1辺の長さが24.5cmの内部が空っぽの立方体ABCD-EFGHがあります。この立方体において、面BFGCの内側は鏡になっています。いま、点Aから鏡に向けてレーザー光線を発射します。ただし鏡に反射した光線は面CGHDにあたるようにします。では、点Aから面CGHDに達するまでに光線が進むことができる範囲の体積は何cm3でしょうか。
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21362.Re: 質問です |
名前:みっちぃ 日付:6月4日(土) 4時21分 |
24.5cmだと逆に考えにくいので,a=24.5として,一辺がaの立方体で考えてみます.
座標を設定して考えてみましょう. A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,a,0),E(0,0,a)とし,以下,立方体の各頂点を座標で置きます.
Aから出たレーザー光線がBFGCとぶつかる点をP(a,p,q)とすると,当然,0≦p,q≦aです. ここで,AP~(APベクトルのこと)=(a,p,q)で,Pから反射してCGHDにぶつかる点をQとすると, PQ~の向きは,y,z方向はAP~と同じで,x方向はAP~と逆向きなので,実数kを用いて PQ~=k*(-a,p,q) という形で書けます.
すると,AQ~=(a*(1-k),p*(1+k),q(1+k))となりますが,Qのy座標はaなので,k=(a-p)/pとなり AQ~=((2p-a)/p,a,aq/p). ここで,Qのx座標≧0 ⇒ 2p-a≧0 ⇒ p≧a/2 かつ,z座標≦a ⇒ aq/p≦a ⇒ q≦p
よって,Pの動きうる範囲は, BCの中点M(a,a/2,0),BFGCの中心I(a,a/2,a/2)としたときに,台形MCGIの内部になります.
と,ここまで求めてみると,AからPに向かう部分の体積は分かるけど,PからQに向かう部分の体積や, 反射前後での共通の体積を求めるのは骨が折れると気づきます.
てことで,次のレスでマイナーな方向転換をします.
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21363.Re: 質問です |
名前:みっちぃ 日付:6月4日(土) 4時52分 |
↑では,『マイナーな方向転換を…』とか書きましたが,メジャーチェンジします.すみません.
座標の設定は,↑と同じく A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,a,0),E(0,0,a)とし,以下,立方体の各頂点を座標で置きます.
メジャーチェンジの方針ですが…, 反射の問題ではよくすることですが,反射した先の点(問題ではQ)の,反射させる直線や面(BFGC)に関した対称点を取ります. 例えば次の問題 『xy平面で,A(1,2)からレーザーを出して,x軸のPで反射させてB(0,1)まで到達させる.このときPの座標は?』 では,B'(0,-1)をとり,『Pは直線AB'とx軸の交点』として求めます.
これと同様に,D'(2a,a,0),H'(2a,a,a)を取ると,↑で求めたPで反射したレーザー光線が,正方形CGHD内のQに行きつく時にできる体積は, Pを貫通したレーザー光線が,正方形CGH'D'内のQ'に行きつく部分の体積と同じです. 従って,反射前後でのレーザー光線が通り得る体積は,四角錐A-CGH'D'の体積と同じになります. 従って,(1/3)*a^3=24.5^3/3が答えです.
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21364.Re: 質問です |
名前:みっちぃ 日付:6月4日(土) 5時59分 |
すみません.やっぱり考え直してみると↑の解法も間違っているようです. 荒らしてしまい申し訳ないです…
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21370.Re: 質問です |
名前:矢作勝美 日付:6月4日(土) 13時40分 |
簡単の為,1辺の長さを1とします. BG,CFの交点をP,PH,AGの交点をQ,P,QからABCDへの垂足をS,R,錐A−SFQR,柱SCR−PGQ,柱SCD−PGHの体積をa,b,cとおくと a+b+c=1/3,a+b=1/8,a=(1/3)×(4^2−3^2)/(6^2)=7/108 より,求める体積は,a+c=59/216.
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21373.Re: 質問です |
名前:ukoi 日付:6月4日(土) 16時53分 |
小6で分かるように説明してもらえないでしょうか(小6です)
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21392.Re: 質問です |
名前:らすかる 日付:6月5日(日) 18時34分 |
これを図なしで小6に分かるように説明するのはほとんど不可能な気がします。 どんな形の立体になるかは図を書いても説明が大変です。 矢作勝美さんと同様、1辺は1として、2通りの計算方法を軽く書きます。
【行きと帰りで重なった部分を後で引く考え方】 反射後の形を鏡に対称に伸ばして考えると、通り道で出来た図形は 四角錐になり、体積は1×1×1/3=1/3 行きと帰りで重なる部分は四角錐と三角錐に分けると 四角錐の体積が3/8×1/3×1/3=1/24、三角錐の体積が1/12×2/3×1/3=1/54 合わせて1/24+1/54=13/216なので、求める体積は1/3-13/216=59/216
【鏡までと反射後で重ならない部分を足す考え方】 鏡までの通り道は四角錐になり、体積は3/8×1×1/3=1/8 反射後で重ならない部分は四角錐と三角錐に分けると 四角錐の体積が1×1/3×1/3=1/9、三角錐の体積が(1×1/3÷2)×2/3×1/3=1/27 従って合計は1/8+1/9+1/27=59/216
1辺が24.5cmの場合はこれに24.5cmの3乗を掛ければ良いので、 (7^6×59)/(2^6×3^3)=6941291/1728≒4017 (cm^3)
# これ小学校の問題なんですか?
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
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