2005年04月 の投稿ログ


20824．ベクトル  
名前：calamity    日付：4月30日(土) 13時39分
ベクトルが苦手なんです。どうかよろしくお願いします

平行四辺形OABCがある。辺BCを1:3に内分する点をD、辺ACの中点をEとし、
直線DE上の点PをベクトルOP＝ｓベクトルOA＋ｔベクトルOBと表す。
このとき、次の各問に答えよ
(1)べクトルOD,OEを求めよ
(2)ｓ、ｔの関係式を求めよ
(3)点Pが線分DE上（両端を含む）にあるとき、ｓのとりうる値の範囲を求めよ。
(4)OA:OB=2:1,∠AOB=60°のとき、OP⊥DEとなるようなs,tの値を求めよ
という問題です。(2)からつまづいています・・誘導問題なんで
(1)を使うんでしょうか？点と直線の存在範囲の求め方の逆パターンだと
思うんですけどよくわからないのでお願いします


20825．Re: ベクトル
名前：豆    日付：4月30日(土) 21時2分
ベクトルは位置関係さえきっちり捉えられれば、数式で書いていけますから、
慣れてくれば非常に使いやすいものです。
苦手意識は持たないほうがいいと思います。

ベクトルはOA→のように以下表記します。
(1)DはA、Bを1:3に内分する点ですから、
OD→=(3/4)OA→+(1/4)OB→
EはO、Bの中点だから、
OE→=(1/2)OB→

(2)PはD、Eを内分する点だから、m:nに内分（但しm+n=1）とすれば、
OP→=nOD→+mOE→　これに(1)でもとめたものを代入すれば、
OP→=n((3/4)OA→+(1/4)OB→)+m(1/2)OB→
　　=(3n/4)OA→+(1/4+m/2)OB→
OP→=sOA→+tOB→とおいたのだから、
3n/4=s、1/4+m/2=t　である。
m+n=1に代入すれば、4s/3+2t-1/2=1
∴8s+12t=9

(3)Pが両端を含めてDE上にあるということは、
0≦n≦1ということですから、0≦s≦3/4

(4)直角といえば内積=0です。
DE→=-OD→+OE→=-(3/4)OA→-(1/4)OB→+(1/2)OB→=-(3/4)OA→+(1/4)OB→より、
OP→・DE→=(sOA→+tOB→)・(-(3/4)OA→+(1/4)OB→)
=-(3s/4)OA→・OA→+(s/4-3t/4)OA→・OB→+(t/4)OB→・OB→=0となる。
OA→、OB→の大きさが2、1でなす角が60°だから、
OA→・OA→=4、OA→・OB→=2・1・cos60°=1、OB→・OB→=1なので、
-3s+s/4-3t/4+t/4=0
11s=2t
これと、(2)で求めた8s+12t=9　とより、
s=9/74、t=99/148

んっ？すっきりした数字じゃないな？
途中で間違えているかもしれません。中身を追いながら確認してください。
（ちょっとずるいけど、その方がためになるかも）

20829．Re: ベクトル
名前：calamity    日付：5月1日(日) 20時22分
申し訳ありませんが(1）が間違っているようなので
解法が違うと思います。すいません

20833．Re: ベクトル
名前：豆    日付：5月1日(日) 22時45分
失礼しました。
DはBCの内分点でしたね。
OD→=OB→-(1/4)OA→　ですね。
あとは、これを入れ替えるだけで、
解き方自体はOKのはずです。

20837．Re: ベクトル
名前：calamity    日付：5月2日(月) 23時46分
できました。ありがとうございました。

20820．正２０面体  
名前：ぴちこ    日付：4月30日(土) 0時42分
正２０面体の高さを１５センチから２０センチにするには正３角形の１辺を何センチにしたらいいんですか？？？？教えてください！


20823．Re: 正２０面体
名前：らすかる    日付：4月30日(土) 10時47分
正二十面体は
　外接球の半径（＝高さの最大）が１辺の長さの√(10+2√5)/4倍
　内接球の半径（＝高さの最小）が１辺の長さの(3√3+√15)/12倍
だそうですので、高さを15cmから20cmの範囲内にするためには、１辺の長さは
(15÷2)÷{(3√3+√15)/12} から (20÷2)÷{√(10+2√5)/4} にすればよく、
これを計算すると、最小約9.92cm、最大約10.51cm
つまり10cmにすれば良いことになります。
逆に１辺の長さを10cmとした時、
高さの最小は 10cm×{(3√3+√15)/12}×2＝15.12cm
高さの最大は 10cm×{√(10+2√5)/4}×2＝19.02cm
となり、15cmから20cmの範囲におさまります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20818．集合について  
名前：tomo    日付：4月29日(金) 21時52分
集合の定理で、ｎ（a）がaの個数を表すとすると、
ｎ（aＵb）＝ｎ（a）＋ｎ（b）－ｎ（a∩b）
とありますが、
ｎ（a1Ｕa2Ｕa3Ｕ・・・Ｕak)
の場合、個数はどう表されるのでしょう？？


20819．Re: 集合について
名前：のぼりん    日付：4月30日(土) 0時25分
tomoさん、こんばんは。
　　n(∪〔j=1～m〕aj)=∑〔j=1～m〕(–1)j+1∑〔1≦k1＜…＜kj≦m〕n(ak1∩…∩akj)　…　①
を帰納法で示します。

m=2 のときに①が成り立つのは、既にご存知ですね。m のとき①が成り立つとして、m+1 のときを考えます。分配法則と m=2 の場合により、
　　n(ak1∩…akj–1∩(akm∪akm+1))
　　=n((ak1∩…akj–1∩akm)∪(ak1∩…akj–1∩akm+1))
　　=n(ak1∩…akj–1∩akm)+n(ak1∩…akj–1∩akm+1)–n(ak1∩…akj–1∩akm∩akm+1)
です。
　　bk1=ak1、…、bkj–1=akj–1、bkj=akj∪akj+1
とおいて①を適用すれば、
　　n(∪〔j=1～m+1〕aj)=n(∪〔j=1～m〕bj)
　　=∑〔j=1～m〕(–1)j+1∑〔1≦k1＜…＜kj≦m〕n(bk1∩…∩bkj)
　　=∑〔j=1～m〕(–1)j+1∑〔1≦k1＜…＜kj＜m〕n(ak1∩…∩akj)
　　+∑〔j=1～m〕(–1)j+1∑〔1≦k1＜…＜kj–1＜m〕n(ak1∩…∩akj–1∩(akm∪akm+1))
　　=∑〔j=1～m〕(–1)j+1∑〔1≦k1＜…＜kj＜m〕n(ak1∩…∩akj)
　　+∑〔j=1～m〕(–1)j+1∑〔1≦k1＜…＜kj–1＜m〕n(ak1∩…∩akj–1∩akm)
　　+∑〔j=1～m〕(–1)j+1∑〔1≦k1＜…＜kj–1＜m〕n(ak1∩…∩akj–1∩akm+1)
　　–∑〔j=1～m〕(–1)j+1∑〔1≦k1＜…＜kj–1＜m〕n(ak1∩…∩akj–1∩akm∩akm+1)
　　=∑〔j=1～m〕(–1)j+1∑〔1≦k1＜…＜kj＜m〕n(ak1∩…∩akj)
　　+∑〔j=1～m〕(–1)j+1∑〔1≦k1＜…＜kj–1＜m〕n(ak1∩…∩akj–1∩akm)
　　+∑〔j=1～m〕(–1)j+1∑〔1≦k1＜…＜kj–1＜m〕n(ak1∩…∩akj–1∩akm+1)
　　+∑〔j=2～m+1〕(–1)j+1∑〔1≦k1＜…＜kj–2＜m〕n(ak1∩…∩akj–2∩akm∩akm+1)
　　=∑〔j=1～m+1〕(–1)j+1∑〔1≦k1＜…＜kj＜m〕n(ak1∩…∩akj+1)
となります。

20822．Re: 集合について
名前：tomo    日付：4月30日(土) 8時18分
こんなに長い証明になるとは思ってもみませんでした。。。
のぼりん様、ご丁寧にありがとうございました。
自分でももう一度解きなおしてみようと思います。

20813．数の大小について  
名前：haru    日付：4月29日(金) 17時28分
よろしくお願いします。c=√｛（a^2-b^2)x^2+2b^2x+a^2b^2｝/aが、aよりも大きいことを証明したいのですが、どうしたらいいでしょうか。因みにa＞ｂ、０＜ｘ＜aです。つまりaは楕円の長半径、bは楕円の短半径です。


20814．Re: 数の大小について
名前：のぼりん    日付：4月29日(金) 18時28分
haru さん、こんにちは。
ｃ→ｂ（ｘ→０）ですから、題意は成り立ちません。書き間違えはありませんか？

20815．Re: 数の大小について
名前：haru    日付：4月29日(金) 19時31分
のぼりんさん、返答ありがとうございます。書き間違いはありませんがなぜc→ｂになるのですか。教えてください。

20816．Re: 数の大小について
名前：のぼりん    日付：4月29日(金) 20時10分
a、b は定数で、x が変数だと看做すと、
　　lim x→+0c=lim x→+0√{(a2–b2)x2+2b2x+a2b2}/a
　　=√(a2b2)/a=ab/a=b
です。

20817．Re: 数の大小について
名前：haru    日付：4月29日(金) 20時57分
のぼりんさん、ありがとうございました。実はこの問題は,楕円上のある1点Pの法線が、y軸と交わった点をAとするとPAを半径とする円が、x軸と交わった点をαとしたものです。すると、コンパスで実際に作図したところ、この円が、楕円とはP点だけに接して他には接触しなかったのでなぜだろうかと思って計算で求めてみたのですが、上のような式になってしまいました。この円の半径は、天文学で卯酉（ぼうゆう）線曲率半径というそうです。

20811．はじめまして  
名前：天竺    日付：4月29日(金) 3時25分
x-yの平面において点(2.1)から放物線y=x2-3x+4へ引いた
2つの接点とこの放物線が囲むぶぶんの面積を求めなさい。
という問題がわかりません

この問題を始めこれと似た問題が殆ど理解できていません
よかったら教えてください。


20812．Re: はじめまして
名前：我疑う故に存在する我    日付：4月29日(金) 9時59分
第一段。接線の方程式を求める。

接点の x 座標を a とすると、方程式は

y - (a^2 - 3a + 4) = (2a - 3)(x - a).

(x, y) = (2, 1) を通るから、これを代入すると、 a の二次方程式になり、
一般に二つの接線が出てくる。この場合 a = 1, 3.

第二段。（詳細略）

求める部分を 1 ≦ x ≦2, 2 ≦ x ≦ 3 に分けてそれぞれ積分によって面積を求め、加える。

# このタイプの問題は良く出てくるので、積分せずとも一発で出てくる公式もあるようです。

20821．(untitled)
名前：天竺    日付：4月30日(土) 1時59分
ありがとうございました。
がんばってみます。

20803．文章では答えづらいかもしれませんが‥  
名前：回天    日付：4月28日(木) 16時24分
中学の時、先生が授業の合間の息抜きに出した問題の
回答が思い出せません。
宜しくお願い致します。
問題は「立方体の全６面にチョコレートがコーティングしてあるケーキがあります。
このケーキを５人で分けようと思っています。そのとき、
ケーキの体積、チョコレートの表面積が公平に分けられるようケーキをカットしなさい」
分け方についてですが、各自ケーキが一つの塊だったか、
各自のケーキがひとかたまりではなかったのかも思い出せません。


20805．Re: 文章では答えづらいかもしれませんが‥
名前：らすかる    日付：4月28日(木) 18時29分
上面の四隅をxy平面上の(0,0)(5,0)(5,5)(0,5)に当てはめたとして、
中心(5/2,5/2)から (0,0), (4,0), (5,3), (3,5), (0,4) に
５本の線を引きます。
その線で縦に切って５個に分ければ、題意を満たしますね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20799．確率を求める計算  
名前：なみこ    日付：4月28日(木) 5時41分
はじめまして。確率を求める計算がなかなか理解できません。よろしくお願いします。

箱の中に１０枚のくじがある。１０枚のうち７枚は当たり、２枚は外れ、１枚は大外れである。
Ａがこのくじをひいたときの次の確率を求めよ

ア：Ａが４回連続でこのくじの当たりをひく確率
イ：Ａがアのあとに大外れをひく確率


20800．Re: 確率を求める計算
名前：ヨッシー    日付：4月28日(木) 10時26分
引いたくじを戻すのか、戻さないのかで変わってきますが、
ここでは戻さないとして考えます。
ア：
１回目にあたりを引くのは１０枚のうち７枚なので、７／１０
２回目にあたりを引くのは９枚のうち６枚なので、６／９
３回目にあたりを引くのは８枚のうち５枚なので、５／８
４回目にあたりを引くのは７枚のうち４枚なので、４／７
これらを全部掛けて１／６

イ：
この表現は微妙ですね。
「最初から見ていて、当たり、当たり、当たり、当たり、大外れ、と引く確率」なのか、
「当たり３枚、外れ２枚、大外れ１枚残ったところから、大外れを引く確率」なのか
定かでありません。
いずれにしても、ア：が理解できれば、イ：も出来るでしょう。
　
http://yosshy.sansu.org/

20802．Re: 確率を求める計算
名前：らすかる    日付：4月28日(木) 15時20分
ア
引いたくじを戻さず、全部(=10回)ひくとして計算すると、
以下のようになります。
1回目から4回目が当たり
　7/10×6/9×5/8×4/7＝1/6
1回目が当たり以外で2回目から5回目が当たり
　3/10×7/9×6/8×5/7×4/6＝1/12
2回目が当たり以外で3回目から6回目が当たりも 1/12
3回目が当たり以外で4回目から7回目が当たりも 1/12
4回目が当たり以外で5回目から8回目が当たりも 1/12
5回目が当たり以外で6回目から9回目が当たりも 1/12
6回目が当たり以外で7回目から10回目が当たりも 1/12
従ってくじを全部ひいた場合に4連続の当たりが出る確率は
1/6＋(1/12)×6＝2/3
イ
アの4回連続当たりの直後に大外れをひく確率と考えると、
1回目から4回目が当たりで5回目が大外れ
　7/10×6/9×5/8×4/7×1/6＝1/36
1回目が外れで2回目から5回目が当たりで6回目が大外れ
　2/10×7/9×6/8×5/7×4/6×1/5＝1/90
2回目が外れで3回目から6回目が当たりで7回目が大外れも 1/90
3回目が外れで4回目から7回目が当たりで8回目が大外れも 1/90
4回目が外れで5回目から8回目が当たりで9回目が大外れも 1/90
5回目が外れで6回目から9回目が当たりで10回目が大外れも 1/90
従って1/36＋(1/90)×5＝1/12
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20796．楕円に接する円の方程式（その２）  
名前：haru    日付：4月27日(水) 22時47分
返答をもらい、はっと気づきました。ありがとうございました。でもその円の半径を計算上どうやって求めたらよいのでしょうか。わかりましたら教えてください。


20798．Re: 楕円に接する円の方程式（その２）
名前：ヨッシー    日付：4月28日(木) 0時19分
単に接すると書いてあるだけなので、半径は今の時点では決まりません。
たとえば、中心がｘ軸上にあるとか、円がｙ軸と接するとか決まらないといけません。
それとも、半径ｒとでもして一般化する方法もありますが、楕円上の点も固定されていないので、
大変な計算になるでしょう。
　
http://yosshy.sansu.org/

20801．Re: 楕円に接する円の方程式（その２）
名前：キューダ    日付：4月28日(木) 11時36分
P(a*Cosθ,b*Sinθ)の他に二点(a*Cos(θ±δ),b*Sin(θ±δ))を取り、
この３点を通る円を求め、δ→０の極限で、その円がどうなるか考えます。
この方法で、一つの円を特定できます。
この円は、接触円とか、曲率円とか呼ばれ、その半径は曲率半径と呼ばれています。

恐らく、この楕円のP上の接触円は
中心のx座標：a*Cosθ-a^2*b^2*(Cosθ/a)*{(Cosθ/a)^2+(Sinθ/b)^2}
中心のy座標：b*Sinθ-a^2*b^2*(Sinθ/b)*{(Cosθ/a)^2+(Sinθ/b)^2}
半径：a^2*b^2*{(Cosθ/a)^2+(Sinθ/b)^2}^(3/2)
で与えられると思います。

20807．Re: 楕円に接する円の方程式（その２）
名前：haru    日付：4月28日(木) 19時3分
お二人とも返答をありがとうございました。キューダさんの答えの出し方に興味を覚えたのですが、具体的にはどんな本に載っているのか教えてください。

20808．Re: 楕円に接する円の方程式（その２）
名前：haru    日付：4月28日(木) 19時4分
それと何か二次方程式のように判別式を使って解く方法もあるのでしょうか。

20793．単位ベクトルの合成についての発見  
名前：haru    日付：4月27日(水) 21時10分
微分幾何学の本の中に、単位ベクトルV,Wについて（ただし、VとWの向きは直角の向き）、あるベクトルU=Vcosθ+Wsinθとすると、例えばθを４５゜とすると、一見すると｜U｜=√2となりそうですが、公式どおり内積をとると、｜U｜=1となります。なんだか不思議な感じです。


20795．Re: 単位ベクトルの合成についての発見
名前：ヨッシー    日付：4月27日(水) 21時20分
単位円ｘ2＋ｙ2＝１ を媒介変数表示して
　ｘ＝cosθ、ｙ＝sinθ
単位円上の点Ｕ（ｘ，ｙ）を、ｘ方向の単位ベクトルＶと、ｙ方向の単位ベクトルＷ を使って、ベクトル的に表しただけなので、どこをとっても、大きさは１です。
　
http://yosshy.sansu.org/

20809．Re: 単位ベクトルの合成についての発見
名前：haru    日付：4月28日(木) 19時6分
ありがとうございました。

20791．楕円に接する円の方程式について  
名前：haru    日付：4月27日(水) 20時54分
よろしくお願いします。楕円の任意の1点に接する円の方程式を求めたいのですが、わかりません。どうしたらよいのでしょうか。


20794．Re: 楕円に接する円の方程式について
名前：ヨッシー    日付：4月27日(水) 21時10分
楕円の式を
　x^2/a^2 ＋ y^2/b^2 ＝ １
とすると、x=ａ・cosθ、y=ｂ・sinθ と書け、
dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ) = -(ｂ・cosθ)/(ａ・sinθ)
　= -(b^2/a^2)(x/y) 　（ただし ｙ≠０）
と定義できます。

たとえば、x^2/100 ＋ y^2/25 ＝１ 上の点(6,4) における接線の傾きは、
　-(25/100)(6/4)=-3/8
となります。よって、求める円の中心は、点(6,4) から、傾き 8/3 の方向の
どこかにあります。
あとは、半径を決めればＯＫです。
　
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20810．Re: 楕円に接する円の方程式について
名前：haru    日付：4月28日(木) 19時7分
ありがとうございました。

20789．(untitled)  
名前：キム    日付：4月27日(水) 18時58分
演算とは何ですか？さっぱり分かりません。四則計算とはどう違うんですか？　高校１年です。


20792．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：4月27日(水) 20時54分
こちらにそれらしいことが書いてあります。
１つまたは２つ以上の数に、ある操作を加えてある数に対応させることです。
四則計算（四則演算とも）を含む、もっと広い計算規則をいいます。

１つの数ｘだと、「ｘを２乗する」「ｘの正の平方根をとる（ただしｘ≧０）」などがそれです。
２つの数ｘ、ｙだと、「ｘとｙを加える（ｘ＋ｙ）」「ｘからｙを引く（ｘ－ｙ）」
「掛ける」「割る」「ｘのｙ乗」などがそれです。
　
http://yosshy.sansu.org/

20806．Re: (untitled)
名前：キム    日付：4月28日(木) 18時44分
ありがとうございます。

20788．(untitled)  
名前：ちあき    日付：4月27日(水) 17時46分
与式がsiny-sinx=0となって、それから和と積の公式を使って、2cos(ｙ＋ｘ)/2×sin(ｙ－ｘ)/2=0 となるところまでは自分でわかったんですが・・・

20786．教えてください  
名前：ちあき    日付：4月27日(水) 17時26分
ｙ＝sin-1(sinx) のグラフを書けという問題がわかりません・・
　　　↑アークサイン

教えてください！　　大学１年生です


20787．Re: 教えてください
名前：ヨッシー    日付：4月27日(水) 17時32分
一見　ｙ＝ｘ　のようですけど、sin-1x の値域が問題です。
通常、－１≦ｘ≦１ の値を受け取って、－π/２≦ｙ≦π/２ の値を返します。
ですから、
　ｙ＝sin-1（sin π/２)＝π/２　ですが、
　ｙ＝sin-1（sin ５π/２)＝π/２　でもあり、
　ｙ＝sin-1（sin ９π/２)＝π/２　でもあります。
他のいくつかの値も同様に調べてみて下さい。
　
http://yosshy.sansu.org/

20790．Re: 教えてください
名前：我疑う故に存在する我    日付：4月27日(水) 20時48分
sin x は実数全体で定義された連続関数で値域は [-1, 1].
しかも周期 2π の周期関数。
Arcsin x は定義域 [-1, 1] で定義され、連続。
よって合成関数は実数全体で定義され、周期 2π .

＿／＼＿＿／＼＿＿／＼＿＿／＼＿
／￣￣＼／￣￣＼／￣￣＼／￣￣＼

20797．機械的計算の方が納得できる貴方（私も）のために
名前：占星術師    日付：4月27日(水) 23時21分
アークサインの値域が-π/2≦y≦π/2であることなどに注意しながら機械的に変形する方法でやってみます

y=sin-1(sinx)
⇔sin(y)=sin(x)（-π/2≦y≦π/2）
（個人的には、ここで和積を使わず単位円をイメージして、すぐに次の結果が出ます）
⇔y=x+2nπ　または　y=π-x+2nπ（-π/2≦y≦π/2, nは任意の整数）
⇔y=x+2nπ　または　y=-x+(2n+1)π（-π/2≦y≦π/2, nは任意の整数）

和→積を使う方が納得できるなら
y=sin-1(sinx)
⇔sin(y)=sin(x)（-π/2≦y≦π/2）
⇔cos((y+x)/2)*sin((y-x)/2)=0　（-π/2≦y≦π/2）
⇔cos((y+x)/2)=0　または　sin((y-x)/2)=0　（-π/2≦y≦π/2）
（ここで、コサインが0になる角度は何だろ？　サインが0になる角度は何だろ？　と考えると）
⇔(y+x)/2=π/2+nπ　または　(y-x)/2=nπ　（-π/2≦y≦π/2, nは任意の整数）
⇔y=-x+(2n+1)π　または　y=x+2nπ　（-π/2≦y≦π/2, nは任意の整数）

グラフは、傾きが1の直線と-1の直線を次々とつなぎ合わせるような感じで・・・
y=arcsin(sin(x))

20783．高２の数学です。教えてください。  
名前：ゆき    日付：4月25日(月) 20時14分
Ｘ＝√２＋１／√２－１であるとき、Ｘ＾４－６Ｘ＾３＋５Ｘ＋２
の値を求めよ。


20784．Re: 高２の数学です。教えてください。
名前：ヨッシー    日付：4月25日(月) 20時32分
分母を有理化すると
　Ｘ＝(√２＋１)2＝３＋２√２
一方、Ｘ＝３±２√２ を解とする方程式
　Ｘ2－６Ｘ＋１＝０
を考えると、Ｘ2－６Ｘ＋１ に　Ｘ＝３＋２√２ を代入すると、
当然０になります。
Ｘ4－６Ｘ3＋５Ｘ＋２＝(Ｘ2－６Ｘ＋１)(Ｘ2－１)－Ｘ＋３
ですから、－Ｘ＋３ を計算すればいいことになります。
　－Ｘ＋３＝－２√２
　

20785．Re: 高２の数学です。教えてください。
名前：ゆき    日付：4月25日(月) 20時36分
わかりました（＾＾）。ヨッシーさん、どうもありがとうございました！

20769．教えてください。  
名前：azumi    日付：4月24日(日) 19時58分
長さの違う２本の紙テープがある。この２本の紙テープから同じ長さの紙テープを切り取り、残った紙テープの長さを比べると長さの比は４：３であった。さらに、この残った２本の紙テープから１度目と同じ長さの紙テープをそれぞれ切り取ると、残った紙テープの長さの比は２：１であった。切り取る前の２本の紙テープの長さの比を求めなさい。という問題がわかりません。教えてください。


20771．Re: 教えてください。
名前：顔なし    日付：4月24日(日) 20時33分
先ず２：１にそれぞれ同じテープをつなぐと４：３に成る。
　　　これはＯＫ？（逆に進んでます）。
２：１を４：３にする、ある長さこれを考えてみよう。
　簡単な整数比なので、計算しようと思わないで（できるなら計算でどーぞ）書いたりして考えてみてください。

20772．Re: 教えてください。
名前：みっちぃ    日付：4月24日(日) 20時36分
この問題，なかなか大変なのですがエレガントな見方があります．
テープを切っていくと考えるのではなく，
『２本のテープが最初2:1だったとする．これに同じ長さのテープを貼り付けると4:3になる．さらに，同じ長さのテープを貼り付けるとどのような比になるか?』
という問題に読み替えます．

つまり，ビデオの逆再生をしてるような感じで，最後から考えてゆきます．
すると，解き方は
・長さ2x,xの２本のテープに，長さyのテープを貼り付けると比が4:3になったとし
(2x+y):(x+y)=4:3⇒6x+3y=4x+4y⇒y=2x．
・4x,3xの２本のテープに，長さy=2xのテープを貼り付けると，２本のテープの長さは，6x,5xなので6:5が答え．

20773．Re: 教えてください。
名前：みっちぃ    日付：4月24日(日) 20時36分
かぶりました…　すみません．

20775．Re: 教えてください。
名前：顔なし    日付：4月24日(日) 20時41分
優しいレスが付きました。良かったですね！
自分でちゃんと納得してくださいね！
問題の意味がわからなかったのか、
意味はわかったけど考え方がわからなかったのか、どうだったんでしょうねー！
ちなみに何年生の問題これ？

20763．教えてください。  
名前：yama(高二)    日付：4月24日(日) 14時45分
次の方程式を解けという問題で4^x-3･2^(x＋1)-16=0の式なんですが教えてくれませんか？


20764．Re: 教えてください。
名前：風あざみ    日付：4月24日(日) 15時5分
2x=Xとおくと
4x-3*2x+1-16=0は
X2-6X-16=0となって、Xの二次方程式になります。
あとはこの2次方程式を解けばXの値が求まります。
その際に、Xが正の数であることに注意してください。

20765．Re: 教えてください｡
名前：yama    日付：4月24日(日) 15時41分
なんで-3･2^(x+1)が-6Xとなるのですか？何度もすみません。

20766．Re: 教えてください。
名前：ast    日付：4月24日(日) 15時46分
2^(x+1) = 2 * 2^x です.

20767．Re: 教えてください｡
名前：yama    日付：4月24日(日) 16時0分
わかりました。ありがとうございました。

20761．2の補数について  
名前：tomo    日付：4月24日(日) 12時57分
初めまして。大学1年のtomoといいます。
補数について最近習い始めたのですが、よく分からなくて書き込みさせていただきました。
（110000）2　（←2進数）の2の補数を求めよ、という問題で、
（1000000）2－（110000）2＝（64）10－（48）10＝（16）10
＝（010000）2
と求めたのですが、答えの（010000）2は、（10000）2では駄目なのでしょうか？
また1の補数も、
（1000000）2－（110000）2－（1）2＝（15）10＝（1111）2
としてしまったのですが、これも（001111）2と答える必要があるんですか？


20762．Re: 2の補数について
名前：らすかる    日付：4月24日(日) 13時22分
補数を考える場合は、桁数を変えてはまずいです。
なぜなら、補数の補数が元の数にならないとおかしいからです。
(010000)2 の補数は (110000)2 → 元の数
(10000)2 の補数は (10000)2 → 別の数
となってしまいます。
１の補数でも同じです。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20778．Re: 2の補数について
名前：tomo    日付：4月24日(日) 21時59分
やはりそうなんですか。。。
確かに元の数とは違ってしまいますね。
ご丁寧にありがとうございました。

20758．２の補数  
名前：あら＠1年26組    日付：4月24日(日) 2時44分
どうしても以下の２問で躓いています。
よろしくお願いします。

○　-118を講義内で説明した2の補数を用いた8bit二進数表現に白という問題ですが、

1の補数に１を足すということで、10001001でよいでしょうか？

IEEEが提唱する32ビット浮動小数点の表記形式を用いて，十進数の248.75を表記すると，どのようになるか．正しいものを選択しなさい．

私の答え 436A4200


20759．Re: ２の補数
名前：ヨッシー    日付：4月24日(日) 10時22分
+118 を二進数で表すと　01110110 ですね？
これに求めた、10001001 を足してみましょう。
100000000 (8bit だと、桁あふれして 0 )になればＯＫです。

浮動小数点はこちらなど。
「選択しなさい」とあるので、他の選択肢もあるはずですが。
　

20760．Re: ２の補数
名前：あら＠1年26組    日付：4月24日(日) 10時40分
ヨッシーさんお答えありがとうございます。

浮動小数点の選択肢は
これです。

4379B000 4378C000 436A4200 43A1B400

20768．Re: ２の補数
名前：ヨッシー    日付：4月24日(日) 17時4分
私の吟味では、
4378C000
です。
248.75 を２進数で表すと、11111000.11 = 1.111100011 ×2^7
よって、
符号ビット＝０
指数部７＋１２７＝１３４→10000110
仮数部11110001100000000000000
よって、0100 0011 0111 1000 1100 0000 0000 0000 → 4378C000
　

20779．Re: ２の補数
名前：あら＠1年26組    日付：4月24日(日) 22時1分
ヨッシーさんのご説明でよくわかりました。
またお世話になるかもしれません。
よろしくお願いします。

どうもありがとうございました。

20750．一般角と三角関数  
名前：IGA(高２）    日付：4月23日(土) 20時37分
半径８㎝、中心角3/4πの扇形の弧の長さと面積を求めよ。
解説によると
扇形の弧の長さをa、面積をＳとすると
a=8*3/4π=6π
S=1/2*8^2*3/4π=24π

式の意味が理解できません。
どうして半径と中心角をかけると弧がでるのですか？
また面積の1/2という数値はいったいなんですか？
お願いします。


20753．Re: 一般角と三角関数
名前：kei    日付：4月23日(土) 21時33分
ラジアンの定義を確認してください。
「半径と等しい弧に対する中心角を1ラジアンとする」が定義です。
よって、(中心角(rad))x(半径)=(弧の長さ)が成り立ちます。(弧度法で検索するといろいろとヒットします)

半径r,弧の長さがlの扇形の面積SはS=(1/2)*lrになるという公式があります。証明は容易なので省きます。

20755．Re: 一般角と三角関数
名前：IGA(高２）    日付：4月23日(土) 22時59分
わかりました。
理解できました。
ありがとうございました。

20742．電気磁気学(基礎)  
名前：tk@高専4年    日付：4月23日(土) 17時33分
以下の3問に苦戦しているのですが、それか1つでも構いません。宜しくお願いします。

1.ベクトルA=2i+j1とB=1i+j1とのなす角を求めよ

2.A=2i+4j-5k、B=i+2j+2kとする。A+Bに平行な単位ベクトルを求めよ

3.点Pに次の3つの力F1、F2、F3が作用しているものとする。ここでF1=2i+3j-5k、F2=-5i+j+3k、F3=4i-3j-2kとする。
(1)合力を求めよ


20752．Re: 電気磁気学(基礎)
名前：KINO    日付：4月23日(土) 21時30分
2つのベクトルのなす角をどのように習いましたか？> tk@高専4年さん

内積を用いた定義で習ったとして回答します。

ふたつのベクトル X, Y の内積を (X,Y) と書くことにします。
ベクトル X の大きさを |X| と書きます。
そうすると，X, Y のいずれもゼロベクトルでないとき，
(X,Y)/(|X||Y|) は -1 から 1 の間の値を取ります。
というわけで，cosθ=(X,Y)/(|X||Y|) となるようなθが，0からπの間に必ず一つだけ存在します。このθのことを，ベクトル X と Y のなす角といいます。

というわけで，1 は |A|, |B| と (A,B) の値を求め，cosθ=(A,B)/(|A||B|) となるθを求めましょう。といっても，cosθ=3/√10 になるようなので，θの値を求めるのは難しいと思いますが・・・。

2. 単位ベクトルとは，大きさが 1 のベクトルのことをいいます。
X がゼロベクトルでないとき，X/|X| は X と同じ向きの単位ベクトルです。それと向きが反対の -X/|X| は X と向きが逆の単位ベクトルです。これらはいずれも X に平行な単位ベクトルです。
というわけで，±(A+B)/|A+B| を計算すれば，それが答えです。

3. 合力とは，要するに力を足したもののことですから，F1+F2+F3 を計算すれば，それが答えになります。

20780．Re: 電気磁気学(基礎)
名前：tk@高専4年    日付：4月24日(日) 23時49分
解決しました。
どうもありがとうございました。

20782．Re
名前：高専卒    日付：4月25日(月) 17時20分
こんなもので苦戦とか言って書き込んでるんじゃないよ。
高専の恥もいいところだよ。まったく。

20736．教えてください  
名前：ken    日付：4月23日(土) 2時17分
縦が横よりも長く、周りの長さが４４ｍの長方形の土地がある。縦、横ともに２ｍだけ短く長方形の花壇を作ったところ、花壇の面積はもとの土地の面積の３分の２倍になりました。もとの土地の縦の長さは何ｍですか。という問題を教えてください。


20737．Re: 教えてください
名前：みっちぃ    日付：4月23日(土) 2時56分
縦をx[m]とします．長方形だと縦横の辺が2つずつあるので，横は22-x[m]です．
ここで，縦>横⇒x>22-x⇔x>11…①

ここで，縦，横とも2[m]ずつ短い花壇の面積は(x-2)*{(22-x)-2}=(x-2)(20-x) [m^2]です．
一方，もとの土地の面積は，x(22-x) [m^2]なので
(x-2)(20-x)=2/3*x(22-x)です．
これを解いて①の条件にあてはまるxを縦の長さにすれば，答えです．

20734．tanθの証明  
名前：くく    日付：4月23日(土) 1時31分
0.4＜tan2005度＜0.5が成り立つことの証明誰かわかりますか？


20739．Re: tanθの証明
名前：のぼりん    日付：4月23日(土) 12時17分
2005=180×11+25 より、tan 2005°=tan 25°＜tan 30°=0.5 です。次に、tan 2005°=tan 25°＞tan 24°={√(50+22√5)–√15–3√3}/2=0.44522…＞0.4 です。

20743．Re: tanθの証明
名前：X    日付：4月23日(土) 17時55分
>>のぼりんさんへ
横から失礼します。
tan30°=1/√3>0.5
なのでこの証明には使えないのではないでしょうか？。

20746．Re: tanθの証明
名前：らすかる    日付：4月23日(土) 18時13分
のぼりんさんが示されたように tan2005°=tan25°
tanα=0.4, tanβ=0.5 とするとtanβ＜tan30°=√3/3≒0.577 から
それぞれの角度を３倍してもtanの大小関係は変わらない。
tan3θ=tanθ{3-(tanθ)^2}/{1-3(tanθ)^2} から
tan3α=142/65≒2.185, tan3β=11/2=5.5
一方tan75°=2+√3≒3.732なので tan3α＜tan75°＜tan3β
∴tanα＜tan25°＜tanβ なので 0.4＜tan2005°＜0.5
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20748．Re: tanθの証明
名前：wakky    日付：4月23日(土) 18時54分
Original Size: 560 x 625, 48KB

こんなんでどうでしょうか？


20749．Re: tanθの証明
名前：のぼりん    日付：4月23日(土) 19時19分
おっしゃるとおり、全くダメでした。面目ない…
tan 2005°=tan 25°＜tan 27°=–√(5–2√5)+√5–1=0.50952… なので、少し工夫が必要ですね。
　　tan 24°={√(50+22√5)–√15–3√3}/2=0.44522…
　　cos 27°={2√(5+√5)+√10-√2}/8=0.89100…
　　(tanθ)'|θ=27°=1/cos227°=1.25961…
　　tan 25°＜tan 24°+(tanθ)'|θ=27°×1°/180°×π
　　　=0.44522…+1.25961…×3.14159…÷180
　　　=0.46720…＜0.5

20751．Re: tanθの証明
名前：KINO    日付：4月23日(土) 21時18分
これって学コンの問題なんでしょうか？
出典を教えていただけないでしょうか？＞　<<さん

やはり上からの評価がやや難しいですね。
すでにいろいろな解法が紹介されていますが，こんな解法もあります。

2005=180*11+25 より tan2005°=tan25°.
よって 0.4＜√2-1=tan15°＜tan25°.
あるいは，(0,π/2) で成り立つ不等式 x<tan(x) より，
0.4＜25π/180＜tan(25π/180)=tan(25°).

y=tan(x) のグラフ上の2点(0,0)と(π/6,1/√3)を結んだ直線は
区間 (0,π/6) で y=tan(x) のグラフの上にあるから，この区間で常に
tan(x)＜(2√3/π)x.
これに x=25π/180 を代入すれば，tan(25°)＜5√3/18=5/(6√3).
6√3＞10 より tan25°＜0.5 を得ます。

20756．Re: tanθの証明
名前：らすかる    日付：4月23日(土) 23時9分
さらに別解
cos51°＝(-2√(15-3√5)+2√(5-√5)+√30+√10+√6+√2)/16 と
tan24°＝(√(50+22√5)-√15-3√3)/2 を使えば、
0.4＜tan24°＜tan25°＝tan2005°＜tan25.5°＝√{(1-cos51°)/(1+cos51°)}＜0.5
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20770．Re: tanθの証明
名前：りょー    日付：4月24日(日) 20時27分
大学への数学4月号の学コンの5番ですね。

20776．Re: tanθの証明
名前：KINO    日付：4月24日(日) 20時45分
>> りょーさん
情報ありがとうございます。
自分で本屋に行って確認すればいいのですが，さぼっておりました。
おかげさまで胸のもやもやが解消しました。

20777．Re: tanθの証明
名前：りょー    日付：4月24日(日) 20時51分
こんな単純な計算に気づかずに、θ<tanθとか使ってゴリゴリやってしまったのは私だけですかねｗ

りょー＠4月号学コン応募したら締め切りの消印に間に合わなかった。

20732．微分幾何学の本について  
名前：haru    日付：4月22日(金) 19時36分
図書館にあった微分幾何学の本は何か専門家向けに書かれているような感じでわかりにくいのですが、高校生や大学初年度の人にもわかりやすく書いてあるような本がありましたら教えてください。


20757．Re: 微分幾何学の本について
名前：のぼりん    日付：4月23日(土) 23時43分
haru さん、こんばんは。

レスが付かないようですが、質問が難しすぎるのだと思います。たとえば、Lebesgue 積分や Galois 理論を高校生にもわかる本を紹介しろ、と言われたらどうでしょう？これらの理論を学ぶには、それなりの基礎を知っていないと無理だ、高校生が基礎知識なしに簡単に理解できるものではない、と感じるのではないでしょうか。

微分幾何も同様で、高校生が基礎知識なしに理解できる程易しいものではありません。私は、微分幾何を専門に学習したことがないので、詳しくは知りませんが、大学初年度（線形代数、初等解析）程度の基礎知識から出発すると、
　　位相→多様体┬→リー群（入門）→ファイバー束（入門）→微分幾何
　　群論・環論─┘
みたいな順番で微分幾何を学習するのではないかと思います。このうち、リー群論とファイバー束は、詳細な理論を学習する必要はないでしょうが、基礎的な事項は必要だと思います。お望みの回答でなくて申し訳ありませんが、どうか頑張って下さい。

20781．Re: 微分幾何学の本について
名前：haru    日付：4月25日(月) 16時13分
ありがとうございました。

20729．質問  
名前：akiko（中３）    日付：4月22日(金) 1時13分
４で割ると2あまり、５で割ると３あまり、６で割ると４あまる数で、２００に最も近い数を求めなさい。


20730．Re: 質問
名前：tonbi    日付：4月22日(金) 1時50分
一般の中3だと、不等式はまだなので、中学受験風にかな…

「4で割ると2あまる」… 2 を加えると 4 で割り切れる
「5で割ると3あまる」… 2 を加えると 5 で割り切れる
「6で割ると4あまる」… 2 を加えると 6 で割り切れる
　●4,5,6 の公倍数から 2 を引いたもの

「200に最も近い数」
　●200÷60＝3…20

　60＊2－2＝118
　60＊3－2＝178
　60＊4－2＝238

　178

20719．合ってますか？  
名前：すすか（中３）    日付：4月21日(木) 19時52分
（x-4）二乗+（x+6）（x+1）
　　　　↑
　　　「2」が（x-4）についています。

これの答えって　ｘ+14　で合ってますか？　　間違えであれば
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答えを教えてください。　


20720．Re: 合ってますか？
名前：ast    日付：4月21日(木) 19時56分
2x^2 - x + 22

20722．Re: 合ってますか？
名前：すすか（中３）    日付：4月21日(木) 21時35分
2ｘ-2-x+22　と書いてあるのですか？

20723．Re: 合ってますか？
名前：Ｂｏｂ    日付：4月21日(木) 21時39分
２（ｘの２乗）マイナスｘ(エックス）プラス２２

20727．Re: 合ってますか？
名前：すすか（中３）    日付：4月21日(木) 22時3分
その答えでやってみます

20728．Re: 合ってますか？
名前：すすか（中３）    日付：4月21日(木) 22時27分
なりました。

20713．算数の問題で・・・  
名前：しゅん    日付：4月21日(木) 10時4分
分数で考えると、1/3+1/3+1/3=1は当たり前なのですが、これを
小数で考えると0.333…＋0.333…＋0.333…＝0.999…となり、
1にならないのではないかと小学生から疑問を投げかけられました。
申し訳ありませんが、小学生にもわかる手法で解答のほどよろしく
お願いいたします。


20714．Re: 算数の問題で・・・
名前：らすかる    日付：4月21日(木) 10時14分
0.999…×10＝9.999…
9.999…－0.999…＝9
従って0.999…の10倍から0.999…を引いたもの、
すなわち0.999…の9倍が9なので、0.999…＝1
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20715．Re: 算数の問題で・・・
名前：しゅん    日付：4月21日(木) 10時27分
>>らすかるさんへ
ご解答のほどありがとうございました。
循環小数の概念で答えればよいのですね。
助かりました^o^

20716．Re: 算数の問題で・・・
名前：しゅん    日付：4月21日(木) 10時35分
申し訳ありません。よく考えると、0.999…＝1ってなんかしっくりこないんですが…。

20717．Re: 算数の問題で・・・
名前：らすかる    日付：4月21日(木) 11時13分
しっくりこないと言われても、同じものは同じなので…。
0.999…を３で割ると0.333…　∴0.999…＝0.333…×3
1を３で割っても0.333…　∴1＝0.333…×3
従って0.999…＝0.333…×3＝1ですね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20721．Re: 算数の問題で・・・
名前：c.e.s.    日付：4月21日(木) 21時28分
次の説明はどうでしょう。
「1-0.9999…はいくつでしょう？感覚的には、0.0000…と0が無限に続くはずです。0が無限に続くのなら、それは0ではないですか？」

20724．Re: 算数の問題で・・・
名前：花パジャ    日付：4月21日(木) 21時55分
1/10^∞という感じの数はある、実数ではないけれど(いぁ、虚数でもないです^_^;)、という回答もあるんですが...

20726．Re: 算数の問題で・・・
名前：花パジャ    日付：4月21日(木) 21時59分
↑変な書き方だ...
どんな実数より小さく0より大きい数が、て話だったか...

20747．Re: 算数の問題で・・・
名前：黒蟻    日付：4月23日(土) 18時36分
その場合、0.999…＝1－1/10^∞ は実数ではない(虚数でもない)ことになりますね。0.999…が実数を表すとするならば、0.999…＝1だと思いますよ。

20709．展開の問題で。。。  
名前：すすか（中３）    日付：4月20日(水) 20時42分
次の式を展開しなさい。

（１）　（ａ+b）（ａ-b）　　　（２）（３+y）（３-y）

（３）（３ｘ+１）（３ｘ-１）　（４）（４ｘ-３y）（４x+３y）

　　　　


20710．Re: 展開の問題で。。。
名前：kei    日付：4月20日(水) 20時57分
「a(b+c)=ab+ac」を使います。

(1)
a+b=Aとおきます。
(a+b)(a-b)
=A(a-b)
=Aa-Ab
=(a+b)a-(a+b)b
=(a2-ba)-(ab+b2)
=a2-b2
残りの問題も同じように解けます。

教科書には「(x+y)(x-y)=x2-y2」という公式も載ってると思うのでその部分を読めば解ける問題です。

20718．Re: 展開の問題で。。。
名前：すすか（中３）    日付：4月21日(木) 19時45分
計算ミスはしましたが、やり直したら
できました。
どうもです。

20707．回転体の体積と断面積  
名前：久保　博義    日付：4月20日(水) 15時26分
高校の時からずっと疑問でした。
y=1/x　をx=1から∞まで積分すると発散しますが、
y=π/x＾2　を同様にすると収束します。
これは回転体の体積は有限で断面積は∞という矛盾した結果です。
どうしてでしょうか？


20708．Re: 回転体の体積と断面積
名前：ヨッシー    日付：4月20日(水) 16時11分
たとえば、平面（厚さ０）は、面積∞で、体積０であることを考えれば、
不思議はないと思います。
ｙ軸からずっと離れたところの状況を考えれば、同じようなことが言えます。
　

20702．対数微分法  
名前：docomo高3    日付：4月20日(水) 1時46分
f(x)=e^√x (x＞0)の第二次導関数を求めよ。という問題で対数をとって微分したときと積関数と見て微分したときの答えが合いません。
ちなみに積関数としてみたときの微分は模範解答とあっていました。
ご教授お願いします。


20703．Re: 対数微分法
名前：X    日付：4月20日(水) 9時23分
では対数を取って微分します。
y=e^√xとおくと
logy=√x
∴y'/y=1/(2√x)
となるから
y'=y/(2√x)=(e^√x)/(2√x)　①
∴
logy'=√x-log(2√x)=√x-(1/2)logx-log2
となるから
y''/y'=1/(2√x)-1/(2x)
∴y''={1/(2√x)-1/(2x)}y'=(1/2)(1/√x-1/x)(e^√x)

20704．Re: 対数微分法
名前：ヨッシー    日付：4月20日(水) 9時57分
X さんの最後の行は、y' を掛けないといけないので、
　{1/(2√x)-1/(2x)}y'={1/(2√x)-1/(2x)}(e^√x/2√x)
　　= (1/4x)(1-1/√x)e^√x
ですね。（くくり方は他にもあります）
　

20706．Re: 対数微分法
名前：X    日付：4月20日(水) 11時44分
>>ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。間違えてyをかけてました。

20698．(untitled)  
名前：あきら    日付：4月19日(火) 22時2分
「しかられなければ勉強しない」の対偶がわからなくて困っています。誰か助けてください。ちなみに大学１年です。


20699．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：4月19日(火) 22時21分
「勉強しているならば、それは叱られたときである。」
かなぁ？
　

20712．Re: (untitled)
名前：あきら    日付：4月21日(木) 0時4分
ありがとうございます。大学の宿題ででて困ってました。

20692．(untitled)  
名前：キム    日付：4月18日(月) 22時26分
高校１年です。

20691．(untitled)  
名前：キム    日付：4月18日(月) 21時44分
　三次方程式の解の公式にカルダノの解法が使われていますよね。これって、x^3+px+qにおいて、判別式D＝(p/3)^3+(q/2)^2＞０の時、使えないのではないんですか？


20693．Re: (untitled)
名前：豆    日付：4月19日(火) 0時2分
＞x^3+px+q
x^3+px+q=0の3次方程式ですね。

詳しくないので、恐縮ですが、使えないというのは、どういう意味でしょう？
提示された判別式は、反数になっていますから、1実数、２虚根になる場合ですよね。

20695．Re: (untitled)
名前：豆    日付：4月19日(火) 11時29分
非常に簡単な例で使える例を示しておきます．
p=1，q=0　のとき，　D＝(p/3)^3+(q/2)^2=1/27＞0です．
x^3+x=0　なので，簡単に因数分解できて，解はx=0，±i
こんなのに誰も公式を使うことはないですが，
あえて，公式を使うと，（ωは1の3乗根の1つで(-1+i√3)/2とする　）
x[1]=-(q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)- (q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)
=-1/√3+1/√3=0
x[2]= -ω(q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)-ω^2 (q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)
=-ω/√3+ω^2/√3=-i
x[3]= -ω^2(q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)-ω (q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)
=-ω^2/√3+ω/√3=i
となり，勿論一致します．

なお，判別式は2次方程式ax^2+bx+c=0　の判別式を
D=b^2-4ac　とし，D＞0のとき，実根条件としていますので，
3次方程式も共通する指標として，提示の反数である
D=-((p/3)^3+(q/2)^2)　とするほうが自然だと思います．
(D＞0のとき，3実根となる)

20696．Re: (untitled)
名前：キム    日付：4月19日(火) 20時58分
すみません、D＝-(p/3)^3+(q/2)^2＞０の間違いです。この時、３次方程式の解は実数解３つになりますよね。ですが、p=-3/4,q=a/4の時(判別式はＤ＞０です)、実数解がでなくて、カルダノの解法じゃ出ないのかなと思いまして...

20697．Re: (untitled)
名前：我疑う故に存在する我    日付：4月19日(火) 21時46分
（実数）解は自然に出てきます。
ただ、p, q が実数であっても、解を実数のみの四則と冪根で表示する事は一般には不可能です。
この事ははガロア理論よりで出てきます。
ガロア理論を勉強したいと思いませんか？

20700．Re: (untitled)
名前：豆    日付：4月19日(火) 23時25分
んっ？判別式というから、
D=(β-γ)^2(γ-α)^2(α-β)^2かと思ったけど、違う式のようですね。

20701．Re: (untitled)
名前：中川　幸一    日付：4月20日(水) 0時34分
3 次方程式の『不還元(Casus irreducibilis)』についてですね。
これは開立の代わりに, 三角関数の三分法を用いる方法があります。
http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

20711．Re
名前：白拓    日付：4月20日(水) 23時50分
>三次方程式の解の公式にカルダノの解法が使われていますよね。
カルダノの解法は実はカルダノが発見したのではなく、
タルターニャが発見してカルダノにこの話をもらしたところ、
カルダノは勝手に自分の功績としてこの発見を横取りしてしまった
そうです。

20731．Re: (untitled)
名前：キム    日付：4月22日(金) 7時20分
ガロア理論はぜひ習ってみたいですが、うちの高校ではたぶんやらないので残念です。あと、豆さんの考えていた判別式はD=(β-γ)^2(γ-α)^2(α-β)^2ですが、これを変形するとD＝-(p/3)^3+(q/2)^2になります。

20733．Re: (untitled)
名前：豆    日付：4月22日(金) 22時24分
＞あと、豆さんの考えていた判別式はD=(β-γ)^2(γ-α)^2(α-β)^2ですが、これを変形するとD＝-(p/3)^3+(q/2)^2になります。

本当ですか？
D＝-(p/3)^3-(q/2)^2　だと思いますが。

20738．Re: (untitled)
名前：キム    日付：4月23日(土) 6時26分
確かこれでいいはずですが。

20740．Re: (untitled)
名前：キム    日付：4月23日(土) 13時59分
すみません、それで合ってます。

20686．計算過程  
名前：あけみ(高１)    日付：4月18日(月) 15時12分
不等式が成り立つことを証明せよ
│ａ│＋│２ｂ│≧│ａ＋２ｂ│

(左辺)^2－(右辺)^2＝（│ａ│＋│２ｂ│）^2－│ａ＋２ｂ│^2
　　　　　　　　　＝ａ^2＋４│ａｂ│＋４ｂ^2－(ａ^2＋４ａｂ＋４　　　　　　　　　　ｂ^2)　　　↑
　　　　　　　　　　　　　　　この部分の計算が解かりません。なぜ　　　　　　　　　　　　　　　絶対値の記号が外れないのですか？４　　　　　　　　　　　　　　　ａｂにならないの？計算ﾙｰﾙですか？
教えてください。よろしくお願いします。　　　
　　　　　　　　　


20687．Re: 計算過程
名前：X    日付：4月18日(月) 15時23分
a,bは実数であること以外に条件はありませんので、|ab|の絶対値を外したいのならば
|ab|=ab(a,b:同符号のとき)
|ab|=-ab(a,b:異符号のとき)
と場合分けをする必要があります。

20688．Re: 計算過程
名前：あけみ(高１)    日付：4月18日(月) 16時36分
う～ん、なぜ絶対値の記号が外れないのか解かりません。もう少し詳しく教えてください。　

20689．Re: 計算過程
名前：KINO    日付：4月18日(月) 16時57分
> なぜ絶対値の記号が外れないのですか？ 4ab にならないの？計算ルールですか？
その通り，計算ルールです。
その計算ルールは，Ｘさんが示してくださった通りです。

納得するために，次のように考えてみてはどうでしょうか。

示すべき不等式は，「どんな実数」a, b に対しても成り立つ不等式のはずです。
具体的に a, b に数字を当てはめて見ましょう。
簡単な数字を入れてみます。

a=1, b=1 を代入すると |a|=|1|=1, |2b|=|2*1|=|2|=2, |a+2b|=|1+2*1|=|3|=3 なので，
|a|+|2b|=1+2=3, |a+2b|=3 となり，|a|+|2b|=|a+2b|, つまり等号が成り立つことがわかります。

ところが，a=1, b=-1 としてみますと，
|a|=1,
|2b|=|2*(-1)|=|-2|=2, （←ここに注意！）
|a+2b|=|1+2*(-1)|=|1-2|=|-1|=1 （←ここにも注意！）
となりますので，
|a|+|2b|=1+2=3, |a+2b|=1 となり，この場合は等号ではなく
|a|+|2b|>|a+2b| という不等式になります。

もし証明の式変形の過程で勝手に |ab|=ab としてしまうと，(左辺)^2-(右辺)^2=0 となって，不等式でなく，必ず等号が成り立ってしまうという結論が出てしまいますが，
それは間違いだということがわかるかと思います。

Xさんが示された場合分けに従うと，a と b が同符号(両方とも正か，両方とも負) の場合には |ab|=ab となるので，
(左辺)^2－(右辺)^2=0 となって不等式の等号が成り立つことがわかります。
また，a と b が異符号（片方が正でもう一方が負）の場合には |ab|=-ab となりますので，
(左辺)^2－(右辺)^2=-4ab-4ab=-8ab.
ここで，ab≦0 ですので，-8ab≧0 (ここも大事です！)。
というわけで，(左辺)^2－(右辺)^2≧0 となって証明が終わります。

20690．Re: 計算過程
名前：あけみ(高１)    日付：4月18日(月) 17時57分
理解出来ました。ありがとうございました。

20681．三角形の内接円に関する問題  
名前：けん    日付：4月18日(月) 1時7分
高校2年のけんです。

△ABCにおいて、AB=8, BC=7, CA=3 とする。
線分AB上に点Pをとり、△ACP, △BCPの内接円の半径をそれぞれ
r1, r2 とする。(r1/r2)=3 のとき、線分CPの長さを求めよ。

という問題が解けません。

余弦定理から、∠A=60°を求めて
三角形ABCの面積 S=(1/2)*7*8*sin60°= 6√3
S=△ACP＋△BCP
の関係から出そうと思ってもうまくいきません。

どうやって求めたらよいのでしょうか？


20683．あ、間違えましてますね。。。
名前：けん    日付：4月18日(月) 6時52分
× 三角形ABCの面積 S=(1/2)*7*8*sin60°= 6√3
○ 三角形ABCの面積 S=(1/2)*3*8*sin60°= 6√3

でした。

ちなみに、「うまくいかない」というのは

CP=x, AP=a とおいたとき
S=△ACP＋△BCP
=・・・（省略）
=r2(12+a+2x) (途中、条件r2=3*r1を用いた)

となり、文字3つに対して、式が1つしかないことから悩んでいます。
ほかに式が立てられるのでしょうか？

20684．Re: 三角形の内接円に関する問題
名前：ヨッシー    日付：4月18日(月) 10時14分
まだ解けていませんが、式を作れるかと言うことなら、
△ＡＰＣにおける余弦定理より、ｘとａの関係。
△ＡＣＰ：△ＢＣＰ＝ＡＰ：ＢＰ　より、ｒ１，ｒ２が消去できる。
で、一応、３つそろいます。
　
http://yosshy.sansu.org/

20685．Re: 三角形の内接円に関する問題
名前：ヨッシー    日付：4月18日(月) 10時15分
ちなみに、問題文によると、
　r1 = 3*r2
ですね。
　
http://yosshy.sansu.org/

20694．Re: 三角形の内接円に関する問題
名前：ヨッシー    日付：4月19日(火) 9時57分
２×△ＡＣＰ＝(３＋ａ＋ｘ)ｒ1＝３(３＋ａ＋ｘ)ｒ2
２×△ＢＣＰ＝(１５－ａ＋ｘ)ｒ2
よって、
　△ＡＣＰ：△ＢＣＰ＝３(３＋ａ＋ｘ)：(１５－ａ＋ｘ)＝ａ：８－ａ
これより、
　ａ(１５－ａ＋ｘ)＝９(８－ａ)(３＋ａ＋ｘ)
展開して整理すると、
　２(ａ＋６)(ａ－６)＝４ｘ(６－ａ)
よって、ａ＝６は１つの解。ａ≠６ のとき、
　２(ａ＋６)＝－４ｘ
　ｘ＝－(ａ＋６)/２
ａ＞０，ｘ＞０となる、ａ，ｘは存在しないので、ａ＝６ が唯一の解。
この時、△ＡＣＰにおける余弦定理より、
　ｘ^2＝ａ^2＋９－３ａ＝２７
　ｘ＝３√３
こんな感じでしょうか？
　
http://yosshy.sansu.org/

20725．遅くなりましたが・・・
名前：けん    日付：4月21日(木) 21時57分
なるほど、わかりました。ヨッシーさん、ありがとうございます。

三角形の相似を利用するなど、図形を視覚的に捉えて解くことばかり
頭にあって思いつきませんでした。。。まだまだですね(汗)。

20679．ｽｲﾏｾﾝ  
名前：ｱﾘｽ(高２)    日付：4月17日(日) 18時44分
誤って問題だけ載せてしまいまいた。先ほど問題は学校の問題集の問題なのですが、サッパリ分からないのです。どうか教えてください。

20678．ﾍﾞｸﾄﾙの成分  
名前：ｱﾘｽ(高２)    日付：4月17日(日) 18時38分
~a＝(1,-2),~b＝(2,-1)で,~c＝(1-t)~a＋~tbとするとき、次の問に答えよ。(ﾍﾞｸﾄﾙｘを~ｘのように表してみまました)
(1)ｌ~cｌ＝3のときのtの値を求めよ。
(2)ｌ~cｌの最小値とそのときの値を求めよ。


20680．Re: ﾍﾞｸﾄﾙの成分
名前：c.e.s.    日付：4月17日(日) 19時37分
(2)は「そのときの『tの』値を求めよ」の間違いでしょうか？

(1) |c↑|^2=|(1-t)a↑+tb↑|^2=|((1-t)+2t,-2(1-t)-t)|^2=|(t+1,t-2)|^2=(t+1)^2+(t-2)^2=2t^2-2t+5
よって|c↑|^2=9⇔2t^2-2t-4=0⇔(t-2)(t+1)=0⇔t=-1またはt=2
(2) (1)より|c↑|=√(2t^2-2t+5)=√{2(t-1/2)^2+9/2}≧3/√2(等号成立はt=1/2)
よって|c↑|の最小値は3/√2でそのときtの値は1/2。

パソコンでの数学記号の書き方はＰＣユーザの為の　数学記号検討委員会を参考にされると良いでしょう。

20677．オーダーについて。  
名前：ヒロシ（大1）    日付：4月17日(日) 16時7分
ラージオーダーとスモールオーダーがどういうものか全くわかりません。高校でも教えてもらいませんでした。　　　　　　　　　　　　　ご指導のほど宜しくお願いいたします。　　　　　　


20682．Re: オーダーについて。
名前：KINO    日付：4月18日(月) 2時55分
> ラージオーダーとスモールオーダーがどういうものか全くわかりません。高校でも教えてもらいませんでした。　　　　　　　　　　　　　

「ラージオーダー」と「スモールオーダー」がどういうものか，こちらにも全くわかりませんが，これのことかな，という心当たりについて述べさせていただきます。

なお，以下に述べる内容は高校の範囲ではありませんので，もし同じ内容でしたらご安心を。＞ヒロシさん

例として x→∞ の極限のことを考えます。

このとき，例えば x2→∞ だし，x3→∞ でもあります。どちらも無限大に発散することは確かなのですが，両者の比を考えると，発散のスピードに差があることがわかります。つまり，x2/x3=1/x→0 で，x2 が発散するよりも速く x3 が発散すると言えます。このことを，
「x→∞の極限において，x2 は x3 に比べてスモールオーダーである」というように言うのだと思います。
つまり，x が非常に大きいとき，x2 は x3 に比べて無視できるほど小さい，という意味です。

比を逆にすると，x3/x2=x→∞ となりますから，このことを
「x→∞の極限において，x3 は x2 に比べてラージオーダーである」というのだと思います。
つまり，x が非常に大きいとき，x3 は x2 よりもとてつもなく大きいということを表す表現です。

また，たとえば，(x2-x)/x2=1-1/x→1 となりますので，ある意味 x2-x と x2 は x が非常に大きいとき同じくらいの大きさだ，ということですので，両者は互いにつりあっており，お互いに相手に対してラージオーダーでもスモールオーダーでもありません。

もしもこの解説が見当違いでしたらごめんなさい。

20672．(untitled)  
名前：yama 高２    日付：4月15日(金) 23時54分
2点Ａ（0，-6），Ｂ（-√3，-3）と円Ｃ：x^2+y^2=4がある。
円C上を動く点Pを考える。三角形ABPの面積Sの最大値とそのときの点Pの座標を求めよ。
という問題なんですがやり方がイマイチわかりません・・・・。おねがいします。


20673．Re: (untitled)
名前：c.e.s.    日付：4月16日(土) 1時37分
Size: 146 x 227, 3KB

直線AB:(√3)x+y+6=0
よって直線ABと点(0,0)との距離は|(√3)・0+1・0+6|/√{(√3)^2+1^2}=3
また、AB=√[(-√3-0)^2+{-3-(-6)}^2]=2√3
よってSの最大値は図より2√3×(3+2)×1/2=5√3となる。
直線ABと垂直で原点を通る直線はx-(√3)y=0だから、Sが最大となる点Pは(√3,1)となる。

かなり端折ってますが、流れはこんな感じで。


20676．Re: (untitled)
名前：yama 高２    日付：4月17日(日) 2時28分
ありがとうございます。
助かりました。

20669．オイラーの公式について  
名前：haru    日付：4月15日(金) 17時41分
微分幾何学の世界にオイラーの公式というものがあるそうですが、これはどういうものでしょうか。また微分幾何学の本で割と読みやすい（わかりやすい）本をどなたか知っていたら教えてください。


20675．Re: オイラーの公式について
名前：haru    日付：4月16日(土) 21時32分
後で調べたら、オイラーの定理として、曲面S上の1点をPとすると、Pにおける単位接ベクトルXをいろいろにとった時に、２つの単位接ベクトルX1とX2が持つ性質のことを言うそうです。（数学が育っていく物語　第６週　曲面　岩波書店より）

20668．最短経路を含む曲線の方程式  
名前：haru    日付：4月13日(水) 17時51分
先日、天文学の本を読んでいたところ、楕円体上の任意の２点を結ぶ最短経路は、微分幾何学によると複雑な曲線を描くようです。そこで簡単な球の場合には、その球上の任意の２点を結ぶ経路は、その２点を通る球の大円になるようです。それを証明しようと自分で考えたのですが、わかりませんでした。どなたかわかりましたら教えてください。因みにその最短曲線を測地線というそうです。


20670．Re: 最短経路を含む曲線の方程式
名前：豆    日付：4月15日(金) 22時16分
球面上の2点を通る円で球を切断する。
円の半径をx、2点の中心角を2θとする(0＜θ≦π/2)と、
2点の直線距離は、もちろんどんな切断円であろうと一定で、
a=2xsinθ　　(*)
一方、切断円周に沿った2点の経路の長さは、
s=f(θ)=x・2θ=aθ/sinθ
f'(θ)=a(sinθ-θcosθ)/(sinθ)^2=acosθ(tanθ-θ)/(sinθ)^2＞0
f(θ)は単調増加なので、sはθが最小の時最小。
(*)よりxが最大、つまり大円のときである。

20674．Re: 最短経路を含む曲線の方程式
名前：haru    日付：4月16日(土) 20時45分
ありがとうございました。

20665．証明のもんだいです  
名前：華 高1    日付：4月12日(火) 19時38分
2点P,Qで交わる2円およびその共通弦PQのいずれにも交わる直線を引き、その交点を順にA,B,C,Dとするとき、

AB：BC＝DE：CD　を証明したいのですがわかりません。
よろしくお願いいたします。


20667．Re: 証明のもんだいです
名前：ヨッシー    日付：4月12日(火) 22時35分

方べきの定理より、
　ＡＣ・ＣＤ＝ＰＣ・ＱＣ
　ＢＣ・ＣＥ＝ＰＣ・ＱＣ
よって、
　ＡＣ・ＣＤ＝ＢＣ・ＣＥ
　ＡＣ／ＢＣ＝ＣＥ／ＣＤ
　(ＡＢ＋ＢＣ)／ＢＣ＝(ＣＤ＋ＤＥ)／ＣＤ
　ＡＢ／ＢＣ ＋ １＝ＤＥ／ＣＤ ＋ １
よって、
　ＡＢ／ＢＣ＝ＤＥ／ＣＤ
　
http://yosshy.sansu.org/

20658．よろしくおねがいします。  
名前：あう    日付：4月12日(火) 15時7分
次の条件を満たす一次関数を求めよ。

(1)傾きが－2の直線
(2)切片が－4の直線

大至急お願いしますｗよろしくおねがいしますｗ


20659．Re: よろしくおねがいします。
名前：豆    日付：4月12日(火) 15時47分
先に投稿している掲示板のレスを「よ～く」読んでください．
ほとんど答えを書いてくれていますよ．

20660．Re: よろしくおねがいします。
名前：あう    日付：4月12日(火) 15時55分
違う人のですか？

20661．Re: よろしくおねがいします。
名前：あう    日付：4月12日(火) 16時1分
あ、学年入れ忘れました。中１です。

20662．Re: よろしくおねがいします。
名前：あう    日付：4月12日(火) 16時13分
豆さんへ＞レスありがとうございます。
じっくりレスみましたが、のっていませんでした；すいません；

20663．Re: よろしくおねがいします。
名前：豆    日付：4月12日(火) 16時33分
問題文が全く同じ（小さなwの入り方まで）なので，名前を変えて投稿しているのだと思いました．
＞じっくりレスみましたが、のっていませんでした；すいません；
これもちょっと意味不明ですが．

問題文の切片というのはちょっと不親切な感じがしますが，
直線の方程式の習い始めでy切片のことなのでしょうね．
傾きがaで(y)切片がbの直線の方程式は
y=ax+b　です．
(1)　(2)は問1,2　じゃなくてふたつの条件という意味でしょう．
でないと，直線が1つに決められない．

20664．Re: よろしくおねがいします。
名前：c.e.s.    日付：4月12日(火) 18時10分
その「ｗ」は何がそんなに面白いのですか？余計なお世話でしょうが、少なくとも人に教えを請う態度ではありませんね。

20666．Re: よろしくおねがいします。
名前：Ｂｏｂ    日付：4月12日(火) 21時50分
http://yuki.to/math2/prybbs.html?mode=res&no=42533
と同一レス。マルチかな

20649．29歳医療系専門学生　地方公務員上級受験します  
名前：まい♪    日付：4月10日(日) 15時0分
初めまして。判断推理なんですけど良いですか？

●ウソの発言●
A～Eの5人について、携帯電話の所持を調べたところ、二人は携帯電話をもっており、
三人は持ってないことがわかった。五人は、携帯電話の所持について
それぞれ次のように話している。このとき、携帯電話を持っている
二人の発言は本当のことであり、持っていない三人にはそれぞれ必ず
うそが含まれているとすると、携帯電話を持っている者の組み合わせとして
妥当なものはどれか。
　
　A「私は持っています」
　B「Eは持っていません」
　C「私もBももっています」
　D「Cは持っています」
　E「AもDも持っています」

１．A、B
２．A、E
３．B、C
４．C、D
５、D、E


です。正答は１なんですが、解説を見るとBの発言とDの発言に
最初に目をつけています。なぜですか？
どなたかよろしくお願いしますm(。_。)m


20650．Re: 29歳医療系専門学生　地方公務員上級受験します
名前：花パジャ    日付：4月10日(日) 16時25分
何も導かないAの発言以外、どこから始めてもいいが、
述べている事象の単純な所から始めただけかと。

例えば、Eから始めると
E持つ→三人持つ、からE持たず。
Bがうそをついていないので、B持たず。
C持つならば、Dがうそをついていないので、三人持つ、からC持たず。
Dうそつきで持たないので、A持つ。

Cから始めると
C持つならば、Bも持ち、Dがうそをついていないので、三人持つ、からC持たず。
Dうそつきで持たず。
Eうそつきで持たず。
Bがうそをついていないので、B持つ。
ていうか、残り2人で、AとB持つ。

...Cの発言に注目するのが連鎖的に解けて良さそうだが...

20651．Re: 29歳医療系専門学生　地方公務員上級受験します
名前：まい♪    日付：4月10日(日) 16時56分
花パジャさん、ありがとうございます。

Cからはじめた場合にどうしてEがうそつきになるんですか？
あとは、全て理解できたのですが・・・。

20653．Re: 29歳医療系専門学生　地方公務員上級受験します
名前：花パジャ    日付：4月10日(日) 21時15分
Dが持っていないのに　E「AもDも持っています」　だから

20655．Re: 29歳医療系専門学生　地方公務員上級受験します
名前：まい♪    日付：4月11日(月) 7時16分
ありがとうございました。解決しました。
またよろしくお願いします。

20646．２次方程式  
名前：へ（高１）    日付：4月9日(土) 21時30分
２次方程式3x^2-4x+2k=0が実数解をもつように，定数kの値の範囲を求めよ。

k≦？？

解き方がわかりません。教えてください。宜しくお願いします。


20647．Re: ２次方程式
名前：占星術師    日付：4月9日(土) 23時12分
高1の今の時期でこれを解くというのは微妙？

数学Iの教科書の前半に出てくる基本問題だと思います。もしも以下の説明で分からなければ、まずは教科書の基本を勉強してください。

一般に、2次方程式ax^2+bx+c=0が実数解を持つための条件は、
b^2-4acをDとおくと、D≧0です（なお、Dを判別式といいます）

この問題の場合だと、(-4)^2-4*3*2k≧0
すなわち16-24k≧0　よって答えはk≦2/3

20648．Re: ２次方程式
名前：へ（高１）    日付：4月10日(日) 10時59分
なるほどよくわかりました。占星術師さんどうもありがとうございます。

20644．反復試行の確率  
名前：IGA(高２）    日付：4月9日(土) 15時55分
さいころを繰り返しｎ回投げて、出たメノ数を掛け合わせた積をＸとする。すなわち、ｋ回目に出た目の数をＹkとすると、Ｘ＝Y1Y2...Yn


Ｘが４で割り切れる確率を求めよ。

解説によると
Ａ：偶数の目が1回も出ない（毎回１，３，５のいずれか）
Ｂ：２または６の目が1回だけ出て残り（ｎー１）回は奇数の目が出る。
つまり

私の考えはＢを二つにわけました。
２の目が1回だけ出て残り（ｎー１）回は奇数の目が出る。

６の目が1回だけ出て残り（ｎー１）回は奇数の目が出る。

二つに分けてそれぞれ排反だということで足して答えが合わないということはＢを二つにわけてはいけないということでしょう。

何故でしょうか。
お願いします。


20645．Re: 反復試行の確率
名前：X    日付：4月9日(土) 17時14分
考え方は問題ありません。途中で計算ミスをしていませんか？

求める確率をp,事象A,Bの確率をP(A),P(B),
２の目が1回だけ出て残り(n-1)回は奇数の目が出る確率をp1
６の目が1回だけ出て残り(n-1)回は奇数の目が出る確率をp2
とそれぞれおきます。
するとp1,p2に対応する事象は互いに排反ですから
p=1-P(A)-P(B)　①
P(B)=p1+p2　②
∴p=1-P(A)-p1-p2　③
次に
P(A)=(1/2)^n　④
p1=p2=(nC1)(1/6)(1/2)^(n-1)=(n/6)(1/2)^(n-1)　⑤
④⑤を③へ代入して
p=1-(1/2)^n-2・(n/6)(1/2)^(n-1)
=1-(2n/3+1)(1/2)^n

20656．Re: 反復試行の確率
名前：mol    日付：4月11日(月) 19時1分
これって東大のもんだいかな？

20657．Re
名前：はえっくすく    日付：4月12日(火) 4時13分
＞molさん
んな、わきゃない。

20639．数列について  
名前：はみだし    日付：4月7日(木) 23時4分
等差数列の公差はd，等比数列の公比はｒで表しますがそれぞれ何の単語の頭文字かご存知の方はいませんか？


20640．Re: 数列について
名前：のぼりん    日付：4月7日(木) 23時15分
はみだし さん、こんばんは。公差、公比は夫々、英語で common difference、common ratio と言います。

20642．Re: 数列について
名前：はみだし    日付：4月8日(金) 0時22分
わかりました。
有難うございました！！

20638．微分  
名前：数学できない人（高2）    日付：4月7日(木) 22時26分
放物線ｙ＝ax^2＋bx＋cは,2点(0,0),(2,-2)を通り,(0,0）における接線と（2,-2)における接線との交点のｙ座標は1である。このとき,ａ,ｂ,ｃの値を求めよ。ｃは分かるのですが、他の値がわかりません。お願いします


20641．Re: 微分
名前：のぼりん    日付：4月7日(木) 23時28分
数学できない人（高2） さん、こんばんは。

題意の抛物線が (0,0) を通ることから、c=0 で、(2,–2) を通ることから、–2=4a+2b+c つまり、2a+b+1=0 です。よって、y=ax2–(2a+1)x です。y'=2ax–2a–1 だから、(0,0) における接線は、y=–(2a+1)x で、(2,–2) における接線は、y=(2a–1)x–2 です。この交点を求め、(1/(2a), –1–1/(2a)) なので、–1–1/(2a)=1 つまり a=–1/4 です。よって、
【答】　　a=–1/4、b=–1/2、c=0
と求まります。

20671．Re: 微分
名前：数学できない人（高2）    日付：4月15日(金) 22時47分
ありがとうございました

20635．三角関数  
名前：あき（高一）    日付：4月7日(木) 18時28分
この問題がわかりません(;_;)どなたか教えて下さいッッ！！

θについての方程式sinθ＋2sinθcosθ＋cosθ＋ａ＝0が解をもつような定数ａの値の範囲を求めよ。


20636．Re: 三角関数
名前：KINO    日付：4月7日(木) 20時12分
t=sinθ+cosθ とおくのが定石です。

t2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ
=1+2sinθcosθ

となりますので，sinθcosθ=(t2-1)/2 と表せます。
よって，与えられた式は
t+(t2-1)/2+a=0
すなわち
t2-2t+2a-1=0
という，t についての2次方程式になります。

これが解を持つ条件を求めればよいのですが，t の取り得る値には制限があることに注意しましょう。
角度の合成をご存知ならば，
t=√2*sin(θ+45°) となり，θの値に特に制限がなければ
-1≦sin(θ+45°)≦1 より -√2≦t≦√2 となります。

よって，
t2-2t+2a-1=0
が
-√2≦t≦√2
の範囲で解を持つような a の範囲を求めることになります。

20652．Re: 三角関数
名前：あき（高一）    日付：4月10日(日) 21時9分
あぁ～！！わかりましたッッ(^O^)
ＫＩＮＯさん、ありがとうございました☆★

20627．わり算。  
名前：ゴルゴ８０    日付：4月6日(水) 21時39分
こんばんは。あのちょっと疑問があるんですが。例えば
（a+d）x^2+b（a+d）x+（a+d）（a-c）=0・・・（１）があるとするとa,b,c,dが実数としか分かってないとき（１）を割ってはいけないですよね？私的にはa+dが０でも左辺＝０、右辺＝０とイコール関係が成り立っていいと思うんですが・・・それで考えたんですがもしa+dが０ならば（１）をa+d、ようするに０で両辺を割ると右辺＝０/０の不定形になるからと考えました。
私のでよろしいんでしょうか？なぜ割っていけないのか詳しく教えて頂けないでしょうか。お願いします。


20628．Re: わり算。
名前：豆    日付：4月6日(水) 22時32分
質問の意図がもうひとつ不明です。
＞（１）を割ってはいけないですよね？
何で割るというのでしょう？a+dで割るのでしょうか？
0で割るというのは数学ではご法度ですので、a+d≠0のときのみ割っていいです。

もし、方程式(a+d）x^2+b（a+d）x+（a+d）（a-c）=0を解け、
という問題だったら、以下の回答に成ります。
共通因子でくくれば、
(a+d)(x^2+bx+a-c)=0
a+d=0であれば、0・(x^2+bx+c)=0はすべてのxについて成り立つ（不定）。
a+d≠0であれば、a+dで割って、
x^2+bx+a-c=0　よって、x=(-b±√(b^2-4(a-c))/2

20629．Re: わり算。
名前：豆    日付：4月6日(水) 22時46分
0で割っては何故だめかということに対して、
随分大げさな式になっていたので上記のレスを出しましたが、
ご法度の理由は0/0だろうが、1/0だろうがこれらが表す数字が
合理的に定義できないからです。

20630．Re: わり算。
名前：ゴルゴ８０    日付：4月6日(水) 23時41分
定義できないんですか？・・よく考えたらそんな気もしてきました。
豆さんありがとうございました。

20624．(untitled)  
名前：谷　高１[中3]    日付：4月6日(水) 18時1分
AB=3a,AC=a,BC=4√2を満たす三角形ABCがあり,その外接円の半径は3である。ただし,aは正の定数とし,Aは鋭角とする。　三角形ABCの外接円の,点Aを含まない弧BC上に点Dをとり,四角形ABDCをつくる。四角形ABDCの面積が最大となるとき,その最大値を求めよ。 で、a=2,sinA=2√2/3,cosA=1/3と分かり、BD=CDとなるとき最大なのでBD=CD=xとして求めたら2√3になったんですがこの値はあっているでしょうか。お願いします。


20625．Re: (untitled)
名前：X    日付：4月6日(水) 18時17分
値は正しいようです。

20626．Re: (untitled)
名前：谷　高１[中3]    日付：4月6日(水) 20時56分
その後なんですが、ABDCの面積で,∠BDCはどうやって求めるんですか?

20633．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：4月7日(木) 4時36分
∠BDC を求めなくても、ＢＣの中点Ｍに対して△ＢＤＭを考えれば、
三平方の定理だけで、高さや面積が出ると思いますが。
　
http://yosshy.sansu.org/

20634．Re: (untitled)
名前：谷　高１[中3]    日付：4月7日(木) 14時10分
お陰様で答えが出ました。ありがとうございます。

20621．(untitled)  
名前：かい    日付：4月5日(火) 18時36分
こんばんは。質問があります。
単位ベクトルとはなんでしょうか？大きさが１は分かるんですが。
例えば空間で指定がなければ適当な方向などに適当にとってよろしんですか？


20622．Re: (untitled)
名前：KINO    日付：4月5日(火) 19時45分
単位ベクトルとは，「大きさが1であるようなベクトル」のことを指すだけですので，方向に関する条件はありません。
というわけで，

> 単位ベクトルとはなんでしょうか？大きさが１は分かるんですが。
> 例えば空間で指定がなければ適当な方向などに適当にとってよろしんですか？

という理解で問題ないと思います。

20623．Re: (untitled)
名前：かい    日付：4月5日(火) 20時11分
kinoさんありがとうございました。

20619．事象  
名前：数学できない人（高2）    日付：4月5日(火) 0時53分
異なる本が7冊ある。その中から少なくとも1冊以上何冊でも好きなだけ本を取るとすると,そのとり方は何通りか？
という問題が分かりません。おねがいします。


20620．Re: 事象
名前：KINO    日付：4月5日(火) 1時14分
「選ぶ」，「選ばない」で考えて行きましょう。
それぞれの本を選ぶか選ばないか，選択が2通りあります。
そうすると全部で 27 通りの選び方があります。
このうち，「1冊も選ばない」という場合も含まれています。
このような場合は「1冊以上は取る」という条件に反しますので，
「1冊も選ばない」場合を除かなければなりません。
それは1通りしかありませんので，答えは
27-1=128-1=127 通りです。

20637．Re: 事象
名前：数学できない人（高2）    日付：4月7日(木) 22時20分
ありがとうございました。解くことができました

20616．計算が合いません  
名前：マリオ    日付：4月4日(月) 15時33分
高2です。


i+i^2+i^3+i^4+1/i　　の答えが合いません。

自分の答え：1/i　　解答：－i

ｘ＾4＋7ｘ＾2＋12＝0　の方程式を解け。
因数定理が使えないです。わかりません。教えてください。

最後に、

（ab+cd）（ac+bd）≧ 4abcd　　が成り立つことを証明せよ。

相加相乗の使い方が全然わかりません。
お手数ですが詳しく教えてください。


20617．Re: 計算が合いません
名前：KINO    日付：4月4日(月) 17時30分
> i+i^2+i^3+i^4+1/i　　の答えが合いません。
> 自分の答え：1/i　　解答：－i

1/i=-i なので，値そのものは同じです。
1/i=(-1)*(-1)/i=(-1)*i^2/i=(-1)*i=-i です。


> ｘ＾4＋7ｘ＾2＋12＝0　の方程式を解け。

X=x^2 とおくと，
X^2+7X+12=0 となり，これは (X+3)(X+4)=0 と因数分解できます。
X=x^2 を代入すると
(x^2+3)(x^2+4)=0 ということで，x^2+3=0 または x^2+4=0.
これを解くと x=±(√3)i, ±2i となります。


> （ab+cd）（ac+bd）≧ 4abcd　　が成り立つことを証明せよ。

a, b, c, d いずれも正の数，などのような条件が実際にはあるはずですので，このように仮定しておきます。

正の数 A, B について，相加平均と相乗平均の関係式は，
(A+B)/2≧√(AB) ですが，両辺に 2 をかけた
A+B≧2√(AB) の形もよく使います。
A=ab, B=cd だと思えば，ab+cd≧2√(abcd).
A=ac, B=bd だと思えば，ac+bd≧2√(acbd).
ここで acbd=abcd に気づけば，正の数同士の不等式なので
(大きい方同士を掛けたもの)≧(小さい方同士を掛けたもの)
となるので，
(ab+cd)(ac+bd)≧(2√(abcd))^2=4abcd
となります。

20631．Re: 計算が合いません
名前：教授    日付：4月6日(水) 23時52分
相加相乗のやつは、等号が成立するかどうかを述べたほうがいいですね。

20632．Re: 計算が合いません
名前：Rattle    日付：4月6日(水) 23時52分
相加相乗のやつは、等号が成立するかどうかを述べたほうがいいですね。

20610．集合  
名前：ｴﾄﾞ    日付：4月4日(月) 10時56分
下のような問題が分かりません。教えていただけないでしょうか？

A＝｛x｜x^2－2x－3＜0｝,B＝｛x｜x^2－a^2＜0,aは負でない定数｝とする。
(1)a＝2のとき、A∩Bを求めよ。
(2)A∪B＝Aとなるaの値の範囲を求めよ。


20611．御免なさい。学年書くの忘れてました・・・
名前：ｴﾄﾞ    日付：4月4日(月) 11時18分
学年は、高校１年です。

20615．Re: 集合
名前：Ｂｏｂ    日付：4月4日(月) 14時30分
（１）Ａはｘ＾２－２ｘ－３＜０を解こう。
　　　（ｘ－３）（ｘ＋１）＜０
　　　　－１＜ｘ＜３　・・・・・　あ
ａ＝２より
　Ｂは　ｘ＾２－４＜０
　　　　（ｘ＋２）（ｘ－２）＜０
　　　　　－２＜ｘ＜２・・・・・い

あ　と　いの共通部分A∩Bは数直線から
　　　　－1＜ｘ＜２

20609．図形  
名前：miffy〔高校１年〕    日付：4月4日(月) 10時6分
放物線y＝x^2・・①と直線y＝x＋m・・②がある。
(1)①と②が2つの共有点をもつようなmの値の範囲を求めよ。
(2)①と②の2つの交点を結ぶ線分の中点Pの軌跡を求めよ。

(1)はなんとか解けたのですが、(2)が分かりません。
どうか詳しく教えてください。


20618．Re: 図形
名前：KINO    日付：4月4日(月) 20時30分
(1)を解くときに，x2-x+m=0 という2次方程式を考えたと思います。
判別式が正になる条件から，m の範囲が m>-1/4 となったかと思います。

さて，交点がふたつあったとし，それらの x 座標を a, b などとおくと，交点の座標は (a,a+m), (b,b+m) と表せます。
そうすると中点の座標を (p,q) とおくと，
(中点の x 座標)=(ふたつの点の x 座標を足して半分にしたもの)=(a+b)/2,
(中点の y 座標)=(ふたつの点の y 座標を足して半分にしたもの)=(a+b)/2+m
より p=(a+b)/2, q=(a+b)/2+m となります。
ところで，a, b は2次方程式 x2-x+m=0 の解でしたので，
解と係数の関係より a+b=1 であることがわかります。
よって，p=1/2, q=1/2+m となります。
つまり，中点の x 座標は 1/2 のままで変わりません。m が変わると変化するのは y 座標だけですが，m>-1/4 より
q=m+1/2>1/2-1/4=1/4 となって，y 座標は 1/4 より大きいどんな値も取ります。
ということで，求める軌跡は，「直線 x=1/2 のうち，点 (1/2,1/4) よりも上にある部分（半直線）」ということになります。

20608．図形と方程式  
名前：ｷﾗ〔中３〕    日付：4月4日(月) 10時2分
問題
x^2＋y^2－4x－2y＜0とx＋y＜4を同時に満たす整数x,yの値の組をすべて求めよ。

↑の問題が分かりません。教えてください。宜しくお願いします！


20614．Re: 図形と方程式
名前：KINO    日付：4月4日(月) 14時6分
整数問題はしらみつぶしに探して解くこともよくあります。
まず
x^2＋y^2－4x－2y=x^2-4x+y^2-2y=(x-2)^2+(y-1)^2-5<0
より，(x-2)^2+(y-1)^2<(√5)^2 で，中心 (2,1), 半径√5 の円の内部を表します。そのような円の内部にある，x 座標，y 座標がともに整数であるような点（格子点と呼ばれたりします）を全て見つけます。
√5<3 なので，|x-2|≧3 すなわち x≦-1 または 5≦x の範囲には条件に見合った点はありません。そのため 0≦x≦4 の範囲で探します。
x=0 のとき，(y-1)^2<1 をみたす整数 y は y=1 のみ。
x=1 のとき，(y-1)^2<4 をみたす整数 y は y=0,1,2 のみ。
x=2 のとき，(y-1)^2<5 をみたす整数 y は y=-1, 0,1,2,3 のみ。
x=3 のとき，(y-1)^2<4 をみたす整数 y は y=0,1,2 のみ。
x=4 のとき，(y-1)^2<1 をみたす整数 y は y=1 のみ。
あとはこれら全ての場合のうちで x+y<4 をみたしているものを拾い出してくればよいです。
x=2 のときの y=2, 3, そして x=3 のときの y=1,2, x=4 のときの y=1 の場合を除いた残りが答えになります。ちゃんと書くと
(x,y)=(0,1), (1,0), (1,1), (1,2), (2,-1), (2,0), (2,1), (3,0)
となります。

20602．軌跡  
名前：IGA(高２）    日付：4月3日(日) 22時1分
２点（－６，０）、B（２，０）に対して、AP:BP=1:mを満たす点Pの軌跡の方程式がx^2+y^2+14x+n=0であるとき、正の数m,nを求めよ。

解説によると
ちょっと省略しますが
点P(x,y)とする。
m^2AP^2=BP^2
(m^2-1)x^2+(m^2-1)y^2+(12m^2+4)x+36m^2-=0
これが
x^2+y^2+14x+n=0
と一致するから
12m^2+4=14(m^2-1)
36m^2-4=n(m^2-1)

とあったのですが何故12m^2+4＝14としないのでしょうか。
お願いします。

あと軌跡の類の問題は答えの方程式が出てきたら逆をたどり条件式にたどりつく　と示さないと減点対象になるのでしょうか。
お願いします。


20603．Re: 軌跡
名前：KINO    日付：4月4日(月) 3時15分
IGAさんのご質問は，
> (m^2-1)x^2+(m^2-1)y^2+(12m^2+4)x+36m^2-=0 --- (1)
と
> x^2+y^2+14x+n=0 --- (2)
の x の係数を比較して，12m^2+4=14 とおくのはいけないのかどうか，
ということだと思います。

x2 や y2 などの係数を同じように比較すると
m2-1=1 が出てきます。これは解けてしまって m>0 より m=√2 です。しかしこれは 12m2+4=14 をみたしません。

実は，(2) の代わりに (2) の両辺を 2 倍した式
2x^2+2y^2+28x+2n=0
だって成り立っているわけで，これと (1) を比較してもよいならば
28=12m2+4，2=m2-1 が出てきます。
それどころか，(2) の代わりに 0 と異なる勝手な実数 k を (2) に掛けて得られる式
kx^2+ky^2+14kx+kn=0
と比較したっていいことになります。
つまり，すべての実数 k(≠0) についてこの比較をとるという行為をしなければなりません。(この方法で考えてもできなくはないです。このスレの最後に書きます。)

このようにちょっと困ったことがおきますので，(1) と (2) の式に現れる項の係数で，そろえられるものがあったらそろえておきます。
解答では，(2) の両辺に m2-1 をかけて，x2 と y2 の係数を (1) のと等しくなるように細工しておいてから，その計算で出てきた式を (2) の代わりにして (1) と比較して
> 12m^2+4=14(m^2-1)
> 36m^2-4=n(m^2-1)
を得ているわけです。


ちなみに，(2)にkをかけた式と(1)を比較して得られる関係式
k=m2-1,
14k=12m2+4,
kn=36m2
において，第一式を第二式と第三式に代入すれば，解答と同じ式が出てきます。

20604．Re: 軌跡
名前：KINO    日付：4月4日(月) 3時15分

> あと軌跡の類の問題は答えの方程式が出てきたら逆をたどり条件式にたどりつく　と示さないと減点対象になるのでしょうか。

書いておいた方が無難でしょうね。
軌跡の問題は，ある条件をみたす点の集合がどんなものか，わかりやすく示せ，ということです。
こんな問題を考えて見ましょう。
「t を実数とするとき，x=2t/(1+t^2). y=(1-t2)/(1+t2) とおく。t がすべての実数を動くとき，(x,y) はどのような図形を描くか？」
ちょっと計算すると，x2+y2=1 が成り立つことがわかります。それで「答えは原点中心の半径1の円周」かというと，これでは正解とは認めてもらえません。

求めなければならない軌跡，つまり点の集合をA, 原点中心の半径1の円周上の点の集合をBとおくと，上の議論では A が B に含まれることを示しただけで，A と B が一致しているかどうかはわかりません。それなのに，集合 A は集合 B である，と答えてしまっては早合点です。
そこで，集合 B が本当に集合 A に等しいかを反省しなくてはなりません。
この行為がまさにIGAさんが言っておられる

答えの方程式が出てきたら逆をたどり条件式にたどりつくと示すということに他なりません。

さてここで挙げた例では，実は答えの集合 A は集合 B から点 (0,-1) を除いた集合に一致することが示せます。ということで，実際に A≠B でした。

こういう問題の時には逆をたどるチェックが必要ですが，条件の変形が常に逆向きにたどれるような次のような議論の時は不要です。
「xy=0 をみたすような xy 平面の点 (x,y) の領域を求めよ。」
よく知られているように「xy=0」は「x=0 または y=0」と同値な条件ですので，「求める領域は直線 x=0 と直線 y=0 をあわせた集合」と答えるだけで十分で，実際にこの集合に属する点が「xy=0」をみたすかどうかはわざわざ確認しなくても減点されることはないでしょう。

20643．Re: 軌跡
名前：IGA(高２）    日付：4月9日(土) 15時48分
遅れてすいません。
ありがとうございました。

20588．二項定理の性質  
名前：IGA(高１）    日付：4月3日(日) 15時51分
次の等式が成り立つことを証明せよ。

nCr=(n-1)Cr+(n-1)C(r-1)

解説によると
異なるｎ個のものから、ｒ個の組をつくる場合の数は
nCr通り
次に、ｎ個の中の特定のものaに着目して考える。
ｒ個の組のうち、aを含まない組の数は、aを除く(n-1)個のものからr個の組をつくる場合の数であるから
(n-1)Cr通り
aを含む組の数は、aを除く(n-1)個のものからaを除く(r-1)個の組をつくる場合の数であるから
(n-1)C(r-1)
これらの和がr個の組の数と一致するから
nCr=(n-1)Cr+(n-1)C(r-1)

とありました。
全く理解できません。

aを含む組の数は、aを除く(n-1)個のものからaを除く(r-1)個の組をつくる場合の数であるから
(n-1)C(r-1)
が理解できません。
なにをいっているのかさっぱり・・・。

＞これらの和がr個の組の数と一致するから
なぜ一致するのでしょうか。
教えてください。
お願いします。


20594．Re: 二項定理の性質
名前：のぼりん    日付：4月3日(日) 16時45分
IGA（高１） さん、こんにちは。IGA（高２） さんとお呼びした方が良いでしょうか？

何でもいいから、n 個の異なるものを持ってきます。それに、1, 2, …, n と番号を振ります。番号を振ったことにより、これらの異なるものを 1, 2, …, n という番号で識別することにします。

(1) これら n 個の番号の中から、r 個だけ取り出す仕方は、nCr 通りです。

(2) 一方、これら n 個の番号のうち、n 番に着目します。n 番を含まず r 個取り出す仕方は、1, 2, …, n–1 から r 個だけ取り出す仕方と同じですから、n–1Cr 通りです。他方、n 番を含んで r 個取り出す仕方は、1, 2, …, n–1 から r–1 個だけ取り出す仕方と同じですから、n–1Cr–1 通りです。

(2) で計算した両方を合わせると、確かに (1) の組み合わせに等しくなっている筈です。よって、
　　nCr = n–1Cr + n–1Cr–1
です。実際、計算してみると、
　　nCr = n(n–1)!/{r!(n–r)!}
　　= {(n–r)+r}(n–1)!/{r!(n–r)!}
　　= (n–1)!/{r!(n–1–r)!} + (n–1)!/{(r–1)!(n–r)!}
　　= n–1Cr + n–1Cr–1
と、両辺が等しいことが示せます。

20599．Re: 二項定理の性質
名前：IGA(高２）    日付：4月3日(日) 18時13分
なるほど。
理解できました。
ありがとうございました。

20587．領域を図示する問題  
名前：デザーター    日付：4月3日(日) 15時34分
こんにちは。

（１）ｙ＞√(9-x^2)の表す領域を図示せよ。
（２）ｙ＜√(9-x^2)の表す領域を図示せよ。

という問題はどこを図示すればよいのか教えて下さい。
円の上半分というのは分かるのですが、これを図示するとなると、
どう塗り絵していいか分かりません。はみ出すべきかはみ出さないべきか、それが問題。。。。

お願いいたします。


20595．Re: 領域を図示する問題
名前：X    日付：4月3日(日) 16時52分
(1)
デザーターさんの言う通り、問題の不等式
円x^2+y^2=9
の上半分の部分より上の領域（境界含まず）
となります・・・、といいたいところですが、条件が一つ抜けています。
問題の不等式
y>√(9-x^2)
において√の中は当然負であってはいけないので
9-x^2≧0　①
∴|x|≦3
従って求める領域は
円x^2+y^2=9のy≧0の部分,直線x=3,x=-3で取り囲まれた領域の内部
(境界はx^2+y^2=9の部分以外は含む)
となります。

20597．Re: 領域を図示する問題
名前：X    日付：4月3日(日) 16時55分
(2)
考え方は(1)と同じです。（領域が問題の円の上半分の下側になるだけ）
但し、しつこいですが不等式の√の中が負にならない条件
9-x^2≧0
に注意しましょう。

20598．Re: 領域を図示する問題
名前：X    日付：4月3日(日) 16時59分
ごめんなさい。(1)についての回答を訂正します。
誤：
従って求める領域は
円x^2+y^2=9のy≧0の部分,直線x=3,x=-3で取り囲まれた領域の内部
(境界はx^2+y^2=9の部分以外は含む)
となります。
正：
従って求める領域は
円x^2+y^2=9のy≧0の部分,直線x=3,x=-3で取り囲まれた領域の内部
で原点を含まない側の部分
(境界はx^2+y^2=9の部分以外は含む)
となります。

20605．Re: 領域を図示する問題
名前：デザーター    日付：4月4日(月) 4時32分
お蔭様で理解することが出来ました。
教えていただきまして、どうもありがとうございました。

20582．教えて下さい  
名前：しまたに    日付：4月2日(土) 20時34分
次の問題はどうやって解くのでしょうか

次の６つの条件をみたすx,y,zのうち、ｚを最小にするx,y,zの値を求めよ。
a>2,(1/x)+(1/y)=1,x>1,1<z<2,xz≧a,yz≧2


20583．Re: 教えて下さい
名前：のぼりん    日付：4月2日(土) 21時7分

しまたにさん、こんばんは。
条件 1＜z＜2 から、z の最小値があるとすれば、それは 1 より大きな数です。
ここで、0＜ε＜1 を満たす ε を任意に取ります。
x=y=2、z=1+ε、a=2+2ε とおくと、与えられた条件を全て満たします。
ε は幾らでも小さく取れますから、z の最小値は存在しません。

20584．Re: 教えて下さい
名前：らすかる    日付：4月3日(日) 0時14分
aは定数では？
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20585．Re: 教えて下さい
名前：のぼりん    日付：4月3日(日) 0時42分
a は定数ですか！
そうであれば、X=1/x、Y=1/y と変数変換すると、条件は、定数 a＞2 に対し、
　　X+Y=1、0＜X＜1＜z＜2、z≧aX、z≧2Y
となります。第一式と最終式から Y を消去すると、z≧2–2X で、これを Xz 平面に作図すると、z の最小値は、aX=2–2X つまり X=2/(a+2) のとき取り、z=2a/(a+2)=2–4/(a+2) です。x、y を逆算すると、x=(a/2)+1、Y=1–2/(a+2)=a/(a+2)、y=(2/a)+1 です。

20578．こんにちは  
名前：けいた    日付：4月2日(土) 17時17分
今年中三になるものです。さっそく質問お願いします。
（１）空間の点（１０，０，０）を中心とする半径９の球面をSとし、点（０，１０，０）を中心とする半径８の球面をKとする。S,ｋ接し原点を通る長さ１の方向ベクトル（a、ｂ、ｃ）、（ｃ≧０）をすべて求めよ。
（２）点ｐ（α、β）がα^2+β^2+αβ＜１を満たして動くとき、
点Q（α+β、αβ）の動く範囲を図示せよ。
友達に問題を聞いて答えがありません。２つもあるんですがどうぞよろしくお願いします。


20579．Re: こんにちは
名前：X    日付：4月2日(土) 19時0分
友達は高校生？？
(2)
α+β=x,αβ=y　①
とおくと、解と係数の関係から、α,βはtの２次方程式
t^2-xt+y=0　②
の２つの解であるから、α,βが実数であることを用いると、①の解の判別式をDとしたとき
D=x^2-4y≧0　③
次に与えられた不等式から
(α+β)^2-αβ<1
であるから①を代入して
x^2-y<1　④
以上③④より求める領域は
y≦(1/4)x^2,y>x^2-1
の共通領域。

20580．Re: こんにちは
名前：けいた    日付：4月2日(土) 19時19分
いえ、中学生です。わかりやす解答ありがとうございます。解と係数の関係は思いつかなかったです。

20581．Re: こんにちは
名前：けいた    日付：4月2日(土) 19時29分
あ、すいませんｘさん。（３）の判別式なんですが不等号にイコールじゃないとだめなんですか？

20589．Re: こんにちは
名前：X    日付：4月3日(日) 16時28分
イコールは必要ですよ。

20590．Re: こんにちは
名前：X    日付：4月3日(日) 16時28分
(1)
「原点を通る長さ１の方向ベクトル」を
「原点を通る直線の長さ１の方向ベクトル」
とみて解きます。
条件から問題の直線と円S,Kの接点をP,Q,
中心をA,Bと置き、P,Qからx軸,y軸に下ろした垂線の足をC,D
と置きます。
すると
↑OP=(OPcos∠POC,OP(sin∠POC)cosθ,OP(sin∠POC)sinθ)
(但し0≦θ<2π)
と表され、
OP=√(OA^2-AP^2)=√(10^2-9^2)=√19
cos∠POC=OP/OA=√19/10
sin∠POC=AP/OA=9/10
∴↑OP=(√19/10)(√19,9cosθ,9sinθ)　①
同様に
↑OQ=(OQ(sin∠QOD)cosφ,OQcos∠QOD,OQ(sin∠QOD)sinφ)
(但し0≦φ<2π)
と表され、
OQ=√(OB^2-BQ^2)=√(10^2-8^2)=6
cos∠QOD=OQ/OB=3/5
sin∠QOD=BQ/OB=4/5
∴↑OQ=(6/5)(4cosφ,3,4sinφ)　②
ここで問題の接線が存在するためには
↑OQ=k↑OP(但しk>0)
でなければならないので、①②の各成分を比較して
19k/10=(24/5)cosφ　③
(9k√19/10)cosθ=18/5　④
(9k√19/10)sinθ=(24/5)sinφ　⑤
③^2+④^2+⑤^2より
{(19/10)^2+19(9/10)^2}k^2=(24/5)^2+(18/5)^2
∴k^2=36/19
∴k=6/√19　⑥
これを③④に代入し
cosφ=√19/8,cosθ=2/3
又⑤⑥よりsinθ、sinφの符号は同じになるから
sinφ=±√45/8,sinθ=±√5/3(複号同順)
従って↑OP=(√19/10)(√19,6,±3√5)
∴(a,b,c)=±↑OP/OP=±(1/10)(√19,6,±3√5)(複号任意)
となるが、c≧0ゆえ
(a,b,c)=(1/10)(±√19,±6,3√5)(複号同順)

20591．Re: こんにちは
名前：X    日付：4月3日(日) 16時31分
・・・と解答を書いてみましたが、問題の内容はどう見ても高校数学の理解が無いと解けません。
けいたさんはこれをクイズ感覚で見られているのでしょうか？？

20596．Re: こんにちは
名前：けいた    日付：4月3日(日) 16時52分
ありがとうございました！大変よく分かりました！中学生だけど数学は高校の復習をしています。空間ベクトルが苦手なもので・・・。また質問します！

20573．連立方程式  
名前：デザーター    日付：4月2日(土) 10時8分
こんにちは。

連立方程式
a^2+b^2=5　…（１）
a+3b=5　…（２）

の解き方についてなのですが、
（２）より、a=5-3bとして、これを（１）に代入すると、
(5-3b)^2 +b^2 =5 という式が出てきて、これを解くと、
b=1,2と出ます。
このｂ＝１とｂ＝２を

（２）に代入すると、
b=1のときa=2, b=2のときa=-1と出るのですが、

（１）に代入すると、
b=1のときa=±２　　　b=2のときa=±１と出るのですが…

どう解けばよいのでしょうか？
（１）に代入してはいけないのでしょうか？
もし、（１）に代入してはいけないのならば、代入してはいけない理由を教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いいたします。


20574．Re: 連立方程式
名前：X    日付：4月2日(土) 10時44分
（１）に代入してはいけないのでありません。
（１）に代入した場合は、その解が正しいかどうか確かめる必要があるのです。

(2)より、ある１つのaに対して、bは１つしか対応していないことがわかります。
従って(1)より同じaの値に対し、異なるbの値が２つ以上求められた場合は、その内の１つが解で残りは解ではないということになります。
ゆえに(1)に代入した場合は得られた解のいずれが正しいのか確かめるために(2)に代入する必要があるのです。

決して（１）に代入してはいけないのではなく、計算が回りくどくなるので(2)に代入して計算するということを頭に入れておいて下さい。

20575．Re: 連立方程式
名前：デザーター    日付：4月2日(土) 11時2分
こんなこと初めて知りました・・・
今まで知らなかった・・・　　　　　＿|￣|○
どうもありがとうございました。

20568．不等式の領域  
名前：デザーター    日付：4月2日(土) 8時0分
こんにちは。

実数ｘ、ｙについて、
x^2+y^2≦１ならばｘ＋ｙ≦√２
が成立することを証明せよ。

教えて下さい。お願いします。


20569．Re: 不等式の領域
名前：豆    日付：4月2日(土) 9時27分
いろんなやり方が出来そうですが、
(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)≦2
(x+y)^2≦2-(x-y)^2≦2　
∴x+y≦√2

20570．Re: 不等式の領域
名前：デザーター    日付：4月2日(土) 9時58分
ありがとうございます。

一行目
(x+y)^2+(x-y)^2≦2(x^2+y^2)≦2
でしょうか？不等号が抜けましたか？？

あと、(x+y)^2≦x^2+y^2 と(x-y)^2≦x^2+y^2という条件を使ったのでしょうか？よく分からないのですが、この条件もなぜ成り立つのでしょうか？？

20571．Re: 不等式の領域
名前：デザーター    日付：4月2日(土) 10時2分
すみません…あと、
x+y=kと置くやり方だとどうやるのでしょうか…？
判別式≧０とか-√２≦ｋ≦√２　等とやるそうなのですが、
よくわからないので　これも教えていただけないでしょうか…

20577．横レス
名前：風あざみ    日付：4月2日(土) 12時21分


(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
ですから
(x+y)^2+(x-y)^2=(x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2)
同類項をまとめると2xyは消えて
2(x^2+y^2)となります。
よって
(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)
となるのです。
したがって(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)≦2
よって(x+y)^2+(x-y)^2≦2･･･※
となるのです。

＞(x+y)^2≦x^2+y^2 と(x-y)^2≦x^2+y^2という条件を使ったのでしょうか。

こんな式使ってませんよ。
使っているのは(x-y)^2≧0という式です。
なぜなら、(実数)^2≧0です。

よって※から
(x+y)^2≦2-(x-y)^2≦2がいえます。
(　(x-y)^2≧0の両辺に-1をかけると-(x-y)^2≦0となるから！)

したがってx+y≦2となるのです。

20586．Re: 不等式の領域
名前：デザーター    日付：4月3日(日) 10時8分
ありがとうございました。
お蔭様で理解することが出来ました。
どうもありがとうございました。

あと、
x+y=kと置くやり方だとどうやるのでしょうか…？
判別式≧０とか-√２≦ｋ≦√２　等とやるそうなのですが、
よくわからないので　できれば教えていただけないでしょうか…

20601．Re: 不等式の領域
名前：豆    日付：4月3日(日) 19時16分
1st　レスのあと出かけてしまいました。

＞花あざみさん、フォローありがとうございました。

＞デザーターさん
＞x+y=kと置くやり方だとどうやるのでしょうか…？
判別式≧０とか-√２≦ｋ≦√２　等とやるそうなのですが、

方針があるのなら、どこまでできて、どこで躓いているのか教えてもらいますか？
そうすれば、アドバイスもしやすいと思います。
場合分けがあると思うので、余りお勧めの方法ではないと思いますが。

20606．Re: 不等式の領域
名前：デザーター    日付：4月4日(月) 4時35分
う～ん・・・
以上のようなヒントがあるだけでして、まったく難しくて手がつかないじょうたいなんです・・・すみません・・・

20607．Re: 不等式の領域
名前：豆    日付：4月4日(月) 9時45分
x+y=kとおくと，
x^2+(k-x)^2≦1
f(x)=2x^2-2kx+k^2-1≦0　　(*)
x^2≦1-y^2≦1より-1≦x≦1なので，
この範囲で(*)が成立するxが存在する必要がある．
y=f(x)は下に凸の放物線なので，
x軸と交点を持つことを前提に，以下のいずれかが必要
(1)軸のx座標が-1≦x≦1であること
(2)軸のx座標がx＜-1のときf(-1)≦0
(3)軸のx座標がx＞1のときf(1)≦0

f(x)=0に対してD/4=k^2-2(k^2-1)≧0より-√2≦k≦√2
(1)-1≦k/2≦1より　　-2≦k≦2
(2)k＜-2のとき，-√2≦kより不適
(3)k＞2のとき，k≦√2より不適．

以上より-√2≦k≦√2

（ちょっと回りくどい表現をしましたが，交われば軸のx座標は
-1≦x≦1　となる，ということで良いと思います）

20612．こんな風にも
名前：占星術師    日付：4月4日(月) 12時11分
＞x+y=kと置くやり方
領域x^2+y^2≦1は原点中心で半径1の円周と内部。この領域を通る直線x+y-k=0と円の中心(0,0)との距離は半径1以下なので、「点と直線の距離」公式を用いて
|-k|/√(1^2+1^2)≦1　ゆえに　|k|≦√2

20613．Re: 不等式の領域
名前：デザーター    日付：4月4日(月) 12時48分
わかりました。
どうもありがとうございました。

20564．(untitled)  
名前：サクラ    日付：4月1日(金) 12時26分
まんじゅうと箱がいくつかずつある。まんじゅうを８個ずつ箱に詰めると２１個残り、１２個ずつ箱に詰めると最後の１箱は空にはならないが５個未満になる。

(1)箱の数をxとして、12個ずつ詰めたときの最後の箱に入っているまんじゅうの個数をxの式で表せ。

(2)まんじゅうの個数を求めよ。

8x+21という方程式を立ててからどうするのか、解答を見てもわかりません(>_<)教えてください。


20565．Re: (untitled)
名前：豆    日付：4月1日(金) 13時31分
8x+21はまんじゅうの個数ですね．
なお，これは数式ですが，方程式ではありません．
方程式は　=　で結ばれていないといけません．

さて，求めたい最後の箱に入っているまんじゅうの個数をyとすると，
まんじゅうは12個ずつ(x-1)箱に入れて，最後にy個ですから，
8x+21=12(x-1)+y　となります．
これは立派な方程式です．求めたいのはyですから，
y=8x+21-12(x-1)=-4x+33　となります．

＞最後の１箱は空にはならないが５個未満になる。
これから，0＜-4x+33＜5　となります．
(1≦-4x+33≦4でもいいですね)
0＜-4x+33より　　4x＜33　　∴x＜33/4=8.25
-4x+33＜5より　28＜4x　　∴7＜x
つまり，7＜x＜8.25
xは整数ですから　x=8

20566．(untitled)
名前：サクラ    日付：4月1日(金) 14時47分
よくわかりました!!
ありがとうございましたm(__)m

20559．はじめまして.  
名前：サクラ    日付：4月1日(金) 11時30分
・(a+b+c+1)(a+1)+bc

・(a+b)c^2+(b+c)a^2+(c+a)b^2+2abc

を因数分解せよという問題で、どこから手をつけていいのかさっぱりわからないので、教えてください。お願いしますm(__)m


20560．Re: はじめまして.
名前：ヨッシー    日付：4月1日(金) 11時38分
(a+b+c+1)(a+1)+bc＝a^2+ab+ac+2a+b+c+1+bc
　＝a^2 + (b+c+2)a + (bc+b+c+1)
　＝a^2 + {(b+1)+(c+1)}a + (b+1)(c+1)
　
http://yosshy.sansu.org/

20562．Re: はじめまして.
名前：kei    日付：4月1日(金) 11時46分
(1)
展開して
a2+a+ba+b+ca+c+a+1+bc
次数の低いb(cでもいい)についてまとめてみると、
b(a+1+c)+a2+a+ca+c+a+1
(a+c+1)でまとめられそうなので、もうすこし整理してみる。
(a+c+1)b+a(a+c+1)+(a+c+1)
(a+c+1)でまとめて、
(a+c+1)(b+a+1)

(2)
aについてのまとめて、aの二次式にしてみる(いきなり全部展開する必要はない)
(b+c)a2+(c2+b2+2bc)a+bc2+cb2
部分的に因数分解できるところを因数分解してみる。
(b+c)a2+(b+c)2a+(b+c)bc
(b+c)でくくって
(b+c){a2+(b+c)a+bc}
まだ因数分解できるので・・・
(b+c)(a+b)(a+c)

20563．(untitled)
名前：サクラ☆高２    日付：4月1日(金) 11時59分
わかりやすい解答をありがとうございました!!
なんとなくコツがつかめた気がします^^

20558．合同式について  
名前：秀太    日付：4月1日(金) 9時33分
a,b,cは全て正の整数のとき
a^2+b^2+c^2≡1(mod3)であれば、
　　　　a^2≡1(mod3),b^2≡0(mod3),c^2≡0(mod3)
または　a^2≡0(mod3),b^2≡1(mod3),c^2≡0(mod3)
または　a^2≡0(mod3),b^2≡0(mod3),c^2≡1(mod3)
と考えてよいのでしょうか。（質問１）
またこのことはa^2+b^2+c^2≡1(mod3)がa^2+b^2+c^2≡1(modN)となっても同じことが言えるのでしょうか。（質問２）


20561．Re: 合同式について
名前：ヨッシー    日付：4月1日(金) 11時45分
(質問１)
結果としてはＯＫですが、整数ａに対して　ａ^2≡2 (mod 3) になることが
ないことを、添えておいた方が良いでしょう。

(質問２)
「同じこと」とはどういうことを言うのかわかりませんが、たとえば、
　a^2+b^2+c^2≡1 (mod 5) となるのは、
　a^2≡1、b^2≡0、c^2≡0 (mod 5)
　a^2≡0、b^2≡1、c^2≡0 (mod 5)
　a^2≡0、b^2≡0、c^2≡1 (mod 5)
　a^2≡4、b^2≡1、c^2≡1 (mod 5)
　a^2≡1、b^2≡4、c^2≡1 (mod 5)
　a^2≡1、b^2≡1、c^2≡4 (mod 5)
の場合があります。
　
http://yosshy.sansu.org/

20576．Re: 合同式について
名前：秀太    日付：4月2日(土) 11時46分
ありがとうございます。
この回答より、少し合同式についての考え方は進みました。
実は、
「a,b,c,dは正の整数とし、a^2+b^2+c^2=d^2とするとき、
　　ｄが３の倍数でない　⇒　a,b,cのうち２つが３の倍数」
　を証明するときに、合同式を活用してみたのです。
証明
「ｄ＝３ｋ＋１　または　ｄ＝３ｋ＋　２とおくと　
　d^2＝9k^2＋6k＋１　または　d^2＝9k^2＋12k＋４　となるので
ｄが３の倍数でないとき　d^2≡１(mod3)　が成り立つ
したがって
a^2+b^2+c^2≡1(mod3)となるので、
　　　　a^2≡1(mod3),b^2≡0(mod3),c^2≡0(mod3)
または　a^2≡0(mod3),b^2≡1(mod3),c^2≡0(mod3)
または　a^2≡0(mod3),b^2≡0(mod3),c^2≡1(mod3)
となり　a^2、b^2、c^2のうち２つは３の倍数となる
a,b,cは正の整数なのでa,b,cも３の倍数となる」
いくつか穴がありそうなんですが、どうでしょうか。

20554．漸化式  
名前：WS.＠新高３    日付：4月1日(金) 0時53分
いつもお世話になっています。漸化式a1=2
an+1=2an+1の解法を教えてください。


20555．Re: 漸化式
名前：WS.＠新高３    日付：4月1日(金) 0時54分
↑間違えました。
an+1=2an+n

です、お願いしますm(- -)m

20556．Re: 漸化式
名前：ヨッシー    日付：4月1日(金) 1時7分
　an+1=2an+n　が
　an+1＋α(n+1)＋β＝2(an+αn＋β)
と置けたと考えます。展開して係数比較すると、
　α＝１、β＝１
となり、
　an+1＋(n+1)＋１＝2(an+n＋１)
と書け、ｂn＝ａn＋ｎ＋１　とおくと、
ｂ1＝ａ1＋１＋１＝４
　ｂn+1＝２ｂn
より、ｂn は、初項４、公比２の等比数列なので、
　ｂn＝２・２n＝２n+1
よって、
　ａn＝ｂn－ｎ－１
　　　　　＝２n+1－ｎ－１
　
http://yosshy.sansu.org/

20557．Re: 漸化式
名前：WS.＠新高３    日付：4月1日(金) 1時32分
ありがとうございますm(- -)m

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