った
　　⇒ 75枚の1円玉が15枚の5円玉に替わったと考える
　マス北野：できるだけ5円玉を10円玉に両替したら10枚になった
　　⇒ 最初75枚だと、最終的に8枚になるから合わないが…その差分は? というところまで考える
　　　※「全て」「できるだけ」と表現が違うので、√さんと同じ考えが浮かんでいた
　女子アナ：ヒント、全てを10円玉にしたのではないですからね
　　⇒ あれ? マス北野と違う? でも、どれだけ10円玉にするかが不定なら、最初75枚でも問題がない…と考える
　回答発表：77枚と答えている人が3人
　　⇒ ダマされた、と間違いに気付く。
　　　なにより、75枚の線で考えると、2番目の条件がほとんど意味をなさないため、問題として不自然。
　　　ということは、両方とも「できるだけ」で捉える必要があった、と考える。

聞き間違いがあった可能性もあるのですが、結果的に女子アナのヒントが要らなかった、というかミスリードだと感じました。
とはいえ、ダマされる方が未熟なんですけどね。ちゃんと大局を見渡せれば気付けたことなので。
細部に拘ることでおかしい点が出てくるなら、一旦全体を眺めて、一番ムリのない解釈をするのが良いでしょう。世の中親切な問題ばかりではありませんから。
※自動車免許の学科試験なんて、日本語を超越しているところもありましたね…

33797．Re: 読解力の無さ？
名前：angel    日付：9月4日(火) 8時34分
ちなみに、上で挙げたサイトに載っていた問題文です。

1円玉が [　] 枚ある。これをできるだけ5円玉と両替すると硬貨の総数は60枚だけ減る。さらにできるだけ10円玉と両替すると硬貨の総数は10枚になる。

33798．「この短文」なら
名前：√    日付：9月4日(火) 14時1分
サイトに載っていた、この問題文なら、
私も誤解しなかったと思います。

「この短文」の方が、ずーっと簡潔で誤解を招かない
ですね。

（ＴＶのお陰で灘中もいい迷惑ですよね）

いつも思うのですが、
算数や数学は読解力を試すものでは無いので、
問題文は決して、誤解してしまう人が出ないような文章にしてほしいです。

ａｎｇｅｌさん　いろいろ有り難うございました。

33856．Re: 読解力の無さ？
名前：みやこびと    日付：9月11日(火) 16時24分
今更ながら・・私も一円は「全て」五円になったと思い同じ間違いをしましたね

33789．確率  
名前：トン（社会人）    日付：9月3日(月) 21時26分
確率についてです
箱があり、その箱を左右に区切っているとして、その中に同じ玉を４個入れて、左に４個とも入る確率と　３個が左そして1個が右に入る確率の求め方を知りたいのでよろしくお願いします。また、この問題は何年生ぐらいの問題でしょうか？よろしくお願いします。


33799．Re: 確率
名前：らすかる    日付：9月4日(火) 14時4分
玉を区別して考えます。
それぞれの玉が左右どちらかに入るかの2通りなので、全部で2^4=16通り。
「全部左」は1通りなので、確率は1/16。
「3個左1個右」は4通りなので、確率は4/16=1/4。
何年生かはわかりません。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33811．Re: 確率
名前：トン    日付：9月5日(水) 15時32分
らすかるさん

丁寧に教えて頂きありがとうございました。
よく分かりました。
今後も宜しくお願いします。

トン

33785．期待値  
名前：ちっち　高2    日付：9月2日(日) 21時37分
白球4個と赤球2個が入った袋がある。そこから球を1個ずつ取り出していき、赤球が出たらそこで取り出すのを止める。ただし、1度取り出した球はもとに戻さないものとする。取り出された白球の個数の期待値を求めよ。
という問題で自分で解いてみたところ14/3になってしまったのですが解答には4/3とあります。どのように解いたらいいか教えてください。


33786．Re: 期待値
名前：tombi    日付：9月3日(月) 3時49分
白がいくつか出て、最後に赤が出る確率(白の個数別)
　0個…1/3････(2)/{6}
　1個…4/15･･･{4＊(2)}/{6＊5}
　2個…1/5････{4＊3＊(2)}/{6＊5＊4}
　3個…2/15･･･{4＊3＊2＊(2)}/{6＊5＊4＊3}
　4個…1/15･･･{4＊3＊2＊1＊(2)}/{6＊5＊4＊3＊2}

白の出る個数の期待値
　0＊(1/3)＋1＊(4/15)＋2＊(1/5)＋3＊(2/15)＋4＊(1/15)＝20/15＝4/3

33781．解の配置  
名前：ベンジャミン    日付：9月2日(日) 14時29分
二次方程式ｍｘ＾２－ｘ－２＝０の２つの実数解が、それぞれ以下のようになるためのｍの条件をもとめよ。
（１）２つの解の絶対値がともに１より小さい。
解答　　２次方程式より、ｍ≠０である。
　　　　判別式Ｄ＝１＋８ｍ≧０
　　　　　ｍ≧－（１／８）
と始めに書いてあるのですがなぜこの条件がでてくるのかわかりません。
最後まで解いていってこの条件により答えを間違えてしまいました。
教えてください。


33782．Re: 解の配置
名前：七    日付：9月2日(日) 14時39分
「二次方程式ｍｘ＾２－ｘ－２＝０」「実数解」とありますから
m≠0，D≧0 は絶対に必要だと思いますが?

ご質問の意図がはっきりしません。解と係数の関係だけで解いたと言うことですか？
ご自分の答案を書いていただければ回答しやすいのですが…

33776．微分  
名前：やす    日付：9月2日(日) 11時56分
こんにちは。
最近微分を習い始めたのですが、
　lim{x→0}= sinx/5x
の極限を求めよという問題はどうやれば求められるのでしょうか？
分母が０になる場合は何かを掛けて分母が０にならないようにしてから極限を求める、と習ったのですが、この場合は分子がsinxだけなのでどうやって分母を変えればいいのかわかりません。
ｘを掛けてみても結局分母がｘ^2になり何も変わりません。

習い始めでよくわからないので、よろしくお願いします。


33778．Re: 微分
名前：七    日付：9月2日(日) 12時32分
教科書の「三角関数の極限」のはじめの所に
lim{x→0} sinx/x＝1 の証明(説明)がかなり丁寧に書いてあると思います。よく読んで，出来れば理解しておいてください。
これは今後，余弦，正接を含めた三角関数の極限や微分･積分の基本になる公式ですので(たとえ証明できなくても)覚えておかなければなりません。

さて，この問題ですが
lim{x→0} sinx/5x＝lim{x→0}(1/5)sinx/x＝(1/5)*1＝1/5
となります

33779．Re: 微分
名前：やす    日付：9月2日(日) 13時23分
不便なことに日本の教科書を持ってないのでそのような公式があるとは知りませんでした。

わかりやすい回答ありがとうございます、この公式があれば後の問題も解けそうです。
私の持っている教科書にものってないかどうか探してみます。

33774．速さの問題(小学六年生)  
名前：さとる    日付：9月2日(日) 10時30分
すみませんが、また教えていただけませんでしょうか
問題
きょう子さんは登校するときいつもとも子さんの家まで自転車で毎時12kmの速さで行きます。
とも子さんの家で3分待って一緒に毎時4kmの速さで歩き、自分の家を
出てから34分で学校に着きます。
ある朝きょう子さんはとも子さんの家まで自転車で毎時10kmの速さで
行き、待たずにそこから毎時4kmの速さで歩いていき、33分で学校に着きました。
きょう子さんの家からとも子さんの家を通って学校までの道のりは何ｋｍですか
という問題です。答えは3.4kmですが
よろしくお願いいたします。


33783．Re: 速さの問題(小学六年生)
名前：moto    日付：9月2日(日) 15時56分
※そろえて考えるため、3分の休みを省いて考えます

(1)条件をまとめ直すと
①いつも：31(分)＝34－3
　　きょう子さんの家→とも子さんの家･･･12(km/時)
　　とも子さんの家→学校･･･4(km/時)
②ある朝：33(分)
　　きょう子さんの家→とも子さんの家･･･10(km/時)
　　とも子さんの家→学校･･･4(km/時)　

(2)きょう子さんの家から、とも子さんの家までを考えると
　同じ距離であることから
　　速さの比、12(km/時)：10(km/時)＝6：5　をもとに
　　時間の比が、速さの逆比になることから、5：6　がわかり
●この時間の比の差{1}が、時間の差{2分}なので
　　12(km/時)でいくとき、2×5＝10(分)　かかり、
　　10(km/時)でいくとき、2×6＝12(分)　かかることがわかり
　きょう子さんの家から、とも子さんの家までの道程が
　　いつも、12(km/時)×(10/60)(時)＝2km
　　ある朝、10(km/時)×(12/60)(時)＝2km
　　　2(km)となります

(3)とも子さんの家から、学校までを考えると
　(2)から、きょう子さんの家から、とも子さんの家まで
　　{いつも、10(分)　ある朝、12(分)}　なので
　　4(km/時)で、31－10＝33－12＝21(分)　かかることから
　　　4(km/時)×(21/60)(時)＝(7/5)＝1.4(km)となります。

(2)(3)から、
　きょう子さんの家からとも子さんの家を通って学校までの道のりは
　　　2＋1.4＝3.4(km)となります

33784．Re: 速さの問題(小学六年生)
名前：moto さんへ    日付：9月2日(日) 17時34分
詳しく教えてくださってありがとうございました

(2)きょう子さんの家から、とも子さんの家までを考えると
　同じ距離であることから
　　速さの比、12(km/時)：10(km/時)＝6：5　をもとに
　　時間の比が、速さの逆比になることから、5：6　がわかり

ここのところでわからず迷っていましたが
motoさんのご説明で理解できました
大変助かりました

33771．(untitled)  
名前：SUE    日付：9月2日(日) 3時45分
ｋ≧２，f(x)=kｘ^3－(k＋1)^2x^2＋(2k^2＋k＋2)x－2k


(1)　方程式　f(x)=０がkの値に関係なく持つ解を求めよ。


(2)　不等式　f(x)≧０を解け。


33772．Re: (untitled)
名前：MARINE    日付：9月2日(日) 4時14分
あまり時間がないので (1) だけですが,

f (x) = kx3 - x2k2 - 2x2k - x2 + 2xk2 + xk + 2x - 2k
= -(x2 - 2x)k2 + (x3 - 2x2 + x - 2)k - x2 + 2x
= -x(x - 2)k2 + (x - 2)(x2 + 1)k - x(x - 2)
= (x - 2){-xk2 + (x2 + 1)k - x}

と変形すれば良いですね.

33775．Re: (untitled)
名前：教得手　学    日付：9月2日(日) 10時47分
(2) MARINE さんの式の後を続けてみます。

ｆ(x)＝(x - 2){-xk^2 + (x^2 + 1)k - x}
　　　＝(x - 2){kｘ^2－(ｋ^2＋1)ｘ＋ｋ}
　　　＝(x - 2)(ｋｘ－1)(ｘ－ｋ)
　　　＝ｋ(x - 2)(ｘ－1/k)(ｘ－ｋ)
ｆ(x)＝0 の解は、ｘ＝2, 1/k, k
ｋ≧2 だから　1/k＜2≦ｋ、またｋ＞0だからグラフを考えれば

ｆ(x)≧0 の解は
　ｋ＝2 のとき、ｘ≧1/ｋ　　(グラフは ｘ＝2 でｘ軸と接している）　ｋ＞2 のとき、1/k≦ｘ≦2 ,ｘ≧ｋ

　　

33777．(untitled)
名前：SUE    日付：9月2日(日) 11時57分

MARINEさん、数得手 学さん、簡潔な回答を
ありがとうございました。

33770．積分  
名前：こぶ平    日付：9月2日(日) 3時29分
次の極限を求めよ。
lim[n→∞]Σ[k=n～3n-1]{1/(n+k)}log(n+k)/n
公式を使うことができません。やり方お願いします。


33787．Re: 積分
名前：豆    日付：9月3日(月) 9時21分
この表記だと、nはlogの外なので出来そうにないですが、
もし、logの中なら、
{1/(n+k)}log((n+k)/n)=(1/n)(1/(1+(k/n))log(1+(k/n))
よって、
与式=∫[2→4]logxdx/x=((log4)^2-(log2)^2)/2

33769．(untitled)  
名前：桜    日付：9月1日(土) 22時26分
1)方程式 xe^x=1 の解はただ一つであり、その解aは1/2<a<1を満たすことを証明せよ。ただし、2<e<3を用いても良い。
(2)ある定数ｃに対し、２つの曲線y=log(x+c)とy=e^xがただ１つの共有点を持つとき、ｃの値をａを用いて表せ。
また、共有点におけるy=e^xの接線の方程式をａを用いて表せ。
(3)ａは不等式a^2+a-1<0を満たすことを示せ。
(4)√５<ｃ<5/2が成り立つことを示せ。

(2)以下の方針を教えてください。

(2)で、y=e^x、y=log(x+c)のy=tとなるx座標の差が最小となるときの、その差分だけ平行移動させればいい
として解いたのですが、答えが違っているようです。
よろしければ、この方針のどこが間違っているのかも教えてくださるとありがたいです。


33788．Re: (untitled)
名前：豆    日付：9月3日(月) 13時44分
(2)はグラフの形から接する場合を求めればいいのじゃないでしょうか？

33768．(untitled)  
名前：ゆい    日付：9月1日(土) 22時14分
三角形ABCにおいて、A＝１２０°、ｃ＞ｂ、a＝√２１、面積S＝√３であるとき、次の値を求めよ。
①ｂ、ｃ
②外接円の半径R
③内接円の半径ｒ
お願いします！！


33773．Re: (untitled)
名前：tombi    日付：9月2日(日) 6時6分
①
面積Ｓ＝(1/2)bc(sin120)＝√3　より、bc＝4
余弦定理b^2＋c^2－2bc(cos120)＝21　より、b^2＋c^2＝17
　これらを、{b＞0，c＞0、c＞b}の条件の下に解いて、b＝1，c＝4

②
外接円の半径Rとして、公式Ｓ＝(abc)/(4R)より
　(4√3)R＝(√21)＊(1)＊(4)　から、R＝√7

③
内接円の半径をrとして、公式Ｓ＝(1/2)r(a＋b＋c)より
　2(√3)＝r{(√21)＋(4)＋(1)}　から、r＝{5√3－3√7}/2

33767．解き方はなんとなく解っているんですが・・・  
名前：櫻　井    日付：9月1日(土) 22時0分
半径１ｃｍの円の中心が、たて６ｃｍ、横８ｃｍの長方形の辺上を１周します。このとき、円が通る部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は３．１４とします。小学６年生です（￣□￣；）

33765．線型独立？線型従属？  
名前：dog    日付：9月1日(土) 15時13分
次の4次元列ベクトルｘ、ｙ、ｚは線型独立か線型従属かを判断せよ。理由も述べること。
　　｜１　｜　　　　｜０　｜　　　　｜１　｜
　　｜１　｜　　　　｜１　｜　　　　｜０　｜
ｘ＝｜ー１｜　　ｙ＝｜ー２｜　　ｚ＝｜ー３｜
　　｜０　｜　　　　｜０　｜　　　　｜１　｜


33766．Re: 線型独立？線型従属？
名前：MARINE    日付：9月1日(土) 17時41分
線型独立(1次独立) , 線型従属(1次従属) の定義に沿って進めます.

ax + by + cz = 0 を満たす a , b , c は実際に計算すると
(a , b , c) = (0 , 0 , 0) しか存在しません.
なので 1次独立です.

33762．ある範囲で常に成り立つ二次不等式　  
名前：スクレ    日付：9月1日(土) 11時37分
－２≦ｘ≦２の範囲で、関数ｆ（ｘ）＝ｘ＾２＋２ｘ－２、ｇ(ｘ)＝－ｘ＾２＋２ｘ＋ａ＋１について、次の命題が＋成り立つようなａの値の範囲をそれぞれ求めよ。
（１）すべてのｘに対してｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）
（２）あるｘに対して、ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）

解答（１）ａ＞５、（２）ａ＞－３
（１）と（２）の問題の違いがよくわかりません。
とりあえずｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）とおきました。
解説お願いします。


33763．Re: ある範囲で常に成り立つ二次不等式　
名前：猿マネー    日付：9月1日(土) 13時53分
(2)は「すべてのｘに対してg(x) ≧ f(x)」とならないと考えよう。

33764．Re: ある範囲で常に成り立つ二次不等式　
名前：七    日付：9月1日(土) 14時50分
－2≦x≦2 の範囲で
(1)ｈ（ｘ）の最小値＞0
(2)ｈ（ｘ）の最大値＞0 であればよい。

33780． ある範囲で常に成り立つ二次不等式　
名前：スクレ    日付：9月2日(日) 14時19分
(1)ｈ（ｘ）の最小値＞0
(2)ｈ（ｘ）の最大値＞0
なぜ（１）だと最小値で（２）だと最大値なんですか？
教えてください。
お願いします！！！！

33759．幾何学の問題です。（２）です。  
名前：dog    日付：9月1日(土) 7時9分
ｆを集合Ｘから位相空間（Ｙ，ｗ)への全射とするとき、次のことがらを証明せよ。
(1)　Ｔ＝｛ｆ＾(-1)（Ｕ）｜Ｕ∈ｗ｝とおくとき、ＴはＸ上の位相である。
(2)　Ｔはｆを（Ｘ，Ｔ）から（Ｙ，ｗ）への連続写像とするＸ上の最も弱い位相である。


33761．Re: 幾何学の問題です。（２）です。
名前：ダイヤ    日付：9月1日(土) 7時40分
(1)
(ⅰ)
φ , Y∈wでf^(-1)(φ)=φ,f^(-1)(Y)=X なのでφ,X∈T

(ⅱ)
f^(-1)(U[1]) ∩ ・・・ ∩ f^(-1)(U[n])
=f^(-1)(∩U[k]) (from 1 to n)

∩U[k]∈w より f^(-1)(∩U[k])∈T

(ⅲ)
∪[λ∈Λ]f^(-1)(U[λ]) = f^(-1)(∪ U[λ])

∪ U[λ]∈w よりf^(-1)(∪ U[λ])∈T

(2)
f ： X→Y が連続なので
任意のO∈wに対してf^(-1)(O)はXの開集合となる.

A が位相空間(X,B)の開集合であるとはA∈Bとなることだったので
fを連続とする最も弱いXの位相は{f^(-1)(O) ； O∈w}であり
これとTは一致するのでTはX上のfを連続写像とする最弱の位相となる

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