2005年06月 の投稿ログ


21758.群について  
名前:紀沙(大学1年)    日付:6月30日(木) 22時0分
「Hは群Gの部分集合で、このとき
e∈H (eは単位元)
ならば、Hは部分群であることを示せ。」
という問題について教えてください。
e∈Hはすでに満たしていますから、
あとはHがGの演算について閉じていること、Hが逆元について閉じていることを示せばいいと思うのですが、この2つの証明の方法が分かりません。
H⊂Gなら、群Gは閉じているので、HもGの演算について閉じている、といった具合では説明不足でしょうか?



21759.Re: 群について
名前:のぼりん    日付:6月30日(木) 22時7分
紀沙さん、このままでは成り立ちません。問題文を省略せず全部書いて下さい。

【反例】G を加法巡回群 G=Z/(3Z)、H={0,1} とすれば、e=0∈H ですが、H は G の部分群ではありません。


21764.Re: 群について
名前:紀沙(大学1年)    日付:7月1日(金) 10時42分
すみません。正しくは、
Hを群Gの部分集合と仮定する。次が成立するならば、Hが部分群であることを示せ。
(a)e∈H
(b)すべての要素a,b∈Hに対してab,a^-1(aの逆元)∈H
このaとbはそれぞれ別だと思っていたのですが、どうやらこの二つが成立するとき、という意味みたいです。
すみませんが、よろしくお願いします。 


21774.Re: 群について
名前:のぼりん    日付:7月1日(金) 20時57分
文献によっては、(a)、(b) を部分群の定義にしています。
紀沙さんの部分群の定義は、何ですか?
それ次第で、回答も変わってきます。


21780.Re: 群について
名前:紀沙(大学1年)    日付:7月1日(金) 23時25分
(a)、(b) が定義となっているのですが、
上の問題が演習問題に入っていました。。。
この定義の証明方法はないのでしょうか?


21783.Re: 群について
名前:のぼりん    日付:7月2日(土) 6時14分
誠に単純な回答で恐縮ですが、(a)、(b)が定義と言うことであれば、
   H は部分群の定義を満たすので、Gの部分群である
と書けば証明になると思います。随分簡単な問題ですね。^^


21784.Re: 群について
名前:紀沙(大学1年)    日付:7月2日(土) 8時9分
それで良かったのですか。。。
何度も返信していただいたのに申し訳ないです(><;
のぼりん様、ありがとうございました!

21755.リミットに三角関数が入った問題なのですが・・・  
名前:メルトフラクチャー    日付:6月30日(木) 20時44分
lim xsinx/(1-cosx)
x→0 という問題なのですが、どうやって式変形して行けばよいのかがわかりません。単純に(1+cosx)をどっちにも掛けてってやってみましたが、わからなくなりました・・・
どなたか教えていただけませんでしょうか?



21760.Re: リミットに三角関数が入った問題なのですが・・・
名前:のぼりん    日付:6月30日(木) 22時13分
メルトフラクチャー さん、こんばんは。その方針で解けますよ。

   xsinx/(1-cosx)=xsinx(1+cosx)/(1-cos2x)
   =xsinx(1+cosx)/sin2x=(x/sinx)(1+cosx)sinx
   →1×(1+1)×0=0(x→0)


21763.Re: リミットに三角関数が入った問題なのですが・・・
名前:花パジャ    日付:7月1日(金) 10時3分
=(x/sinx)(1+cosx)sinx→1×(1+1)×0=0
でなくて
=(x/sinx)(1+cosx)→1×(1+1)=2
かと


別解)
xsinx/(1-cosx)=x*2sin(x/2)cos(x/2)/(2sin^2(x/2))=xcos(x/2)/sin(x/2)=2cos(x/2)*((x/2)/sin(x/2))→2*1*1=2


21773.Re: リミットに三角関数が入った問題なのですが・・・
名前:のぼりん    日付:7月1日(金) 20時52分
花パジャさん、ご指摘のとおり、計算間違いです。
恐れ入りました。

21754.これを。  
名前:すすか(中3)    日付:6月30日(木) 20時9分
下の問題は、どれもレベルが高い高校の問題です。
ぜんぜんわかりません。 お願いします。

(1)2ab+a+2b+1  (2)a二乗-b二乗-a+b

(3)a二乗-4分の1b二乗  

(4)(x二乗-8)二乗-9(x二乗-8)+8

(5)x二乗-4xy+4y二乗+2(x-2y)-3



21756.Re: これを。
名前:TOM    日付:6月30日(木) 21時9分
何をするのかな?って因数分解かな

(1)2ab+a+2b+1=(2ab+a)+(2b+1)
           =a(2b+1)+1・(2b+1)
           =(a+1)(2b+1)
(2)a^2-b^2-a+b
  =(a^2-b^2)-(a−b)
  =(a+b)(a−b)−1・(a−b)
  =(a+b−1)(a−b)

(3)a^2-(1/4)・b^2
   =a^2−{(1/2)b}^2
   ={a+(b/2)}{a−(b/2)}

(4)(x^2−8)^2-9(x^2−8)+8
x^2−8=Aとおく
     A^2−9A+8=(A−8)(A−1)
Aをもどし
    (x^2−8−8)(x^2−8−1)
   =(x^2−16)(x^2−9)  
  =(x+4)(x−4)(x+3)(x−3)
(5)x^2-4xy+4y^2+2(x-2y)-3
  =(x^2-4xy+4y^2)+2(x-2y)-3
  =(x−2y)^2+2(x−2y)−3
 x−2y=Aとおく
  =A^2+2A−3=(A−1)(A+3)
  =(x−2y−1)(x−2y+3)
 


21757.Re: これを。
名前:すすか(中3)    日付:6月30日(木) 21時28分
難しいですね。
理解したかもわかりません

21753.大学入試  
名前:某大学の大学生    日付:6月30日(木) 19時10分
この問題は僕が受験した入試なのですけどこの問題が分からないまま入試を受けてしまいました。しかし合格だったんです。でその答えが未だ分かりません。教えてください!1グラムから40グラムまで、1グラムきざみの重さを持ったコインが40枚ある。このコイン1枚の重さを天秤ばかりで量りたい。どのコインでも量れるようにするには、最低何種類のおもりが何個ずつ必要でしょうか?
次の各場合について考えてください。
(1)一方の皿に物体を、他方におもりをのせてつり合わせる場合。
(2)物体を乗せる皿にも、おもりをのせることを許す場合



21762.Re: 大学入試
名前:ヨッシー    日付:7月1日(金) 0時45分
(1) 1,2,4,8,16,32 の6種類
(2) 1,3,9,27 の4種類
(1) の32 は、9以上32以下ならいくつでもいいです。
  
http://yosshy.sansu.org/


21791.Re: 大学入試
名前:我疑う故に存在する我    日付:7月2日(土) 20時26分
片方の場合

おもりが五種類では高々 2^5 = 32 通りしか量れないから最低限 6 種類は必要。


21838.Re: 大学入試
名前:らすかる    日付:7月4日(月) 19時8分
両方の場合

おもりが三種類では高々 3^3 = 27 通りしか量れないから最低限 4 種類は必要。

21748.2問  
名前:ひろ    日付:6月29日(水) 23時16分
(1)原点からの距離がpで、x軸の正の方向となす角が90°+θの直線の式を求めよ

(2)方程式6sin^(2)x-cosx-5=0を解け。(90°≦x≦180°)

宜しくお願いいたします



21752.Re: 2問
名前:ヨッシー    日付:6月30日(木) 13時4分
(1)
x軸との角がθの直線の傾きは tanθ であることより、求める直線は
 y=tan(90°+θ)x+m
と書けます。ただし、θ=nπ(nは整数)の場合(y軸に平行)は別で、x=±p が求める直線です。
それ以外の場合、tan(90°+θ)=-cotθ より、
 y=-cotθx+m
とおくと、原点からの距離は、|m|/√(1+cot^2θ)=p
 |msinθ|=p
 m=±p/sinθ
 以上より、
 θ=nπ(nは整数) のとき x=±p
 それ以外のとき y=-cotθx±p/sinθ

(2) sin^2x=1−cos^2x を代入すると、
 6−6cos^2x−cosx−5=0
 6cos^2x+cosx−1=0
 (3cosx−1)(2cosx+1)=0
90°≦x≦180° より、cosx≦0 なので、
 cosx=−1/2
よって、
 x=120°
  
http://yosshy.sansu.org/


21765.Re: 2問
名前:    日付:7月1日(金) 11時12分
(1)の蛇足ですが、分母を払っておけば場合わけは不要です。
xcosΘ+ysinΘ=±p


21775.Re: 2問
名前:ひろ    日付:7月1日(金) 22時26分
ありがとうございます。
>分母を払っておけば場合わけは不要です
この意味がよくわかりません。


21779.Re: 2問
名前:    日付:7月1日(金) 23時22分
ヨッシーさんの示された
θ≠nπ(n:整数)のとき、y=-xcotθ±p/sinθ (*)
の分母を払う(両辺にsinθを掛ける)と、
xcosθ+ysinθ=±p という式になるのは分かりますね。
この式にθ=nπを代入すると、x=±pとなり、
θ=nπの場合もこの式一つで言い尽くせていると言うことです。
場合わけしたのは(*)ではθ=nπのとき、分母が0になるので
式として成り立たないからですね。

一般的に言えば、
y=mx+nの形の直線の式は傾きがm、y切片がnということで、
直感的には分かりやすい形なのですが、y軸に平行なx=pという
直線を表すことができないという欠点があります。

それに対して、ax+by+c=0という形式で書けばすべての直線を
表現することが出来ます。(定数を一つ増やしている価値です)
y軸に平行な直線がありえるときの注意点です。

21747.(untitled)  
名前:みーくん(小6)    日付:6月29日(水) 20時56分
Original Size: 490 x 305, 3KB

宿題ですが、全く分かりません。
教えてください。

合同な長方形が2つあり、
たては18cm、よこは24cmです。

Fを中心にして、長方形EFGHを反時計周りに回転させるとき、
重なりの面積が初めて最大になるのは、どういう位置関係のときですか?



21751.Re: (untitled)
名前:みーくん(小6)    日付:6月30日(木) 10時4分
すいません。反時計まわり、じゃなくて時計まわりでした。


21776.Re: (untitled)
名前:みーくん(小6)    日付:7月1日(金) 22時28分
お願いします。
誰か教えてください


21790.ちゃんと確認していませんが、考え方は使えるはずです
名前:黄桃    日付:7月2日(土) 18時43分
小学生相手に、図を使わず、わかりやすく説明する自信は私にはないですし、実は、ちゃんと計算もしてないので間違っているかもしれませんが、次の考え方は役に立つと思うので、説明してみましょう。

長方形EFGH を時計回りに回すのをイメージしてください。所々に状況が変わるところがでてきますので、そのポイントを押さえていく、という方針で行きます。
どこで、状況が変わるかというと、次のところです(これに気づけば9割できたようなものだと思います)。
0. 最初の位置
1. EF が FB に重なる時
2. FG が FD に重なる時
3. FE が FD に重なる時
4. FG が FC に重なる時
5. FG が FA に重なる時
6. FE が FC に重なる時
7. FG が FB に重なる時
8. 最初の位置

0-1 の間で、長方形EFGH が回転して E'FG'H' となったとして、その時 P,Q がP',Q' となったとしましょう。すると、△FPP' と△FQQ'は相似な直角三角形で、PF と QF の長さの関係から△FQQ'の方が大きいことがわかります。したがって、この間では、回転すればするほど面積が大きくなります。ちょうど1の位置のときの P,Q を P1, Q1 と書くと、P1=B で、Q1 は BD 上のDに近いところにあり、FB(=FP1) より FQ1 の方が長くなっています。

1-2 の間で、長方形EFGH が回転して E'FG'H' となったとして、その時 P,Q がP',Q' となったとしましょう。すると、△FP'P1 を90度回転させるとFP1 の方が FQ1 より短いので、△FQ'Q1 にすっぽり入ってしまいます。したがって、この場合も回転すればするほど重なりの面積が大きくなります。

というような考えを 2-3, 3-4 で順次行っていくと(本当は、EFGHが回転して行く時に、Cがいつ重なり部分にはいるか確認しないといけないのですが、ここでは、4-6 の間はずっと重なり部分に入っていることは図からわかることにしておきます;ここ計算で確認してないので、違っていたらごめんなさい。もし、Cを含む角が重なりから外れる場合があるなら、その時も状況が変わる場所として考慮しないといけなくなります。でも、小学生相手の出題ということで、そんな場合はない、と出題者を信用することにします ^_^;;)、5の時までは面積が増えていき、そこから先は面積が減少していくことがわかります(自分で図をかいて確認してください)。

したがって、求める答は、長方形EFGHのFGがFAと重なった時、となります。

21746.1=09999........?  
名前:akihiro    日付:6月29日(水) 20時1分
学校で1=0.999.....(無限小数)は成り立つといわれたのですが、どうも良く分りません。数直線をちょうど1と前の数字の所で切ると、前の実数が0.99999....になると思うのですが。教えてください。高1ですが教科書にはのって無かったです(笑



21749.Re: 1=09999........?
名前:    日付:6月29日(水) 23時27分
しょっちゅうこの手の掲示板に出てくる話ですね。
もう少し進めば、数列とか無限級数とか言う概念を学びますので、
その時に、理解は深まると思います。

私も中3だったか高1だったか推薦図書で読んだ以下の本が
夏休みに読むにはいいと思いますのでお奨めします。
いずれも岩波新書(今は高くなって\700+taxですが)
吉田洋一「零の発見」
遠山啓「無限と連続」

いろんな説明がされていますが、とりあえずごまかすには、
x=0.999…とおくと、10倍して
10x=9.999…
下の式から上の式を引くと小数点以下はキャンセルするので、
9x=9  ∴x=1
本質的な説明になっているとは思えませんが・・・


21761.Re: 1=09999........?
名前:akihiro    日付:6月30日(木) 22時29分
x=0.999....ならばx=1ということでX=1ならばX=0.999...ということではないということでしょうか?本読んでみます。ありがとうございました。


21766.Re: 1=09999........?
名前:    日付:7月1日(金) 13時2分
いえいえ、1=0.999・・・ と言っているだけです。


21771.Re: 1=09999........?
名前:Pilotyyc    日付:7月1日(金) 19時33分
0.3333....=1/3
1=1/3*3


21782.Re: 1=09999........?
名前:キューダ    日付:7月2日(土) 5時51分

これは「小数の表現方法」に関する錯覚です。

特定の進法において、ある有理数を、小数表記法によって表そうとするとき、
「綺麗に」表せない事があります。
ここで「綺麗に」と書いているのは、「(ドットを使わず)有限に」という
意味であり、このような場合、同じ値に対し、大小関係の錯覚を引き起こし
かねないようなものを含む、複数の表現方法があることがあります。

この端的な例が、0.9999...=1=1.0=1.0000000=1.000...です。
これらいずれも、同じ「値」を表現しています。
表現のされ方が違うだけで、同じものなのです。


小数には、数字を順に比べる事で、大小関係を判断できるというすばらしい
性質があります。
通常は正しいのですが、無限につづくものの場合は、正しくない事もあります。
「無限」には注意が必要であるという、いい教訓にもなっていますね。

21744.なるべく早くおねがいします!!!  
名前:koko    日付:6月29日(水) 16時46分
m3というのはなんて言うんですか?小学4年です



21745.Re: なるべく早くおねがいします!!!
名前:    日付:6月29日(水) 17時22分
体積もしくは容積の単位のことでしょうか?3はmの右肩に小さく書かれているでしょうか?
だとしたら「立方メートル」のことです。「りっぽうめーとる」と呼びます。
これは、立方体(さいころの形)で一つの辺の長さが1m(メートル)のものの体積を表します。

m(メートル)は漢字で「米」という当て字を使うので、時々「立米」と書いて「りゅうべい」と呼んだり
することも有ります。お父さんにそんな言い方するか聞いてみてください。


21750.Re: なるべく早くおねがいします!!!
名前:koko    日付:6月30日(木) 7時42分
ありがとうございました今日の朝、1分間スピーチで話すんです

21741.証明問題教えてください。  
名前:テスト前の中1(中1)    日付:6月29日(水) 10時4分
証明問題がわからないので教えてほしいです。「三角形ABCでBCの中点をDとする。また辺AB、ACをそれぞれ斜辺とする直角二等辺三角形ABG、ACHを三角形ABCの外側に作る。このときDG=DH、∠GDH=90°を証明しなさい。」という問題です。お願いします。



21742.Re: 証明問題教えてください。
名前:テスト前の中1(中1)    日付:6月29日(水) 11時22分
何とか自力で解けました。またわからない問題があればお願いします。

21737.お願いします。  
名前:すすか(中3)    日付:6月28日(火) 20時7分
問 x=√2の時、x二乗-ax-4の値は√18-2になるという。
 aの値を求めなさい。

問 √2+√8=√2+8としてはいけないのはなぜですか?
         ↑
    これは2+8を√が覆ってると考えてください

よろしくお願いします。 



21738.Re: お願いします。
名前:TOM    日付:6月28日(火) 20時55分
問1
x^2−ax−4=√18−2
x=√2を代入

(√2)^2−a・√2−4=√18−2
2−√2a−4=3√2−2
−√2a−2=3√2−2

a=−3

問2
√(2+8)=√10=3.16・・・
√2+√8=√2+2√2=3√2=4.2・・
あきらかにちがう


21740.Re: お願いします。
名前:すすか(中3)    日付:6月28日(火) 22時35分
問2の意味がわからないのですが。。。


21743.Re: お願いします。
名前:ヨッシー    日付:6月29日(水) 16時16分
「いけないのはなぜですか?」に対して、「左辺と右辺が正しくないからです」
と答えれば十分と思いますが、正しくないことを答案らしく示すには
例えば、
(左辺の2乗)=(√2+√8)^2=(√2+2√2)^2=(3√2)^2=18
(右辺の2乗)=(√10)^2=10
2乗したものが異なるので、元の数どうしも等しくない。
とでもしておけばどうでしょう。
 
http://yosshy.sansu.org/

21730.√3  
名前:たけしま高2    日付:6月28日(火) 7時1分
√3=1.7320508・・・・・
√3を少数表示にしたとき小数点以下の数を2桁ずつ見ていきます。
73,32,20,05,50,08,・・・・・・・・
このときこの2桁の数のうちで7の倍数になるものはあるでしょうか?
また、√nで同様の7の倍数を持つ自然数nはあるでしょうか?
というのが今回の質問です。お願いします。



21731.Re: √3
名前:ヨッシー    日付:6月28日(火) 9時18分
√3=1.73205080756…
なので、07 とか 56 などがあります。
√2=1.414213562…
なので、14, 42, 21, 35, 56 などがあります。
 
http://yosshy.sansu.org/


21736.Re: √3
名前:たけしま高2    日付:6月28日(火) 18時19分
全ての自然数nについて√nを小数点表示したとき同様な7の倍数を持つのですか?

21729.こんにちは。  
名前:パックマン    日付:6月28日(火) 7時0分
はじめまして塾講師をしてます。最近生徒が持って来た問題です。2問とも中1の知識で解けるらしいです。恥ずかしながらわかりません。(ピタゴラスの定理は使ってはだめらしいです・・。)
「角Aが90度の三角形ABCの辺BC上にAにとは反対側にBCを一辺とする正方形BCDEを作る。このとき∠DAE<45度を証明しなさい。」「三角形ABCの辺BC上にAとは反対側にBCを一辺とする正三角形BCDを作る。このときAB+AC≧ADを証明しなさい。」



21733.Re: こんにちは。
名前:ヨッシー    日付:6月28日(火) 10時38分
2つ目はこんな感じです。

△ABD と同じ三角形をDBがDCに重なるように作ると、△DAA’は
正三角形になり、AD=AA’ となります。
△AA’C において、
 AC+A’C=AC+AB>AA’=AD
等号が成り立つようなことがあるかは、吟味していません。
ご自身でご確認下さい。

1つ目は、円周角が使えれば一発ですが。
 
http://yosshy.sansu.org/


21739.ありがとうございました。
名前:パックマン    日付:6月28日(火) 22時21分
たいへんよくわかりました。ありがとうございました。

21721.教えてください!!  
名前:yama(高二)    日付:6月27日(月) 13時59分
2つのベクトルa=(2,-1,4),b=(1,0,1)の両方に垂直で大きさが6のベクトルを求めよ(a,bはベクトルです)という問題がわかりません。お願いします。



21722.Re: 教えてください!!
名前:ヨッシー    日付:6月27日(月) 14時9分
求めるベクトルを=(x, y, z) とおいて、
 が垂直
 が垂直
 の大きさが6
の3つの式を立てて、連立方程式を解きます。
http://www.geocities.co.jp/Playtown-Dice/5061/


21723.Re: 教えてください!!
名前:yama    日付:6月27日(月) 14時17分
すみません、連立が解けません↓↓↓


21725.Re: 教えてください!!
名前:ヨッシー    日付:6月27日(月) 14時21分
 2x−y+4z=0 ・・・(1)
 x+z=0 ・・・(2)
 x^2+y^2+z^2=36 ・・・(3)
この3つで良いですね?
(2)より、z=−x
(1)に代入して、整理すると y=−2x
(3)に代入して
 x^2+4x^2+x^2=36
 6x^2=36
 x=±√6
(以下略)
 
http://yosshy.sansu.org/


21726.Re: 教えてください!!
名前:yama    日付:6月27日(月) 14時30分
解けました!ありがとうございました!!

21717.受験問題が解けません  
名前:高校3年生    日付:6月27日(月) 3時28分
f(x)=x^3 -3(a+1)x^2 +12ax -9a+1
(a>1)とするとき
 f(x)の極大値(a)をもとめ、また 直線y=M(a)と曲線y=(x)で囲まれる部分の面積を求めよ。

猿でもわかるように教えて下さい



21719.Re: 受験問題が解けません
名前:wakky    日付:6月27日(月) 13時9分
まず微分
f'(x)=3(x-2a)(x-2)
f'(x)=0のときx=2a,2
a>1より2a>2
ここでf(x)の増減表と書いて(省略)
x=2のとき極大となり
M(a)=f(2)=3a-3・・・(答)
曲線y=f(x)は点(2,3a-3)で直線y=M(a)と接することはすぐにわかる。
(グラフをイメージしてください。)
曲線y=f(x)と直線y=M(a)のもう一つの交点のx座標を求めると
x^3-3(a+1)x^2+12ax-9a+1=3a-3と解けばよい
移行して整理して因数分解すると
(x-2)^2(x-3a+1)=0
よって、もう一つの交点のx座標は x=3a-1>2
2≦x≦3a-1の範囲ではM(a)≧f(x)なので
よって求める面積は
(3a-3)-f(x)を2から3a-1まで定積分すれば求まります。
計算は面倒なので省略します。

21714.連立合同式  
名前:困ったおっさん    日付:6月26日(日) 21時23分
x≡5(mod11)
x≡3(mod17)
この連立合同式を解け・・・
中国剰余定理やガウスの方法を用いないで
どうやってできるのでしょうか?
どうやってもできない・・・



21716.Re: 連立合同式
名前:らすかる    日付:6月26日(日) 21時52分
例えば
x≡5(mod11), x≡3(mod17) から
mod11の方が0になるように6足すと
x+6≡0(mod11), x+6≡9(mod17)
33≡0(mod11), 33≡-1(mod17)なので
x+6+33×9≡0(mod11), x+6+33×9≡0(mod17)
従って x+303≡0(mod187) なので
x≡-303≡71(mod187)

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


21718.Re: 連立合同式
名前:困ったおっさん    日付:6月27日(月) 10時9分
ありがとうございました。
難しいものですね。
11×3=33
17×2=34≡−1(mod3)で 33≡0(mod3)だから
9をかけて9−9=0としてmod0にする。
11と17は互いに素だから・・・
という理解でいいのですね。


21720.Re: 連立合同式
名前:らすかる    日付:6月27日(月) 13時47分
はい、その通りです。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp


21734.Re: 連立合同式
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月28日(火) 12時40分
一般に多元連立合同式を解く方法は次のとおり。

(1) 法がいろいろあるとき、それらの最小公倍数に統一する。

この場合、
x≡5(mod11)
x≡3(mod17)

より、
17x ≡ 85 (mod. 187) ................. (1)
11x ≡ 33 (mod. 187) ..................(2)

ここまでは同値変形となる。
次に加減法で未知数を求める。
(順序はいろいろある。)例えば

(1) - (2)
6x ≡ 52 (mod. 187) ..................(3)
(3) × 2 - (2)
x ≡ 71 (mod. 187) ..................(4)

最終的に解なしとなったり、解が複数出ることもあるが、
加減法は必要十分変形で無いので、出て来た解をもとの方程式に入れて
解になっているかどうか実際確認する必要がある。

21711.計算なのですが。。。  
名前:すすか(中3)    日付:6月26日(日) 20時50分
計算している何がなんだ混乱してきます。

問 (1)2√2-3分の√18+√32

  (2)√45-2分の√80−3分の√45

  (3)√3(√3+√2)+√2(√3-√2)

  (4)3√2(√6+2)-√3(4-5√6)

  (5)(√3-5)(2√3+3)

  (6)(2√2-√5)二乗

  (7)(3-√7)二乗-6√7
                  よろしくお願いします。



21712.Re: 計算なのですが。。。
名前:すすか(中3)    日付:6月26日(日) 20時51分
「計算していると何がなんだか混乱してきます」の間違えです。


21713.Re: 計算なのですが。。。
名前:TOM    日付:6月26日(日) 21時22分
(1)√18=
   √32=     簡単にしましょう
(2)√45=
   √80=
   √45=
(3)分配法則は知ってます?
(4)分配法則までやってみましょう
(5)展開公式知ってます? (A+B)(C+D)
(6)(A−B)^2 の展開知ってます?
(7)(6)の応用です

途中式まで書き込んで!答え教えても意味ないから!!


21715.Re: 計算なのですが。。。
名前:すすか(中3)    日付:6月26日(日) 21時46分
(1)が√8-√2+4√2まで

(2)は答えが√8?

(3)が(√3+√2)(√3-√2)にまとめて、1になる

(4)はわかりません

(5)が(√3-5)(√12+3)になる
                      こんな感じになりま
(6)が8-4√25-5?になる       した。 
                      

(7)が9-6√7+7?になる

                        


21724.Re: 計算なのですが。。。
名前:ヨッシー    日付:6月27日(月) 14時18分
(1) (√18)/3=√2、 √32=4√2
 などは、理解されているようですね。
 では、  3√2−2√2  は出来ますか?
(2) も同様です。

(3) √3(√3−√2)+√2(√3−√2) ならそれでよかったのですが。
 √3(√3−√2)=√3×√3−√3×√2=3−√6
 このような変形(展開)を、地道にやっていきます。
(4)も同様です。

(5) √3(√2+√5) のカッコははずせますか? では、
 (√3+√2)(√2+√5) は?

(6) もう一度、公式を見直すと、今度は出来るでしょう。
 ちなみに √2×√5=√25 ではありませんよ。
(7) も同様です。
 
http://yosshy.sansu.org/


21728.Re: 計算なのですが。。。
名前:すすか(中3)    日付:6月27日(月) 22時14分
今日、学校で答え合わせをしました。
なので、自分でもう一回やってみますね。
ありがとうございました。

21706.複素数  
名前:IGA(高2)    日付:6月26日(日) 18時29分
複素数は整数も入りますか?



21707.Re: 複素数
名前:中川 幸一    日付:6月26日(日) 18時30分
入ります。
http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

21704.Re.学校の宿題です。  
名前:松平正信 高3     日付:6月26日(日) 18時13分
先生に聞いたところ「バッカヤロ〜先生さまに間違いがあると思うのか〜だったら俺に教わるな〜」(笑)ここのホームページを見なさいと言われました。→http://quiz-tairiku.com/nan/q2.html

21702.(untitled)  
名前:数学苦手な高2    日付:6月26日(日) 14時48分
三角関数なんですけど…
sin13/6π+tan7/6π×sin(−π/3)+cos5/4π
の値はどうやって出すんですか??教えてください!!



21709.Re: (untitled)
名前:らすかる    日付:6月26日(日) 18時44分
sin(13/6)π=sin(1/6)π=1/2
tan(7/6)π=tan(1/6)π=√3/3
sin(-π/3)=-sin(1/3)π=-√3/2
cos(5/4)π=-cos(1/4)π=-√2/2
を代入すれば出ますね。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21701.(untitled)  
名前:☆KAHORI☆高1です★    日付:6月26日(日) 10時54分
次の式の展開式における、{}内に指定された項の係数を求めよ。
(1)(2x+3)3 {x2}
(2)(3x−2y)5 {x2y3}
()の後ろ、x、yの後ろの数字は二乗です。この問題の解き方を教えてください。 



21727.Re: (untitled)
名前:X    日付:6月27日(月) 15時23分
(1)
これは展開公式を使えばわざわざ二項定理を持ち出す必要はありませんね。
(2x+5)^3=8x^3+60x^2+150x+125
∴x^2の係数は60
(2)
二項定理を使うと
(3x-2y)^5=納k=0〜5](5Ck){(3x)^k}{(-2y)^(5-k)}
=納k=0〜5](5Ck)(3^k){(-2)^(5-k)}(x^k){y^(5-k)}
∴(x^2)(y^3)の係数は
(5C2)(3^2){(-2)^(5-2)}=10・9・(-8)=-720


21735.Re: (untitled)
名前:☆KAHORI☆高1です★    日付:6月28日(火) 17時28分
ありがとうございました。これで簡単に解けるようになりました。

21700.学校の宿題です。  
名前:松平正信 高3    日付:6月26日(日) 10時7分
1)ABCDの4人が、旅行中ある駅で下図のようなコインロッカーを利用しました。

1 4
2 5
3 6

各人の発言を元に、誰が何番のコインロッカーを利用したかを答えて下さい。
なお各人は、ロッカーの縦の並びを「列」、横の並びを「段」と言っています。

A「複数の人が1つのロッカーを一緒に利用することはありませんでした。また、私は左側の列のロッカーは使っていません」

B「俺は右側の列のロッカーは使ってないぞ」

C「僕の利用したロッカーとDさんの利用したロッカーの番号を足したら、Aさんの利用したロッカーとBさんの利用したロッカーの番号を足した数字と同じになったよ」

D「私は、Aさんが使ったロッカーと同じ高さのロッカーは使わず、それより上の段にあるロッカーを使いました。ちなみに、4人のうち1人が奇数番号の ロッカーを使い、他の3人が偶数番号のロッカーを使いました



21703.Re: 学校の宿題です。
名前:黄桃    日付:6月26日(日) 15時40分
問題が間違ってませんか?さもなくば、何人かうそつきがいるのですか?

A,B,C,D のロッカー番号を a,b,c,d とすると、

>C「僕の利用したロッカーとDさんの利用したロッカーの番号を足したら、Aさんの利用したロッカーとBさんの利用したロッカーの番号を足した数字と同じになったよ」

から、c+d=a+b ...(*) です。一方

> 4人のうち1人が奇数番号の ロッカーを使い、他の3人が偶数番号のロッカーを使いました

ということから、a,b,c,d のうち1つだけが奇数です。したがって、(*) の左辺か右辺かどちらか一方は奇数でもう一方は偶数です。これは矛盾ですから、解はありません。


21708.Re: 学校の宿題です。
名前:らすかる    日付:6月26日(日) 18時40分
Aが6、Bが2、Cが1と3、Dが4でしょうか。
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21710.Re: 学校の宿題です。
名前:黄桃    日付:6月26日(日) 18時47分
>先生に聞いたところ「バッカヤロ〜先生さまに間違いがあると思うのか〜だったら俺に教わるな〜」(笑)ここのホームページを見なさいと言われました。→http://quiz-tairiku.com/nan/q2.html

なんだ、一人で複数のロッカーを使ってもいいのですね。それなら解はあります。A=6, B=2, C=1と3, D=4 ですね(他に解はありません)。一人だけ、奇数番のを2つ、あとは、偶数のを1つずつ、とわかりますので、B がとりうるロッカーの番号(2 or 1と3)から考えていくと早いです。

21697.基本行列の積  
名前:docomo高3    日付:6月25日(土) 21時15分
ある行列Aの逆行列を求め、Aを基本行列の積で表しなさい。
以上の問題で、Aを基本変形した結果は単位行列です。
このとき基本行列の積で表す方法は一通りではないですよね??
よろしくお願いします。



21698.Re: 基本行列の積
名前:docomo高3    日付:6月25日(土) 21時16分
問題ではAは与えられています。

21691.わかりません 教えてください!  
名前:田中悦朗 中1    日付:6月25日(土) 15時24分
ねじれ二十面体の頂点・辺・面の数を答えなさい。
とき方を教えてください



21693.Re: わかりません 教えてください!
名前:ヨッシー    日付:6月25日(土) 15時27分
どんな形のものでしょうか?>>ねじれ二十面体
図を見て数えることも出来ないような形なのでしょうか?

二十面体というからには面は20個なんでしょうなぁ。違う?
 
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21696.Re: わかりません 教えてください!
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月25日(土) 18時13分
>ねじれ二十面体
twisted icosahedron で検索すると・・・・
頂点数・辺数・面数は正二十面体のそれと同じ。

#twisted dodecahedron のほうが図がきちんと書いてある。

21690.教えてください(>。<)  
名前:☆KAHORI☆高1です★    日付:6月25日(土) 15時6分
高1の数学1なんですけど・・・全然説けなくて困ってます。(>。<)長さ40pの針金を2つに切り、2本の針金をそれぞれ折り曲げて、正方形を2つ作る。それらの正方形の面積の和を最小にするには、針金をどのように切ればいいか?という問題なんですけど・・・教えてください(^。^)



21692.Re: 教えてください(>。<)
名前:ヨッシー    日付:6月25日(土) 15時24分
40cmの針金を xcmと40−xcmに切ったとします。
xcmの針金で出来る正方形の1辺は x/4cmなので、面積は(x/4)×(x/4)=x^2/16
40−xcmの針金で出来る正方形の1辺は 10−x/4cmなので、
面積は (10−x/4)×(10−x/4)=x^2/16−5x+100
よって、2つの正方形の面積の和は
 x^2/16+x^2/16−5x+100=x^2/8−5x+100
さて、これの最小値は?
もちろんxの範囲は 0<x<40 です。
 
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21687.(untitled)  
名前:もんた(小学5年生)    日付:6月25日(土) 10時49分
1から100までで約数の個数が一番多いものってどんな整数ですか?



21689.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:6月25日(土) 11時48分
ちょっと難しいかも知れませんが、こちらの第4回を見てみて下さい。

これを理解した上で、
例えば、60は、60=2×2×3×5 のように表せます。(素因数分解と言います)
2と書いたカードが2枚、3と書いたカードが1枚、5と書いたカードが1枚あり、
これらから適当に選んできて、かけ合わせたものが、60の約数です。
全部選ぶと60,何も選ばないと1です。
そして、その組合せの数だけ約数があると言えます。
2の選び方は、「2を選ばない」「1枚選ぶ」「2枚選ぶ」の3通り
そのそれぞれについて、
3の選び方が、「3を選ばない」「1枚選ぶ」の2通り、
同様に5の選び方が2通りで、全部で 3×2×2=12 通りの選び方があり、
60の約数は12個あるといえます。

ですから、素因数分解したときに、掛けられている数が多いものが約数も多くなりそうです。

数字1種類では
2×2×2×2×2×2=64 ・・・7個
3×3×3×3=81     ・・・5個 ←
5×5=25         ・・・3個 ← この辺は調べる必要もありませんが、一応書いておきます。
7×7=49         ・・・3個 ←
数字2種類では
2×2×2×2×2×3=96 ・・・6×2=12個
2×2×2×3×3=72   ・・・4×3=12個
2×3×3×3=54     ・・・2×4=8個
数字3種類では
2×2×3×5=60     ・・・3×2×2=12個
数字4種類では
2×3×5×7=210 ×

96,72,60 が約数12個で、一番多いです。
 

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21684.文字の式とその利用  
名前:アインシュタイン 中2    日付:6月25日(土) 7時7分
ある市の人口は、一昨年はX人であったが昨年は一昨年よりa%減り今年は昨年よりb%増えた。この市の今年の人口を求めよ。



21685.Re: 文字の式とその利用
名前:ヨッシー    日付:6月25日(土) 9時7分
まず、昨年の人口をXとaで表します。
次に、それを使って、今年の人口をXとaとbを使って表します。

例題1
a% を%を使わない割合量で表すと、どう書けますか?

例題2
ある市の人口が 一昨年は20000人 のところ、昨年は一昨年より、5%減った。
昨年の人口は何人か?
 式 20000×(1−(     ))
(    )に、適当な分数を入れて下さい。
 
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21680.楕円  
名前:たけしま高2    日付:6月24日(金) 18時43分
底面が楕円でその楕円の中心を通り楕円に垂直な直線上に頂点があるような楕円錘があります
このときこの立体の展開図を描いてください

おねがいします。

21668.命題  
名前:数学できない人(高3)    日付:6月24日(金) 0時31分
次の命題の真偽を述べよ。ただし,a,bは自然数,xは実数とする
x^2−2x−1<0ならば,x^2−2x−3<0かつ,|x−2|<2である
答えは,偽 なのですが反例が分かりません.おねがいします



21670.Re: 命題
名前:らすかる    日付:6月24日(金) 1時37分
x=0が反例。
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21667.上限、下限  
名前:007    日付:6月23日(木) 23時58分
次の集合Mの上限、下限を求めその理由を述べよ
M={(1/m)+(1/n)|m,nは自然数}
M={(-1)^n/n|nは自然数}
M={(-1)^n(1-1/n)|nは自然数}
この3つの上限、下限の求め方と証明のやり方を教えてください。



21688.Re: 上限、下限
名前:のぼりん    日付:6月25日(土) 11時32分
007 さん、こんにちは。解き方はどれも同じなので、最初の問題だけ解いて見ます。残りの二問も、これに準じてみて下さい。

自然数とは、正整数のことだと解釈します。m、n が自然数ならば、0<(1/m)+(1/n)≦2 です。よって、M の上限は 2 以下、下限は 0 以上です。(1/1)+(1/1)=2 なので、M の上限は 2 です。M の下限を ε とおき、ε>0 と仮定すると、m=n=2[1/ε]+2([ ] は Gauß 記号)は自然数で、(1/m)+(1/n)<ε なので、下限の定義に反します。よって、M の下限は ε=0 です。

21663.二次曲線  
名前:初夏    日付:6月23日(木) 22時13分
原点oとする。楕円x^2/9+y^2/4=1上の2点p,qが∠poq=90°を満たしながら動く。
1/op^2+1/oq^2=1の値は一定であることを示せ。
という問題でp(3cosα、2sinα),q(3cos(α+90°)、2sinα+90°))と置き
加法定理よりq(-3sinα、2cosα)となり1/op^2+1/oq^2=1に代入したのですが上手く計算できません。宜しくお願いします。1答えは13/36なのですが。



21666.Re: 二次曲線
名前:c.e.s.    日付:6月23日(木) 22時56分
実際に図を描いてみれば分かりますが、そのpとqの置き方では、∠poqは90°になるとは限りません。


21669.Re: 二次曲線
名前:初夏    日付:6月24日(金) 1時16分
返信ありがとうございます。でもなぜですか??図は書いたのですが...


21672.Re: 二次曲線
名前:    日付:6月24日(金) 8時59分
陥りやすい勘違いですね。
初夏さんの書いているαは楕円のある点と原点を結んだ
中心角にはなっていません。
<理由>
まず、x^2/9+y^2/9=1 という半径3の円を考えます。
ここで、x=3cosα、y=3sinα は円周上の点の中心角を表しています。
x軸はそのままにして、y軸を2/3縮めます。
そうすると、新しいY(大文字)軸はY=(2/3)y=2sinαとなります。
xとYは
x^2/9+Y^2/4=1を満たす楕円ですが、αは中心角じゃないのがわかりますね。

【ヨッシーさん、角度付きで円がつぶれて楕円になる動画を要望 m(__)m 】

さて、問題の解き方ですが、例えば、
y=mxとy=-/mの交点から求めることができますね。


21674.Re: 二次曲線
名前:ヨッシー    日付:6月24日(金) 10時42分
こんなので、いいっすか?


ちょっと大きかった(^^;
 
http://yosshy.sansu.org/


21675.Re: 二次曲線
名前:ヨッシー    日付:6月24日(金) 10時44分
あ、xとyまちがえた。
でも、直さない(^^;
 
http://yosshy.sansu.org/


21676.Re: 二次曲線
名前:    日付:6月24日(金) 12時14分
ヨッシーさん、ありがとうございました。
初夏さん、この動画で理解しやすいと思います。


21678.Re: 二次曲線
名前:    日付:6月24日(金) 13時16分
21672の最終行の直線の方程式でxが脱落していました。
y=mxとy=-x/m です。


21682.Re: 二次曲線
名前:初夏    日付:6月24日(金) 22時48分
豆さん、ヨッシーさんご返信ありがとうございます。
豆さんの言っている事は分かったのですが、私はp(3cosα、2sinα)、q(3cos(α+90°)、2sinα+90°))と置いているので楕円のパラメタ表示になっているのではないのですか?


21683.Re: 二次曲線
名前:    日付:6月25日(土) 0時29分
>P(3cosα、2sinα)、Q(3cos(α+90°)、2sinα+90°))と置いているので楕円のパラメタ表示になっているのではないのですか?

はいその通りです。楕円のパラメータ表示になってないとは言っていません。
中心角になっていないと言っているだけです。
これは最初にc.e.s.さんが言及されていることです。
初夏さんがパラメータ表示された条件では大方の場合、OPとOQは
直角になりません。なるのはPやQがx,y軸上にくるときだけです。
ですから、これでは問題の解決にはなりません。
もう一度、ヨッシーさんが書いてくれた動画を良くみてください。


21699.Re: 二次曲線
名前:初夏    日付:6月26日(日) 0時1分
豆さん何度もありがとうございます。
なんとなく分かりました。つまりp(3cosα、2sinα),q(3cos(α+90°)、2sinα+90°))と置いたのはx^2/9+y^2/9=1 という半径3の円の時のものをαと置いたのでそれからy軸を2/3縮めているのでx^2/9+y^2/4=1のは対応していないってことですね


21705.Re: 二次曲線
名前:    日付:6月26日(日) 18時23分
初夏さんの言葉が曖昧なので、で意が通じているのかどうか、よく分かりません。

>P(3cosα、2sinα),Q(3cos(α+90°)、2sinα+90°))と置いた
置くのは勝手です。PもQも
楕円、x^2/9+y^2/4=1の上の点となっています。
しかし、この場合に∠POxはαになってないですよ、
といっているだけです。
つまり、∠POQは直角じゃないですよ、と言っているだけです。

>半径3の円の時のものをαと置いた
ものとは何でしょう?

>y軸を2/3縮めているのでx^2/9+y^2/4=1のは対応していない
対応とは何でしょう?

曖昧といったは、こういう表現です。
何回も言いますが、ヨッシーさんの書いてくれた動画を良くみてください。
そして、どうすれば回答が導けるか(一つのやり方は示しました)
を考えてください。

21662.わかりません。  
名前:すすか(中3)    日付:6月23日(木) 22時9分
計算の問題です。

(1)(3+√10)二乗-6(3+√10)-1

(2)4√12-√3分の6+√48

(3)(√5+3)(√5-1)-√20

(1)が0 (2)が10√3 (3)が2という答えなのですが
計算しても合いません。式を教えてください。



21664.Re: わかりません。
名前:kei    日付:6月23日(木) 22時34分
(1)(3+√10)2-6(3+√10)-1
3+√10が2箇所あるので、3+√10でくくる(まとめる)。
(3+√10)(3+√10-6)-1
整理して
(√10+3)(√10-3)-1
(√10+3)(√10-3)の部分が、(a+b)(a-b)の形になっているので、公式「(a+b)(a-b)=a2-b2」を使う。
(√10)2-32-1
=10-9-1
=0

(2)4√12-6/√3+√48
√12=√(22×3)=2√3
√48=√(24×3)=4√3
1/√3=√3/(√3×√3)=√3/3
であることから次のようになる。
8√3-2√3+4√3
=10√3

(3)(√5+3)(√5-1)-√20
√20=√(22×5)=2√5なので次のようになる。
(√5+3)(√5-1)-2√5
ここで、√5=xとおくと、次のようになる。
(x+3)(x-1)-2x
=x2+2x-3-2x
=x2-3
=(√5)2-3
=5-3
=2


21665.Re: わかりません。
名前:すすか(中3)    日付:6月23日(木) 22時49分
あ〜そうやるのか!納得です。
ありがとうございました。

21657.整数  
名前:たけしま高2    日付:6月23日(木) 18時34分
n個の自然数の部分和でnの倍数になるものがある事を示せ
例、5,6,7,9の4個の数字では5+6+9が4の倍数

お願いします。



21671.Re: 整数
名前:らすかる    日付:6月24日(金) 2時2分
n個の数をa[i] (i=1〜n)とし、Σ[i=1〜k]a[i]をnで割った余りをr[k]とします。
r[m]=0となるmがあれば、Σ[i=1〜m]a[i]がnの倍数になり、題意を満たします。
r[m]=0となるmがない場合、r[i]はr[1]〜r[n]のn個あり、余りは1〜n-1のn-1種類
ですから、鳩の巣原理によりr[p]=r[q], p<qとなるp,qが存在します。
このとき、Σ[i=p+1〜q]a[i]がnの倍数となり、題意を満たします。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


21679.Re: 整数
名前:たけしま高2    日付:6月24日(金) 18時40分
ありがとうございました。

21652.積分  
名前:いちご    日付:6月22日(水) 22時39分
G(x)=∫[0〜x^(2)](t-1)e^(t)dtとおくとき
(dG)/(dx)>0となるxの範囲を求めよ。

詳しくおしえてくれると助かります。
おねがいします。



21653.Re: 積分
名前:c.e.s.    日付:6月22日(水) 22時51分
(d/dx)G(x)=(d/dx){∫[0,x^2]{(t-1)e^t}dt}
=(x^2-1)e^(x^2) d(x^2)/dx
 (なぜならば(d/dx)∫[a,x]f(t)dt=f(x)だから…☆)
=2x(x^2-1)e^(x^2)
よってdG(x)/dx>0⇔2x(x^2-1)e^(x^2)>0⇔2x(x-1)(x+1)e^(x^2)>0
⇔x(x-1)(x+1)>0
 (なぜならばすべてのxに対してe^(x^2)>0だから)
⇔-1<x<0または1<x

☆が肝ですね。微分積分学の基本定理というものです。


21656.Re: 積分
名前:いちご    日付:6月23日(木) 12時53分
ありがとうございます。
☆の部分難しいですね。
回答みても最初はわかりませんでした。

21649.文字式  
名前:マッサー    日付:6月22日(水) 20時19分
3分のX+2−X+2の答えをよろしくお願いします。先生と答えが合わなくて。ちなみに・・僕の答えは−3分の2X+8なんです。先生は、3分の−2X−4なんです。



21651.Re: 文字式
名前:TOM    日付:6月22日(水) 21時50分
問題文がよくわからん

{(x+2)/3}−x+2   ?

(x/3)+2−x+2  ?


21655.Re: 文字式
名前:ヨッシー    日付:6月23日(木) 8時36分
(x+2)/3 - x + 2 = (-2x + 8)/3
(x+2)/3 - (x + 2) = (-2x - 4)/3
ということでしょう。
 
http://yosshy.sansu.org/


21661.Re: 文字式
名前:マッサー    日付:6月23日(木) 21時43分
問題文は−X+2にカッコはついていませんでした。だから僕が正しいということですか?


21673.Re: 文字式
名前:ヨッシー    日付:6月24日(金) 10時1分
そういうことですね。
問題の書き写し等がなければ。
 
http://yosshy.sansu.org/

21647.作図(中二)  
名前:コータロー    日付:6月22日(水) 19時35分
はじめまして。よろしくお願いします。
問題は里奈さん4の作図問題と全く同じなのですが、あの問題はこの方法でも解けるのではないかと思いました。
1、辺ABと平行になる頂点Cを通る直線を引く。
2、その直線と辺BCとの交点をEとし、AとEを結ぶ。
3、直線AEは四角形を二等分している。
他の頂点を使ったり他の図形を使ったりすると成り立ちません。これ自体が間違っているのでしょうか。それとも、こうなることは説明できるのでしょうか。教えてください。



21654.Re: 作図(中二)
名前:らすかる    日付:6月22日(水) 23時54分
1で引いた直線は頂点Cを通るのですから、その直線と辺BCとの交点はCです。
つまりE=Cとなるわけですが、AとCを結ぶということですか?

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


21658.Re: 作図(中二)
名前:コータロー    日付:6月23日(木) 19時0分
すいません。頂点Cではなく頂点Dでした。


21659.Re: 作図(中二)
名前:らすかる    日付:6月23日(木) 19時10分
残念ながら、間違いです。
平行四辺形ABCDを考えれば、明らかに
間違いであることがわかると思います。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


21660.Re: 作図(中二)
名前:こーたろー    日付:6月23日(木) 21時4分
確かにそうでした。
ありがとうございました。

21642.(untitled)  
名前:あき     日付:6月22日(水) 1時27分
(X,≦)を整列集合とする
a,b∈X a≠bに対してX<aとX<bは順序同型でないことを示せ。

ちなみにX<aは{x∈X|x<a}  aによる切片のことです。

どうか解答おねがいいたします



21644.題名も書いて下さいね。
名前:のぼりん    日付:6月22日(水) 10時24分
あきさん、こんにちは。f:(X<b)→(X<a) が順序同型だとします。一般性を失うことなく、a<b と仮定すると、x∈(X<b)−(X<a)≠φ となる x が存在します。このとき、f(x)<x です。A={u∈(X<a)|f(u)<u}≠φ なので、c=minA が存在します。f(c)<c で、f は順序同型なので、d=f(c) とおくと、f(d)=f(f(c))<f(c)=d<c です。よって c>d∈A となり、c が A の最小元であることに反します。

21641.お願いします!  
名前:まち    日付:6月22日(水) 0時49分
x-y平面において、点(2,1)より、放物線y=x2(X二乗)ー3x+4へ引いた2つの接線と、この放物線が囲む部分の面積は、いくつか?

高校2年生です。
この問題の意味がよくわからなくて解けません!
よろしくお願いします。



21643.Re: お願いします!
名前:ヨッシー    日付:6月22日(水) 8時58分

図の黄色の部分の面積を求めろということです。
 
http://yosshy.sansu.org/


21645.Re: お願いします!
名前:まち    日付:6月22日(水) 16時2分
ありがとうございます。

どのようにもとめればいいですか?
解答もよろしくお願いします。


21646.Re: お願いします!
名前:X    日付:6月22日(水) 17時53分
まず、問題の接線の方程式と接点のx座標(積分を計算する上でy座標は不要)を求めることから始めて下さい。
その上で面積の計算に入りますが、点(2,1)を通るy軸平行の直線x=2で領域を分割して計算しましょう。

21638.教えてください  
名前:脩平    日付:6月21日(火) 17時37分
〈∫0〜π/2sinhxcosx/sinxの式です。

=sinh(π/2)・{log2-(1-1/2^2)§(3)/2^2+(1-1/2^4§(5)/2^4-(1-1/2^6+・・・}----@



21639.Re: 教えてください
名前:脩平    日付:6月21日(火) 17時38分
答えは何ですか?


21650.Re: 教えてください
名前:マッする    日付:6月22日(水) 20時53分
sinX2 

21634.微分の方法  
名前:えび    日付:6月21日(火) 1時27分
Original Size: 245 x 164, 6KB

大学2年なんですが、微分がわかりません。
何か参考になるページ、または、公式なるものや、回答を
教えてもらいたいのですが・・・

添付っていう場所に載せてみます。



21635.Re: 微分の方法
名前:HybridTh.(大学4年)    日付:6月21日(火) 3時51分
{sin(3x)}/{sin(4x)} = [{sin(3x)}/(3x)]*[(4x)/{sin(4x)}]*(3/4) → 1*1*(3/4) = 3/4 (x→0).

(1/{(x^2 + 1)^(1/4)}) ' = -(1/4)*{(x^2 + 1)^(-5/4)}*(x^2 + 1) ' = -(x/2)*{1/(x^2 + 1)}*[1/{(x^2 + 1)^(1/4)}].

sin^(-1)(x) = arcsin(x) と書きます.
(arcsin(x)) ' = {1/√(1 - (2x)^2)}*(2x) ' = 2/√(1 - 4x^2).

(3 - 2x)^5 = 5*{(3 - 2x)^4}*(3 - 2x) ' = -10*(3 - 2x)^4.

以上のようになりました. ミスがあるかも知れないので, ご自分でも計算してみてください.


21636.Re: 微分の方法
名前:えび    日付:6月21日(火) 5時0分
ありがとうございます!

他にもいろいろと問題があって、
どれがどんな答えか・・・もわかりません。

全部書くわけにもいかないので・・・

何か分かりやすい公式とかってありませんか?

自分で計算するには、そこが分からないことには・・・


21640.Re: 微分の方法
名前:HybridTh.(大学4年)    日付:6月21日(火) 18時29分
(f(x) + g(x)) ' = f '(x) + g '(x)
(k*f(x)) ' = k*f '(x)
(f(x)*g(x)) ' = f '(x)*g(x) + f(x)*g '(x)
(f(x)/g(x)) ' = {f '(x)*g(x) - f(x)*g '(x)}/{g(x)}^2

以上の基本公式と, 以下に説明する「合成関数の微分法」を用いれば大抵の微分計算はできると思います.

合成関数の微分法(細かいことは省略します)
{f(g(x))} ' = f '(g(x))*g '(x)

例: (x^2 + 1)^3 = 3*{(x^2 + 1)^2}*(x^2 + 1) ' = 3*{(x^2 + 1)^2}*(2x) = 6x*(x^2 + 1)^2.

詳しくは, 微分積分や解析学の教科書を参照してください.

21629.n階導関数  
名前:RedHat    日付:6月20日(月) 22時30分
高3です。f(x)=(x^2)e^(2x)のn階導関数を求める問題が分かりません。見当をつけて数学的帰納法だと思うのですが、
1回微分すると2e^(2x)((x^2)log[e]+x)で、
2回微分すると2e^(2x)(2(x^2)(log[e])^2 +4xlog[e]+1)、
3回微分すると2e^(2x)(4(x^2)(log[e])^3+12x(log[e])^2+6log[e])、以下略、
という具合になって、やり方が悪いのか見当がつきません。。
どうしたらよいのでしょうか?



21631.Re: n階導関数
名前:ast    日付:6月20日(月) 23時27分
いろいろ方法はあるんですが, RedHat さんのやり方を尊重するのであれば n 階導関数が e^(2x) と二次式の積になりそうだと予想して

 D^n f(x) = e^(2x) * (a_n * x^2 + b_n * x + c_n)

(D^n f で f の n 階導関数を表しました)と置いて, a_n, b_n, c_n の漸化式を作るという手順を踏むのがよいでしょう.

 D^(n+1)f(x) = e^(2x) * ((2*a_n)* x^2 + (2*a_n + 2*b_n)* x + (b_n + 2*c_n))

になるので, 連立漸化式

 a_[n+1] = 2 * a_n
 b_[n+1] = 2 * a_n + 2 * b_n
 c_[n+1] = b_n + 2 * c_n

(ただし, a_0 = 1, b_0 = 0, c_0 = 0)を解けばいいということになります. a_n, b_n, c_n の順で(この順で求めるのが難しくなっていきますが)求まるはずです.

----
実際には, ライプニッツの公式とかライプニッツの規則とか呼ばれる積の微分法の一般化したものを使うのがこの問題にとっては定石かもしれませんね.


21633.Re: n階導関数
名前:RedHat    日付:6月21日(火) 0時13分
astさん、ありがとうございました。
ライプニッツの公式を調べてやってみると、
f(x)=(2^n)(e^2x)(x^2+nx+(1/4)n(n-1))と求まりました。
数学の先生が教科書に載ってないのを教えるのが好きな人なので、
もしかしたら、これを教えるために出したのかもしれません。
近似式の問題の時にはテイラーの定理がうんぬんと話してましたから。
その前は、ロルがロピタルがと。。


21637.Re: n階導関数
名前:ast    日付:6月21日(火) 8時40分
ライプニッツで解決したようなので蛇足になりますが, (おそらく高校範囲で)計算可能なことを実際に計算して確認してあったので一応書いておきます.

まず, 等比数列の漸化式になっている第 1 式 a_[n+1] = 2 * a_n かつ a_0 = 1 から a_n = 2^n です.

つづいて, 第 2 式 b_[n+1] = 2 * a_n + 2 * b_n に a_n = 2^n を代入して整理すると, b_[n+1] - 2 * b_n = 2^(n+1) になります. 両辺を 2^(n+1) で割り, d_n = b_n / 2^n とおくと, 等差数列の漸化式 d_[n+1] - d_n = 1 を得て, d_0 = b_0 / 2^0 = 0 より, d_n = n から b_n = n * 2^n を得ます. なお, d_n を求める段階で階差数列の公式から d_n = 0 + Σ_[k=0,...,n-1] 1 = n と求めても同じです.

最後に, 第 3 式 c_[n+1] = b_n + 2 * c_n に b_n = n * 2^n を代入して整理すると, c_[n+1] - 2 * c_n = n * 2^n となります. これを b_n のときと同様に 2^(n+1) で割って, e_n = c_n / 2^n とおくと e_[n+1] - e_n = n / 2 となりますから, 階差数列の公式から e_n = e_0 + Σ_[k=0,...,n-1] k / 2 = (1 / 2) * {n * (n - 1) / 2}. したがって, c_n = n * (n - 1) * 2^(n-2) です.

D^n f(x) = e^(2x) * (a_n * x^2 + b_n * x + c_n) と置いたのでしたから, まとめると
 D^n f(x) = e^(2x) * (2^n * x^2 + n * 2^n x + n * (n - 1) * 2^(n-2))
となり, RedHat さんがライプニッツの公式で求めた結果と一致しますね.

なお, この解答をきちんとしたものにするためには, No.21631 のレス中の「 n 階導関数が e^(2x) と二次式の積になりそうだと予想」したものを数学的帰納法で証明してからはじめる必要があります. ただこれも D^0 f = f ですから n = 0 で成立し, また D^n f を上のようにとったとき D^(n+1)f が No.21631 のレス中にある形にまとめられてやはり e^(2x) と二次式の積になっていますから, ここまでの議論は正当化されます.

これは本当に蛇足ですが, うえの議論では D^0 f = f と置いてすべての添え字を 0 から始めましたが Df を求めた段階から議論を始めて, 添え字を 1 から始めたほうが教科書との乖離が少なくて間違いを起こしにくいかもしれません.

21624.集合  
名前:あき 2回生    日付:6月20日(月) 3時44分
(X,≦)を整列集合とする。
(1)a∈Xに対してX<aとXは順序同型でないことを示せ。

(2)a,b∈X a≠bに対してX<aとX<bは順序同型でないことを示せ。

ちなみにX<aは{x∈X|x<a}  aによる切片のことです。

どうか解答おねがいいたします。



21627.Re: 集合
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月20日(月) 16時16分
>(1)a∈Xに対してX<aとXは順序同型でないことを示せ。
について。

Y = { x ∈ X | x < a } と X が同型で無いことを示すのですね。

背理法によって示す。
もし同型であるとすると同型写像 f : X → Y が出来て、 a > f (a).
同様に a > f (a) > f(f (a)) > ..........
整列集合であることに反し、矛盾。


21632.Re: 集合
名前:あき     日付:6月21日(火) 0時12分
あっ、すいません。
1番はできてて、2番がわからなかったのです。
すいませんが2番教えてください

21621.(untitled)  
名前:アキラ    日付:6月20日(月) 1時12分
容器A、Bにはそれぞれ食塩水500gが入っている。いま、Aの食塩水から100グラム取り、Bに入れた。そしてBをよくかき混ぜてから今度はBから100g取り、Aに入れた。Aをよくかけ混ぜてから、濃度を測ったら、14%であった。最初、容器Aと容器Bの食塩水に溶けていた食塩の量を求めよ。

解答はA=72g、B=60gとなるのですが、この問題は、天秤算を使って解けるのでしょうか。



21625.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:6月20日(月) 9時15分
条件が足りませんね。
例えば、A,Bとも、最初から 14% だったとしたらどうでしょう?
そうではない、なにがしかの条件が与えられていると思われます。
 
http://yosshy.sansu.org/

21619.循環小数  
名前:docomo高3    日付:6月19日(日) 21時44分
たとえば1/7=0.142857・・・で循環するわけですが、この循環部分を二つに分けた142と857の和は999です。これは他でも成り立つと思うのですが、どうしてこのような規則のなるのかわかりません。
よろしくお願いします。



21622.Re: 循環小数
名前:らすかる    日付:6月20日(月) 1時40分
1/kの小数点以下が2m桁で循環したとき、10^m-1とkが互いに素であれば
そのようになります。
2m桁で循環したとき、10^2m-1はkで割り切れます。
10^2m-1=(10^m+1)(10^m-1) ですから、10^m-1とkが互いに素であれば
10^m+1がkで割り切れます。すると10^m/k+1/kが整数となりますので、
小数点以下をm桁ずらして足すと9が並ぶことになります。
10^m-1とkが互いに素でない場合は、その共通因数を10^m+1は持って
いませんので、10^m+1はkで割り切れず、9並びになりません。
具体例
・kが素数ならば10^m-1とkは互いに素ですので成り立ちます。
・kが素数でなくても成り立つ例 1/77=0.012987012987…
・10^m-1とkが互いに素でない例 1/21=0.047619047619…

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21618.わかりません。  
名前:すすか(中3)    日付:6月19日(日) 21時35分
問1 20にできるだけ小さい自然数をかけて、ある自然数の2乗にす
   るには、どのような数をかければよいですか?

問2 √45nの値が整数となるような、最小の自然数nの値を求めな
   さい。

問3 √60mの値が整数となるような、最小の自然数mの値を求めな
   さい。

 よろしくお願いします。



21626.Re: わかりません。
名前:ヨッシー    日付:6月20日(月) 9時19分
問1 例えば、12について同じことを考えると、
 12=2×2×3
ですが、これに何かを掛けて、(・・・)×(・・・) という形にしたいわけですね?
もちろん左右の(・・・)は同じ式が入ります。すると、12に含まれている、2,2,3を使って、
 (2×3)×(2×□)
という形が思い浮かびます。すると、□には何が入りますか?

問2,問3も同様ですね。2乗の数(平方数といいます)になれば、√が外れますから。
 
http://yosshy.sansu.org/


21630.Re: わかりません。
名前:すすか(中3)    日付:6月20日(月) 22時43分
なんとなくわかった?気がします。
ありがとうございました。

21606.どうしても解らない  
名前:大学一年    日付:6月17日(金) 14時23分
代数学では未知数は「変数」で、方程式の解と言うのは方程式を満たす変数の「値」ですよね?
でも文章題などで、例えばある条件を満たす商品の値段を未知数と置いたり、もっと極端にある方程式の解を未知数と置いたりした場合、未知数は単に値の解っていない定数であって変数−代数学でいうところの不定元ではないと思うのですが、結局未知数は変数なのか、値が解っていないだけの定数なのかどちらでしょうか?参考書などを見てもはっきりしたことがわかりません。



21620.Re: どうしても解らない
名前:ast    日付:6月19日(日) 22時51分
着眼点は間違っていませんし, 未知定数と変数の違いも大体捕らえられておられるようなので自信をもたれてよいと思います. 一方で, 書籍やいろいろな議論においては, (便利なので)ほとんど意図的に両者を混同して記号などを流用して話を進めることが多いです. したがって, きっちりさせようとして読めば読むほどわけがわからなくなるという状態になることも, ある意味仕方がない部分がありますね.


21628.Re: どうしても解らない
名前:黄桃    日付:6月20日(月) 22時16分
難しい問題ですね。私の能力ではきちんと説明できないですが、努力してみます。

一般向けに一言で説明するなら、
「カードの表は方程式、裏は関係式」
とでもなるのでしょうか。
例えば、y=2x+1 を考えます。これは直線の方程式とみることもできますし、連立方程式の片割れとみることもできます。中学では?、連立方程式の解が、2直線の交点に対応することも習うはずです。この時、x,y は不定元とも、未知数とも自由にみることができます。
さらに、円の方程式 x^2+y^2=1 についても、これが陰関数を表すと考えて、(y はこの方程式で定まる x の関数とみなす)両辺を x で微分する(この場合右辺の 1 は定数関数 1 とみなしています)、ということもできます。冷静に考えると、どれも同じ = なんかを使って乱暴な気がしますが、それぞれ、裏ではその計算にふさわしい = の意味がある(というより、意味をつけている)のです。

もし、数学を専攻しているのであれば、ぜひ「代数幾何、ヒルベルトの零点定理」あたりをキーワードに検索をするなり、代数幾何の教科書をひもとくなり(可換環論よりは幾何的視点からの教科書をおすすめします)、大学の先生に質問するなりしてみてください。上の「連立方程式の解は、平面上の点に対応する」というのを一般化した、多項式環の素イデアルと既約代数的集合との間のきれいな対応関係が知られています。


21648.Re: どうしても解らない
名前:大学一年    日付:6月22日(水) 20時16分
返信ありがとうございます。(ちなみに専攻は物理です)

単に「式と文字」のみが与えられた場合、そこに使われている文字に
対する解釈が幾通りも成り立つことは(一応)理解してるつもりです。
x=aという式が与えられた場合、これを定義式とも、x、あるいはaを
未知数とする方程式と見ることもできる、だとか。

ええと、僕が疑問に思ったのは、たとえばwikipediaなどで
方程式のことを
「未知数として与えられた x などの文字は様々に値を変える数である と見なされて変数と呼ばれる。あるいは特定の値を持つわけではない という意味で不定元などともいう」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E7%B3%BB
といってるんです。
でも「未知数を求める」というように、中学・高校の段では未知数は未知の定数(つまり値がわかっていないだけで方程式を解くことにより求められる数)として扱ってきたわけで、式中の主文字を「変数」と捉えたらそれは「方程式」ではなく「関数」と呼んできました。
つまり式そのものとそこにある文字の解釈の多様性ではなく、「未知数」という「用語」が、「未知の定数」としてもちいられているのか「変数」として用いられているのかそれとも「方程式の中にある主文字はその文字をどう解釈するかに関係なくまとめて「未知数」なのか」がわからないのです。
記号その物の混用や文字の解釈の変更は構わないのですが、その場ではっきりと変数(不定元)として扱っている場合にもそれを「未知数」と呼び続けるのか、それが知りたいという変な疑問です。そしてもしそうなのであれば、「未知数を求める」という言や
「〔代数学で〕求めたいけれどもまだ分かっていない数(を文字で表わしたもの)。(microsoft bookshelfより)」
「数学の方程式などで、値がまだわかっていない数。ふつうx・y・zなどで表す。「―を求める」(大辞泉より)」
などの定義は成り立たなくなるのではないかな、と思って・・・(変数の場合は値がわかっていないのではなく元々値が定められていないのだから、変数を「もとめる」ことなんてできませんよね?)

21602.偏微分です。おねがいします。  
名前:あき 2回生    日付:6月17日(金) 1時16分
Z=F(x、y、z) U=G(x、y) (F,G∈C1)の時
Z=F(x、y、G(x、y))=F(x、y)をx、yで偏微分せよ。
という問題なんですが、よくわからないので教えてください。



21610.Re: 偏微分です。おねがいします。
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月18日(土) 21時40分
>Z=F(x、y、G(x、y))=F(x、y)をx、yで偏微分せよ。
Z=F(x、y、G(x、y))=H(x、y)をx、yで偏微分せよ。
ですか?


21611.Re: 偏微分です。おねがいします。
名前:あき 2回生    日付:6月19日(日) 1時25分
すいません。問題みまちがえてました。
その通りです。
是非教えてください


21613.Re: 偏微分です。おねがいします。
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月19日(日) 7時53分
Z は z と紛らわしいので、 W =F(x、y、G(x、y))=H(x、y)と書きます。

例えば∂W/∂x については
合成関数の偏微分の公式により、

∂W/∂x = ∂F/∂x*∂x/∂x + ∂F/∂y*∂y/∂x + ∂F/∂z*∂G/∂x
    = ∂F/∂x + ∂F/∂z*∂G/∂x


21616.Re: 偏微分です。おねがいします。
名前:あき 2回生    日付:6月19日(日) 20時9分
,それはわかります


21617.Re: 偏微分です。おねがいします。
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月19日(日) 20時19分
これで(∂W/∂x については)一応終わりです。
これからさらに踏み込むとすると、
どう言うタイプの回答が必要なのですか?


21623.Re: 偏微分です。おねがいします。
名前:あき 2回生    日付:6月20日(月) 3時33分
解決しました。ありがとうございました。

21599.お願いします。  
名前:calamity    日付:6月16日(木) 21時42分
y^2=x^2・(1-x)の曲線で囲まれた部分の面積を求めよという問題なんですが
方針もグラフもわかりません。どなたか解説お願いします。



21600.Re: お願いします。
名前:c.e.s.    日付:6月16日(木) 23時41分
y^2=(1-x)x^2の式でy→-yとしても元の式に戻ることからこの図形はx軸対象と考えられるので、まずy>0と仮定してy=√{(1-x)x^2}(ただしx≦1に注意)の図を描いてみるというのはいかがでしょう?


21601.Re: お願いします。
名前:calamity    日付:6月17日(金) 0時7分
y=√{(1-x)x^2}のグラフもよくわからないです


21607.Re: お願いします。
名前:X    日付:6月17日(金) 15時57分
横から失礼します。

y=√{(1-x)x^2} @
より
y'={1/{2√{(1-x)x^2}}}{(2-3x)x}
これを元に@の増減を考えると、問題の面積を求める領域のx座標について
0≦x≦1
となることが分かります。よって求める面積をSとすると
S=2∫[0→1]{√{(1-x)x^2}}dx=…


21614.Re: お願いします。
名前:calamity    日付:6月19日(日) 16時31分
グラフはわからなかったけど答えはちゃんと出せました。
あとから先生にグラフ教えていただきました。
みなさんありがとうございました。

21598.問題1  
名前:はなチャッピー20号    日付:6月16日(木) 21時34分
1 3or4or9 何と読む?(日本語にして)        −
2 831or0 何と読む?                IQ  99  
3 「す」の字の上が出てないと何と読む?→(国の名前)  −
4 南ポー 何と読む?(南を英語にして)       IQ 102
5 1010101010の10 何と読む?            IQ 107
6 窓の間に「★」があって何と読む?           −
7 「句」の中に「ウ」が入って何と読む?         −
8 「夫」と言う字が「★」でできています。何と読む?   −
9 日む本 何と読む?(日本を変換して)       IQ 102
10 アミでできた「3」を何と読む?          IQ 112
11 汁がブラブラしています。何と読む?        IQ  98
12 2つの「ぶ」が斜めになって何と読む?       IQ 110
13「豚」が透けて何と読む?              IQ 112
14 ニワトリが「と」を投げています。何と読む?    IQ 116
15 一十百千喫茶   何と読む?            IQ  92
16 海&ベル&    何と読む?           IQ  95

 

http://homepage2.nifty.com/pikminkenkyujo/sounantiten%20BGM.html

21595.これが。。。  
名前:すすか(中3)    日付:6月16日(木) 19時47分
問題 a=√3+√2、b=√3-√2の時、次の式の値を求めよ。

(1)ab   (2)a二乗+b二乗

(1)の答えは「1」とわかりましたが、(2)がわかりません
お願いします。



21596.Re: これが。。。
名前:TOM    日付:6月16日(木) 20時4分
(1)展開は習いましたか?乗法公式4つ
 そのなかの(A+B)(A−B)=A^2−B^2
を使い
ab=(√3+√2)(√3-√2)
  =(√3)^2−(√2)^2
  =3−2=1

(2)a^2+b^2そのまま入れて
  =(√3+√2)^2+(√3−√2)^2
  =3+2√6+2+(3−2√6+2)
  =10

またはa+b=(√3+√2)+(√3-√2)=2√3
乗法公式の和の2乗を利用して
a^2+b^2=(a+b)^2−2ab
       =(2√3)^2−2・1
       =12−2=10
     


21597.Re: これが。。。
名前:すすか(中3)    日付:6月16日(木) 21時0分
あ〜入れればいいんですね!
わかりました、ありがとうございました。
わかりやすいですね

21584.少数の有理数について  
名前:ABC    日付:6月15日(水) 23時28分
次の少数を有理数の形で表せという問題なのですが分からないのでお願いします。


.. .. . . . .
(1)0.45 (2)0.31 (3)0.103 (4)0.142857

4つお願いします!!


 



21588.Re: 少数の有理数について
名前:アカギ    日付:6月16日(木) 0時44分
(1)45/100 (必要なら約分)
ですね。なぜか?
0.01=1/100ですね。
両辺に45をかけると
0.45=45/100
はいできました〜。
2〜4も基本的に同じだと思うのでがんばってください。


21589.Re: 少数の有理数について
名前:中川 幸一    日付:6月16日(木) 0時50分
たぶん循環小数についての問題でしょう。
[ ] の中は循環していると考えてください。

0.b1b2b3…bm[a1a2a3…an]
=b1b2b3…bma1a2a3…an/99…900…0
(但し, 分母は 9 が n 個, 0 が m 個続いているとする。)

以上を参考にしてみて下さい。

(メンヘラー)

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


21590.Re: 小数の有理数について
名前:ヨッシー    日付:6月16日(木) 8時52分
「有理数の形で」というのも、変な表現ですね。
循環小数も有理数なのに。
「分数の形で」と言いたいのでしょう。

こちらに、ちょっとだけ解き方が載っています。
http://yosshy.sansu.org/


21608.Re: 少数の有理数について
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月17日(金) 18時54分
ABC さん
<PRE> </PRE>(全部半角)で囲むと、
次の少数を有理数の形で表せという問題なのですが分からないのでお願いします。
     ..        ..       . .      .    .
(1)0.45 (2)0.31 (3)0.103 (4)0.142857

4つお願いします!!
と表示されます。ソースを見てみれば純循環小数であることがすぐにわかりますよ。



21612.Re: 少数の有理数について
名前:信長    日付:6月19日(日) 6時6分
     ..        ..       . .      .    .

(1)0.45 (2)0.31 (3)0.103 (4)0.142857
ほんとだ


21615.Re: 少数の有理数について
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月19日(日) 17時53分
#21608の続き
>皆様

21580.最大元・最小元について  
名前:ビコーン    日付:6月15日(水) 21時36分
このような問題がありました。

次の集合で,関係x|yを考え,x,yがx|yをみたすとき,
xよりyは大きいということにする.各集合で最大元または最小元を求めよ.
(1)略
(2)B={1,2,3,4}
(3)C={2,3,4,6}

という問題です。答えのみで、(2)でmax Bはない
(3)でmax Cもmin Cもない
となっているのですが、なぜないのかがよくわかりません。
誰か教えてください。よろしくお願いいたします。



21581.Re: 最大元・最小元について
名前:ヨッシー    日付:6月15日(水) 21時39分
関係x|y の定義はありませんか?
 
http://yosshy.sansu.org/


21582.Re: 最大元・最小元について
名前:ビコーン    日付:6月15日(水) 21時45分
問題文を見る限りはないですね。(そのまま写したものなので)
ただ関係|として定義されているだけです。約数の定義としてとっていいんですかね??


21585.Re: 最大元・最小元について
名前:のぼりん    日付:6月15日(水) 23時48分
ビコーン さん、こんばんは。

(2) 1∈B は B の任意の元を割り切るので、最小元です。
2、3、4 では、2<4 ですが、これ以外の大小関係はないので、最大元はありません。

(3) 2 は 4、6 より小さいですが、3 とは大小関係がないので、最大元でも最小元でもありません。
3 は 6 より小さいですが、2、4 とは大小関係がないので、最大元でも最小元でもありません。
4 は 2 より大きいですが、3、6 とは大小関係がないので、最大元でも最小元でもありません。
6 は 2、3 より大きいですが、4 とは大小関係がないので、最大元でも最小元でもありません。


21586.Re: 最大元・最小元について
名前:ビコーン    日付:6月16日(木) 0時11分
ありがとうございます。
関係|が成り立たない場合があるから、大小関係がないといえるわけですか。
全部の元について成り立てばよいのですね。
わかりました。
ありがとうございました。

21579.(untitled)  
名前:あおい    日付:6月15日(水) 20時58分
|2cosθ+sinθ|≦1 (0≦θ≦π) を満たす。
(1)sinθのとる値の範囲を求めよ。
(2)cosθ+2sinθのとる値の範囲を求めよ。

よろしくお願いします。



21593.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:6月16日(木) 17時33分

図のような角をαとすると、
 sinα=2/√5、cosα=1/√5
より、
 2cosθ+sinθ=√5(sinαcosθ+cosαsinθ)
  =√5sin(θ+α)
と書けます。よって、
 |2cosθ+sinθ|≦1
は、
 −1≦√5sin(θ+α)≦1
 −√5/5≦sin(θ+α)≦√5/5
と書けます。φ=θ+α とおくと、φの存在範囲は図の左、θはφから
αだけ戻した、右の図になります。

図右のAの位置のy座標yaは、αの余角をβとすると、
 ya=sin(90°+2β)=cos2β=cos^2β−sin^2β
  =(2/√5)^2−(1/√5)^2=3/5
以上のことと、0≦θ≦π を考慮すると、
 3/5≦sinθ≦1   ・・・(1)の答え

cosθ+2sinθ=√5(sinβcosθ+cosβsinθ)=√5sin(θ+β)
θ+βの範囲は、下図の右の通りです。

よって、
 √5cos3β≦cosθ+2sinθ≦√5cosβ
cosβ=2/√5、cos2β=3/5
sinβ=1/√5、sin2β=4/5 より、
cos3β=cos2βcosβ−sin2βsinβ=2/5√5
よって、
 2/5≦cosθ+2sinθ≦2  ・・・(2)の答え
 

21577.積分してください。  
名前:go    日付:6月15日(水) 20時6分
(x^5+x^4-8)/(x^3-4x)
上の関数の積分の仕方を教えて下さい。



21578.Re: 積分してください。
名前:ヨッシー    日付:6月15日(水) 20時42分
(x^5+x^4-8)/(x^3-4x) = (x^2+x+4) + (4x^2+16x-8)/(x^3-4x)

一方、 x^3-4x = x(x-2)(x+2) より、
(4x^2+16x-8)/(x^3-4x) = A/(x-2) + B/x + C/(x+2)
と書けたとすると、
(分子) = Ax(x+2) + B(x-2)(x+2) + Cx(x-2)
  = (A+B+C)x^2 + (2A-2C)x - 4B
より、
 A+B+C = 4, 2A-2C = 16, -4B=-8
これより、B=2, A=5, C=-3
以上より、
 (x^5+x^4-8)/(x^3-4x) = (x^2+x+4) + 5/(x-2) + 2/x - 3/(x+2)
これなら積分できるでしょう。
(計算間違いあるかも)
 
http://yosshy.sansu.org/


21591.Re: 積分してください。
名前:go    日付:6月16日(木) 15時45分
できました!
最初の式変形でつまづいていたのですが、よくわかりました。
ありがとうございました。

21576.おねがいします  
名前:りゅう    日付:6月15日(水) 19時9分
平行四辺形ABCDと平行四辺形BEFCがあり,AB=BC=CA=AD=CD=BF=EFとなっている。(ようは,辺BCが共通で上と下にそれぞれ平行四辺形がある。)
∠BED=30°のとき,2つの平行四辺形の面積比を求めよ。



21609.Re: おねがいします
名前:X    日付:6月18日(土) 17時45分
条件より
BD=2ABsin∠ABD=2ABsin30°=AB√3
∴EF+BF=2AB>AB√3=BD
従って点Eは線分BDを円周角30°の弦とできるような弧の上に任意に取ることができるので、△BEFの面積は一定になりません(理由:BEの長さが一定でない)
ここで条件より
△BEF≡△BCF
ですから四角形BEFC,△BEFの面積をそれぞれS,S0と置くと
S=2S0
従ってSも一定ではありません。 @
一方条件より四角形ABCDの面積をUとすると
U=(√3/2)AB^2(一定) A
@Aより問題の面積比は一定値に定まりません。

21571.大1  
名前:    日付:6月15日(水) 16時22分
u=u(x,t)のとき以下の微分方程式を解け。
u'(t)=ku"(x)
kは正の定数である。
左辺はuをtで偏微分、右辺はuをxで二階偏微分です。
また、u=u1(x=0,t>0);u=u2(x=l(エル),t>0);u=u0(0<x<l(エル),t=0)という条件があります。

お願いします。



21574.Re: 大1
名前:KINO    日付:6月15日(水) 17時44分
v(x,t)=u(x,t)-{(u2-u1)x/l+u1} とおくと,u に関する方程式は
vt=kvxx,
v(0,t)=v(l,t)=0,
v(x,0)=v0(x)=u0(x)-{(u2-u1)x/l+u1}
という v に関する方程式に変換できます。
これを解いて v を求めれば,u も求まると思います。
柾さんは v が満たすような偏微分方程式ならば解き方をご存知ですか?
上でやった変換は,境界条件が斉次ディリクレ条件の熱伝導(拡散)方程式に帰着させる方法です。

21567.お願いします。  
名前:    日付:6月15日(水) 10時58分
y'''-4y"+9y'-10y=0の一般解を求めよ。
という微分方程式の問題で困っています。
特性方程式をたててみたのですが、うまく解けません。
どんな解き方でも良いので、お願いします。



21569.Re: お願いします。
名前:X    日付:6月15日(水) 16時9分
特性方程式は
t^3-4t^2+9t-10=0 @
t=2がこれの解の一つなのでt-2をくくりだすことを考えます。
@より
t(t^2-4t+4)+5t-10=0
t(t-2)^2+5(t-2)=0
(t-2)(t^2-2t+5)=0
∴t=2,1±2i
∴求める微分方程式の解は
y=Ae^(2x)+B(e^x)cos(2x)+C(e^x)sin(2x)
(A,B,C:任意定数)


21572.Re: お願いします。
名前:    日付:6月15日(水) 17時22分
ありがとうございます。
ところで、係数が定数である2階の斉次線形微分方程式の場合、
特性方程式の解に対応して、微分方程式の一般解の式がありますが、
3階以上の場合も同様に、特性方程式の解に対応した、微分方程式の一般解の形が定義されているのでしょうか。


21604.Re: お願いします。
名前:X    日付:6月17日(金) 11時57分
本に公式のようなものがあるかは知りませんが、三階以上でも二階の場合と同様だと思います。

21562.LOG  
名前:tomo(高2)    日付:6月14日(火) 23時55分
(x+y-1)log2 (x+y)≧(x-1)log2(x) +(y-1)log2(y)+y をしめせというのがわかりません。条件はx≧y≧1です。どなたか教えてください。
log2 (x+y)は、底が2で、x+yが真数です。log2(x) log2(y)も同様です。数UBまでのやり方でお願いします。



21573.Re: LOG
名前:KINO    日付:6月15日(水) 17時30分
底が 2 で 1 よりも大きいので,z≧1 ならば log2z≧0 であることを利用します。

示すべき不等式の左辺から右辺を引くと,
(x+y-1)log2(x+y)-(x-1)log2x-(y-1)log2y-y
=(x-1){log2(x+y)-log2x}+y{log2(x+y)-log2y-1}+ylog2y.

この右辺の項が全て 0 以上であることが次のようにしてわかります。
(1) (x-1){log2(x+y)-log2x}≧0 であること。
x-1≧0 と,1+y/x≧1 より
log2(x+y)-log2x=log2(1+y/x)≧0.
(2) y{log2(x+y)-log2y-1}≧0 であること。
y≧1>0 と,x≧y>0 より x/y≧1 なので,1+x/y≧2. よって
log2(x+y)-log2y-1=log2((1+x/y)/2)≧0.
(3) y≧1 より log2y≧0 なので ylog2y≧0.

0 以上の数の和は 0 以上なので,証明はこれで終わりです。
また,上の証明から示すべき不等式の右辺の (y-1)log2y は ylog2y に置き換えた不等式も成り立つことがわかりました。

21558.積分可能性  
名前:アカギ    日付:6月14日(火) 23時15分
積分ができる関数とできない関数があると思います。それらの違いを教えてもらえませんか?
連続、有界、とかの条件だと思うのですが…厳密に…となるとよくわかりません。
また、微分可能とも関係があるような気がします。
どなたか解析に詳しい方、よろしくお願いします。



21563.Re: 積分可能性
名前:のぼりん    日付:6月15日(水) 0時29分
アカギさん、こんばんは。

積分可能性は、連続性、有界性、微分可能性とは関係ありません。微分可能でも連続でも有界でもない積分可能な関数も存在しますよ。この当たりは非常に面白いところなのですが、測度論をご存じないとすると、限られた掲示板のスペースで説明することは困難(というか不可能)です。

もし、アカギさんが、ある程度大学数学の知識をお持ちならば、例えば以下の本の前半を読めば、疑問が氷解すると思います。この本は、とても判りやすいのに内容豊富で、定評ある参考書です。
■ 伊藤清三「ルベーグ積分入門」(裳華房)


21564.Re: 積分可能性
名前:アカギ    日付:6月15日(水) 0時38分
のぼりんさん、回答ありがとうございます。
ということは積分可能と同値な何か条件というのは存在しないということなのでしょうか?
連続なのに積分できない関数や連続かつ有界なのに積分できない関数というものもあるのでしょうか?
これらは思い浮かばないのですが…もしこれらがあったとしてももっと条件を厳しくしていけば十分条件のようなものは存在しそうですが…?

上の問題は早めに知りたいのでできたら回答願いたいのですが…
詳細については提示してもらった参考書を見て勉強してみたいです。
わざわざありがとうございます。


21565.Re: 積分可能性
名前:KINO    日付:6月15日(水) 2時53分
連続関数は有界閉区間上で必ず積分可能です。

区間が開区間や無限区間になると必ずしも積分可能とは限りません。

例:開区間 (0,1) における 1/x の積分,実数全体における恒等的に 1 に等しい定数関数の積分はいずれも発散しますので,積分可能ではありません。


21568.Re: 積分可能性
名前:ast    日付:6月15日(水) 16時1分
実関数だけに限っても, その積分可能性を示す必要十分条件についてきちんと論じたとすれば, 結構良い値のつく書籍になると思いますが.


21570.Re: 積分可能性
名前:アカギ    日付:6月15日(水) 16時12分
>KINOさん
わかりやすい例をありがとうございます。
無限に広がっており、面積として定義できないというイメージで正しいのでしょうか?

>astさん
そんな難しい問題にわたしはチャレンジしようとしていたとは…。
そして、その値のする書物は実際にいくつか出版されているのでしょうか?ちなみに今のところ実関数しか頭にありません。


21583.Re: 積分可能性
名前:のぼりん    日付:6月15日(水) 23時16分
KINO さんがご説明下さったとおり、特殊な場合には、連続ならば積分可能とか、有界ならば積分可能、等が成り立つこともありますが、一般的に、「積分可能」を連続・有界・微分可能等の条件のみで言い換えることはできません。「積分可能」の十分条件や必要条件は兎も角、本質的に積分を使わない同値条件を私は知りませんし、おそらく無いと思われます。

参考までに、有界ではなく、かつ至るところで微分可能でも連続でもない実数関数で、積分可能なものを、高校数学の範囲で構成してみましょう。天下り的ですが、有理数の全体を番号付けすることができることが知られているので、これを q1、q2、q3、… とします。関数 f(x) を、
   f(x)=n (x が有理数の場合、qn=x となる n に対して)
      =1 (x が無理数であって 0<x<1 の場合)
      =0 (x が無理数であって x<0 またはx>1 の場合)
と定義すると、f(x) は有界ではありませんし、また、至るところで微分可能でも連続でもありません。しかし、
   ∫(–∞,+∞)f(x)dx=1
と積分できます。

実は、この関数は、殆ど至るところで微分可能(当然連続)であり、余りヘンテコなものではありません。もっと“病理的”なものも構成できるのですが、残念ながら多少の前提知識が必要となります。


21587.Re: 積分可能性
名前:アカギ    日付:6月16日(木) 0時42分
のぼりんさん、ふたたびありがとうございます。
積分って難しいんですね。しかし、微分可能かどうかというのは連続であり、滑らか?である(とがった点がない)ことですよね。
積分に対してはイメージもありません。
紹介してくださった本で勉強してみます。
いたるところで…って言うのが難しそう。。

21556.わかりません  
名前:すすか(中3)    日付:6月14日(火) 22時11分
問1 √2を少数で表した時、その少数第2位の数は、次のようにして
   求めることができる。
   1.4二乗=1.96、1.5二乗=2.25で、1.96く2く
   2.25だから、 
   √1.96く√2く√2.25
  つまり、1.4く√2く1.5

   1.41二乗=1.9881、1.42二乗=2.0164で、
   1.9881く2く2.0164だから、
   √1.9881く√2く√2.0164
  つまり、1.41く√2く1.42
 よって、√2を少数で表したときの少数第2位の数は、1である。
 
 この方法で、√3を少数で表したときの小数第2位の数を求めなさい


問2 √a二乗=aは正しいですか?
   


   長いですが、お願いします。



21557.Re: わかりません
名前:アカギ    日付:6月14日(火) 23時12分
問2
√ってどんな意味かわかってますか?
定義をしっかりと理解すれば正しいことがわかりますよ。
√2とは2乗して2になるものの正の方のことです。


21559.Re: わかりません
名前:すすか(中3)    日付:6月14日(火) 23時20分
あ〜ということは「正しい」でいいんですよね?
そして、問2って。。。


21560.Re: わかりません
名前:Kurdt    日付:6月14日(火) 23時39分
こんばんは。

√(a^2)=|a| です。

例:
√(2^2)=2
√{(-2)^2}=2

http://fairytale.holy.jp


21561.Re: わかりません
名前:アカギ    日付:6月14日(火) 23時45分
あ〜ルートの中に2乗ですか〜そう考えると、絶対値aですね。
深く考えませんでした。ごめんなさい。


21575.Re: わかりません
名前:TOM    日付:6月15日(水) 17時58分
問1

√3を少数で表した時、その小数第2位の数は、次のようにして
   求めることができる。
 (1.7)^2=2.89、(1.8)^2=3.24で、
2.89<3<3.24だから、
 
√2.89く√3く√3.24
1.7<√3<1.8
次に
(1.71)^2=2.9241
(1.72)^2=2.9584
(1.73)^2=2.9929
(1.74)^2=3.0276
2.9929<3<3.0276だから
 √2.9929く√3く√3.0276
よって 1.73<√3<1.74
よって、√2を小数で表したときの小数第2位の数は3である。


21594.Re: わかりません
名前:すすか(中3)    日付:6月16日(木) 19時42分
みなさまありがとうございました。
わかりやすいですね

21552.微分方程式  
名前:高3    日付:6月14日(火) 16時30分
x^2+y^2=cyが表す曲線群を図示し、微分方程式を求めよ。
という問いです。
cに適当な値を入れてエクセルでグラフを書いてみたのですが、いまいちきれいなグラフが書けません。
微分方程式の方は何からすればいいのかも分かりません。
お願いします。



21553.Re: 微分方程式
名前:X    日付:6月14日(火) 18時7分
x^2+y^2=cy @
を変形すると
x^2+(y-c/2)^2=(c/2)^2
これは中心がy軸上にあってx軸に接する円群になります。
@を満たす微分方程式ですが
@の両辺を微分して
2x+2yy'=cy' A
@Aからcを消去してみましょう。


21554.Re: 微分方程式
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月14日(火) 20時26分
単に(x^2+y^2)/y = c を微分しても良い。


21566.Re: 微分方程式
名前:高3    日付:6月15日(水) 10時53分
ありがとうございます。
よく分かりました!!

21539.平面図形  
名前:YUI    日付:6月13日(月) 22時54分
AB=12 BC=15 CA=8 の△ABCにおいて、∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。点Aを通り点Dで辺BCに接する円と、二辺AB,ACとの交点をそれぞれE,Fとする
(1)辺EF
(2)△AED:△DFC
(3)辺AD


お願いします!!



21546.Re: 平面図形
名前:tobira    日付:6月14日(火) 6時55分
準備(解に使わなくても考える癖をつけておくと後で役に立ちます)
TADが∠Aの二等分線なので、三角形の角の二等分線の性質より
 BD:CD=AB:AC=12:8=3:2 となるので
  BD=(3/5)BC=(3/5)*15=9、CD=(2/5)BC=(2/5)*15=6
UADが∠Aの二等分線で、円がDで接し、E,Fが円周上の点であることより
 接弦定理・弧BDの円周角・弧CDの円周角を考えて
  ∠BAD=∠EFD=∠BDE、∠CAD=∠FED=∠CDF
 さらに、∠BAC=∠CABなので
  ∠BAC=∠CAB=∠BAD=∠EFD=∠BDE=∠CAD=∠FED=∠CDF
 ここから、△DEFは二等辺三角形でDE=DF、EF//BC、△ABC∽△AEF 
VE,Fが円周上の点であることより、
 円に内接する四角形の外角は内対角に等しいので
  ∠AED=∠DFC,∠AFD=∠DEB
 ここから、Uの角を一緒に考えると
  △AED∽△DFC、△AFD∽DEB

(1)接線の定理(方べきの定理の発展)から、CD^2=CA*CF なので
 (Uの接弦定理からの△ACD∽△DCFを利用してもでます)
  6^2=8*CF となり、CF=9/2 AF=AC−CF=8−(9/2)=(7/2)
 △ABC∽△AEFと AF/AC=(7/2)/8=7/16 より
  EF=(7/16)*BC=(7/16)*15=105/16

(2)△ABC∽△AEFより、AE:AF=AC:AB=12:8=3:2 なので
  △AED:△AFD=AE:AF=3:2 (共通な辺ADを底辺として考えています)
 (1)よりAF:FC=(7/2):(9/2)=7:9 なので
  △AFD:△DFC=AF:FC=7:9 (ACにFがありますので、高さが共通です)
 以上から、
  △AED:△DFC=21:18=7:6

(3)△AEDと△DFCについて考えると。
  ∠AED=∠DFC、∠EAD(∠BAD)=∠FDC なので
  △AED∽△DFC
 (2)より、△AED:△DFC=7:6 より、相似比 √7:√6
  (面積比は相似比の2乗)
 よって、AD:DB=√7:√6 で DB=6 より
  AD=√42

21537.ベクトル  
名前:calamity    日付:6月13日(月) 22時51分
平面状において同一直線上にない3点A、B、Cがあるとき、
Vec(AB)・Vec(AC)+Vec(AP)・Vec(AP)≦Vec(AB)・Vec(AP)+Vec(AC)・Vec(AP)
解説お願いします。



21538.Re: ベクトル
名前:calamity    日付:6月13日(月) 22時52分
上の式を満たす点Pの集合を求めよという問題です。
すいません。よろしくお願いします。


21541.Re: ベクトル
名前:    日付:6月13日(月) 23時10分
面倒くさいのでベクトル表示は省略します。
AB=b、AC=c、AP=pとすると、
与式は、bc+p^2≦bp+cp
(p-(b+c)/2)^2≦((b-c)/2)^2
よって、PはBCの中点を中心とし、BCを直径とする円の周および内部


21551.Re: ベクトル
名前:    日付:6月14日(火) 14時2分
ちょっと略記しすぎたのでしょうか?誤解はないとは思いますが、
例えば、p^2とは内積p→・p→を表しています。
逆に答えはごてごてでした(式の見方は前の方が親切かな)。
PはBCを直径とする円の周および内部、でいいですね。


21555.Re: ベクトル
名前:calamity    日付:6月14日(火) 21時40分
ありがとうございます!

21535.経路積分  
名前:茶色の恋人    日付:6月13日(月) 22時12分
dF=(x^2-y)dx+xdyとするとき、dFを(x,y)=(1,1)から(2,2)までy=xの直線を通って積分するとどのようになるのでしょうか?
お願いします。



21540.Re: 経路積分
名前:のぼりん    日付:6月13日(月) 22時59分
茶色の恋人 さん、こんばんは。直線 x=y 上では dx=dy となります。よって、∫(1,1)→(2,2)dF=∫[1,2]{(x2–x)dx+xdx}=∫[1,2]x2dx=(23–13)/3 です。

ちなみに、「経路積分」と経路に沿った線積分は違うものなので、その用語を使わない方が無難でしょう。


21542.Re: 経路積分
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月13日(月) 23時12分
かぶりましたが折角だから。

これは経路積分ではなく、線積分といいます。
経路積分は物理用語。

直線分のパラメータを (t, t), 1 ≦ t ≦ 2 とすると、

dF=(x^2-y)dx+xdy = (x^2 - y)dx + xdy = { (x^2 - y)dx/dt + xdy/dt } dt
= { (x^2 - y) + x }dt = t^2dt

CdF = ∫12 t^2dt = 7/3


21549.Re: 経路積分
名前:茶色の恋人    日付:6月14日(火) 8時56分
お返事ありがとうございました。
微積続論を自分でやろうと思いつつなかなかできず…また勉強します。

21534.みっちぃさんへ  
名前:haru    日付:6月13日(月) 19時59分
5月2日に質問した円錐螺旋についての問題について答えてくれてありがとうございました。その件で、後日、微分幾何学演習(朝倉書店)という本の中に解答を見つけました。弧長の求め方は合っているようですが、曲率の求め方はどうも違うようです。もしよかったら微分幾何学(朝倉書店)の本とこの演習の本を併せて読んでもらえますか。

21530.導関数  
名前:ひろ    日付:6月13日(月) 7時21分
導関数の定義式を使って解きたいのですが
よろしくお願いします。

(1)f(x)=(2x-1)/(3x+2)

(2)f(x)=(3x-2)/(5x+4)



21533.Re: 導関数
名前:ヨッシー    日付:6月13日(月) 9時1分
limdx→0{f(x+dx)-f(x)}/dx
にそのまま当てはめると、

となり、dx→0 にすると、
 7/(3x+2)^2
が得られます。
 
http://yosshy.sansu.org/


21543.Re: 導関数
名前:ひろ    日付:6月13日(月) 23時20分
ありがとうございます。
(2)
22/(5x+4)^2であっているでしょうか


21548.Re: 導関数
名前:ヨッシー    日付:6月14日(火) 8時36分
答えはそれで合っています。
ただ、この問題は、公式
 {f(x)/g(x)} = {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{f(x)}^2
を使わずに、limdx→0{f(x+dx)-f(x)}/dx だけで
求めることが主旨のようですので、途中もしっかり押さえておいてくださいね。
 
http://yosshy.sansu.org/

21522.平面図形です  
名前:うそっぷ    日付:6月12日(日) 23時16分
点Oを中心とする半径2の円内の点Pを通って引いた弦が、円Oと交わる点をA,Bとするとき、PA・PB=1であれば、線分OPの長さはいくらになるか。



21525.Re: 平面図形です
名前:中川 幸一    日付:6月12日(日) 23時40分
方べきの定理を使います。

点O, P を共に通り, 円 O と交わる点を C, D とします。
ここで, PCPD とします。
OP=x とすると,
PC=2+x, PD=2-x となるので,
方べきの定理より
PA・PB=PC・PD
となる。
よって,
1=(2+x)(2-x)
iff 1=4-x2
iff x2=3
iff x=√3 (∵ x>0)
∴ OP=√3

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

21518.微積分の問題  
名前:かばや 高3    日付:6月12日(日) 22時31分
Original Size: 300 x 184, 8KB Original Size: 361 x 268, 14KB

問1は、分母が因数分解できず、分母を微分しても分子とは関係ないかんじでわからないです。教えてください。
それと、問2の方はこれでいいのでしょうか?

宜しくお願いします。



21523.Re: 微積分の問題
名前:中川 幸一    日付:6月12日(日) 23時25分
Original Size: 420 x 466, 8KB

問 2 はそれであっています。
問 1 は Mathematica でも計算しましたが, 初等関数では表すことが出来ません。
また分母も因数分解が出来ないと出ました。
問題文はあっているのでしょうか?
一応この問題と間違っていると思われる候補についての解答を画像で紹介しておきます。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/



21527.Re: 微積分の問題
名前:かばや 高3    日付:6月13日(月) 0時9分
 見直したところ問題は間違っていませんでした。やはり問題のミスで候補の方が本当の問題だったんだとと思います。
ご親切にありがとうございました。

21515.指数について教えてください。  
名前:ゆきにゃご高2です。    日付:6月12日(日) 20時26分
次の式を簡単にせよ。ただし,a>0,b>0とする。

(a^1/6―b^1/6)(a^1/6+b^1/6)(a^2/3+a^1/3b^1/3+b^2/3)=



21517.Re: 指数について教えてください。
名前:HybridTh.(大学4年)    日付:6月12日(日) 22時13分
公式 (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 を用いると
 {a^(1/6) - b^(1/6)}{a^(1/6) + b^(1/6)} = a^(1/3) - b^(1/3)
したがって
 (与式) = {a^(1/3) - b^(1/3)}{a^(2/3) + a^(1/3)*b^(1/3) + b^(2/3)}
となります. ここで, 公式 (x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3 を用いると
 (与式) = {a^(1/3)}^3 - {b^(1/3)}^3 = a - b
となります.


21545.Re: 指数について教えてください。
名前:ゆきにゃご    日付:6月14日(火) 6時36分
わあ!どうもありがとうございました。
おかげさまで理解できました。

21514.三角関数の問題  
名前:陽炎    日付:6月12日(日) 20時5分
こんばんは。何時間か考えましたが解けなかった問題があったので
ご教授よろしくお願いします。ちなみに高3です。

半径5、弧の長さが6の扇形がある。この扇形の中心角をθとする。
[問題]nを整数とする。
不等式 nπ/24<θ<(n+1)π/24…@が成立する時、nの値を求めよ。
またそのnの値のとき@より cos^2θの値の範囲を求めよ。

とりあえずθは6/5と出たのですが、そこからθの範囲を決めるのに困っています。
πはどう処理すればいいのでしょうか?3.14を代入して計算するのでしょうか?
答えの値だけを見るとn=9なのででそこから半角の公式を使うとcos~2θの範囲は
求められたのですが、その範囲も√の中の値が大小で逆になっていていまいち理解できません。 (cos^2θの範囲の大小が逆)

よろしくお願いします!



21521.Re: 三角関数の問題
名前:中川 幸一    日付:6月12日(日) 22時58分
nπ/24 < θ < (n+1)π/24
iff nπ/24 < 6/5 < (n+1)π/24
iff 5nπ/120 < 144/120 < 5(n+1)π/120
iff 5nπ < 144 < 5nπ+5π
iff 5nπ < 144 < 5nπ+5π
iff 5nπ < 144 and 144 < 5nπ+5π
iff n < 144/5π and (144-5π)/5π < n
iff n < 144/5π and 144/5π - 1 < n
iff 144/5π - 1 < n < 144/5π
ここで
144/(5×3.2) < 144/5π < 144/(5×3.1)
ie
9 < 144/5π < 288/31 = 9+9/31
より, n=9 と分かる。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


21529.Re: 三角関数の問題
名前:陽炎    日付:6月13日(月) 0時29分
ご回答ありがとうございました!
数値を代入して順序通りに不等式を解けばよかったんですね^^;
本当にありがとうございました!!!

21504. 「解析入門」(小平氏)の中の質問です。  
名前:あき 2回生    日付:6月12日(日) 9時40分
「領域Dで定義された連続関数F(x、y)の地域F(D)はひとつの区間であることを示せ」の問題で、

解説は
α∈F(D) β∈F(D) α<θ<βなら u∈F(D)を示せばいいので、
u∈F(D)でないとして V={P|P∈D F(P)<u}とすると
V開集合である。
なぜなら、F(x、y)がDで連続なのでF(P)<uなら
|QP|<εの時F(Q)<uとなる正の実数εが存在するから。
すなわちPのε近傍Uε(P)⊂Vが存在するので。

仮定より、F(A)=α<uなる点A∈Dが存在するのでVは空集合ではない。
W={P|P∈D F(P)>u}とおくと、
Wも空でない開集合で明らかにD=VuW、VnW=空
なんでDが連結に矛盾するのでu∈F(D)

なんですが、疑問点があるので教えてください。
 |QP|<εのQはどのようにとってきたものなのか?という点です
どうぞよろしくお願いします。



21506.Re:  「解析入門」(小平氏)の中の質問です。
名前:のぼりん    日付:6月12日(日) 11時48分
あきさん、こんにちは。質問箇所の原文は、
  なぜなら、f(x,y) が D で連続であるから、f(P)<μ なら
       |QP|<ε のとき f(Q)<μ
  〔原文には改行あり; … @〕
  となる正の実数 ε が存在する
です。仮定より、μ–f(P)>0 です。f は P∈D で連続だから、ある ε>0 が存在し、
   |QP|<ε のとき |f(Q)–f(P)|<μ–f(P) … A
です。ここで、
   |f(Q)–f(P)|<μ–f(P)
   ⇒ f(Q)–f(P)<μ–f(P)
   ⇔ f(Q)<μ
だから、Aと合わせて@が言えます。

あきさんが原文を引用する際、幾つか書き換えていましたが、十分に理解しない段階で勝手に表現を変えると、意味が変わってしまう場合があります。実際、あきさんが書き換えた部分は、却って判りにくくなっているところがあります。

また、必ずしも本と同じ記号を使う必要はありませんが、書き換えた場合には、統一しないと訳が判らなくなっていまいます。μ を θ に換えるまでは結構ですが、途中で断りなしに u にしては意味が通じなくなります。

今後、注意された方が良いでしょう。


21512.Re:  「解析入門」(小平氏)の中の質問です。
名前:あき 2回生    日付:6月12日(日) 19時8分
親切にありがとうございます。
またお願いします


21513.Re:  「解析入門」(小平氏)の中の質問です。
名前:あき 2回生    日付:6月12日(日) 19時51分
Qは任意の点ですか?
Qはどんな点なのでしょうか。


21519.Re:  「解析入門」(小平氏)の中の質問です。
名前:のぼりん    日付:6月12日(日) 22時37分
任意の点です。

21503.まったくわかりません  
名前:calamity    日付:6月12日(日) 9時35分
nを自然数とする。数列X[n]をX[1]=1 X[n+1]=1/2(X[n]+1/25X[n])
で定義する。
(1)X[n]≧1/5を証明せよ
(2)X[n+1]-1/5≦1/2(X[n]-1/5)を証明せよ
(3)lim(n→∞)X[n]を求めよ。

お願いします。



21507.Re: まったくわかりません
名前:のぼりん    日付:6月12日(日) 12時45分
calamity さん、こんにちは。漸化式は Xn+1={Xn+1/(25Xn)}/2 でしょうか。そう思って回答します。

(1) 定義より、Xn>0 です。相加・相乗平均の関係より、
   Xn={Xn–1+1/(25Xn–1)}/2≧√{Xn–1×1/(25Xn–1)}=1/5
です。

(2) Xn+1–1/5={Xn+1/(25Xn)}/2–1/5={Xn–1/5+(1–5Xn)/(25Xn)}/2≧(Xn–1/5)/2
ですから、題意は成り立ちません。もう一度、問題文を確認して下さい。

(3) Xn–Xn+1={Xn–1–1/(25Xn–1)}/2≧{Xn–1–1/5)}/2≧0
だから、{Xn} は単調減少で、下に有界です。よって、{Xn} は収束します。X=limn→∞Xn>0 とおき、Xn+1={Xn+1/(25Xn)}/2 の両辺で n→∞ とすれば、X={X+1/(25X)}/2 です。これを解くと、X=±1/5 で、X>0 だったから、X=1/5 です。


21510.Re: まったくわかりません
名前:信長    日付:6月12日(日) 16時24分
{Xn–1/5+(1–5Xn)/(25Xn)}/2≦(Xn–1/5)/2


21511.Re: まったくわかりません
名前:calamity    日付:6月12日(日) 17時42分
(2)をもう少し詳しく教えてください!


21526.Re: まったくわかりません
名前:矢作勝美    日付:6月12日(日) 23時45分
のぼりんさんは,1−5x_{n}の符号を勘違いされていますね.問題に不備はありません.ここは気楽に,目標の左辺に漸化式を利用して右辺との差をとれば充分でしょう.


21528.Re: まったくわかりません
名前:のぼりん    日付:6月13日(月) 0時27分
大変に失礼しました。矢作勝美 さんご指摘のとおり、符号を全く勘違いしていました。21507 の (2) の計算の様にやり、
   Xn+1–1/5={Xn+1/(25Xn)}/2–1/5
   ={Xn–1/5+(1–5Xn)/(25Xn)}/2(Xn–1/5)/2
で良いと思います。なお、これを使えば、(3) はもっと簡単に証明できますね。


21536.Re: まったくわかりません
名前:calamity    日付:6月13日(月) 22時41分
あ、できました。ありがとうございます。

21501.三角関数  
名前:サンウ    日付:6月12日(日) 1時36分
0゜≦x≦360°  0°≦y≦180°の範囲で
cos2y=sinx
を満たす点〔x y〕の存在範囲をえがけ。

単位円が今一、理解できません。社会人です。
よろしくお願い致します。



21532.Re: 三角関数
名前:ヨッシー    日付:6月13日(月) 8時40分
sin(90°−x)=cosx
を利用すると、
sin(90°−2y)=sinx
と書けます。では、sin の値が等しい(sinα=sinβ)とは?
・α=β
・α=180°−β
・α=β+360° または β=α+360°
・α=540°−β
などが考えられます。これらを、順々に調べて、
 90°−2y=x
 90°−2y=180°−x
などの関係式が得られます。
 
http://yosshy.sansu.org/


21550.Re: 三角関数
名前:サンウ    日付:6月14日(火) 11時50分
どうもありがとうございました!!

21494.等比  
名前:困っている高校生    日付:6月11日(土) 22時50分
下の問題の解き方を答えを教えてください。
お願いします。

 「初項a=1 公比r=1 公数n=h」
 「初項a=1 公比r≠1 公数n=h」



21500.Re: 等比
名前:ast    日付:6月12日(日) 1時32分
何を求めさせる問題か判りませんので, まともな返答を期待されるのでしたら問題文を正確に書き写すぐらいはなさった方がいいと思いますよ.

21493.等差数列  
名前:IGA(高2)    日付:6月11日(土) 22時2分
10と20の間にn個の数を入れてn+2項からなる等差数列をつくったら、総和が600になった。このとき、nと交差を求めよ。

問題文の文章が理解しにくいです。
10と20の間にn個の数を入れてn+2項からなる等差数列をつくる
とはいったいどういうことなのでしょうか?
これは10と20も数列の中にはいるのでしょうか。
意味がわかりません。
お願いします、教えてください。



21499.Re: 等差数列
名前:黒蟻    日付:6月12日(日) 1時21分
「m項から成る等差数列」と言ったら、項数はm個です。


21531.Re: 等差数列
名前:ヨッシー    日付:6月13日(月) 8時30分
10と20の間に1個の数を入れて等差数列を作ります。
 10,15,20
3項からなる等差数列が出来ました。
この場合の総和は、10+15+20=45 です。
 
http://yosshy.sansu.org/

21490.高3です。  
名前:FRUIT    日付:6月11日(土) 19時43分
簡単なことかもしれませんが 

(a+b+c)^2 はどのように解いたらよいのか
教えてください。



21491.Re: 高3です。
名前:たけしま    日付:6月11日(土) 20時38分
高3・・・解く・・・

まぁ、それはおいといて、
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca となります。


21508.Re: 高3です。
名前:FRUIT    日付:6月12日(日) 12時56分
思い出しました。
教科書を探しても見つけられなかったので助かりました。
ありがとうございます。

21482.極値  
名前:つかさ    日付:6月11日(土) 9時30分
G(x)=∫[0からx^2](t-1)e^(t)dtとおくとき
dG/dx>0となるxの範囲を求めよ

よろしくお願いします



21484.Re: 極値
名前:のぼりん    日付:6月11日(土) 13時12分
つかささん、こんにちは。f(t)=(t–1)et、F(t)=∫f(t)dt とおけば、G(x)=F(x2)–F(0) だから、dG/dx=2xf(x2)=2x(x2–1)e です。よって、
   dG/dx>0
  ⇔ 2x(x2–1)e>0
  ⇔ (x+1)x(x–1)>0
  ⇔ –1<x<0 または x>1
です。


21485.Re: 極値
名前:soredeha    日付:6月11日(土) 13時23分
∫(t-1)e^(t)dt=F(t)とすると、F '(t)=(t-1)e^(t)

G(x)=∫[0からx^2](t-1)e^(t)dt

=[F(t)][0からx^2]

=F(x^2)-F(0)

dG/dx=d/dx[F(x^2)-F(0)]

=F '(x^2)・(x^2) '-0

=(x^2-1)e^(x^2)・2x

=2x(x^2-1)e^(x^2)

dG/dx>0より、

2x(x^2-1)e^(x^2)>0、e^(x^2)≠0から、

x(x^2-1)>0

(x-0)(x-1)(x+1)>0、x=10のとき成り立つから

-1<x<0,1<x


21547.Re: 極値
名前:つかさ    日付:6月14日(火) 7時58分
返信するのが遅くなりましてすみません。
ちょっと考えすぎていたのかもしれません。

21481.場合の数  
名前:nana高2    日付:6月11日(土) 8時31分
白と黒の色以外では区別がつかない玉がたくさんある。
これらの玉をn個使って輪を作る方法は何通りあるか?

お願いします。



21495.Re: 場合の数
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月11日(土) 23時20分
質問
(1) 所謂円順列か数珠順列のどちらですか?
(2) 解答は高校の範囲外は受け付けませんか?


21496.Re: 場合の数
名前:nana高2    日付:6月12日(日) 0時9分
(1)数珠順列です
(2)受け付けます


21497.Re: 場合の数
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月12日(日) 0時24分
だとしたら私より明快な回答を書いて下さる方が沢山いらっしゃると思うので、先ずはそれを待ちましょう。


21502.Re: 場合の数
名前:らすかる    日付:6月12日(日) 4時16分
答は簡単な式では表せないようです。
答は↓こちら

http://www.research.att.com/projects/OEIS?Anum=A000029


21505.Re: 場合の数
名前:矢作勝美    日付:6月12日(日) 11時43分
nが素数なら簡単ですが,….

21476.整数  
名前:明日香(高3)    日付:6月10日(金) 21時4分
互いに素であるっていうのは最大公約数が1になることらしいのですが、どうやって証明するのでしょうか?



21477.Re: 整数
名前:えいぶ    日付:6月10日(金) 21時59分
では、逆に聞きますが「互いに素である」を説明してください。
「最大公約数が1」を使わずに説明できますか?


21479.Re: 整数
名前:明日香(高3)    日付:6月11日(土) 0時43分
説明できません


21480.Re: 整数
名前:顔なし    日付:6月11日(土) 3時23分
 お互いに素って、素数という意味ですか?
証明の仕方はどうか自身が無いのですが、<らしい>という言葉があったので蛇足のせつめいを・・。
 簡単な素数17と13を例に、、。
どちらも自分自身と1でしか割れません。それが素数なのですが、
という事は、1しか公約数がありませんよねー。
 ちなみに17と17の場合「お互い素」といえるのならば、
そうすると最大公約数は17になっちゃいますねー????
同じ数同士のときは公約数って求まるのかなー?
12と12の場合公約数は12,6,4,3,2,1?
ごめん、、参考にならないかなー、どなたかおしえて・・。


21483.Re: 整数
名前:bate    日付:6月11日(土) 12時39分
> 互いに素であるっていうのは最大公約数が1になることらしいのですが、どうやって証明するのでしょうか?

それは定義であって, 証明するような内容ではありません. 「与えられた 2 つの数の最大公約数が 1 であること」という事象の状態に「2 つの数は互いに素である」という "名前" をつけてあるだけのことです.

> お互いに素って、素数という意味ですか?
まったく違います.


21487.Re: 整数
名前:soredeha    日付:6月11日(土) 13時54分
前から思っていたんですが、「互いに素」の「素」って、
何なんでしょう。
たとえば、2と3は互いに素といますが、
2x+3yに整数x、yを代入すると全ての整数が出てきます。
2と4では、
2x+4yは、偶数だけが出てきます。
そうゆうことでしょうか。
ベクトルの一次独立を連想しますね。


21489.Re: 整数
名前:黄桃    日付:6月11日(土) 18時7分
みなさんおっしゃる通り「a,b が互いに素」というのを明日香さんがどう習ったか、ということがわからないと答えられません。というのも、互いに素、には同値な定義がいくつかあり、そのうちの1つが
(1)「a,bの最大公約数が1」
だからです。他に考えられる定義として、
(2)「a,b は(1以外の)共通因数をもたない」
(3)「どんな整数 x についても、ax がbで割り切れる、ならば、x が b で割り切れる」
などがあります。どれも、素因数分解を考えればわかります。(2),(3)から(1)を証明してみましょう。どっちとも違う定義でしたら、定義を述べた上で再質問してください。

(2)⇒(1)の証明
a,b を素因数分解します。最大公約数は、両方共通の素因子 p のベキの一番小さいものを掛け合わせたものですから、これが 1 ということは、共通の素数が1つもない、ということになります。したがって、最大公約数は 1 です。

(3)⇒(1)の証明
最初に(3)⇒(2)を示します。
a,b に1以外の共通因数 p(>1)があったとします。すると、a=px, b=py とかけます。pxy=ay=bx ですから、ay は b で割り切れます。したがって、仮定から(x=yとすれば) y がbで割り切れます。すると、b=py>y>0 で、しかも y は b の倍数となります。0 より大きく、bより小さいbの倍数はありませんので、これは矛盾です。したがって、背理法で a,b には共通因数がないことが示され、(3)⇒(2)がわかりました。
(2)⇒(1)は示してあったので、合わせて(3)⇒(1)もわかりました。

※(2)や(3)の形にすると、「互いに素」と「素数」との類似性が見やすいと思います。


21509.Re: 整数
名前:明日香(高3)    日付:6月12日(日) 13時40分
互いに素とは同値な定義なわけですか、初めて知りました。
ありがとうございます。

21473.極限  
名前:かえで    日付:6月10日(金) 17時59分
(1)lim[x→0]sinx/(x+tanx)

(2) lim[x→0]tan(sinπx)/x

わからないのでお願いします。



21475.Re: 極限
名前:c.e.s.    日付:6月10日(金) 19時12分
(1)
sin(x)/{x+tan(x)}=1/{x/sin(x)+1/cos(x)}
→1/{1+1/1} (x→0)
=1/2

(2)
tan{sin(πx)}/x=[tan{sin(πx)}/sin(πx)]{sin(πx)/πx}π
→1・1・π (x→0)


21478.Re: 極限
名前:かえで    日付:6月10日(金) 22時7分
回答ありがとうございます。
tan{sin(πx)}/sin(πx)が1になるのはなぜですか?


21488.Re: 極限
名前:c.e.s.    日付:6月11日(土) 16時11分
tan{sin(πx)}/sin(πx)でsin(πx)=tとすれば、
x→0⇒sin(πx)→0なので
tan{sin(πx)}/sin(πx)=tan(t)/t={1/cos(t)}{sin(t)/t}
→{1/cos(0)}・1=1
sinやcosが入った極限はとにかく変形してsin(x)/xの形を作り出してみてください。たいてい何とかなります。

21465.(untitled)  
名前:ひろし    日付:6月10日(金) 8時43分
ある立方体の頂点3点を結んで切り取った三すいの体積は立方体全体の何分の1になるか。

どうやってやるのでしょうか。
おねがいします



21467.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:6月10日(金) 11時40分

元の立方体の1辺を2(体積は2×2×2=8)としたとき、
三角すいの底面は 2×2÷2=2
高さは 2 なので、三角錐の体積は・・・・
(以下略)
答えは、1/6です。
 
http://yosshy.sansu.org/


21468.Re: (untitled)
名前:ひろし    日付:6月10日(金) 12時23分
ありがとうございます。
三角錐の高さは2なんですね。
難しく考えてしまいしまた。
ルートがつくと思っていました。

21464.確率  
名前:恭子    日付:6月10日(金) 8時38分
袋の中に白玉が2つ、赤玉が3つ入っている。この中から同時に3つ取り出すとき、そのうち少なくとも1つは白である確率はいくつになるか。

答えは9/10になるみたいです。

よろしくお願致します。



21466.Re: 確率
名前:ヨッシー    日付:6月10日(金) 10時40分
3つとも赤である確率はわかりますか?
 
http://yosshy.sansu.org/


21469.Re: 確率
名前:恭子    日付:6月10日(金) 12時54分
3つとも赤は1通り
5_C_3=10通り

1-(1/10)=9/10

で大丈夫でしょうか

21463.お願いします  
名前:shun(高3)    日付:6月10日(金) 7時40分
問1 次の微分方程式の解を求めなさい
y"+3y'=sinX+cosX

問2 次式をxで微分しなさい
y=1/1-cosx



21470.Re: お願いします
名前:ヨッシー    日付:6月10日(金) 13時2分
高校の微分方程式ってどうやるんでしたっけ?
問1.
いかにも、y=AcosX+BsinX+C のような形ですが、実際にやってみると、
 y’=−AsinX+BcosX
 y”=−AcosX−BsinX
より、
 y”+3y’=(3B−A)cosX−(3A+B)sinX
係数を比較して
 3B−A=1,3A+B=−1
 B=1/5、A=−2/5、Cは任意
こんな感じでしょうか?

問2
 y=1/f(x) に対して、
 y’=−f’(x)/{f(x)}2
という公式があります。
 
http://yosshy.sansu.org/


21486.Re: お願いします
名前:shun(高3)    日付:6月11日(土) 13時45分
ありがとうございます。

ということは、問2は dy/dx=-sinx/(1-cosx)^2でいいのでしょうか? 


21498.Re: お願いします
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月12日(日) 0時33分
>dy/dx=-sinx/(1-cosx)^2
正解です。

>問1
一般解は 特殊解 + c*e^(-3x) + d

21458.(untitled)  
名前:アキフミ(高2    日付:6月9日(木) 21時35分
原点を中心とする半径1の円Oの周上に定点A(1,0)と動点Pをとる。
(1) 円Oの周上の点B,CでPA2+PB2+PC2がPの位置によらず一定であるものを求めよ。
(2) 点B,Cが(1)の条件をみたすとき,PA+PB+PCの最大値と最小値を求めよ。

もうすぐテストなのですが、問題集にあったこの問題が気になります。



21462.Re: (untitled)
名前:矢作勝美    日付:6月9日(木) 23時56分
(1)P=A,B,Cのときの値を等置して,AB=BC=CA.そのとき,(A+B+C)/3=Oだから,その値は3OP^2+OA^2+OB^2+OC^2となり一定.
(2)例えば,P∈劣弧BCのとき,トレミーの定理より,PB+PC=PAだから,P=−Aのとき最大,P=B,Cのとき最小.


21471.Re: (untitled)
名前:アキフミ(高2    日付:6月10日(金) 13時33分
すみません、いまひとつわかりません。。。


21472.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:6月10日(金) 16時17分
Pの位置によらず、ということは、PがAの位置にあっても、Bの位置にあっても、
Cの位置にあっても良いわけです。
Pが、
 Aの位置にあるとき、PA2+PB2+PC2=AB2+AC2
 Bの位置にあるとき、PA2+PB2+PC2=AB2+BC2
 Cの位置にあるとき、PA2+PB2+PC2=AC2+BC2
これらがすべて等しいので、
 AB2=BC2=CA2
AB,BC,CA いずれも負でないので、
 AB=BC=CA
これが必要条件ですが、本当にすべてのPについて成り立つかということを
調べます。

AB=BC=CA となるのは、
 1.A,B,Cが同一点
 2.B(-1/2,√3/2)、C(-1/2,-√3/2) ※△ABCが正三角形となる位置
の2通りですが、1.の場合は、明らかにPの位置によって、PA2+PB2+PC2 は
一定しません。よって、2.について調べます。

ここまでで、一旦切ります。
 
http://yosshy.sansu.org/

21457.教えてください  
名前:すすか(中3)    日付:6月9日(木) 20時30分
問1 正方形の土地の面積が60uのとき、この土地の周囲の長さは
   何mですか?

問2 一辺6mの正方形の2倍の面積をもつ正方形を作るには、一辺
   の長さを何mにすればよいですか?



21459.Re: 教えてください
名前:TOM    日付:6月9日(木) 22時1分
問い1

正方形の1辺をxとする

x^2=60 平方根の考えと長さは正ということから
 x=√60=2√15

よって周囲は2√15 ×4=8√15 8√15m

問い2
一辺6mの正方形の2倍の面積=6×6×2=72 

新しい正方形の1辺をa とすると

a^2=72 a=√72=6√2 m


21460.Re: 教えてください
名前:すすか(中3)    日付:6月9日(木) 22時34分
ありがとうございました。
ルートって難しいですね


21461.Re: 教えてください
名前:TOM    日付:6月9日(木) 22時45分
どんどん問題を解いて解法を身につけるしかありません

21451.極限  
名前:かえで    日付:6月8日(水) 20時8分
lim(xのx分の1乗)
x→∞

を教えてください。



21453.Re: 極限
名前:X    日付:6月8日(水) 20時39分
補題として
lim[x→∞]logx1/x
を求めることを考えます。
今、1<xなるxに対し
logx<√x
∵)f(x)=√x-logxとおいて1<xにおけるf(x)の増減を調べる
ですのでx>1なるxに対し
(log1)/x<(logx)/x<1/√x
つまり
0<logx1/x<1/√x
従ってはさみうちの原理より
lim[x→∞]logx1/x=0

よって
lim[x→∞]x1/x=1

21442.mod  
名前:darkstar    日付:6月8日(水) 17時28分
最近modを勉強して思ったんですが
『pが3n+1型の素数のときx^3≡1(modp)を満たす整数xが
pが4n+1型の素数のときy^4≡1(modp)を満たす整数yが存在する』
が成り立つ気がしました。これはあってますか?
もしあってるのであれば証明も知りたいです。



21447.Re: mod
名前:らすかる    日付:6月8日(水) 18時8分
あってますが、p≧2, n≧1 として、pが素数かどうかにかかわらず、
x^n≡1 (mod p)を満たす整数xが存在するのは自明です。
x=1 は常に式を満たしますから。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


21448.Re: mod
名前:darkstar    日付:6月8日(水) 18時25分
そういえばそうですね。
ではx≠1の時はどうですか?


21449.Re: mod
名前:らすかる    日付:6月8日(水) 18時29分
x=1 で成り立てば、x=kp+1 でも成り立ちます。
pが素数かどうかはやはり関係ありません。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


21450.Re: mod
名前:darkstar    日付:6月8日(水) 19時3分
そうですね。なんか当たり前のことでした。
実はpが3n+1型素数のときx^2+x+1≡0(modp)を満たすxが
pが4n+1型素数のときy^2+1≡0(modp)を満たすyが存在するというのを
考えててさっきのようにやるのかなと思ったんですが違うみたいですね。
もしわかればヒント下さい。


21474.Re: mod
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月10日(金) 19時9分
darkstar さん
>もしわかればヒント下さい。
最初の疑問はらすかるさんによって自明的に解決されました。
その次の質問が漠然としてよく分かりません。
もう少し具体的に述べていただけますか?


21516.Re: mod
名前:風あざみ    日付:6月12日(日) 21時41分
原始根を勉強すれば正しいことがわかるでしょう。
(mod p)での原始根をgをおくと

pが3n+1型の素数のとき、x=g(p-1)/3とおくとx3≡1(mod p)となりますし、
pが4n+1型の素数のとき、y=g(p-1)/4とおくとy4≡1(mod p)となります。

原始根の存在証明は、初等整数論の本を読んでもらうか↓↓下のURL↓↓を参照ください。
http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/suuron/node35.html


21605.Re: mod
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月17日(金) 13時35分
原始根を円周等分多項式に代入すると 0 に合同になると言う事を述べたかったのですか?
>darkstar さん

21440.図形と方程式(高校)  
名前:リル    日付:6月8日(水) 13時20分
大学1年です。
2直線の交点を通る直線の問題に関してです。
交わる2直線
a1x+b1y+c1=0・・・・・@
a2x+b2y+c2=0・・・・・Aについて
a1x+b1y+c1+k(a2x+b2y+c2)=0・・・・・・B
は@とAの交点を通る直線を表す。(kは定数)

Bはk=無限大にとった場合がAを表すのである。という文章が
意味不明です。
教えてください。



21441.Re: 図形と方程式(高校)
名前:ヨッシー    日付:6月8日(水) 13時28分
(3) において、k=0 にすると、(1) に一致しますね。
一方、k にどんな数を入れても、(2) にはならないのです。
ところが、k にかなり大きい数を代入すると、かなり(2) に近い直線になります。
この、極限の状態として、無限大という言い方をしているものと思われます。

ちなみに、(2) に一致する場合も記述したければ、
 k(a1x+b1y+c1)+m(a2x+b2y+c2)=0 ただし、k^2+m^2>0
のように、文字を2つ使います。
 
http://yosshy.sansu.org/

21434.まったくわかりません(宿題の丸投げではないです)  
名前:へ(高一)    日付:6月7日(火) 23時9分
問1)すべてのxの値に対してax^2-2(a+1)x+6>0(a≠0)がつねに成り立つようにaの値の範囲を求めよ。

問2)2次方程式x^2-6x+k=0の一つの解が他の解の平方であるとき定数kの値を求めよ。

問3)2次方程式x^2-3x-1=0の2つの解をα、βとするとき次の値を求めよ。
@α^3+β^3
Aα^2/αβ+β^2/αβ
B(α-β)^2

問4)次の2次式を複素数の範囲で因数分解せよ。
@2x^2-5x-12 Ax^2-2x+4

全部考えてみたんですがまったくわかりません。



21436.Re: まったくわかりません(宿題の丸投げではないです)
名前:みっちぃ    日付:6月8日(水) 0時35分
問1) ax^2-2(a+1)x+6>0が常に成り立つとき,y=ax^2 -2(a+1)x+6のグラフはどのようになっているでしょうか?
それを考えると
・aが正か負か
・頂点のy座標がどうなっているか
で,不等式が2つたつので,aの範囲が求まります.
最終的な答えは,2-√3<a<2+√3になります.

問2) 解をα,α^2と置きます.
このとき,解と係数の関係から
α+α^2=○
α*α^2=□
という式ができるので,αの値とkの値が求まります.
最終的なkの値は,8,-27です.

問3) 問2と同じく解と係数の関係を使います.
α+β=○
α*β=□
という式が立ちます.

一方,@〜Bは,全てa+β,α*βのみを用いた式で必ず表せるため,(例えば,α^2+β^2=(α+β)^2 -2α*β となります.)解と係数の関係で求めた式を代入して終わりです.
最終的な答えは,@36,A-11,B13です.

問4) x^2+px+q=0の解がx=α,βなら,問答無用にx^2+px+q=(x-α)(x-β)と因数分解できます.
これは,α,βが虚数解でも成り立つ因数分解なので,解の公式を駆使して,
@,Aの解をもとめて,無理やり因数分解すればいいです.
これの答えは,求めればすぐに分かると思います.

がんばってください.

21429.質問です  
名前:かえで    日付:6月7日(火) 22時20分
∞(無限大)のゼロ乗は何になるのでしょうか。



21433.Re: 質問です
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月7日(火) 22時51分
不定(定まらない)

21427.お願いします  
名前:すすか(中3)    日付:6月7日(火) 20時35分
(1)8でわると3余る数aと、8でわると5余る数bがある。abを
   8でわったときの余りを求めなさい。

(2)252をできるだけ小さい自然数でわって、ある整数の2乗にし
   たい。わる自然数を求めなさい。



21428.Re: お願いします
名前:TOM    日付:6月7日(火) 21時30分
(1)8でわると3余る数a →商をm
   8でわると5余る数b →商をn  とします
  そうすると

   a=8m+3
   b=8n+5

ab=(8m+3)(8n+5)=64mn+40m+24n+15

64mn+40m+24n+15
       =8(8mn+5m+3n+1)+7
こうあらわせる(8でくくった)
そうするとあまりは 7

(2)252を素因数分解
  252=2^2・3^2・7
     =(6^2)・7
こうすると7が邪魔ですね
よって7で割ればいい。


21456.Re: お願いします
名前:すすか(中3)    日付:6月8日(水) 20時59分
おぅ〜なるほど。
ありがとうございました。

21426.(untitled)  
名前:高校生    日付:6月7日(火) 19時32分
直積集合Z*(z−〈o)に次のような関係R2を定義せよ
(a,b)R2(c,d)<=>ad=bc
このときR2は同値関係である。すなわち次の3つの条件を証明せよという問題なのですがわからないので教えてください。

(i) (a,b)R2(a,b)
(ii)(a,b)R2(c,d)=>(c,d)R2(a,b)
(iii)(a,b)R2(c,d),(c,d)R2(e,f)=>(a,b)R2(e,f)



21432.Re: (untitled)
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月7日(火) 22時50分
>(i) (a,b)R2(a,b)
に付いて。

ab = ba だから定義に当てはまる。


21439.Re: (untitled)
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月8日(水) 4時16分
(ii) も定義よりすぐ出る。
(iii) は ad = bc, cf = de より afcd = becd,
c ≠ 0 の時は
cd ≠ 0 より、af = be
c = 0 の時は
a = e = 0 より
af = 0 = be

21417.三角形について   
名前:nana高2    日付:6月7日(火) 6時43分
三辺がa,b,cである三角形がa+b+c=1を満たしながら動くとき
a^2+b^2+c^2のとりうる値の範囲を求めよ

よくわかりません。お願いします。



21421.Re: 三角形について 
名前:    日付:6月7日(火) 13時44分
記載ミスがあり、修正貼り直しました。

最小値は相加相乗平均から
a^2+b^2+c^2≧3(a^2・b^2・c^2)^(1/3)
等号がa=b=c=1/3より1/3と簡単に出せますが、上限が?

効率のよくない回答だと思いますが、とりあえず。
取っつきやすくするためにa=x、b=yとしておきますね。
cは固定した定数のように考えます。
まず、c<x+y=1-c ・・・(1)より1/2<c
また、x-c<y<x+c ・・・(2)である。
つまり、(x,y)は(1)の直線上を(2)の不等式で制限される範囲を動けることになる。

いまcを固定して考えると、a^2+b^2+c^2に関してはx^2+y^2=r^2 ・・・(3)
の大きさを考えればよい。
グラフを書けば、(2)で制限された直線(1)上で、(3)の円の半径が
最小になるのは(1)とy=x ・・・(4)の交点で接する場合
上限になるのは(1)とy=x-cの交点を円が通る場合である(y=x+cでも同じ)

A)最小に関して
x+y=1-cとy=xを連立させて、x=y=(1-c)/2
よって最小値は
m(c)=2((1-c)/2)^2+c^2=(3/2)(c-1/3)^2+1/3
よってc=1/3(=a=b)のときで 1/3
(上述の通り相加相乗平均で簡単に出せるが)

B)上限に関して
x+y=1-cとy=x-cを連立させて、x=1/2、y=1/2-c
よって、上限値は
M(c)=(1/2)^2+(1/2-c)^2+c^2=2(c-1/4)^2+3/8
1/2<cより、上限値はc=0 or 1/2のとき、1/2

1/3≦a^2+b^2+c^2<1/2


21425.Re: 三角形について 
名前:nana高2    日付:6月7日(火) 18時5分
ありがとうございました。
なるほど、cを固定して考えるのですね。

また次の機会もよろしくお願いします。

21415.(untitled)  
名前:erica    日付:6月7日(火) 2時30分
Size: 176 x 144, 4KB

中3です。
円周角は左が20°、右が30°です。
下の真ん中の角xは何度ですか? 
よろしくお願いします。



21418.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:6月7日(火) 8時30分
これだけでは、答えは出ません。

図のように、20°、30°を満たしたままでも、xは変化することが出来ます。
他に、何か条件は与えられていませんか?
 
http://yosshy.sansu.org/


21431.ありがとうございます!
名前:erica    日付:6月7日(火) 22時37分
テストの問題だったのですが、その後不適切問題と発表されましたf^_^;
どうもありがとうございました☆


21446.Re: (untitled)
名前:信長    日付:6月8日(水) 18時3分
-180°≦x<130°
>ヨッシーさん
そのGIFの動き何か卑猥ですね(意味不明)w。


21455.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:6月8日(水) 20時52分
こっそり、遅くしてみました。
 
http://yosshy.sansu.org/

21413.合成関数  
名前:大学1年    日付:6月7日(火) 0時11分
X^a(a>0)は[0、∞)であることを示せ。という問題についてなのですが、私はx^aをe^yとy=aloge(x)の合成関数として、「二つの合成関数f(x)とg(y)において、f(x)が区間Iにで,g(y)が区間Kで連続ならば、合成関数g(f(x))はIで連続である。」という定理を用いて解こうとおもったのですが、これだとIの範囲が(0、∞)になってしまわないでしょうか。どなたかわかる方がいたら教えてください。よろしくお願いします。



21416.Re: 合成関数
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月7日(火) 6時32分
>Iの範囲が(0、∞)になって
しまいます。

後、 x = 0 で連続、即ち
lim x → 0 xa = 0 を示せば良いだけです。


21422.Re: 合成関数
名前:大学1年    日付:6月7日(火) 14時19分
どうもありがとうございます。

21410.穴埋め問題です。  
名前:calamity    日付:6月6日(月) 22時38分
Original Size: 240 x 320, 18KB

穴埋めです。自分ができたところまでは数値をいれます。
でも間違ってるかもしれないのでその場合はご指摘お願いします。
?がわかりません。

AB=5,BC=4の三角形ABCの内心をIとする。直線BIと辺ACの交点をDとし、
また、直線BI上に点Eをとり、四角形ABCEが円に内接するようにする。
(1)Iが三角形ABCの内心であることより、
∠ABD=∠CBDであるから、DA/DC=5/4である。
また、同じ孤に対する円周角の関係から∠CBD=∠CAEである。
(2)三角形DAEと三角形DBCは相似であるから、AE=2とすると
DA/DB=1/2である。さらに、三角形EADと三角形EBAが相似であるから
DA/DE=5/2、EB・ED=?である
したがって、DE=?である。

解説のほうをよろしくお願いします。



21414.Re: 穴埋め問題です。
名前:tobira    日付:6月7日(火) 1時38分
数値だけ追ってみると
 DA/DC=5/4、DA/DB=1/2、DA/DE=5/2
  あっていると思います。
ただ、以下ですが
 「DA/DE=5/2、EB・ED=?である」は
 「DA/DE=5/2、EB/ED=?である」でないでしょうか
 問題を確認してみてください

とするとですが
 EB/EDは、EB=DB+DEなので、前に求めた、
  DA/DB=1/2、DA/DE=5/2より
  BDをDEであらわすことによって、求めます。

 DA/DE=5/2より、DA=(5/2)DE
 DA/DB=1/2より、DB=2DA
  ここから、DB=5DE
 よって、EB/ED=(BD+DE)/ED=(5DE+DE)/ED=6
  つまり、EB=6ED

 さらに、△EAD∽△EBAなので
  EA/EB=ED/EA から、EB*ED=EA^2 とし
  EB=6ED、EA=2 より、6ED^2=2^2
 よって、
  ED^2=2/3 ED=(√6)/3
こんな感じだと思います。


21435.Re: 穴埋め問題です。
名前:calamity    日付:6月8日(水) 0時15分
ご親切にありがとうございます。
確認しましたが問題は間違っていないようです。
自分も疑問に思ったんですけど・・どう解けばいいんでしょう?


21437.Re: 穴埋め問題です。
名前:tobira    日付:6月8日(水) 0時56分
(^^;そうでしたか。すみません。
ただ、「DA/DE=5/2、EB・ED=?である」としても

解説の終わりの方の
「さらに、△EAD∽△EBAなので
  EA/EB=ED/EA から、EB*ED=EA^2 とし
  EB=6ED、EA=2 より、6ED^2=2^2
 よって、
  ED^2=2/3 ED=(√6)/3」

この部分の
 「EB*ED=EA^2 から、EB*ED=4」
 が出てきます。

ですので、解き方は変わらないと思います。

(^^;余計な指摘をして、混乱させてしまいました。
 すみません。


21454.Re: 穴埋め問題です。
名前:calamity    日付:6月8日(水) 20時51分
あ、できました。
ありがとうございました

21409.常用対数  
名前:IGA(高2)    日付:6月6日(月) 22時21分
ある貯水池の水量は、晴天の日には4%減少して雨天の日には8%増加する。もし晴天の日だけが続くとすると、はじめの貯水量の75%以下になるのは何日後か。また、17日後の貯水量がはじめの貯水量と同じであるとすると、この17日間に雨天の日は何日あることになるか。log(10)2=0.301,log(10)3=0.477として求めよ。ただし、毎日の天候については、一日中晴天あるいは一日中雨天のどちらかしか起きないものとする。

(解答)
はじめの貯水量をAとする。
17日間に雨天の日がk日あるとすると晴天の日は17-k日
17日後の貯水量は0.96^(17-k)*1.08^k=1
log(10){0.96^(17-k)*1.08^k}=0

すなわち
(17-k)log(10)0.96+klog(10)1.08=0
log(10)0.96=-0.018
この上の式から下の式へうつる過程を教えてください。



21411.Re: 常用対数
名前:キューダ    日付:6月6日(月) 22時52分
上の式を変形したものじゃ無いですよ。
log[10](0.96)=log[10](96/100)=log[10](2^5*3/100)=5*0.301+0.477-2


21492.Re: 常用対数
名前:IGA(高2)    日付:6月11日(土) 21時59分
考えてみます。
有り難うございました。

21406.直積集合  
名前:高校3年生    日付:6月6日(月) 20時10分
直積集合Z*(z−〈o)に次のような関係R2を定義せよ
(a,b)R2(c,d)<=>ad=bc
このときR2は同値関係である。すなわち次の3つの条件を証明せよという問題なのですがわからないので教えてください。

(i) (a,b)R2(a,b)
(ii)(a,b)R2(c,d)=>(c,d)R2(a,b)
(iii)(a,b)R2(c,d),(c,d)R2(e,f)=>(a,b)R2(e,f)



21420.Re: 直積集合
名前:高校生    日付:6月7日(火) 13時41分
直積集合Z*(z−(o))に次のような関係R2を定義せよ
(a,b)R2(c,d)<=>ad=bc
このときR2は同値関係である。すなわち次の3つの条件を証明せよという問題なのですがわからないので教えてください。

(i) (a,b)R2(a,b)
(ii)(a,b)R2(c,d)=>(c,d)R2(a,b)
(iii)(a,b)R2(c,d),(c,d)R2(e,f)=>(a,b)R2(e,f)

21404.数列  
名前:ako    日付:6月6日(月) 16時52分
0,1,2,3,4,5,の6つの数を並べてできる6けたの整数のうち5の倍数になる組み合わせは何通りあるの答えが5!+4×4!なる理由がわかりません。教えてください 高校1年生



21405.Re: 数列
名前:    日付:6月6日(月) 16時58分
末尾が0の時は上の桁は1〜5がどんな順番でもよいので5!
末尾が5の時は頭の桁は1〜4の4種類で、
以下の桁はそれ以外と0を含めた4つがどんな順番でもよいので4×4!

21400.(untitled)  
名前:高校1年生    日付:6月5日(日) 22時24分
0°≦θ≦180°のとき,tanθ<1のθの値の範囲を求めよ。
です。tanθのとる値の場所がよくわからないです。
よろしくお願いします。



21401.Re: (untitled)
名前:ast    日付:6月6日(月) 4時25分
tan(θ) は x 軸の正の方向と θ の角を成す直線の傾きなので, 単位円で言えば, 原点を通り x 軸の正の方向と θ の角を成す直線の, x = 1 のときの y 座標の値が tan(θ) と一致します.


21403.Re: (untitled)
名前:高校1年生    日付:6月6日(月) 13時13分
わかりました。ありがとうございました

21396.三角関数について教えてください。  
名前:ゆきにゃご    日付:6月5日(日) 21時33分
次の関数の最大値・最小値を答えよ

  y=cosθ



21397.Re: 三角関数について教えてください。
名前:ゆきにゃご    日付:6月5日(日) 21時40分
PS.すいません。高校2年です。


21398.Re: 三角関数について教えてください。
名前:らすかる    日付:6月5日(日) 21時43分
最大値は1、最小値は-1
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21395.添数付き集合  
名前:紀沙    日付:6月5日(日) 21時17分
大学1年です。次の問題について教えてください。
添数付き集合族{Ai:i∈I}、集合Bについて
B∩(∪iAi)=∪i(B∩Ai)
を証明せよ。
です。こういう問題はどのように証明すれば良いのでしょう?
宜しくお願いします。



21402.Re: 添数付き集合
名前:ast    日付:6月6日(月) 4時29分
> こういう問題はどのように
集合が一致することを示すのはお決まりの方法(互いに他を含むこと)を使えばいいだけです.

今回の問題でポイントになるのは, x ∈ ∪i Ai とはどういうことかというのをきちんと言うことです.


21407.Re: 添数付き集合
名前:紀沙    日付:6月6日(月) 21時42分
まずB∩(∪iAi)⊂ ∪i(B∩Ai)の証明についてですが、
x ∈ B∩(∪iAi)とすると、x ∈ Bかつx ∈ ∪iAi

x ∈ ∪iAiとは、例えばA3はxを含んでも、A4は含まない、
といった場合もある・・・ということでしょうか?

任意のs、t∈i について x ∈As、x∈/(←∈の打ち消し)At
とする。
x ∈ Bかつx ∈Asかつx∈/Atより、
x ∈B∩As∩c(At)(←Atの補集合)
よってx ∈∪i(B∩Ai)

はっきり言って自信がないです;
この解答の訂正をお願いできますでしょうか?


21412.Re: 添数付き集合
名前:ast    日付:6月7日(火) 0時6分
> x ∈ ∪i Ai とはどういうことか

つまりこれは, 「少なくとも 1 つは i という番号が存在して x ∈ Ai が成立する」ということです.

これを踏まえて, a ∈ B ∩(∪i Ai) や b ∈ ∪i (B ∩ Ai) を書き換えてみてください.

ちなみに,
> 任意のs、t∈i について x ∈As、x∈/(←∈の打ち消し)Atとする。
なんてことは起こりえません. 「任意の」という言葉の使い方にはもう少し慎重になったほうがよろしいかと思います.


21430.Re: 添数付き集合
名前:紀沙    日付:6月7日(火) 22時27分
>つまりこれは, 「少なくとも 1 つは i という番号が存在して x ∈ Ai が成立する」ということです.

そういう意味なんですか。ありがとうございます。

a ∈ B ∩(∪i Ai) よりa ∈ Bかつ a ∈ {Ai}
a ∈ B∩{Ai}
a ∈∪i(B∩Ai)
ではどうでしょうか。(何度もすみません!)


21438.Re: 添数付き集合
名前:ast    日付:6月8日(水) 1時29分
> a ∈ B ∩(∪i Ai) よりa ∈ Bかつ a ∈ {Ai}
> a ∈ B∩{Ai}
> a ∈∪i(B∩Ai)
> ではどうでしょうか。(何度もすみません!)

考え方は大丈夫ですね. が, ちゃんと文章(数式も単語や文節と同じです)を書かないと相手に伝わらなくてダメです. まあ最低限手を加えるとしたら

a ∈ B ∩(∪i Ai) より, a ∈ B かつ a ∈ Ai となる Ai が存在する.
ゆえに a ∈ B ∩ Ai, したがって a ∈ ∪i(B ∩ Ai) が成り立つ.

のようになるでしょうか. ここまでできたらあとは逆の包含関係を言って所期の目的を果たせますね.

# ちなみに何度もやり取りをするのは, わたしの筆の癖もあります(というかほとんどその所為な)のでお気になさらないでください.


21443.Re: 添数付き集合
名前:紀沙    日付:6月8日(水) 17時51分
>ちゃんと文章(数式も単語や文節と同じです)を書かないと相手に伝わらなくてダメです.

確かにそうですよね。気をつけます。

証明問題は苦手なのでとても助かりました。
ast様、ご丁寧にありがとうございました!

21393.微分積分  
名前:mimi    日付:6月5日(日) 18時42分
関数y=x^3-2のグラフの接線について次のものを求めよ。
というもんだいで、
x軸に平行な接線の方程式とその接点の座標を求めたいのですが、教えてください。 

よろしくおねがいします。



21394.Re: 微分積分
名前:らすかる    日付:6月5日(日) 19時35分
y=x^3のグラフは原点でx軸に接しているから、
この場合の接線の方程式はy=0、接点の座標は(0,0)
y=x^3-2のグラフはそれをy軸の負の方向に2平行移動したものだから
接線の方程式はy=-2、接点の座標は(0,-2)

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


21399.Re: 微分積分
名前:mimi    日付:6月5日(日) 22時2分
分かりました。ありがとうございました。

21387.逆三角関数  
名前:大学1年    日付:6月5日(日) 15時38分
cos^2(arcsinx)を簡単にせよという問題なのですが、答えには 1−x^2 とあるのですがどうしてそうなるのかわかりません。わかるかたいらしたら教えてください。よろしくお願いします。



21388.Re: 逆三角関数
名前:HybridTh.(大学4年)    日付:6月5日(日) 16時39分
cos2{arcsin(x)} = 1 - sin2{arcsin(x)} = 1 - [sin{arcsin(x)}]2 = 1 - x2
となります. 途中の式変形で用いた公式等は,
cos2(x) = 1 - sin2(x)
sin{arcsin(x)} = x
です.


21390.Re: 逆三角関数
名前:大学1年    日付:6月5日(日) 18時4分
どうもありがとうございます。助かりました。

21385.(untitled)  
名前:アンパンマン    日付:6月5日(日) 14時17分
正三角形ABCDEFGHについて、次のものの総数を求めよ。
1) 3つの頂点を結んでできる三角形
2) 3つの頂点を結んでできる三角形で、正八角形と共有する辺をもつものつの頂点を結んでできる
3) 4つの頂点を結んでできる四角形で、正八角形と共有する辺をもつものつの



21386.Re: (untitled)
名前:らすかる    日付:6月5日(日) 15時6分
正三角形ABCDEFGH? というのはおいといて…
1)
8つの頂点から3つの頂点を選べば良いので8C3=56通り
2)
問題文が変です。後ろの「つの頂点を結んでできる」は無視します。
一辺を共有する三角形は、共有する辺が8通り、もう一つの
頂点の選び方が8-4=4通りなので8×4=32通り
二辺を共有する三角形は、共有する二辺の間の頂点で決まるので8通り
従って32+8=40通り
3)
問題文が変です。後ろの「つの」は無視します。
四角形は全部で8C4=70通り
そのうち辺を共有しないものは正方形2つだけなので2通り
従って70-2=68通り

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21379.迷路に入ってしまいました。  
名前:ゆう(小6    日付:6月4日(土) 22時31分
・88-{77-66÷(55÷44÷33×22)÷11}
・{0.2×(60−□÷1.5)}÷4.5=2余り0.14

という問題が解けません。。
分配法則などを使って解こうと思ったのですが、
基本がわからなくなってしまいました。

こんな問題でも投稿していいでしょうか?
よろしくお願いします。



21380.Re: 迷路に入ってしまいました。
名前:kei    日付:6月5日(日) 0時36分
(最初の問)
たしかに混乱してしまいますね。
まず、小括弧の中から考えていきます。
55÷44÷33×22ですが、分数の形に直してしまったほうが分かりやすそうです。
(55×22)/(44×33)
となります。約分(分母、分子を同じ数で割る)を考えます。
まず、分母も分子も11で割れます。
(5×22)/(4×33)
まだ分母、分子ともに11で割れます。
(5×2)/(4×3)
=10/12
=5/6

よって、中括弧の中は次のようになります。
77-66÷(5/6)÷11
掛け算、割り算は足し算、引き算より先に計算するという規則がありましたね。よって、太字の部分をまず考えます。
66÷(5/6)÷11
これも分数の形に直したほうが楽です。
(66×6)/(5×11)
分子、分母はともに11で割れるので
(6×6)/5
=36/5となります(仮分数のまま置いておくほうが計算は楽になる場合が多いです)

よって、中括弧の中は次のようになります。
77-36/5=385/5-36/5=349/5
よって、与えられた式は次のようになります。
88-349/5
通分してこれを解きます。
88-349/5=440/5-349/5=91/5
後は帯分数になおすか、小数に直すかをしてください。


21381.Re: 迷路に入ってしまいました。
名前:kei    日付:6月5日(日) 0時47分
(次の問)
中括弧を4.5で割ると、2あまり0.14になるということは
中括弧は4.5×2+0.14ということです。(ここは難しいかもしれませんが、よく考えてみてください。)

4.5×2+0.14=9.14なので、中括弧は9.14です。
つまり
0.2×(60-❑÷1.5)=9.14
ということです。ここで逆算を使います。
掛けるの反対は割るなので
60-❑÷1.5=9.14÷0.2
となります。9.14÷0.2=45.7なので
60-❑÷1.5=45.7です。
❑÷1.5と45.7を逆算で移し変えます。
60-45.7=❑÷1.5となります(❑÷1.5はかたまりだと思ってください)
60-45.7=14.3なので
14.3=❑÷1.5です。割るの反対は掛けるなので
14.3×1.5=❑となります。
よって、❑は14.3×1.5=21.45となります。


21384.Re: 迷路に入ってしまいました。
名前:ゆう(小6    日付:6月5日(日) 13時57分
keiさん、教えていただいてありがとうございました。
二問目を
{0.2×(60−□÷1.5)}÷4.5−0.14=2
               ̄ ̄ ̄
としか考えられませんでしたが、
>中括弧は4.5×2+0.14ということです。
考え方はいろいろあるんですね。
まだよくわかってないんですが、もう一度ゆっくり考えてみます。

ありがとうございました。

21372.お願いします。  
名前:アキフミ(高2    日付:6月4日(土) 16時40分
第1象限内の点A(a,b)を通って,
x,y軸の正の部分とそれぞれP,Qで交わる直線を引く。
Oを原点とするとき,三角形OPQの面積を1にできるような
点Aの存在範囲を図示せよ。

これが難しくて解けません。。。
手ほどきお願いします。



21376.Re: お願いします。
名前:キューダ    日付:6月4日(土) 21時39分
問題を読み替えましょう。

P(t,0)、Q(0,2/t)とすると、三角形OPQの面積は、常に1になります。
このとき、直線PQの動く範囲が、点Aの存在範囲ですね。

ところで、直線PQは、ある曲線の接線の集まりと考えることができます。
その曲線を考えましょう。


21378.Re: お願いします。
名前:    日付:6月4日(土) 22時15分
未知数を二つのままやるとしたら、次のやり方でもいいかもしれません。
P(p,0)、Q(0,q)とすれば(p,q>0)
直線の方程式は
x/p+y/q=1
これが(a,b)を通るから、
1=a/p+b/q≦2√(a/p)(b/q)=√(2ab) (∵面積=pq/2=1)


21382.Re: お願いします。
名前:アキフミ(高2    日付:6月5日(日) 1時40分
わかりやすい説明ありがとうございました!

21371.方べきの定理の逆  
名前:みゆぅ(高一)    日付:6月4日(土) 16時35分
方べきの定理で「円Oの外部の点Pから、円OとA,Bで交わる直線と、点Tを接点とする接線PTをひくと、PA・PB=PT・PT」っていうのがありますよね。この定理の逆の証明って一体どうすればいいんでしょうか?

21358.二次関数  
名前:へ(高一)    日付:6月3日(金) 22時31分
「2次不等式x^2+2kx-k^2+3k+2>0がつねに成立するようなkの値の範囲を求めよ」という問題なんですがグラフの頂点が必ずx軸より上にあるように値を決めるということはわかるのですがどうやって解いたらいいのかわかりません。教えてください。よろしくお願いします。



21360.Re: 二次関数
名前:みっちぃ    日付:6月4日(土) 0時8分
グラフの頂点を求めてみましょう.平方完成をすればよいので,
(x+k)^2 -2k^2+3k+2なので,-2k^2+3k+2>0です.

これを解くと2k^2-3k-2<0⇒(2k+1)(k-2)<0なので,-1/2<k<2です.

21357.質問です  
名前:ukoi    日付:6月3日(金) 22時12分
1辺の長さが24.5cmの内部が空っぽの立方体ABCD-EFGHがあります。この立方体において、面BFGCの内側は鏡になっています。いま、点Aから鏡に向けてレーザー光線を発射します。ただし鏡に反射した光線は面CGHDにあたるようにします。では、点Aから面CGHDに達するまでに光線が進むことができる範囲の体積は何cm3でしょうか。



21362.Re: 質問です
名前:みっちぃ    日付:6月4日(土) 4時21分
24.5cmだと逆に考えにくいので,a=24.5として,一辺がaの立方体で考えてみます.

座標を設定して考えてみましょう.
A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,a,0),E(0,0,a)とし,以下,立方体の各頂点を座標で置きます.

Aから出たレーザー光線がBFGCとぶつかる点をP(a,p,q)とすると,当然,0≦p,q≦aです.
ここで,AP~(APベクトルのこと)=(a,p,q)で,Pから反射してCGHDにぶつかる点をQとすると,
PQ~の向きは,y,z方向はAP~と同じで,x方向はAP~と逆向きなので,実数kを用いて
PQ~=k*(-a,p,q) という形で書けます.

すると,AQ~=(a*(1-k),p*(1+k),q(1+k))となりますが,Qのy座標はaなので,k=(a-p)/pとなり
AQ~=((2p-a)/p,a,aq/p).
ここで,Qのx座標≧0 ⇒ 2p-a≧0 ⇒ p≧a/2
かつ,z座標≦a ⇒ aq/p≦a ⇒ q≦p

よって,Pの動きうる範囲は,
BCの中点M(a,a/2,0),BFGCの中心I(a,a/2,a/2)としたときに,台形MCGIの内部になります.

と,ここまで求めてみると,AからPに向かう部分の体積は分かるけど,PからQに向かう部分の体積や,
反射前後での共通の体積を求めるのは骨が折れると気づきます.

てことで,次のレスでマイナーな方向転換をします.


21363.Re: 質問です
名前:みっちぃ    日付:6月4日(土) 4時52分
↑では,『マイナーな方向転換を…』とか書きましたが,メジャーチェンジします.すみません.

座標の設定は,↑と同じく
A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,a,0),E(0,0,a)とし,以下,立方体の各頂点を座標で置きます.

メジャーチェンジの方針ですが…,
反射の問題ではよくすることですが,反射した先の点(問題ではQ)の,反射させる直線や面(BFGC)に関した対称点を取ります.
例えば次の問題
『xy平面で,A(1,2)からレーザーを出して,x軸のPで反射させてB(0,1)まで到達させる.このときPの座標は?』
では,B'(0,-1)をとり,『Pは直線AB'とx軸の交点』として求めます.


これと同様に,D'(2a,a,0),H'(2a,a,a)を取ると,↑で求めたPで反射したレーザー光線が,正方形CGHD内のQに行きつく時にできる体積は,
Pを貫通したレーザー光線が,正方形CGH'D'内のQ'に行きつく部分の体積と同じです.
従って,反射前後でのレーザー光線が通り得る体積は,四角錐A-CGH'D'の体積と同じになります.
従って,(1/3)*a^3=24.5^3/3が答えです.


21364.Re: 質問です
名前:みっちぃ    日付:6月4日(土) 5時59分
すみません.やっぱり考え直してみると↑の解法も間違っているようです.
荒らしてしまい申し訳ないです…


21370.Re: 質問です
名前:矢作勝美    日付:6月4日(土) 13時40分
簡単の為,1辺の長さを1とします.
BG,CFの交点をP,PH,AGの交点をQ,P,QからABCDへの垂足をS,R,錐A−SFQR,柱SCR−PGQ,柱SCD−PGHの体積をa,b,cとおくと
a+b+c=1/3,a+b=1/8,a=(1/3)×(4^2−3^2)/(6^2)=7/108
より,求める体積は,a+c=59/216.


21373.Re: 質問です
名前:ukoi    日付:6月4日(土) 16時53分
小6で分かるように説明してもらえないでしょうか(小6です)


21392.Re: 質問です
名前:らすかる    日付:6月5日(日) 18時34分
これを図なしで小6に分かるように説明するのはほとんど不可能な気がします。
どんな形の立体になるかは図を書いても説明が大変です。
矢作勝美さんと同様、1辺は1として、2通りの計算方法を軽く書きます。

【行きと帰りで重なった部分を後で引く考え方】
反射後の形を鏡に対称に伸ばして考えると、通り道で出来た図形は
四角錐になり、体積は1×1×1/3=1/3
行きと帰りで重なる部分は四角錐と三角錐に分けると
四角錐の体積が3/8×1/3×1/3=1/24、三角錐の体積が1/12×2/3×1/3=1/54
合わせて1/24+1/54=13/216なので、求める体積は1/3-13/216=59/216

【鏡までと反射後で重ならない部分を足す考え方】
鏡までの通り道は四角錐になり、体積は3/8×1×1/3=1/8
反射後で重ならない部分は四角錐と三角錐に分けると
四角錐の体積が1×1/3×1/3=1/9、三角錐の体積が(1×1/3÷2)×2/3×1/3=1/27
従って合計は1/8+1/9+1/27=59/216

1辺が24.5cmの場合はこれに24.5cmの3乗を掛ければ良いので、
(7^6×59)/(2^6×3^3)=6941291/1728≒4017 (cm^3)

# これ小学校の問題なんですか?

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21356.小学生  
名前:ooooo    日付:6月3日(金) 21時59分
縦、横、高さがそれぞれ12cm12cm7cmである直方体oがあります。
この直方体の対角線の1本をAとして直線Aを軸としてoを180度回転させてできる直方体をmとします。oとmの共通部分の立体の体積は何cm3でしょうか

よろしくお願いします



21369.Re: 小学生
名前:矢作勝美    日付:6月4日(土) 13時38分
簡単の為,3辺の長さをa,a,2 (ただし,a^2>2) とします.
直方体から共通部分の内部を除いた図形は,長さa,b,1の3辺が直交する3角錐2個と,長さa−b,a−b,2の3辺が直交する3角錐4個からなり,それらは何れも内部を共有しないので,共通部分の体積は,2a^2−(2/3)×(a−b)^2−(4/3)×ab.
ただし,a^2+b^2=(a−b)^2+2^2=(上記2種の3角錐の共通辺の長さ)^2より,b=2/a.

21350.Poisson方程式  
名前:大学1    日付:6月3日(金) 16時9分
線形2階の楕円型偏微分方程式(Poisson方程式ともいうそうです。)
について、
@変数分離法で解いて、常微分方程式に変換せよ。
A図解法での解き方を説明せよ。
という問題です。
ちょっとしたことでもいいので、何か分かる方がいらしたら教えてください。



21352.Re: Poisson方程式
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月3日(金) 18時36分
>変数分離法
どんな座標ですか?


21354.Re: Poisson方程式
名前:大学1    日付:6月3日(金) 18時56分
とりあえず問題に書かれているのは、
(∂^2Φ/∂x^2)+(∂^2Φ/∂y^2)=0
(Φはポテンシャル)
についてということなのですが・・・
情報がたりないでしょうか?


21355.Re: Poisson方程式
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月3日(金) 21時0分
変数分離と言うのは、適当な座標 u , v を取り、 Φ(u, v) = f (u)*g (v) とするものです。
重畳原理により、その和も解。岩波全書、数学公式 III 等参照。


21377.Re: Poisson方程式
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月4日(土) 21時46分
最も簡単な u = x, v = y の場合、Φ(x, y) = f (x)*g (y)
f " (x)*g (y) + f (x)*g " (y) = 0
f " (x)/f (x) = -g " (y)/g (y) が定数になるので、これを c^2 と置くと、
Φ(x, y) = e^(cx) * cos (cy), e^(cx) * sin (cy)

これらの一次結合も解になるので、初期値問題などを解く。
熱伝導の方程式と同じ理屈。
境界値問題の場合には又別の座標が有用。


21423.Re: Poisson方程式
名前:大学1    日付:6月7日(火) 15時11分
丁寧に説明して下さってありがとうございました。
変数分離法を曖昧に理解していたために解けないことがわかりました。
もう一度戻って勉強します。

21340.はじめまして  
名前:ナオ(専1)    日付:6月2日(木) 22時32分
y"+a^2y=b について一般解を求めよ。
という問いがあります。
まずy"+a^2y=0として特性方程式をたて、解の1つは
y=C1exp(-ax)+C2 @
となりました。C1とC2は任意の定数です。
この後、y"+a^2y=b について解の形を予想して解き、@式との和が答えのようなのですが、解の形をどのようにおけばいいのか分かりません。
教えてください。



21341.Re: はじめまして
名前:KINO    日付:6月2日(木) 22時45分
> y=C1exp(-ax)+C2 @
これは多分間違いで,正しくは
y=C1cos(ax)+C2sin(ax)
だと思います。どちらが正しいのかは,実際に微分方程式を満たすかどうかを計算して確めればわかります。

> この後、y"+a^2y=b について解の形を予想して解き、@式との和が答えのようなのですが、解の形をどのようにおけばいいのか分かりません。

右辺は定数ですので,なんとなく y=b/a2 とでもおいてみると,都合よく y''=0 なのでこの微分方程式を満たしていることがわかります。


21348.Re: はじめまして
名前:ナオ(専1)    日付:6月3日(金) 13時0分
確認してみたら、
> y=C1exp(-ax)+C2 @
ではなくて
y=C1cos(ax)+C2sin(ax)
になりました。ちょっと勘違いしてました。ありがとうございます。

> 右辺は定数ですので,なんとなく y=b/a2 とでもおいてみると,都合よく y''=0 なのでこの微分方程式を満たしていることがわかります。

ということは、最終的に一般解は
y=C1cos(ax)+C2sin(ax)+b
となるのでしょうか。


21349.Re: はじめまして
名前:ナオ(専1)    日付:6月3日(金) 15時10分
間違いました。一般解は
y=C1cos(ax)+C2sin(ax)+b/a^2
となるのでしょうか。


21351.Re: はじめまして
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月3日(金) 17時24分
a が 0 でない場合はそうなります。


21353.(untitled)
名前:ナオ    日付:6月3日(金) 18時40分
ありがとうございます。

21333.図形の性質の証明  
名前:tomo(高2)    日付:6月2日(木) 21時54分
三角形の各辺の垂直二等分線は、1点で交わる事を証明せよ。

類似問題を見てもよく分かりません。よろしくお願いします。



21335.Re: 図形の性質の証明
名前:    日付:6月2日(木) 22時19分
ヨッシーさんのHPのほうから外心のところを見てください。
http://yosshy.sansu.org/5xin.htm


21338.Re: 図形の性質の証明
名前:tomo(高2)    日付:6月2日(木) 22時22分
あの図形は理解できました。ありがとうございます。

では、座標軸を使って求めるにはどうしたらいいでしょうか。


21342.Re: 図形の性質の証明
名前:kei    日付:6月2日(木) 23時39分
頂点をA(0,0),B(2,0),C(p,q)(ただしq>0)とでも置いて、各辺の垂直二等分線が1点で交わることを示せばいいです。


21365.Re: 図形の性質の証明
名前:tomo(高2)    日付:6月4日(土) 10時13分
証明できました。ありがとうございました。

21331.常用対数  
名前:IGA(高2)    日付:6月2日(木) 21時53分
対数表を用いずにlog7(2)の小数第一位の数字を求めよ。

解説によると

2^5<7^2,7<2^3より
5log10(2)<2log10(7) , log10(7)<3log10(2)

なぜ最初このように考えるのでしょうか。
理由を教えてください。
お願いします。



21343.Re: 常用対数
名前:らすかる    日付:6月3日(金) 4時54分
log7(2)=log2/log7 なので、小数第一位の数字を求めるためには
log2 と log7 の比率を調べる必要があるからです。

http://www.asahi-net.or.jp/~XC8T-TKD/math/sec2206.html


21344.Re: 常用対数
名前:IGA(高2)    日付:6月3日(金) 6時21分
2^5<7^2のところを2^4<7^2としても良いのでしょうか。
お願いします。


21345.Re: 常用対数
名前:らすかる    日付:6月3日(金) 6時48分
判定を甘くしたら範囲が絞れず答が出ません。
2^4<7^2 として求めたらどうなるかを
実際にやってみればわかると思います。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21330.常用対数  
名前:IGA(高2)    日付:6月2日(木) 21時48分
(17-k)log10(0.96)+klog10(1.08)=0
log10(0.96)=-0.018

上の式から下の式になるまでの過程を教えてください。
お願いします。



21383.Re: 常用対数
名前:ヨッシー    日付:6月5日(日) 8時18分
問題を全文書き写してみてください。
上のままだと、こんなふうに見えます。
「2x+1=3
 2+1=3
上の式から下の式になるまでの過程を教えてください。」
2つめの式は、ただの計算ですよね?
1つめの式との関係が分かりません。
 
http://yosshy.sansu.org/


21408.Re: 常用対数
名前:IGA(高2)    日付:6月6日(月) 22時12分
わかりました。別のスレッドをたてるのでよろしくお願いします。

21328.二次関数?  
名前:みちる 高2    日付:6月2日(木) 20時55分
0≦x≦1の範囲で、xの関数y=f(x)=px^2-2x+q のとる値の最小値は2であるという。このときp、qの間に成り立つ関係式を求めよ。
この問題なんですが、0<1/p<1の時の関係式をどうすればいいか分かりません。よろしくお願いします。



21334.Re: 二次関数?
名前:    日付:6月2日(木) 22時6分
質問の内容だけに答えるのであれば、
0<1/p<1だから、p>0ですので、
f(x)=p(x-1/p)^2-1/p+q
p>0で放物線の軸のx座標1/pがxの定義域[0,1]に入りますから、最小値は
f(1/p)=-1/p+q=2になりますね。


21337.Re: 二次関数?
名前:みちる 高2    日付:6月2日(木) 22時22分
ありがとうございます。
そうですね。ちょっと勘違いしたまま質問してしまいました。

21322.連立  
名前:you(浪人生)    日付:6月2日(木) 15時59分
x=exp(-t)cost
y=exp(-t)sint
の時、y"(x)をtの式で表せ。
という質問です。



21325.Re: 連立
名前:    日付:6月2日(木) 16時18分
y”(x)=d(dy/dx)/dx=(d((dy/dt)/(dx/dt))/dt)/(dx/dt)ですよね。


21332.Re: 連立
名前:you(浪人生)    日付:6月2日(木) 21時54分
確かにそうですね。
ちょっとやってみます。


21336.Re: 連立
名前:you(浪人生)    日付:6月2日(木) 22時21分
答えが、
(-4cost)/{exp(-2t)・(1-sin2t)・(cost-sint)}
というところまで出ました。
この式はこれ以上簡単になるでしょうか?
回答のない問題を解いているので・・・

21320.(untitled)  
名前:高校3年生    日付:6月2日(木) 15時47分
自分でやってみました、答えは1となりました。
あっていますか?何か解説等あればお願いします。



21326.Re: (untitled)
名前:信長    日付:6月2日(木) 17時3分
>何か解説等あればお願いします。
投稿間違いは自分で削除しましょう。

21311.数学質問  
名前:高校3年生    日付:6月2日(木) 14時6分
Xを140とした時に次の質問に答えなさい

3のX乗を80で割った余りはいくつか。

7のx乗を6で割った余りはいくつか。



21312.Re: 数学質問
名前:    日付:6月2日(木) 14時40分
ヒント

3^4=81
81を80で割ると余りは1です。

7を6で割ると余りは1です。


21316.(untitled)
名前:高校3年生    日付:6月2日(木) 15時26分
3^4は81で80で割ると1あまるので
140/4=35なので、答えはあまり1であってますか?


21317.Re: 数学質問
名前:    日付:6月2日(木) 15時34分
はい、いいと思います。


21318.ありがとうございます
名前:高校3年生    日付:6月2日(木) 15時40分
では2つめも同じようにやればいいことがわかりました。
ありがとうございます。


21324. 数学質問
名前:高校3年生    日付:6月2日(木) 16時8分
自分でやってみました、答えは1となりました。
あっていますか?何か解説等あればお願いします。


21329.Re: 数学質問
名前:    日付:6月2日(木) 21時30分
答えも合っていると思いますので、解説などしようもないです。
少し気になる点といえば、きちんと論理的に示せているかどうかだけです。
少なくとも、表に出ている言葉だけ(答えのみの表示)では数学の答案にはなっていませんから。

21300.お願いします。  
名前:みっきぃ    日付:6月2日(木) 0時7分
先日はありがとうございました。未だ方程式に泣かされています。
よろしくお願いします。

問題:次の方程式を解け

@x^3+1=0
Ax^4-7x^2+9=0
B√2x^2-3x+2=2(1-x)
(Bの左辺は全てルート内です)

@はx=-1以外わかりませんでした。
Aはx^2=Xとしてみましたが、わからなくなりました。
Bはどうとりかかっていいのやら、です。
すみません。



21301.Re: お願いします。
名前:みっちぃ    日付:6月2日(木) 2時15分
(1)1つの解が見つかったら因数分解してみましょう.
x^3+1=0 ⇒(x=-1が解だから(x+1)で因数分解できる) ⇒ (x+1)(x^2-x+1)=0

後ろの2次方程式 x^2-x+1=0の解は,解の公式よりx={1±(√3)i}/2.

(2) X=x^2と置いてみると,X^2-7X+9=0なので,X=(7±√13)/2 となります.

ここで,x^2=(7+√13)/2,x^2=(7-√13)/2の方程式をそれぞれ解くのですが,

例えば,x^2=15のように右辺が正なら,x=±√15のように√をつけるだけ.
x^2=-15のように右辺が負なら,x=±√(-15)=±(√15)iのように,最後はiを用いた形にする.
という計算をします.

ここでは,(7+√13)/2,(7-√13)/2は両方とも正なので
x=±√{(7+√13)/2},±√{(7-√13)/2} とすれば答えです.

しかし,『二重根号のはずし方』を知っていれば,この技を使って,もっと良い答えにもっていきます.

√{p±2√q} =√a ±√b (a>bで,p=a+b,q=ab)とするのが2重根号のはずし方です.
(この部分を知らなければ,またおっしゃってください)

√{(7+√13)/2} (分数全体に√がかかっている)=√(14+2√13) /2 (分母を有利化した)
={√13 +√1}/2 ={√13+1}/2
同様に,√{(7+√13)/2} ={√13-1}/2

よって,x=±{√13+1}/2,±{√13-1}/2 が完璧な答え.
(ちなみに,x={±√13 ±1}/2 (複号任意)という言い方もあります.わからなければ,無視してください.)


(3) 最も簡単な解き方を説明します.
√の入った方程式は『両辺2乗して答えを出す』,そして『求めた答えを元の方程式に代入する』をします.

√(2x^2-3x+2)=2(1-x)
『両辺2乗して答えを出す』
2x^2 -3x +2 =4(1-2x+x^2) ⇒ 2x^2 -5x +2=0 ⇒ (2x-1)(x-2)=0 ⇒ x=1/2,2.

『求めた答えを元の方程式に代入する』
x=1/2⇒(左辺)=√(2x^2-3x+2)=1,(右辺)=2(1-x)=1
x=2⇒(左辺)=√(2x^2-3x+2)=2,(右辺)=2(1-x)=-2
なので,x=2はもとの方程式の答えにならないので,ダメです.

よって,x=1/2.
このように,『2乗する』方程式では,最後に答えを元の方程式に代入しないと,間違った答えまで答えにしてしまう場合があります.
(この点についても,わけがわからなければおっしゃってください)


21302.Re: お願いします。
名前:らすかる    日付:6月2日(木) 2時38分
(2)
因数分解しても解けますね。
x^4-7x^2+9
=x^4-6x^2+9-x^2
=(x^2-3)^2-x^2
=(x^2+x-3)(x^2-x-3)=0
ですから、x^2+x-3=0 と x^2-x-3=0 の解が答です。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


21339.ありがとうございます。
名前:みっきぃ    日付:6月2日(木) 22時25分
>みっちぃ様 
早速のお返事ありがとうございました。
申し訳ないのですが、2重根号の外し方というのがやはりわかっていません。
それから、Bのxの答えを再び代入をするというのは二乗して出した解は+−両方あるからですか?

教えて頂けたらと思います。
お世話になります。

>らすかる様
お返事ありがとうございました。
7x^2を6x^2-x^2にすれば因数分解できるということでしょうか。
全く気付きませんでした。

21296.図形と方程式(高校)  
名前:リル    日付:6月1日(水) 23時7分
はじめまして。
よくわからない問題があったので掲載させていただきます。
問題
2直線(k+1)x−(k−1)y−2=0、(k−1)x+(2k−1)y+3k=0が一致するように、定数kの値を求めよ。
という問題にて解答がk−1≠0かつ2k−1≠0のときとk−1=0のときと2k−1=0のときと3つ場合が定められていました。
それで質問があるんですが、k+1=0のときも解答に書いた方がよろしいのではないでしょうか?なぜ公式の解答には載ってないのですか?



21297.Re: 図形と方程式(高校)
名前:リル    日付:6月1日(水) 23時8分
大学1年です。


21303.Re: 図形と方程式(高校)
名前:ヨッシー    日付:6月2日(木) 8時34分
必要条件として、傾き(y軸に平行な場合を含む)が一致する
 (k+1):−(k−1)=(k−1):(2k−1)
を変形した、
 (k+1)(2k−1)=−(k−1)^2
を使えば、場合分けは必要なく、これから得られる、k=0,1/3 について、
十分条件となるかを、代入して調べてみればいいのですが、それはさておき、
この解答で、場合分けしてあるのは、
 y=○x+△
の形にして、傾きを出そうとしているため、yの係数である k−1や2k−1で
割る必要性から、k−1=0、2k−1=0 を別扱いしているものと思われます。
一方、k+1=0 の方は、単に傾きが0になるだけですから、そのまま扱っても差し支えありません。
 
http://yosshy.sansu.org/


21309.Re: 図形と方程式(高校)
名前:リル    日付:6月2日(木) 13時45分
どうもありがとうございました。
また再度質問があるんですが、傾きから出そうとしている解答からk+1=0の場合を書いても試験では○になりますよね?
k−1≠0かつ2k−1≠0のとき
k−1=0のとき
2k−1=0のとき
k+1=0のとき
です。
あとk+1=0の場合を書かなくても証明はできるんですか?
たとえば解答ではk−1=0のときと2k−1=0のときの場合がありk−1=0のときに片方はy軸に平行なものとなりもう一方はx軸に平行になることが目に見えているじゃないですか?k+1=0のときも片一方はx軸に平行なものでもう一方は片一方とはぜんぜん違うことが目にみえてるじゃないですか?それと同様でkー1=0は書いてあってk+1=0のときは書いてないのはなぜなんでしょう?
いろいろ複雑なこと書いてしまってもうしわけありません。
解答には3つの場合しか書いていないのに証明は成立するのですか?
k+1=0もいれておいたほうが証明が成立するのでは?


21310.Re: 図形と方程式(高校)
名前:リル    日付:6月2日(木) 14時1分
問題集による解答抜粋します。
(k+1)x−(k−1)y−2=0・・・@
(k−1)x+(2k−1)y+3k=0・・・A
k−1≠0かつ2k−1≠0のとき
すなわちk≠1、1/2のとき
直線@はy=(k+1/k−1)x−2/k−1
直線Aはy=−(k−1/2k−1)xー3k/2k−1
2直線@、Aが一致するとき、傾きとy切片が等しいから
k+1/k−1=−(k−1/2k−1)・・・B
ー(2/k−1)=ー(3k/2k−1)・・・C
B、Cのそれぞれ分母を払って整理すると
3k2乗ーk=0・・・D
3k2乗ー7k+2=0・・・E
D、Eの左辺をそれぞれ因数分解すると
k(3k−1)=0よりk=0、1/3
(3k−1)(k−2)=0よりk=1/3、2
D、Eに共通なkの値はk=1/3
k−1=0すなわちk=1のとき
直線@は2x−2=0
すなわちx−1=0
直線Aはy+3=0
2直線@、Aが一致しないから不適。
2k−1=0すなわちk=1/2のとき
直線@は3/2x+1/2y−2=0
すなわち3x+y−4=0
直線Aはー1/2x+3/2x=0
すなわちx−3=0
A直線@、Aが一致しないから不適。
ゆえにk=1/3


21323.Re: 図形と方程式(高校)
名前:ヨッシー    日付:6月2日(木) 16時1分
>解答には3つの場合しか書いていないのに証明は成立するのですか?
>k+1=0もいれておいたほうが証明が成立するのでは?

「k−1≠0かつ2k−1≠0のとき」の中に、k+1=0 の場合も含まれていますから、
k+1=0 を再度言う必要はありません。

2直線(k+1)x−(k−1)y−2=0、(k−1)x+(2k−1)y+3k=0
で、k−1 がダブっているので、いかにもxの係数についても =0 を言わないと
いけないように見えますが、もし、
2直線(k+1)x−(k−1)y−2=0、(k−2)x+(2k−1)y+3k=0
だとすると、k−2=0 については、当然調べる必要はありません。

>k+1=0の場合を書いても試験では○になりますよね?
それは、わかりません。
答えを求められているか?という点では確かに答えは出ていますが、
解答の完成度、もしくは解答者の総合的数学力を測るという意味では
「k+1=0の場合」をわざわざ書いてある解答は、評価が低いでしょう。
 
http://yosshy.sansu.org/


21424.Re: 図形と方程式(高校)
名前:リル    日付:6月7日(火) 17時20分
再度質問しますが、k−1≠0かつ2k−1≠0のときにk+1=0の場合も含まれると書いてありますが、解答で直線@においてy=(k+1/k−1)x−(2/k−1)のときに
(k+1/k−1)という割り算がありますよね?
それにおいてk+1=0のとき0÷1(k−1≠0なので)=0になりますよね?それでk+1=0のときが含まれるのですか?
再度すいません。

21294.集合問題  
名前:だいすけ    日付:6月1日(水) 22時5分
Original Size: 1077 x 695, 83KB

やや大学の範囲に入ってしまって申し訳ないのですが、
答えるのが面倒でない問題だけで結構ですので、
よろしければご教授くださいませ。

【2】のd(x,y)はハミング距離
  d(x,y)=|{i|xi≠yi, 1≦i≦n}|
のことです。

それと、【1】は自分なりに
 @min:m max:m+n
 Amin:0 max:n
 Bmin:0 max:m
と求められたのですが、どうでしょうか。



21295.Re: 集合問題
名前:だいすけ    日付:6月1日(水) 22時9分
すいません、ハミング距離の xi≠yi のiは上付きではなく下付き文字です。
それと、【1】の自分で解いたものというのは【1】(1)のことです。
よろしくお願いします。


21314.Re: 集合問題
名前:矢作勝美    日付:6月2日(木) 15時2分
【1】(1)1.|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|より2.に帰す.
2.|A∩B|≧0,A∩Bが空のとき|A∩B|=0より,最小値=0.B⊇A∩Bゆえ|B|≧|A∩B|,A⊇BのときB=A∩Bゆえ|B|=|A∩B|より,最大値=n.
3.A=(A−B)∪(A∩B),空集合=(A−B)∩(A∩B)ゆえ|A|=|A−B|+|A∩B|より,2.に帰す.
4.|A×B|=|A|×|B|.
5.A,A^{2},A^{3}のどの2つの交わりも空.
6.|2^{A}|=2^{|A|}.
(2)1.A={0},B={1}のときA∪Bは左辺の元だが,右辺の元ではない.
2.S∈2^{A∩B}⇔S⊆A∩B⇔S⊆A,S⊆B⇔S∈2^{A},S∈2^{B}⇔S∈2^{A}∩2^{B}.
【2】d(y,z)=d(z,y)より,x=z⇒d(x,y)=d(y,z)⇒m+1≦d(x,y)=d(y,z)≦mなるmは存在しない.
【3】N−Sが空でないとすると,『 』より最小元mが存在する.このとき(I)よりm≧3,そして最小性よりm−2,m−1∈Sゆえ,(II)よりm∈Sとなり,矛盾.


21346.Re: 集合問題
名前:だいすけ    日付:6月3日(金) 9時6分
どうもありがとうございます。
ひとつ質問なのですが、【1】において、空集合の場合の要素数、
つまり|{Φ}|は、|{Φ}|=1とはならないんでしたっけ?


21347.Re: 集合問題
名前:矢作勝美    日付:6月3日(金) 10時18分
> |{Φ}|=1
は正しいですが,その{Φ}は【1】のどこに現われていますか?

21293.だるぶー?  
名前:アカギ    日付:6月1日(水) 21時30分
円周の長さを内接する正多角形の周の長さだとします(近似)
このとき、内接する正多角形を…4、8、16、、、角形とした場合(An)と6、12、24、、、角形とした場合(Bn)にlimをとると
An=Bnとなることを証明したいです。
「supΔ s(Δ)=J1 , infΔ S(Δ)=J2 のとき
 lim|Δ|→0 s(Δ)=J1 , lim|Δ|→0 S(Δ)=J2」という
だるぶーの定理というものは無条件で用いてもいいのですが…
どなたかわかりませんか?アドバイスのようなものでもよいのでよろしくお願いしますm(__)m



21305.Re: だるぶー?
名前:矢作勝美    日付:6月2日(木) 12時14分
定理の証明をフォローすれば,有界であれば十分と判るでしょう.


21389.Re: だるぶー?
名前:アカギ    日付:6月5日(日) 16時47分
>矢作さん
ありがとうございます。
しかし、定理を使ってもよいのですが、円周の問題に関して何が有界なのでしょうか?よければ詳しく説明お願いします。
定理自体については今勉強中ですが、証明の筋道は追うことができたので、だいたい理解していると思います。

21290.偏微分方程式  
名前:今野(専門2)    日付:6月1日(水) 18時46分
線形2階の偏微分方程式について、
・波動方程式
・ラプラスの方程式
・拡散方程式
の型を示し、解き方も説明せよ。
という問題があります。文献によって解き方がいろいろでしかもけっこう長いのですが、簡潔には書けないのでしょうか?回答欄がA4で1枚くらいなので。
お願いします。

21289.締括線について  
名前:haru    日付:6月1日(水) 17時51分
微分幾何学の本で、締括線について、「線織面において径数の値がuとu+Δuに対応する2母線l(u)とl(u+Δu)の共通垂線の両直線上の足をそれぞれP,Qとする。ただし、l(u)とl(u+Δu)が交わるときには、PとQはその交点と考える。Δu→0のとき、Pの極限点があれば、それを母線l(u)の中心といい、中心での接平面をこの母線の中央平面という。中心の軌跡を締括線という」とありましたが、図が詳しく描かれていないのでこの締括線がどういうものかわかりません。わかりましたら教えてください。



21306.Re: 締括線について
名前:矢作勝美    日付:6月2日(木) 12時14分
その定義に従えば,中心とは母線の動きの最も小さいところなので,その軌跡は線織面の最も括(くび)れたところ,直観的には,紐を掛けて絞ったときに紐が行き着く先です.


21374.Re: 締括線について
名前:haru    日付:6月4日(土) 17時55分
ありがとうございました。

21288.はじめまして☆  
名前:ひら(大学2)    日付:6月1日(水) 17時35分
情報化社会論という授業で、
「5-3=2
5+(-3)=(0101)2+( 101)2=(010)2  これが成立することを示せ」
というレポートがでたのですが、証明の仕方がわかりません。二進法はわかるのですが、二進法の正と負の表現方法がよくわかりません。すみませんが教えて下さい。



21291.Re: はじめまして☆
名前:ヨッシー    日付:6月1日(水) 19時25分
私のページのミニ講座に「2の補数」があります。
この問題の場合、3ビット(だから正確には、5は 0101 ではなく 101)
の2進数です。
+3(10)=011(2) の2の補数が
101(2) にあたり、これで−3を表します。

詳しくは、上述のページをご覧下さい。

これは、珠算のマイナス計算にも通じるところがあるのですが、原理はこうです。

5→101(2) これは問題ないですね?
−3 を表すのに、マイナスというのを使う代わりに、1000(2) を一旦借りてきて、
それから3=011(2) を引いて、101(2)
これを足してやります。すると、
 101(2)+101(2)=1010(2)
となるのですが、さっき借りた 1000(2) を返すと、
010(2) だけが残ります。
 
http://yosshy.sansu.org/


21298.Re: はじめまして☆
名前:ひら    日付:6月2日(木) 0時1分
なるほど!!わかりました。2の補数も読みました。ありがとうございます☆あと、理解できたのですが、このようなレポートが出された場合どのようにまとめて(書いて)提出したらよいのでしょうか?教えてください。

21286.コーシー  
名前:おぎ(二回生)    日付:6月1日(水) 16時32分
コーシーリーマンの微分方程式とはどのように示されるものですか?



21307.Re: コーシー
名前:矢作勝美    日付:6月2日(木) 12時17分
微分係数の定義において,実部,虚部を比較すれば得られます.


21313.Re: コーシー
名前:おぎ    日付:6月2日(木) 14時52分
それは、複素関数についての微分の定義式から、複素関数の微分を求めて、その実部と虚部を等値とおけば良いのでしょうか?


21321.やってみました
名前:おぎ    日付:6月2日(木) 15時50分
コーシーの関係式が導出され、無事問題も解けました。
ありがとうございました。

21281.導関数  
名前:つかさ    日付:6月1日(水) 0時21分
導関数の定義に従って導関数を求めよ
(1)f(x)=sinx

(2)f(x)=cosx

宜しくお願いします



21282.Re: 導関数
名前:みっちぃ    日付:6月1日(水) 2時25分
導関数の定義は f'(x)=lim[h→0] {f(x+h)-f(x)}/hです.これは,100%不定形になる極限です.
そして,三角関数の不定形では,ほぼ100% lim[H→0] sin(H)/H =1を用います.
このときの注意は,分母・分子のHは揃える必要があります.
例えば,lim[H→0] sin(2H)/H =lim[H→0] 2* {sin(2H)/(2H)} =2*1=2とします.


(1)f(x)=sin(x)とすると
lim[h→0] {sin(x+h) -sin(x)}/h =lim[h→0] 2*cos(x+h/2)*sin(h/2) /h (和→積公式)
=lim[h→0] cos(x+h/2) *{{sin(x+h) -sin(x)}/h =lim[h→0] 2*cos(x+h/2)*sin(h/2) /h (和→積公式)
=cos(x+h/2) *{sin(h/2) /(h/2)}
=cos(x)*1=cos(x).

(2)f(x)=cos(x)とすると
lim[h→0] {cos(x+h) -cos(x)}/h =lim[h→0] -2*sin(x+h/2)*sin(h/2) /h (和→積公式)
=-sin(x+h/2) *{sin(h/2) /(h/2)}
=-sin(x)*1 =-sin(x).


21283.Re: 導関数
名前:みっちぃ    日付:6月1日(水) 2時27分
ミスった!!

(1)の解答で,式変形の2行目は無視してください.

lim[h→0] {sin(x+h) -sin(x)}/h =lim[h→0] 2*cos(x+h/2)*sin(h/2) /h (和→積公式)
=cos(x+h/2) *{sin(h/2) /(h/2)}
=cos(x)*1=cos(x).

が正解.


21299.Re: 導関数
名前:つかさ    日付:6月2日(木) 0時6分
みっちぃさん、
いつもありがとうございます。
和積の公式のところでつまづいています。
もうすこしゆっくりやってみます。


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