2004年06月 の投稿ログ


15545．(untitled)  
名前：さゆり    日付：6月30日(水) 18時56分
初めまして。前回の東大の大学入試過去問題、数学Ｂ（理科共通）の第４問（2）から、答えをみてもわかりません。
ご指導のほどよろしくお願い致します。

【問題】

関数ｆn（x）（n=1,2,3…）を次のように定める。

　　　ｆ1（x）＝x＾3－3x
　　　ｆ2（x）＝｛ｆ1（x）｝＾3－3ｆ1（x）
　　　ｆ3（x）＝｛ｆ2（x）｝＾3－3ｆ2（x）

以下同様に、n≧3に対して関数ｆn（x）が定まったならば、
関数ｆn+1（x）を
　　　
　　　　　　　　　ｆn+1（x）＝｛ｆn（x）｝＾3－3ｆn（x）

で定める。
このとき、以下の問いに答えよ。

（1）ａを実数とする。ｆ1（x）＝ａをみたす実数xの個数を求めよ。

（2）ａを実数とする。ｆ2（x）＝ａをみたす実数xの個数を求めよ。

（3）nを3以上の自然数とする。ｆn（x）＝０をみたす実数xの個数は
　　3＾nであることを示せ。


15547．Re: (untitled)
名前：くぼ    日付：6月30日(水) 23時36分
2004年前期ですよね．
駿台・代ゼミ・河井塾が解答（速報）を
ホームページで出してるんだから，３つとも見てみれば？

15543．複素数平面  
名前：小松　さき    日付：6月30日(水) 16時23分
複素数zについて、z/(z-1)が純虚数であるようにzが変化するとき、zがえがく図形を求めて、複素数平面上に図示しなさい。
どなたか御教授のほどお願いいたします。


15551．Re: 複素数平面
名前：えいぶ    日付：7月1日(木) 1時32分
z=x+iyとおいて分母の虚数を実数化しましょう。すると
(x+iy)/(x+iy-1)
=(x+iy)(x-iy-1)/(x+iy-1)(x-iy-1)
=(x^2+y^2-x-iy)/(x^2-2x+1+y^2)
この実部(x^2+y^2-x)/(x^2-2x+1+y^2)=0となればよいので…

分母が0になるときに注意してください。

15552．Re: 複素数平面
名前：小松　さき    日付：7月1日(木) 6時58分
ありがとうございます。あの、計算しているのですが、上手に行うことができずに困っています。分母がちょっと複雑なので申し訳ありませんが、計算なども教えてくださいますか？何回もすみません。

15553．Re: 複素数平面
名前：豆    日付：7月1日(木) 10時23分
１．先ずはえいぶさんが示された方法が分かりやすいと思うのでしっかりマスターしてください．
＞　(x+iy)/(x+iy-1)
＞　=(x+iy)(x-iy-1)/(x+iy-1)(x-iy-1)
実数化する為分母の共役複素数x-iy-1を分母子に掛けた
＞　=(x^2+y^2-x-iy)/(x^2-2x+1+y^2)
分母＝((x-1)+iy)((x-1)-iy)=(x-1)^2-(iy)^2
=x^2-2x+1-(-y^2)
＞　この実部(x^2+y^2-x)/(x^2-2x+1+y^2)=0となればよいので…
分子の実部=x^2-x+y^2=0
(x-1/2)^2+y^2=(1/2)^2　　この変形は大丈夫かな？
＞　分母が0になるときに注意してください。
分母=(x-1)^2+y^2=0　になるのは　x=1,y=0　のとき

２．置き換えずにもできます．慣れればこちらの方が計算は楽です．
wが純虚数←→wをπ/2回転(iを掛ける)と実数
←→その数と共役複素数が等しい←→iw=(iw)~=-iw~
←→w=-w~←→w+w~=0
随分ややこしく書きましたが，wが純虚数ならw+w~=0は説明なしでOKと思います．
（そのことの証明じゃないので）
――――以下解答例――――――
z/(z-1)が純虚数なので，z/(z-1)+ z~/(z~-1)=0
分母を払って，整理すると，
zz~-z/2-z~/2=0
(z-1/2)(z~-1/2)=1/4
従い，zは1/2を中心とし半径1/2の円である，ただしz≠1

15539．ニュートン法  
名前：麻里    日付：6月30日(水) 6時53分
f(x)=x^2-5=0にニュートン法を適用して、初期値をx1=3として、x2,x3を求めるプロセスを記述せよ。
どなたかこの問題を教えてくださいますか？


15540．Re: ニュートン法
名前：ヨッシー    日付：6月30日(水) 10時11分
Size: 151 x 133, 1KB

まず、ニュートン法とはどういう手順かを理解しないといけませんが、
図において、曲線が　y=f(x) のグラフとします。
求めたいのは、グラフとｘ軸との交点ｘ（の近似値）です。

まず、初期値 x1 におけるグラフ上の点(x1, f(x1)) における接線とｘ軸との
交点を x2 とすると、x2 は x1 よりも x に近い値になります。
さらに、(x2, f(x2)) における接線により、x3 を求めると、もっと x に近付きます。
これを何回か繰り返して、xn がある程度 x に近付いたところで、操作をやめ、
その時の xn を解として採用します。

これが、ニュートン法の手順です。
また、xn が x に近付いたかどうかは、f(xn) が 10-8 未満になったとかで
判断します。
　
http://yosshy.sansu.org/


15527．三次方程式  
名前：太郎    日付：6月29日(火) 21時45分
三次方程式 ｘ3－２ｘ2＋５ｘ－ｋ（ｘ2－２ｘ＋５）＝０　　は虚数a,bおよび実数解ｒをもつ。（ただし、aの虚部は正とする）また、複素数平面上でa,b,rを表す点をそれぞれA,B,Cとする。
（１）複素数a,bを求めよ。
（２）a2を表す点をＤとする。Ｄ,A,Cが一直線上にあるとき、rの値を求めよ


（１）だけでも分かれば、教えてください。おねがいします。


15530．Re: 三次方程式
名前：tobira    日付：6月30日(水) 0時52分
ｘ^3－２ｘ^2＋５ｘ－ｋ(ｘ^2－２ｘ＋５)＝０
ｘ(ｘ^2－２ｘ＋５)－ｋ(ｘ^2－２ｘ＋５)＝０
(ｘーｋ)(ｘ^2－２ｘ＋５)＝０
とすればどうでしょうか。

15531．Re: 三次方程式
名前：太郎    日付：6月30日(水) 0時59分
こんな夜遅くに、本当にありがとうございました。

15524．アストロイド曲線について  
名前：芝　博史    日付：6月29日(火) 15時13分
初めまして。当方齢４０をこえてしまったおじさまです。
さて、壁に立て掛けた棒(長さa、巾b[=0])が、床の上を滑りながら
倒れる時に棒が作る包絡線は、下記の式で表わされます。

x^(2/3)＋ y^(2/3)＝ a^(2/3)

棒が、通路の角部を通過する際、この曲線に沿えば、最少の必要通路巾で
通過できます。すなわち、通路の角の座標(w1,w2)の点に対して、
下記の式が満足されれば、棒は通路を通ります。

w1^(2/3)＋ w2^(2/3)≧ a^(2/3)

ここまでは、須賀工業さんのホームページの解説で解ったのですが、
（参考：http://www.suga-kogyo.co.jp/techno/keisan.html#）
幅bがある場合はどう考えればいいのでしょうか？
須賀工業さんのホームページで計算したものを元に図を描いてみたら、
ちょっと違うような気がします。
利用用途は、例えば廊下の角を机等が曲がれるかと、
引越しの検討等に使えると思うのですが。


15542．Moving Sofa Constant
名前：F    日付：6月30日(水) 15時22分
ヨッシーさんこんにちは。
たぶん初めての書き込みになると思います。
よろしくお願いします。

> 利用用途は、例えば廊下の角を机等が曲がれるかと、
> 引越しの検討等に使えると思うのですが。

参考になるページを紹介します。
Moving Sofa Constant　と言うようです。
http://www.mathsoft.com/mathresources/constants/geometryconstant/article/0,,2025,00.html
http://www.mathcad.com/library/constants/sofa.htm
なお、日本語のページは見つかりませんでした。ご存知の方は、ご紹介ください。

15522．マルコフ連鎖  
名前：菅谷　亜美    日付：6月29日(火) 7時4分
Ｘn（n=0,1,2,・・・）が互いに独立で同じ分布に従う離散的な確率変数とする。
１ {Ｘn}はマルコフ連鎖になること示せ。
２ Ｓn=Σ[上はn,下はｋ＝０]Ｘkとすると{Ｓn}はマルコフ連鎖にな　　　　ることを示せ
すみませんが御指導お願いします。

15521．正弦と余弦  
名前：ジャンパー    日付：6月29日(火) 5時42分
正弦と余弦を少数にするにはどういう計算をすればいいんでしょうか？
どなたか分かる人教えて下さい！


15528．Re: 正弦と余弦
名前：c.e.s.    日付：6月29日(火) 23時4分
sin(x)=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!+...
cos(x)=1-(x^2)/2!+(x^4)/4!-(x^6)/6!+...
とやれば求まります(マクローリン展開)。ただし、xの単位はラジアンです。手っ取り早く求めたければ、Google(http://www.google.co.jp/)でsin(15degree)と検索してやるという手もあります。

15518．空間のベクトルの所の問題  
名前：両津　勘吉    日付：6月29日(火) 1時4分
こんばんは。
【問題１】球面(x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2=5^2と平面z=3が交わる部分は円である。その中心の座標と半径を求めよ。

【問題２】球面(x-4)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=5^2とyz平面が交わる部分は円である。その中心の座標と半径を求めよ。

……【問題１】では(x-2)^2+(y+3)^2=24,z=3としているのに、
【問題２】では(y+2)^2+(z-3)^2=3^2としているだけで、「ｘ＝０」とは書いてありません。

なぜでしょうか？

教えてください。よろしくお願いします。


15519．Re: 空間のベクトルの所の問題
名前：ast    日付：6月29日(火) 2時2分
＞「ｘ＝０」とは書いてありません。

おろかな質問です. なぜならば, きちんと "yz平面" と書いてある.

15526．Re: 空間のベクトルの所の問題
名前：両津　勘吉    日付：6月29日(火) 20時35分
なるほど！わかりました。
どうもありがとうございました。

15529．Re: 空間のベクトルの所の問題
名前：momono花    日付：6月29日(火) 23時36分
問題2は
(y+2)^2+(z-3)^2=3^2, x=0
と書かなくちゃいけないんじゃないのか？
って質問だと思いましたけど・・・

15532．Re: 空間のベクトルの所の問題
名前：両津　勘吉    日付：6月30日(水) 1時39分
あ！そうでした。
やっぱまだ分かりません。
momono花さんに指摘していただいた疑問です。
…どうしてでしょうか？
教えてください。よろしくお願いします。

15533．Re: 空間のベクトルの所の問題
名前：両津　勘吉    日付：6月30日(水) 1時50分
要するに
(y+2)^2+(z-3)^2=3^2
だけだと、yz平面上なのかxyz平面上なのかが分からないので
「ｘ＝０」と書くべきだと思うのですが、書いてないのです。
問題１では「ｚ＝３」と書いているのに…

この使い分けの判断は何でしょうか？

15538．Re: 空間のベクトルの所の問題
名前：ast    日付：6月30日(水) 3時25分
そもそも, もとの質問の文章自体が端折りすぎ.

解答のどこかに書かれているのかもしれないし, 略解であるなら
そもそも完全な記述である必要はない.
### 学習者がその行間を埋めねばならないのは当然のことだが.

15541．Re: 空間のベクトルの所の問題
名前：ヨッシー    日付：6月30日(水) 10時31分
「中心の座標と半径を求める」問題なので、この議論は本質的でないと思います。

私見を述べるならば、【問題１】のｚ＝３も、【問題２】のｘ＝０も、
書いても良いし、書いていなくても良いです。
「交わる部分の式を記述せよ」という問題ならば、書かないとダメですが、
この問題では、特に必要ありません。なぜなら、これらの平面の式は、
出題者によって、与えられたものであるので、採点者（＝出題者側の立場）
にとって、それらは念頭におかれて然るべきだからです。
ｚ＝３やｘ＝０の記述いかんによって、解答の質が変わるものとは思えません。
　
http://yosshy.sansu.org/

15544．Re: 空間のベクトルの所の問題
名前：両津　勘吉    日付：6月30日(水) 18時10分
わかりました。
どうもありがとうございました。

15516．マクローリン展開のｘの範囲について  
名前：とも（大学生・文系）    日付：6月28日(月) 22時40分
『1/√(1+ｘ)のマクローリン展開を求めよ』
という問題で、解答でｘの範囲については(|ｘ|<1）となっているのですが、このようなｘの範囲はどのようにしてもとめればよいのでしょうか。
(|ｘ|<∞)となるときとの違いがよく分かりません。よろしくお願いします！


15546．Re: マクローリン展開のｘの範囲について
名前：AxlRose    日付：6月30日(水) 22時48分
こんばんは。

自分のサイトでのある質問への回答として書いたものですが、
役に立ちそうなので一部を転載しておきますね。

次に示すようなベキ級数を考えてみます。

a0+a1x+a2x2+…+anxn+…

このベキ級数が、|x|＜r では収束し、|x|＞r
では発散するような定数 r が存在します。
また、全ての実数に対して収束するときは r=∞ とし、
x=0 以外の全ての実数に対して発散するときは r=0 とします。
そして、この r のことを収束半径といいます。

また、r=lim[n→∞]|an/an+1| が定まれば、
この r が収束半径になります。

これらの性質はマクローリン展開などでよく利用します。

例えば、先の性質を用いて計算すれば、
ex = Σ[n=0～∞](xn/n!)
の収束半径は∞になることがわかりますし、
log(1-x) = -Σ[n=1～∞](xn/n)
の収束半径は１になることがわかります。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15550．Re: マクローリン展開のｘの範囲について
名前：とも（大学生・文系）    日付：7月1日(木) 1時1分
AxlRoseさんどうもありがとうございました！とてもよくわかりました☆

15506．無限について  
名前：あき　    日付：6月28日(月) 0時35分
limF(x)=α（ｘ→∞）。limG(x)=∞（X→∞）α＞０でlimF(x)G(x)=∞（ｘ→∞）が成立するのをεδで証明してもらえないですか。まだ慣れてなくてできません


15515．Re: 無限について
名前：とくとく    日付：6月28日(月) 22時21分
DSさんの所のではダメなのですか？

15502．教えてください！  
名前：GO(高1)    日付：6月28日(月) 0時8分
ｘの二次方程式
ｘ二乗＋ａｘ＋３ｂ＝０
ｘ二乗＋ｂｘ＋３ａ＝０
が、ただ１つの共通解をもつとき、
その共通解を求めよ。
というのが出来ないので、
ご指導のほどよろしくお願いします！


15507．Re: 教えてください！
名前：c.e.s.    日付：6月28日(月) 0時41分
x2+ax+3b=0とx2+bx+3a=0の共通解をαとすると
α2+aα+3b=0かつα2+bα+3a=0である。
辺々引くと(a-b)α-3(a-b)=(a-b)(α-3)=0⇔a=bまたはα=3
a=bのとき共通解が二つになるので不適。
(☆)α=3のときb=-a-3であるからx2+ax+3(-a-3)=0
⇔x2+ax+3(-a-3)=0⇔x2+ax-3(a+3)=0
⇔(x-3){x+(a+3)}=0⇔x=3またはx=-(a+3)
ただ1つの共通解を持つので、3≠-(a+3)⇔a≠-6。このときb=3。
以上より、a≠bかつ(a,b)≠(-6,3)のときにただ1つの共通解x=3を持つ。

私は(☆)以降の確認が必要だと思うのですが…皆様いかがでしょうか。

15512．ちょっと疑問。
名前：だい（大学生）    日付：6月28日(月) 10時41分
＞c.e.s.さん
・『a=bのとき共通解が二つ』とあるのですが、
同じ式になるので共通解は２つどころではないような…。

・『(a,b)≠(-6,3)』は
x2+ax+3b=0がx=3で重解をもたないようにされているかと思うのですが、
それであればx2+bx+3a=0において
(a,b)=(3,-6)の時は考慮されてないかと思うのですが・・・。
いかがでしょうか？

15513．Re: 教えてください！
名前：tarame    日付：6月28日(月) 11時17分
横から失礼します
＞x2+ax+3b=0…(ｱ)とx2+bx+3a=0…(ｲ)の共通解をαとすると
＞α2+aα+3b=0かつα2+bα+3a=0である。
＞辺々引くと(a-b)α-3(a-b)=(a-b)(α-3)=0⇔a=bまたはα=3
ここまではよいと思います。

(1)a＝b のとき
　２つの方程式は 一致するので２つの共通解をもつ
　よって、条件を満たさない
(2)α＝3 のとき
　a＝-b-3より
　(ｱ)は (x-3)(x-b)=0より x＝3,b
　(ｲ)は (x-3)(x+b+3)=0より x＝3,b+3
　b≠b+3だから条件を満たす
よって、(1),(2)より
　a+b+3=0のとき　共通解は x=3

※(1)において、２次方程式の解は２つ(重解も含んで）ですよね。
※(2)において、(ｱ)か(ｲ)が重解をもつとしても、
　共通解は1つだけになりますよね。

15514．Re: 教えてください！
名前：だい（大学生）    日付：6月28日(月) 15時11分
>tarameさん
ありがとうございます。

■a=bのとき
x2+ax+3b=0…①,x2+bx+3a=0…②
①、②式は同じ式になりますが、
高校１年生であることを配慮すると取り扱っている数は実数まで。
（判別式という言葉もでてこない世代…）

①において
D=a2-12b=a2-12a
=a(a-6)=(a-6)2-36
『0<a<6の範囲で、実数解なし』となり
共通解が２つあるとは言えなくなるのでは…と考えました。
そしてこの時期ではたぶん２次不等式もまだかもですよね…。

「ここでは２式が与えられ、
ただ１つ共通解をもつときの解を求めるので
題意と文字の対称性よりa≠bは明らか」
としてはどうなのかなぁーと考えます。

ここでは、きっと共通解をαとおいて、
２式を引いてx=3を求めるぐらいで今は○がもらえてしまう
そんな問題ではないか…そんな気がするんですがどうでしょうか？

15520．Re: 教えてください！
名前：c.e.s.    日付：6月29日(火) 3時20分
>だい（大学生）さん、tarameさん、GO(高1)さん
解答はtarameさんの書かれた通りだと思います。α＝3のときについては大いなる勘違いをしていました。恥ずかしい(;一_一)…で、勘違いで書いたのですが、重解の扱いは、同じ2つの解とみなすか1つの解とみなすかで変わってくると思いますので、微妙です。

>だい（大学生）さん
確かに2次不等式は数学Iの中間あたりなので難しいところです。
「a≠bは明らか」の件については、「明らか」という言葉を非常に嫌がる先生もいるようなので、できるだけ使わないようにした方が無難かと思いました。
「そんな問題ではないか」の件について。そんな気もします。しますが、後々判別式やらが出てきたときに簡便な解法が染み付いてしまっていると変えるのが難しいかもしれないので、解法は最初からできるだけ細かくした方がよいと個人的に考えています。

15523．ありがとうございます。
名前：だい（大学生）    日付：6月29日(火) 10時56分
>c.e.s. さん

ご教授頂きありがとうございます。（＊゜ー＋゜）

15492．不定積分  
名前：なな    日付：6月27日(日) 19時34分
(e^x-1)^1/2 の置換積分の仕方を教えてくれませんか？


15493．Re: 不定積分
名前：AxlRose    日付：6月27日(日) 20時19分
こんばんは。

(1)パターン１
まず t=e^x と置換します。
すると、 dt=e^xdx 、ここで e^x=t より、 dt=tdx。
これを利用するともとの積分は無理関数の分数関数になります。

あとは u=√(t-1) と置換してあげれば解けます。

こっちのほうがわかりやすい方法だと思います。

(2)パターン２
パターン１をより簡略化した方法です。

いきなり t=√(e^x-1) と置換します。
すると、
t^2=e^x-1 より、 e^x=t^2+1。
これを 2tdt=e^xdx に代入すると、 2tdt=(t^2+1)dx

すると与式はただの分数関数になります。

こっちのほうが早く解くことができます。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15494．Re: 不定積分
名前：なな    日付：6月27日(日) 20時42分
ありがとうございます！

なるほど！でも，
2∫t^2 / t^2 +1 dt の解き方がわかりません．
教えてくれませんか？

15495．Re: 不定積分
名前：AxlRose    日付：6月27日(日) 20時45分
こんばんは。

分母の次数≦分子の次数 である分数関数はまず割り算をして
分子の次数を下げてから積分するのがポイントですよ。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15497．Re: 不定積分
名前：なな    日付：6月27日(日) 20時55分
わかりました！
本当にありがとうございます！！

15490．三角形の成立条件  
名前：貴    日付：6月27日(日) 17時25分
すみません、質問ですが三角形の成立条件を
高１の知識で証明できないでしょうか？

ずーっと考えているのですが、なかなかできなかったので、
ご教授ください。


15505．Re: 三角形の成立条件
名前：c.e.s.    日付：6月28日(月) 0時27分
次のページをご覧になるとよろしいかと。
http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/taiwa/node39.html

15489．方程式の解  
名前：Magicdoll    日付：6月27日(日) 17時18分
x+2y/z=y+2z/x=z+2x　のときこの式の値を求めよ。
　
この解が2つあるんですが、1つしかしかわからないんです。
困ってるんでよければといて下さい。お願いします。。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ちなみに中3です。


15491．Re: 方程式の解
名前：Magicdoll    日付：6月27日(日) 17時38分
それともう1問お願いします。
　Ｎを自然数とする。1から2Ｎまでの自然数の中からどのように
Ｎ+1個の数を選んでも、その中に一方が他方で割れるような2つの
数の組が必ず存在することを証明したい。
「任意の自然数ＮはＮ=2＾aｍ(aは負でない整数、ｍは奇数)と表せる」

15509．中学生には難しいかも
名前：風あざみ    日付：6月28日(月) 1時1分
N+1個の自然数M1,…,MN+1から任意にMiをとると
Mi=2ai*mi(mは奇数)と書ける。

miは1≦mi≦2Nを満たす奇数である。

m1,…,mN+1はN+1個の奇数であるが
1から2Nまでには、奇数は1,3,…,2N-1のN個しかない。

よって、m1,…,mN+1のなかには同じ2数が必ず存在する。それをmsとmtとします。
(ms=mt)

Ms=2as*ms
Mt=2at*mt=2at*ms

as≧atのとき
MsはMtで割り切れる。

at＞asのとき
MtはMsで割り切れる。

よってMtとMsが求める2数であることがわかる。

15510．Re: 方程式の解
名前：花パジャ    日付：6月28日(月) 2時4分
>x+2y/z=y+2z/x=z+2x　のときこの式の値を求めよ。
>この解が2つあるんですが

...
x=y=z=1
x=-2,y=z=4
x=z=2,y=4
どれか2つ以上が等しいという条件を付けて解くと3つ出るのだけど...

15478．３辺の長さ最小値解法ヒント求む  
名前：米沢義茂    日付：6月27日(日) 15時35分
当方５０歳の親父ですが息子(中１)に幾何的問題を聞かれましたが回答できなく困っております。
どなたか回答までも無くヒントをお願いしたく、

問題）角ＡＯＢの中に任意点Ｐがあります。辺ＯＡ上に１点Ｍを、
辺ＯＢに１点ＮをとってＰＭ＋ＭＮ＋ＮＰが最小になるように
点Ｍ，Ｎを作図せよ。
というものです。よろしくお願いいたします。


15480．Re: ３辺の長さ最小値解法ヒント求む
名前：ヨッシー    日付：6月27日(日) 16時32分
私のページの「問題の部屋」の「問題８」の解答をご覧下さい。
上の方の解答がヒントになります。
　
http://yosshy.sansu.org/

15499．Re: ３辺の長さ最小値解法ヒント求む
名前：米沢義茂    日付：6月27日(日) 23時39分
ヒントをどうもありがとうございます。
問題８回答８を見てみたのですが、今回の問題の場合、
辺ＯＡ上の点Ｍ、辺ＯＢ上の点Ｎどちらか固定であるなら
良いのですが双方とも不定点です。条件として3角形の
３辺合計が最小となる条件とどう噛み合わせると良いのか
未だ見えておりません。

15503．Re: ３辺の長さ最小値解法ヒント求む
名前：tobira    日付：6月28日(月) 0時17分
横から失礼します。
ＰのＯＡ、ＯＢに対する対称点をＱ、Ｒとすると
ＰＭ＝ＱＭ、ＮＰ＝ＮＲとなり
ＰＭ＋ＭＮ＋ＮＰ＝ＱＭ＋ＭＮ＋ＮＲ
これが最小になるように考えると良いかと思います。

15511．Re: ３辺の長さ最小値解法ヒント求む
名前：ヨッシー    日付：6月28日(月) 9時46分
何となく、図を載せておきます。

　
http://yosshy.sansu.org/

15517．Re: ３辺の長さ最小値解法ヒント求む
名前：米沢義茂    日付：6月29日(火) 0時44分
ヨッシーさん解り易い図を提供して頂いて感謝です。
仮にＯＡ上の任意の場所にＭ１を置きＭ１とＲを結んだＯＢとの交点をＮ１とする。
さらにＮ１とＱを結んだＯＡとの交点をＭ２とするという風に
１，２，３..と繰り返すとすると
点Ｍ(ｎ番目)と点Ｎ(ｎ番目)はＱＲを結んだＯＡおよびＯＢの交点に
収束する様ですね。という感じは掴めて来ましたが。これを数学的に
簡潔に表現するとなると。。。うーん。。頭が固くなってきた。

15477．集合  
名前：三枝　優梨子    日付：6月27日(日) 15時26分
Ｍ＝｛０，１｝，Ｎ＝｛ａ，ｂ｝とするとき、
Ｍ＾２，Ｍ×Ｎ,２＾(Ｍ＾２)を求めよの問題に困っていますので、
教えてください。宜しくお願いしたいと思います。


15488．Re: 集合
名前：T.M    日付：6月27日(日) 17時8分
定義を確かめる問題なので、
直積集合、べき集合を調べてみた方が良いと思います。

M^2の元は(0,0)とかですね。
2^(M^2)という集合は、M^2の部分集合が元ということですよね。

15496．Re: 集合
名前：三枝　優梨子    日付：6月27日(日) 20時45分
どうもありがとうございます。直積集合・べき集合を利用するということはわかりましたが、具体的にどのように数字を当てはめたらよいのかがわからないので再度教えていただけないでしょうか？

15498．Re: 集合
名前：T.M    日付：6月27日(日) 21時5分
数字を当てはめたら、というのは書き方がわからないという意味でしょうか。
そうだと解釈してM^2のみ書きます。
M^2={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
これは括弧の第一成分は一つ目のMから、第二成分は二つ目のMから
元を選んだという事です。
M×Nであれば、第二成分に入るものがNの元に変わるだけです。

15473．積分  
名前：なな    日付：6月27日(日) 14時7分
∫Tan^-1 x　de [0..1] の問題で，
Tan^-1 x=tと置くと，
x=tant
dx=1/cos^2 t dt
xが0→1なら，tが0→π/4 で，
(与式)=∫t/cos^2 t dt [0..π/4]
u=t, v'=1/cos^2 t
u'=1, v=tant として，
(上式)=[t×tant] [0..π/4] -∫tant dt [0..π/4]
　　=π/4+[log|cost|] [0..π/4]
　　 =π/4+log1/2^1/2
　　=π/4+1/2 log2
とやったのですが，正解は π/4-1/2 log2 です．
どこが間違っているのか教えてください！
お願いします！


15476．どこなんでしょー。
名前：だい    日付：6月27日(日) 15時13分
∫1・(tan^-1 x)dx=x・(tan^-1 x)-∫x・{1 / (1+x^2)}dx+C
　　　　　 　　　=x・(tan^-1 x)-(1/2)log(1+x^2)+C

積分区間x:0→1で(π/4)-(1/2)(log2）ってのはわかるんですが…。

15479．Re: 積分
名前：なな    日付：6月27日(日) 15時46分
そのやり方ではわかりました！
どこって何がどこなのでしょうか．．？
さっきのやり方ではできないのでしょうか？？

15481．Re: 積分
名前：だい    日付：6月27日(日) 16時38分
あんまりうまく説明できなんで申し訳ないんですが、
ななさんのように置換していってもできると思います。
どこが間違っているかと言われると…(-_-#)ワカラナイ。

ただ、∫0π/4tant dtという定積分は
面積という意味で考えると正（プラス）になるはず…。
他の方のお答えお待ちします。。
すんません。

15483．Re: 積分
名前：T.M    日付：6月27日(日) 16時42分
[log|cost|] [0..π/4]
=log(1/√2)
=-log(√2)
ですね。

15484．うほ。
名前：だい    日付：6月27日(日) 16時48分
なるほどっていうか代入して計算しただけじゃないっすかね…。

15486．Re: 積分
名前：T.M    日付：6月27日(日) 16時53分
マイナスになる理由でよかったんですよね？
logの分数を逆にするところでマイナスが出てくるという事が
言いたかったのですが。

15487．Re: 積分
名前：なな    日付：6月27日(日) 16時53分
だいさん，T.Mさんありがとうございます！
わかりました！
またお願いします！

15471．直線の方程式  
名前：丹野真美    日付：6月27日(日) 12時46分
再度投稿して申し訳ございません。またわからない問題が出てきたのですが教えてください。
原点をとおり、２直線
　x+1=y=z-2
(x+1)/4=y/2=z-1
の両方に交わる直線の方程式を求めよ。
スムーズに解けないので宜しくお願いします。


15485．Re: 直線の方程式
名前：ヨッシー    日付：6月27日(日) 16時48分
いろんな解き方がありますが、原点を通るということを利用して、
x+1=y=z-2 との交点をＡ、
(x+1)/4=y/2=z-1 との交点をＢとすると、
Ａの座標を何倍かしたところにＢがあるというふうに考えます。
たとえば、点(1,1,1) を何倍かした　(2,2,2),(3,3,3) などは
原点と点(1,1,1) を結ぶ直線上にあります。

x+1=y=z-2=s
(x+1)/4=y/2=z-1=t とおくと、それぞれの直線上の点の座標は
　(s-1, s, s+2), (4t-1, 2t, t+1) と書けます。
　s-1 = m(4t-1)
　s = 2mt
　s+2 = m(t+1)
として、s または t を求めます。

答えは、x=y/2=z/4 です。
　
http://yosshy.sansu.org/

15470．連続  
名前：あき　    日付：6月27日(日) 11時13分
F(x)＝[ｘ]はすべての点a∈Zで不連続でそれ以外では連続である証明ってどうしたらいいのですか？グラフからはあたりまえなのですが…

15465．娘からの質問に答えることができません  
名前：えりかちゃんのお父さん    日付：6月27日(日) 1時53分
娘に数学の問題を質問され、答えることができずに困っております。娘曰く、基本的な問題なのだそうですが、その基礎をすっかり忘れてしまい、恥ずかしく思っております。お手数ですが、教えていただけないでしょうか？

因数分解の問題
①a^4+a^2+1

②2X^2-5XY-3Y^2+X+11Y-6

食塩水の問題
濃度のわからない食塩水が２００ｇある。それに濃度１０％の食塩水２５０ｇを混ぜたら、濃度３０％の食塩水が得られた。濃度がわからない食塩水の濃度を求めよ。

以上の３問です。どうぞ、ご指導のほどよろしくお願いいたします。


15466．Re: 娘からの質問に答えることができません
名前：AxlRose    日付：6月27日(日) 2時12分
＞a^4+a^2+1
これは次のようにして解きます。

a^4+a^2+1
=a^4+2a^2+1 -a^2
=(a^2+1)^2 -a^2
=(a^2+1+a)(a^2+1-a)
=(a^2+a+1)(a^2-a+1)

これはa^4の項とa^2の項と定数項でできている多項式を
因数分解するときの常套手段でもあります。

うまくもとの式を変形することで○^2-△^2の形を作るわけですね。

＞2X^2-5XY-3Y^2+X+11Y-6
これはたすきがけを使って因数分解する問題です。

ちなみにこの答えは(2x+y-3)(x-3y+2)となりますが、
僕は普段からたすきがけを使わずあまり一般的ではない
解き方をしてしまうので、ここはたすきがけできれいな
説明をしていただける方におまかせしたいと思います。

＞濃度のわからない食塩水が２００ｇある。それに濃度１０％
＞の食塩水２５０ｇを混ぜたら、濃度３０％の食塩水が得られた。
＞濃度がわからない食塩水の濃度を求めよ。

濃度のわからない食塩水の濃度をx[%]とします。
すると、それぞれの食塩水に含まれる食塩の量は、

濃度x％のもの ： 200*(x/100)=2x[g]　…(a)
濃度10％のもの ： 250*(10/100)=25[g]　…(b)
濃度30％のもの ： (200+250)*(30/100)=135[g]　…(c)

(a)と(b)をたしたものが(c)に等しいので、
　2x+25=135

この方程式を解けばxが求まりますね。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15474．Re: 娘からの質問に答えることができません
名前：えりかちゃんのお父さん    日付：6月27日(日) 14時17分
AxlRose様、ご丁寧な解説ありがとうございます。一行一行じっくりと読み、理解いたしました。娘が大変分かりやすいと申しており、大変感謝しております。ありがとうございました。

引き続き、
②2X^2-5XY-3Y^2+X+11Y-6
の解き方もどなたか解説していただけると大変ありがたく思います。
どうぞ、ご指導のほど宜しくお願いいたします。

15475．Re: 娘からの質問に答えることができません
名前：Bob    日付：6月27日(日) 14時35分
2X^2-5XY-3Y^2+X+11Y-6
たすきがけですが
まずｘについて降べきの順（次数が高い順）にします。
２ｘ＾２－（５ｙ－１）ｘ－（３ｙ＾２－１１ｙ＋６）－－－－－（１）
なります。次に３ｙ＾２－１１ｙ＋６を因数分解します。これもたすきがけです。
３ｙ＾２－１１ｙ＋６　　ｙ＾２の係数３と定数項＋６の積をつくります。
３　　　　　　　－２

１　　　　　　　－３　
　クロスしてかけてたします。　３・（－３）＋（－２）・１＝－１１
　　　　　　　　　　　　　　　真ん中の項のー１１に一致しましたね。
よって３ｙ＾２－１１ｙ＋６＝（３ｙ－２）（ｙ－３）となります。
つまり（１）式は
２ｘ＾２－（５ｙ－１）ｘ－（３ｙ－２）（ｙ－３）となります。
もう1回たすきがけします
１　　　　　　　　　　　　　－（３ｙ－２）
　
２　　　　　　　　　　　　　（ｙ－３）
クロスしてかけてたします。　ｙ－３＋２｛－（３ｙ－２）｝＝－５ｙ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝－（５ｙ－１）
一致しました。
よって2ｘ^2-5ｘｙ-3ｙ^2+ｘ+11ｙ-6
＝（ｘ－３ｙ＋２）（２ｘ＋ｙ－３）　となります。

15504．Re: 娘からの質問に答えることができません
名前：えりかちゃんのお父さん    日付：6月28日(月) 0時25分
Bob様、ご指導のほどありがとうございました。娘ともども大変感謝しております。また、私自身も学生時代に戻ったつもりで、私なりに努力してみる良い機会になったと考えております。大変お世話になりました。

15463．四面体の内接球の半径  
名前：なお    日付：6月27日(日) 1時3分
四面体Ａ－ＢＣＤの側面△ＡＢＣ、△ＡＣＤ、△ＡＤＢはＡＢ=ＡＣ=ＡＤ=√２ｃｍの直角二等辺三角形である。この四面体に内接する球の半径を求めよ。
中学２年です。これって、底面の△ＢＣＤが一辺２ｃｍの正三角形ですよね？
頂点Ａから底面におろした垂線は、△ＢＣＤの重心に届きますよね？
三平方の定理とかをつかって、いろいろなところの長さは求めたのですが、内接球の半径を求める方法がわからないです。
よろしくおねがいします。


15464．Re: 四面体の内接球の半径
名前：らすかる    日付：6月27日(日) 1時32分
内接球の中心をＯとすると、四面体ＡＢＣＤは
４つの四面体Ｏ－ＡＣＢ、Ｏ－ＡＤＣ、Ｏ－ＡＢＤ、Ｏ－ＢＣＤに
分けられます。それぞれの体積を求めてみましょう。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15472．Re: 四面体の内接球の半径
名前：なお    日付：6月27日(日) 13時10分
ありがとうございます。
いまから解いてみます。(o*。_。)oペコッ

15462．(untitled)  
名前：ＢＯＮＧＥＲ一号    日付：6月26日(土) 22時30分
「組み立て除法のやり方の説明と原理について述べよ」

証明（のようなもの）よろしくおねがいします！

15461．よろしければお教え下さい  
名前：及川    日付：6月26日(土) 22時19分
初めまして　及川と申します。
現在中学３年生で以下の４つの問題が解けなくて困ってます。
もしよろしければお教え下さい。

１、　定直線に垂直な定円の直径をP,P'とする。Pを通る任意の直線をひき、定円および定直線との交点をA,Bとすれば、PA・PBは一定である。

２、二等辺三角形ABCの頂点Aを通る直線の底辺BCまたはその延長とDで、外接円とEと交わるならば
ABの２乗=AD・AE

３、与えられた二点A,Bを通り、与えられた円Oと交わる円を作るとき、その交点C,Dを結ぶ直線はAB上の定点を通る。

４、三角形ABCの角Aの二等分線と底辺BCとの交点をD、外接円との交点をEとすれば、
AB・AC=AD・AE と　　AB・AC=ADの２乗＋BD・DC

以上の問題です。よろしければ教えてください。よろしくお願いします。


15468．Re: よろしければお教え下さい
名前：ヨッシー    日付：6月27日(日) 10時4分
まず１番。

いろんな場合が考えられますが、Ｐが直線上にある場合（左から２つ目）を除いて
いずれも、△ＰＨＢと△ＰＡＰ’の相似を使うことで、示すことが出来ます。
　
http://yosshy.sansu.org/

15469．Re: よろしければお教え下さい
名前：ヨッシー    日付：6月27日(日) 10時12分
Size: 181 x 153, 2KB

これも１番同様、△ＡＣＤと△ＡＥＣの相似を使います。
ＡＣ2になったり、ＡＢ・ＡＣになるときもありますが、
ＡＢ＝ＡＣなので、いずれもＡＢ2と置き換えられます。
　
http://yosshy.sansu.org/


15482．Re: よろしければお教え下さい
名前：及川    日付：6月27日(日) 16時41分
ご回答どうもありがとうございました。
おかげで解く感覚ををつかみすべて解けました。感謝いたします。
本当にありがとうございました。

15458．(untitled)  
名前：mika(小6)    日付：6月26日(土) 16時29分
家から□ｍはなれた塾まで行くのに、
分速６０ｍの速さで歩いていけば、算数の授業に５分遅れ、
分速１３２ｍの速さで走っていけば、算数の授業の１分前に着きます。
家から塾までの距離□は何ｍか？


15459．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：6月26日(土) 17時27分
□ｍと書かれているので、方程式っぽい解法を期待されてるとするならば、
　分速６０ｍ　だと　□÷６０分
　分速１３２ｍ　だと　□÷１３２分
その差が６分なので　□÷６０－□÷１３２＝６
さて、□はいくつでしょう？

算数っぽくやるなら、もし距離が１ｍとすると、
　分速６０ｍだと　1/60分
　分速１３２ｍだと　1/132分　で、差が1/110分
差を６分にするには？
（本当は、１ｍでなくて、別の数にすると、分数にならないのですが、
そうすると・・・・ヒ・ミ・ツ）
　
http://yosshy.sansu.org/

15460．算数的解法
名前：らすかる    日付：6月26日(土) 19時14分
分速６０ｍの速さで歩いていくと、算数の授業に５分遅れますので、
算数の授業の１分前には、まだ６０×６＝３６０ｍ手前にいます。
つまり、分速１３２ｍの速さで走ったのと分速６０ｍの速さで
歩いたのでは、算数の授業の１分前に３６０ｍの差がつきます。
速さの差は１３２－６０＝分速７２ｍですから、３６０ｍの
差がつくまでには３６０÷７２＝５分経っています。
従って、家から塾までは分速１３２ｍで５分かかる距離です。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15453．座標の問題を教えてください  
名前：丹野　真美    日付：6月26日(土) 8時30分
はじめまして。
原点からの直線(x-p)/a=(y-q)/b=(z-r)/cへ下ろした垂線の足の座標を求めなさいという問題がわからないので具体的に御教授お願いできればと思います。


15454．Re: 座標の問題を教えてください
名前：ヨッシー    日付：6月26日(土) 8時57分
原点を通り、この直線に垂直な平面
　ax+by+cz=0
と、この直線との交点が、求める座標です。
　(x-p)/a=(y-q)/b=(z-r)/c
を、媒介変数表示して、
　x=・・・、y=・・・、z=・・・
の形にして、平面の式に代入します。
　
http://yosshy.sansu.org/

15456．Re: 座標の問題を教えてください
名前：丹野　真美    日付：6月26日(土) 15時18分
どうもありがとうございます。質問なのですが、媒介変数表示で代入するだけでよろしいのでしょうか？詳細に書いてくださると非常に勉強になりますので宜しくお願いします。勉強不足ですみません。

15457．Re: 座標の問題を教えてください
名前：ヨッシー    日付：6月26日(土) 15時55分
媒介変数表示とは、x,y,z とは別の変数 t を使って、
　x=at+p, y=bt+q , z=ct+r
のように表し、t をいろいろ変えることによって、座標(x, y, z)が、
直線上を動く、という表し方です。
これを、ax+by+cz=0 に代入すると、t だけの方程式になり、
t を求めることが出来ます。
その値を、x=at+p, y=bt+q , z=ct+r に代入したのが答えです。

これは結局、
直線　(x-p)/a=(y-q)/b=(z-r)/c　と
平面　ax+by+cz=0　との
交点の座標を求めよ、という問題と同じで、この手の問題はたいてい
こういう解き方になります。
　
http://yosshy.sansu.org/

15439．導関数を教えてください  
名前：絢子    日付：6月25日(金) 7時4分
基本的な問題かもしれませんが教えていただけるとありがたいです。
　log(x+√(x^2+1))の導関数を求めなさい
恐縮ですが宜しくお願い申し上げます。数学勉強中です。


15440．Re: 導関数を教えてください
名前：ヨッシー    日付：6月25日(金) 12時4分
ｙがｕの関数であり、ｕがｘの関数であるとき、つまり
　ｙ＝ｆ（ｕ）、ｕ＝ｇ（ｘ）
のとき、dy/dx＝(dy/du)(du/dx)　という関係があります。
　ｙ＝sinｕ、ｕ＝ｘ^2
つまり、　ｙ＝sin ｘ^2　をｘで微分すると、
　dy/du ＝ cosｕ、du/dx＝2x　なので、
　dy/dx＝cosｕ・2x＝2x・cosｘ^2　です。

同様にこの問題の場合、
　ｙ＝logｕ、ｕ＝ｘ＋√(ｘ^2＋１)　とすると
　dy/du ＝ 1/u、du/dx＝１＋ｘ/√(ｘ^2＋１)　より、(以下略)
　
http://yosshy.sansu.org/

15442．Re: 導関数を教えてください
名前：絢子    日付：6月25日(金) 15時31分
ヨッシーさんありがとうございます。計算しているのですが、整理する際にはどこまで整理すればよろしいのか教えていただけますか。
ルートがついているので混乱しています。よければ教えて下さい。

15443．Re: 導関数を教えてください
名前：ast    日付：6月25日(金) 15時41分
> 整理する際にはどこまで整理すればよろしいのか教えていただけますか。
> ルートがついているので混乱しています。

きちんと微分できていれば, 相当綺麗な答えが出ているはずですが･･･

15449．Re: 導関数を教えてください
名前：えいぶ    日付：6月25日(金) 23時45分
逆関数の微分公式
dx/dy=1/(dy/dx)を利用してもＯＫですね。
逆関数がかなり単純な形になることを利用できます。

15452．Re: 導関数を教えてください
名前：絢子    日付：6月26日(土) 8時18分
ありがとうございます。何度やってもすっきりとした答えにならずに困っています。どこで躓いているのかもわからないので、できれば解法までの計算を書いてくださればありがたいのでお願いできますか？

15455．Re: 導関数を教えてください
名前：ヨッシー    日付：6月26日(土) 9時23分
du/dx＝１＋ｘ/√(ｘ^2＋１)　を変形すると、
du/dx＝{ｘ＋√(ｘ^2＋１)}/√(ｘ^2＋１)
になり、
dy/du ＝ 1/u ＝ １/{ｘ＋√(ｘ^2＋１)}
と約分できます。
　dy/dx＝(dy/du)(du/dx)＝１/√(ｘ^2＋１)　・・・答え

　
http://yosshy.sansu.org/

15435．質問で～す  
名前：ready（高1)    日付：6月24日(木) 23時7分
十元連立非線形偏微分方程式って何ですか？
教えてください！


15436．Re: 質問で～す
名前：arc    日付：6月24日(木) 23時12分
ググッた訳だが。

http://plus.naver.co.jp/browse/db_detail.php?dir_id=110404&docid=18014

15441．Re: 質問で～す
名前：我疑う故に存在する我    日付：6月25日(金) 12時39分
十元連立非線形偏微分方程式と聞いてすぐ思い浮かぶのは、一般相対性理論に於けるアインシュタインの方程式。

15431．質問です  
名前：数好（中2）    日付：6月24日(木) 21時14分
お久しぶりです。
早速ですが、素数の性質ってどんなのがあるのでしょうか？
色々あるとはわかってるのですが知りたいので
皆様どうか教えてください
http://www.geocities.jp/t16777216/index.html


15433．Re: 質問です
名前：えいぶ    日付：6月24日(木) 21時27分
それ自身と１以外に約数をもたない数
…っていうのは性質じゃなくて定義ですね。例えば
・素数は無限に存在する。
・素数の逆数和は発散する。
など

15446．Re: 質問です
名前：数好（中2）    日付：6月25日(金) 20時54分
うー、もっと詳しく知りたいのですが・・・
かなり専門的でもいいのでお願いします。すみません
http://www.geocities.jp/t16777216/index.html

15447．Re: 質問です
名前：c.e.s.    日付：6月25日(金) 21時13分
こんなサイト知ってます?
http://primes.utm.edu/

15448．Re: 質問です
名前：数好（中2）    日付：6月25日(金) 21時51分
うわー！面白そうなページありがとうございます
http://www.geocities.jp/t16777216/index.html

15430．不等式  
名前：pipi　高１    日付：6月24日(木) 20時52分
次の不等式が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

|a+b|≦|a|+|b|

分からないので教えてください。


15432．Re: 不等式
名前：Bob    日付：6月24日(木) 21時22分
http://www5a.biglobe.ne.jp/~bebeshi/main/sA/sA_013.htm
を参照してください。

15427．割引現在価値の計算  
名前：rabi    日付：6月24日(木) 17時53分
はじめまして。
計算の仕方を教えてください。
21,000=12100/(X+1)+12100/(X+1)^2
ちなみにX=0.1です。
なぜ、0.1になるのか、わかりません。
すみませんが、誰か教えてください。
よろしくお願いします。


15437．Re: 割引現在価値の計算
名前：tobira    日付：6月25日(金) 1時27分
ｘ＋１＝ｔ　として、両辺に（ｔ^2)/100　をかけて、移行しまとめると

210ｔ^2－121ｔ－121＝０

これを解いて、（因数分解で解けます）

ｔ＝11/10、－11/21

負の解を捨てて、ｘ＝ｔ－１なので

ｘ＝1/10＝0,1

15444．Re: 割引現在価値の計算
名前：rabi    日付：6月25日(金) 17時24分
回答ありがとうございましたm(_ _)m
因数分解の所がちょっとわからないので、自分で考えてみます。
わからなかったら、また聞きたいので、すみませんがよろしくお願いします。

15421．(untitled)  
名前：山田    日付：6月24日(木) 12時42分
すみませんがわからない所があったので教えてください。

x<1で、cx<2が成り立つときのcの範囲を求めよ。

答えは0≦c≦2となっていました。どうしてこうなるのでしょうか?
教えてください。


15425．Re: (untitled)
名前：Rattle    日付：6月24日(木) 16時36分
0<x<1とx=0とx<0の三つの場合を考えます。
0<x<1のときはc<2/x ですからf(x)=2/xのグラフを考えてc≦2
x=0のときはcは全実数でよい。
x<0のときはc>2/xで、2/xはすべての負の実数を取りますからc≧0
よって0≦c≦2

15420．定積分  
名前：鈴木　良子    日付：6月24日(木) 6時55分
おはようございます。朝早くすみませんが定積分の問題がわからずに困っていますのでお助けいただけないでしょうか？問題集からです。
・∫[下が0,上が1](x√(1-x))dx
・∫[下が0、上が∞](1/(x^2+x+1))
宜しくお願いします。


15423．Re: 定積分
名前：AxlRose    日付：6月24日(木) 14時29分
∫01(x√(1-x))dx

t=√(1-x) とおくと、
t^2=1-x　（x=1-t^2）
2tdt=-dx
dx=-2tdt

また、x：0→1 のとき t：1→0 より、

与式 = ∫10(1-t^2)t(-2tdt)
=2∫01t^2(1-t^2)dt
=2∫01(t^2-t^4)dt
=2[t^3/3 - t^5/5]01
=2(1/3 - 1/5)
=4/15

∫0∞(1/(x^2+x+1))dx
=∫0∞[1/{(x+1/2)^2 + 3/4}]dx

t=x+1/2 とおくと、
dt=dx

また、x：0→∞ のとき、t：1/2→∞ より、

与式 = ∫1/2∞{1/(t^2 + 3/4)}dt
= ∫1/2∞[1/{t^2 + (√3 / 2)^2}]dt
=[(2/√3)*tan-1{t/(√3 / 2)}]1/2∞
=(2/√3)*[tan-1(2t/√3)]1/2∞
=(2/√3)*(π/2 - tan-1(1/√3))
=(2/√3)*(π/2 - π/6)
=(2/√3)*(π/3)
=(2√3 * π)/9
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15424．Re: 定積分
名前：鈴木　良子    日付：6月24日(木) 16時17分
AxlRoseさん、大変詳細な解答ありがとうございます。
とても具体的で見やすく私も勉強になります。
定積分など数学は苦手で今一生懸命学んでいますので、また何かありましたら宜しくお願いします。本当に感謝しています！！

15414．あと一つの解は？  
名前：両津　勘吉    日付：6月23日(水) 23時22分
こんばんは。

【問題】|x|^x=√2/2を解け。

解は３つあるようです。1/2と1/4の二つは分かっているのですが、あと一つは何でしょうか…？

このサイトに載っていました。

よろしくお願いします。


15415．Re: あと一つの解は？
名前：両津　勘吉    日付：6月23日(水) 23時24分
まちがえました。アセアセ…。リンク先ですが、ここが正しいリンク先です。こちらでお願いします。

15417．Re: あと一つの解は？
名前：c.e.s.    日付：6月24日(木) 1時33分
-1.30435くらいですね。分かりやすい形にはなりません。Mathematicaで解いたところ、
x=-log(√2)/y(log(√2)) (ここでy(x)はx=y(x)e^y(x)の解です)
となります。

15426．Re: あと一つの解は？
名前：両津　勘吉    日付：6月24日(木) 17時4分
ありがとうございます。
ｘを計算で出せないでしょうか・・・？
｜ｘ｜^xの値なんてどうやって考えるのでしょうか？

15429．Re: あと一つの解は？
名前：らすかる    日付：6月24日(木) 20時6分
xの詳しい値を電卓で簡単に計算するなら、
xの初期値を-1.3として
x ← -(0.5^(0.5/x))
を繰り返せば、いくらでも正確な値が計算出来ます。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15438．Re: あと一つの解は？
名前：両津　勘吉    日付：6月25日(金) 6時25分
どうもありがとうございました。＾＾

15409．昨対率の計算  
名前：kaz    日付：6月23日(水) 18時20分
初めまして。
利益額の昨対率についての計算式を教えて頂きたいのですが、例えば昨年が利益１００円で今年が５０円だったら昨対率は５０÷１００×１００で５０％になりますが、①昨年が－１２０円で今年が－３８０円の場合は、まずマイナスをとって３８０÷１２０×１００にマイナスをつけて－３１６％でいいのでしょうか。②昨年が－２００円で今年が７０円の場合、③昨年が０円で今年が－９０円の場合に付いては全くわかりません。お忙しいところ誠にお手数ですが、ご回答の程宜しくお願い申し上げます。


15445．Re: 昨対率の計算
名前：ケロ    日付：6月25日(金) 20時44分
昨対率というものがどういうものかサイトでいくつか見てみましたら、データがプラスのときのものしか見つかりませんでした。
売上高は常にプラスです(０の場合もありえますが)。昨年の売上高を１とした場合に今年はどうかですね。いつでも何％という値が出ます。
しかし、利益の場合はデータ自体がマイナスになるときもあります。
いつも儲かっている会社なら昨対率を出せますが、前年が赤字の場合は、赤字の額（マイナス）を１とするわけですから、赤字ばかり出している会社なら、赤字の昨対率は出るでしょうが、今年黒字に転じた場合は、赤字がマイナス何％になったという言い方になりますが、これは何か変です。ですから、データがプラスの概念にだけ使うもののように思われます。（最終報告のない中間報告）。
データに０がある場合も、比という概念は使えないと思います。

15407．教えてください・・・。  
名前：ちえり    日付：6月23日(水) 14時12分
とても初歩的なことなのですが、「ｎ角形の対角線数」の公式と、「正ｎ角形の対角線数」の公式は違うのですか？
今、教員採用試験の問題をしていて、「正ｎ角形の対角線の本数をａとする。ａ＝５４となる場合のｎを求めよ。」という問題があり、私はｎ（ｎ－３）／２の公式でときました。答えは１２になったのですが、解等を見たら５６が答えでした。解説には、「正ｎ角形の対角線の本数はｎ－２。よってｎ－２＝５４よりｎ＝５６」とありました。解等のミスでしょうか？？


15408．Re: 教えてください・・・。
名前：ヨッシー    日付：6月23日(水) 14時22分
普通に考えると、解答のミスでしょうね。

ただ、こうもキッパリと書かれていると、不安になりますが．．．

別問ということはないですか？
　
http://yosshy.sansu.org/

15411．Re: 教えてください・・・。
名前：arc    日付：6月23日(水) 18時56分
＞「正ｎ角形の対角線の本数をａとする。ａ＝５４となる場合のｎを求めよ。」


「正ｎ角形に含まれる三角形の個数をａとする。ａ＝５４となる場合のｎを求めよ。」
の間違いではないですか？

15385．へロンの公式  
名前：馬鹿な中３    日付：6月22日(火) 23時3分
へロンの公式が全く分かりません。覚え書きコーナーを見ても全く分かりません。・三角関数の基本公式
　sin2A+cos2A=1

・余弦定理
　a2=b2+c2-2bccosA
　b2=c2+a2-2cacosB
　c2=a2+b2-2abcosC
ってことが何のことやらさっぱり分かりません。誰か分かりやすく教えてくれませんか？？


15390．Re: へロンの公式
名前：さすらい人    日付：6月23日(水) 1時17分
中学から、三角比、三角関数を教えるというのは、相当の進学校か、塾ぐらいだと思います。確かに、正弦定理、余弦定理を知った上で平面幾何をやれば、かなり有利にはなりますが…。『○○な中３』さんは、学校で習ってらっしゃいますか？ 私は、よほどの上位校を目指さない限り、高校に行ってからで十分だと思います。（それとも、私の知らない間に学習指導要領に加わったのでしょうか？）

15391．Re: へロンの公式
名前：momono花    日付：6月23日(水) 1時34分
＞中学で三角比
中高一貫ならないこともないと思います。
しかし、掲示板で１から教えるのもどうかと思うのですが、どうでしょう？

15410．Re: へロンの公式
名前：arc    日付：6月23日(水) 18時35分
証明ではなく『へロンの公式』自体のことを言っているようなので・・・。

三角形の三辺の長さ a , b , c が分かっているとき、
(a+b+c)/2 の値を用いることによって、三角形の面積を導く事が出来ます。
※ (a+b+c)/2 = s とします。

■例）三角形ABCの辺の長さが、a=9cm , b=5cm , c=8cm であるとき、三角形ABCの面積を求めよ。

s = (9+5+8)/2 = 22/2 = 11
面積Ｓ
= √( s * (s-a) * (s-b) * (s-c) )
= √( 11 * (11-9) * (11-5) * (11-8) )
= √( 11 * 2 * 6 * 3 )
= √( 11 * 6 * 6 )
= 6√(11)

三角形ABCの面積は 6√11cm2 となります。


# 証明を理解したいのであれば、幾何的証明を理解するか、
# 代数的証明を理解したいのであれば、数学が苦手だと厳しいですが、
# 高校で学べない人のための三角比と三角関数 を参照なさって下さい。

15384．またまたお願いします！！  
名前：あゆみ    日付：6月22日(火) 22時50分
7個の文字ＴＯＫＹＯＴＯを1列に並べ方並べ方について、以下の問いに答えなさい。

(1)Ｔが2つ隣り合い、Ｏが3つ隣り合う並べ方

(2)Ｏは3つ隣り合うが、2つのＴは隣り合わない並べ方

(3)2つのＴは隣り合うが、3つのＯはどの2つも隣り合わない並べ方

(4)同じ文字が全く隣り合わない並べ方


大変申し訳ありませんが、宜しくお願いします。


15389．Re: またまたお願いします！！
名前：らすかる    日付：6月23日(水) 1時1分
(1)
Ｔ２つがひとかたまり、Ｏ３つがひとかたまりとして
(Ｔ×２) (Ｏ×３) (Ｋ) (Ｙ) の４つを並び替えると
考えます。

(2)
Ｔをバラに考えて
(Ｔ) (Ｔ) (Ｏ×３) (Ｋ) (Ｙ) の５つの並び替え方を
考えて、Ｔが隣り合っている個数、つまり(1)で求めた
数を引きます。

(3)
Ｔ２つをひとかたまりとして (Ｔ×２) (Ｋ) (Ｙ) の
並び方を考え、その後 ☆(Ｔ×２)☆(Ｋ)☆(Ｙ)☆ の
☆の位置４箇所のうち３箇所にＯを入れると考えます。

(4)
まずＫ、Ｙ、Ｔ、Ｔの並び方を考え、その後Ｏが
隣り合わないように(3)の☆の考え方で計算します。
ただし、Ｔも隣り合ってはいけないので、もしＫＹＴＴを
並び替えた時にＴが隣り合った場合は必ず２つのＴの間に
Ｏを１つ入れなければなりません。
従って、Ｔが隣り合わなかった場合は☆５個から３つ、
Ｔが隣り合った場合は２つのＴの間に無条件にＯを１つ
入れ、残りの☆４個から残りのＯ２つを入れる場所を
選ぶことになります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15394．Re: またまたお願いします！！
名前：あゆみ    日付：6月23日(水) 4時30分
詳しい説明ありがとうございます☆

(1)は普通に4の階乗…つまり、24ですよね？！

(2)は5の階乗から(1)の24を引いて、96ですか？？？

(3)は　3！×4Ｐ3＝144　と求めれば大丈夫ですか？？

(4)はすごく自信がないのですが…、
☆Ｔが隣り合わなかったとき
　　5！/2！・4Ｐ3＋4！/2！・5Ｐ3＝2160　であっているでしょうか？？

15396．Re: またまたお願いします！！
名前：らすかる    日付：6月23日(水) 7時43分
(1)
24で正しいです。

(2)
例えば２個のＴをT1,T2と書くと、
「T1 T2 O*3 K Y」と「T2 T1 O*3 K Y」が
同じものとなります。
５つが全部異なる場合は単純に5!で済みますが、
同じものがある場合は重複分で割らなければなりません。
（例えば(Ｔ) (Ｔ) (Ｔ) (Ｔ) (Ｋ)の並び替え方が
　何通りになるかを考えてみてください。）

(3)
☆の位置４箇所のうち３箇所にＯを入れる場合、
入れるものは全部Ｏで区別がありませんから、
順列ではなく組み合わせとなります。

(4)
ＫＹＴＴを並び替える時、Ｔが隣り合うのは
(3)の前半と同様に (Ｋ) (Ｙ) (Ｔ×２) の並び替えと
考え、3!となります。
Ｔが隣り合わないのは、ＫＹＴＴの並び替え方全体から
その3!を引きます。ＫＹＴＴの並び替え方は、(2)と同様
Ｔの重複に注意して計算してみて下さい。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15402．Re: またまたお願いします！！
名前：あゆみ    日付：6月23日(水) 8時41分
(2)は、5！/2！＝60から、Ｔの隣り合う24を引いて、36で今度こそ！！あってますか？？

(3)は、3！×4Ｃ3＝24

(4)は、まだあやふやなのですが、Ｔが隣り合うのが3！＝6で、Ｏのことも考えると6×4Ｃ3＝24
ＴＴＫＹの並べ方のすべては、4！/2！×5Ｃ3＝120で、これから24を引いて、答えは96ですか？？

15404．Re: またまたお願いします！！
名前：らすかる    日付：6月23日(水) 9時4分
おめでとうございます、全部正解です！
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15450．Re: またまたお願いします！！
名前：あゆみ    日付：6月26日(土) 1時33分
返事遅くなりましたが、本当にありがとうございました！！これからも是非、よろしくおねがいします☆

15383．場合の数、すごく苦手です…教えてください！！  
名前：あゆみ    日付：6月22日(火) 22時32分
赤、青、黄、白の4個のサイコロを同時に投げるとき、次の場合の数を求めなさい。

(1)少なくとも1個は1の目が出る。

(2)1の目も2の目も出る。

(3)目の和が9になる。

(4)目の積が奇数になる。

(5)目の数が赤、青、黄、白の順に小さくなる。


自信がないのですが、(1)は、6×6×6×6－5×5×5×5で、671になったのですが合ってますか？？…宜しくお願いします！！！


15387．Re: 場合の数、すごく苦手です…教えてください！！
名前：AxlRose    日付：6月22日(火) 23時31分
こんばんは。

(1)はそれでOKだと思います。

次に(2)ついてですが、これは(1)の考え方を
発展させて解いていきましょう。

(1)は「少なくとも1個は1の目が出る」の逆のケース、
すなわち「1個も1の目が出ない」場合の数を求めて、
それを全部の場合の数から引いて答えを求めましたね。

(2)もこれと同じように考えていきます。
「1の目も2の目も出る」の逆のケースは、
「1個も1の目が出ない、または1個も2の目が出ない」になります。

ここがちょっとややこしいとは思うので補足説明します。

1の目が出る事象を集合をA、2の目が出る事象を集合をBとすると、
「1の目も2の目も出る」の逆のケースは￢(A∩B)と表せます。

＃￢は補集合を表しています。

すると、ド・モルガンの法則より、￢(A∩B)=(￢A)∪(￢B)となり、
これを日本語で書くと「1個も1の目が出ない、
または1個も2の目が出ない」にいうことになります。

＃ベン図を書けばこの関係がわかりやすいかと思います。

さて、「1個も1の目が出ない、または1個も2の目が出ない」場合の数は

（1の目が出ない場合の数）＋（2の目が出ない場合の数）
－（1も2も出ない場合の数）

として求めることができます。これを計算してあげてから、
全体の場合の数から引けば最終的な答えが求まります。

＃ほかにもっといい考え方があるかも…（´∀｀；

(3)は次のように考えましょう。

　Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　Ｅ　Ｆ　Ｇ　Ｈ
○　○　○　○　○　○　○　○　○

図のように９つの○が並んでいるところへ、
仕切りを３つ入れて４つの区間に分けます。

また、仕切りは同じところに２つ以上入れることはできません。
（１つの区間には最低１つの○が含まれるということ）

(3)の問題はこれの場合の数とちょうど同じになります。

４つに分けられた区間がそれぞれ左から赤、青、黄、白の
サイコロの出た目を表していると考えられますからね。

したがって、８つの仕切りを入れる場所から３つを選べばいいので、
答えはnCrを使えば簡単に計算できますね。

ここでもしかすると１つの疑問がわくかもしれません。
「○が７つ以上含まれる区間が出てこないか？」という疑問です。

ただ、ちょっと図を見るとわかりますが、この問題では１つの区間に
７つ以上の○が含まれてしまうことは絶対にないので大丈夫です。

＃ちなみに和が10とかになると７つ以上の○が含まれるケースが出てきます。
＃ですので、その場合はちょっと解き方が複雑になりますね。

(4)
これは簡単ですね。

目の積が奇数になるには、全ての目が奇数、すなわち
1,3,5のどれかじゃなきゃいけないことを考えればわかります。

(5)
これは樹形図を書くのが一番簡単かもしれません。
左から白、黄、青、赤とするといいでしょう。

ヒントとしては、白は1,2,3のどれかじゃなきゃいけなく、
黄は2,3,4のどれかじゃないといけない、というようなことと、
白＜黄＜青＜赤に注意すれば樹形図が書きやすくなりますね。

＃場合の数の問題って、なかなか自信をもって答えられないですね（´∇｀；
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15388．Re: 場合の数、すごく苦手です…教えてください！！
名前：らすかる    日付：6月23日(水) 0時30分
(5)は、１・２・３・４・５・６から４つ選んで
小さい順に白・黄・青・赤と考えると簡単かも。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15393．Re: 場合の数、すごく苦手です…教えてください！！
名前：あゆみ    日付：6月23日(水) 3時59分
AxlRoseさんのやり方を見ながらやってみました！！☆(＾0＾)／

まず、(2)は余事象のベン図を書いてみました！！そうしたら、AxlRoseさんの説明に書いてある式の通りになりました☆
…（1の目が出ない）＋（2の目が出ない）－（1も2も出ない）
　＝671＋671－4×4×4×4
　＝1086

これは、余事象だから、これを全体の6×6×6×6＝1296から引いて、答えは210ですよね？？


そして(3)も(4)も説明を見て、今まで何を考えこんでたかってくらいあっさり解けました☆答えは56、81ですよね？？

(5)は、AxlRoseさんのもらすかるさんのも両方やってみました！！ほんとにありがとうございます☆答えは15ですよね？？

15398．Re: 場合の数、すごく苦手です…教えてください！！
名前：らすかる    日付：6月23日(水) 7時57分
(2)
「1の目が出ない場合の数」は671通りではありません。
671通りは、「少なくとも1個は1の目が出る場合の数」です。
もう一度計算し直してみて下さい。

(3)(4)(5)は正しいです。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15399．Re: 場合の数、すごく苦手です…教えてください！！
名前：あゆみ    日付：6月23日(水) 8時22分
あっ！！そうでした☆

1の目が1つも出ないのは、1296-671＝625で、1296－（625+625-256）＝994で、あっているでしょうか？？？(>_<)

15401．Re: 場合の数、すごく苦手です…教えてください！！
名前：らすかる    日付：6月23日(水) 8時25分
「1296－（625+625-256）」という式は合っているのですが、
なぜか答が違っていますね。302になると思います。
あ、994はカッコ内の計算結果ですね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15403．Re: 場合の数、すごく苦手です…教えてください！！
名前：あゆみ    日付：6月23日(水) 8時45分
あ(>_<)はやとちりをしてしまいました！！そうですね☆今計算しなおしたら答えは302にちゃんとなりました！！

間違えても丁寧に教えてくださってほんとにありがとうございます☆☆☆これからも宜しくお願いします☆

15405．Re: 場合の数、すごく苦手です…教えてください！！
名前：AxlRose    日付：6月23日(水) 13時7分
おめでとうございます（´∇｀*
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15451．Re: 場合の数、すごく苦手です…教えてください！！
名前：あゆみ    日付：6月26日(土) 1時38分
返事遅くなりましたが、こんなに長い文章でわかりやすく教えてくださってありがとうございました！！ただ私がもう少し理解力があればいいのですが……(>_<)！！
でもこれからもわからないところがあったら宜しくお願いします！！

15377．定積分なのですが  
名前：博美    日付：6月22日(火) 19時8分
すみませんが定積分の問題がわからないので教えてください。数学の講座で出題された問題なのですが全然わからないので。
１つめ　　∫[下0、上∞]1/(x^2+x+1)dx
２つめ　　∫[下0、上１]x√(1-x)dx
誠に御多忙かと思いますが宜しくお願いします。


15379．Re: 定積分なのですが
名前：AxlRose    日付：6月22日(火) 19時29分
こんばんは。

(1)
1/(x^2+x+1) の分母を平方完成してから、
t=x+(1/2) と置換積分をすれば解けます。

(2)
t=√(1-x) と置換すれば、
t^2=1-x　（参考：x=1-t^2）
2tdt=-dx
-2tdt=dx

となるので、積分が計算できます。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15397．Re: 定積分なのですが
名前：博美    日付：6月23日(水) 7時55分
返信ありがとうございます。置換積分をするということはあとからもどすということでしょうか？あまり得意ではないので具体的にお聞きしたいのでお願いします。

15406．Re: 定積分なのですが
名前：AxlRose    日付：6月23日(水) 13時10分
こんにちは。

このような定積分（積分範囲が指定されている積分のこと）では、
置換積分を行った際に上端と下端の値も変化します。

ですので、最後にもとの変数に戻すという必要はありません。

例えば(1)でt=x+(1/2)という置換をすると、
x：0→∞　のとき、　t：1/2→∞　となり、
下端を1/2に、上端を∞にしてあげればいいですね。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15370．(untitled)  
名前：mika    日付：6月22日(火) 16時53分
ある整数Aから１１９までの奇数の和と偶数の和を調べたところ、
奇数の和のほうが偶数の和より６７大きくなりました。
この時、Aの値はいくつか？
ただし、Aは０より大きく１１９より小さいものとします。


15371．Re: (untitled)
名前：かめい    日付：6月22日(火) 17時6分
Aが奇数のときと偶数のときで場合分けしてみては？

15373．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：6月22日(火) 17時10分
Ａが偶数の場合、
Ａが１１８とすると、偶数１１８，奇数１１９　で奇数が１大きい。
Ａが１１６とすると、偶数２３４，奇数２３６　で奇数が２大きい。
のように、調べていきます。
あとは、Ａが奇数の場合も、同様に
Ａが１１７とすると、偶数１１８，奇数２３６　で奇数が１１８大きい。
Ａが１１５とすると、偶数２３４，奇数３５１　で奇数が１１７大きい。
のように調べます。
　
http://yosshy.sansu.org/

15381．Re: (untitled)
名前：Rattle    日付：6月22日(火) 19時59分
方程式を無理やり作ると
1)Aが奇数のとき
A+(A+2)+…+119-{(A+1)+(A+3)+…+118}=67
A+1*[{119-(A+2)}/2 +1]=67
(119+A)/2=67
A=15
2)Aが偶数のときも同様に。

15428．Re: (untitled)
名前：mika    日付：6月24日(木) 19時4分
たくさんの返信ありがとうございました。
なんとか解くことができました。
またよろしくおねがいします。

15368．三角形の頂点座標から角度を求める  
名前：ソイタ    日付：6月22日(火) 11時32分
三角形の3頂点の座標(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)から
三角形の3つの角度θ1, θ2, θ3をdeg単位(°)で求める。

上記の求め方がわからないので、よろしくお願いします。


15374．Re: 三角形の頂点座標から角度を求める
名前：ヨッシー    日付：6月22日(火) 17時12分
余弦定理で、cosθ1,cosθ2,cosθ3 を出します。
角度がきれいに出るかは別問題で、たいていはピッタリした数値では出ません。
三角比表を使うのが便利です。
　
http://yosshy.sansu.org/

15365．値域  
名前：貴    日付：6月22日(火) 4時58分
ｙ＝（２ｘ－１）／（ｘ＋１）･･･①（ｘ≧０）の値域が、
－１≦ｙ＜２になっていました。

－１≦ｙ≦２ではないのは、①を変形したときに、
ｙ＝－３／（ｘ＋１）＋２となるので、
－３／（ｘ＋１）が、限りなく０（０ではない）に近づくからですかね？

どなたか教えてください。お願いします。


15375．Re: 値域
名前：ヨッシー    日付：6月22日(火) 17時14分
０に近づくが０にはならない、ということですね。
試しに、（２ｘ－１）／（ｘ＋１）＝２
とすると、
　２ｘ－１＝２ｘ＋２
となり、あり得ない式になります。
　
http://yosshy.sansu.org/

15395．Re: 値域
名前：貴    日付：6月23日(水) 5時39分
よっしーさん、ありがとうございます！！

一人で考えていて、間違えてるんじゃないかなーっと思っていたのですが、
すっきりしました。

15362．三角形の五心  
名前：クレオ    日付：6月22日(火) 0時56分
△ABCの重心を書きなさいという問題は、3辺の中点と頂点を結べばいいのですか？
コンパスを使ったりしないですか？


15367．Re: 三角形の五心
名前：pi_moru    日付：6月22日(火) 10時11分
中点を結べば重心になります。

作図の基本は定規（モノサシでは、ありません。）とコンパスです。
辺の中点を決めには、コンパスが必要です。

15357．空間ベクトル  
名前：ありさ    日付：6月21日(月) 23時10分
空間内に４点Ａ（2、3、√5）、Ｂ（1、0、0）、Ｃ（0、2、0）、Ｄ（4、4、0）がある。このとき「ＡＤベクトル×ＡＢベクトル」「ＡＤベクトル×ＡＣベクトル」「三角形ＢＣＤの面積」「四面体ＡＢＣＤの体積」「三角形ＡＢＣの面積」が分かりません↓↓教えてください★


15416．Re: 空間ベクトル
名前：ケロ    日付：6月24日(木) 1時1分
ＡＤベクトル×ＡＢベクトル(AD↑×AB↑)の場合。
AD↑=(4-2, 4-3, 0-√5)=(2, 1, -√5), AB↑=(1-2, 0-3. 0-√5)=(-1, -3, -√5)
成分を次のように書き並べます。x成分を最後に書き加えます。
2, 　1, -√5, 2
-1, -3, -√5 -1
2列目と3列目から始め、たすき掛けの引き算をします。
1×(-√5) – (-√5)×(-3)= - 4√5,
(-√5)×(-1) - 2×(-√5) = 3√5,
2×(-3) - 1×(-1)= -5
すると、AD↑×AB↑= (- 4√5, 3√5, -5)。
この問題にはありませんが、三角形ABDの面積Sは|AD↑×AB↑|の半分になります。
S = (½)√((- 4√5)^2 + (3√5)^2 + (-5)^2)=…
四面体ＡＢＣＤの体積は三角形BCDがxy平面上にありますから、三角形BCDの面積を上の方法で出しますと、高さは点Aのz座標になると思います。
計算すると間違えそうなので差し控えます。nazekawashiranedomo.

15356．教えてください  
名前：あき　    日付：6月21日(月) 22時18分
以前レスしていただいたのですが、A＾ｘが定義された時、A＾（ｘ＋ｙ）＝A^xA＾ｙとなることで、ｘ、ｙが有理数の時はわかったのですが、有理数でない時の証明ができません。どうか教えてください

15353．積分の問題  
名前：せな    日付：6月21日(月) 20時58分
(ａ)　∫x^2/(x+1)dx
(b) ∫tan^(-1)dx
(c) ∫(2x+3)/(x^2-x+1)dx
の３つの積分を求める問題がどうしてもわからないので、御指導宜しくお願いします。分数の積分は苦手です。


15355．Re: 積分の問題
名前：c.e.s.    日付：6月21日(月) 21時58分
(a)x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1) まず割り算して分子を分母より次数を下げておくのが定石です。
(b)tan^(-1)xではtanの逆関数か1/tan(x)かどっちか分かりません。
(c)(2x+3)/(x^2-x+1)={2(x-1/2)+4}/{(x-1/2)^2+3/4}
=2(x-1/2)/{(x-1/2)^2+3/4}+4/{(x-1/2)^2+3/4}
第一項は分母を微分すると分子になることが分かるので…
第二項はx-1/2=√3/2 tanθとでもしてみると…

15366．Re: 積分の問題
名前：せな    日付：6月22日(火) 7時35分
ありがとうございます。（２）については問題の重大なミスを犯してしまい申し訳ございません。訂正させていただきます。
　(２)　∫tan^-1xdx
です。他の問題についても具体的な計算の仕方などを書いてくださると理解しやすいのでお願いできますか？また答えのない問題集なので、確かめもしたいのでお願いします。

15380．Re: 積分の問題
名前：c.e.s.    日付：6月22日(火) 19時43分
重要な公式の1つに∫(x^n)dx={x^(n+1)}/(n+1)、∫{f'(x)/f(x)}dx=log|f(x)|があります。
(a)∫{x^2/(x+1)}dx
=∫{x-1+1/(x+1)}dx (割り算して分子の次数を分母より下げる)
=(x^2)/2-x+log|x+1| (以下積分定数を省略します)
(b)tan^(-1)xが1/tan(x)だということにしておきます。
∫{1/tan(x)}dx=∫{cos(x)/sin(x)}dx=log|sin(x)|
(c)(2x+3)/(x^2-x+1)=(2x-1)/(x^2-x+1)+4/{(x-1/2)^2+3/4}
∫{(2x-1)/(x^2-x+1)}dx=log|x^2-x+1|
∫4/{(x-1/2)^2+3/4}dx
=∫(8/√3)dt(x-1/2=√3/2 tan(t)と置換するとdx=√3dt/(2cos(t)^2)となる)
=8t/√3=(8/√3)arctan{(-1+2x)/√3}
よって∫{(2x-1)/(x^2-x+1)}dx=log|x^2-x+1|+(8/√3)arctan{(-1+2x)/√3}

15352．複素数の問題（高３）  
名前：コリィ    日付：6月21日(月) 20時53分
(１)
Ｚが虚数でＺ＋１/Ｚが実数のとき|Ｚ|の値ａを求めよ。
(２)
(１)で求めたａに対して条件|Ｚ|＝ａをみたしながらＺが動くとき
ｗ＝（Ｚ＋√2＋ｉ×√2）^4の絶対値と偏角の動く範囲を求めよ。

です。どこからやっていいのか分かりません。教えて下さい。
ちなみに、（２）の「ｉ」は虚数単位のアイです。


15361．Re: 複素数の問題（高３）
名前：momono花    日付：6月22日(火) 0時52分
とりあえず(1)は
Z + (1/Z)が実数　⇔　Z + (1/Z) = {Z + (1/Z)}~ 　　(~はバー)
ということを使いましょう。

15382．Re: 複素数の問題（高３）
名前：ケロ    日付：6月22日(火) 21時2分
こんばんは。
(1)はmomono花さんの式から|z|=1となると思います。
(2)は図形で考えてみます。括弧の中身z+√2 + i√2は単位円|z|=1を平行移動して、中心を√2 + i√2にしたものです。
xy平面で考えると、(x - √2)^2 + (y - √2)^2 = 1の円ということになります。すると、問題が単純になります。
「補題。 原点と円(x - √2)^2 + (y - √2)^2 = 1との距離の最大値と最小値を求めよ。
原点から円(x - √2)^2 + (y - √2)^2 = 1に引いた接線がx軸となす角の最大値と最小値を求めよ。」
4乗ということはド・モアブルの定理より絶対値を4乗、偏角を4倍することと同じなので、．．．。
で出来ると思いますが。omoichigaigaarimashitaragomennasai.

15351．わかりません…  
名前：yu    日付：6月21日(月) 20時49分
三角形の各辺の中点の座標が、（－１、－１）、（０、１）、（２、－２）であるとき、この三角形の３つの頂点の座標を求めよ。
この問題の解答と解説をお願いします。


15354．Re: わかりません…
名前：さすらい人    日付：6月21日(月) 21時51分
グラフにそれぞれの中点をプロットして、いい加減で構いませんので三角形を描いて下さい。(-1,-1)を中点とする辺と(0,1)を中点とする辺とで作る頂点をＡ(Xa,Ya)、(2,-2)を中点とする辺と(0,1)を中点とする辺とで作る頂点をＢ(Xb,Yb)、(2,-2)を中点とする辺と(1,-4)を中点とする辺とで作る頂点をＣ(Xc,Yc)と置きます。《解答では、「図のように頂点を取ると」で構わないと思います。》あとは、
((Xa+Xc)/2,(Ya+Yc)/2)=(-1,-1)　...etc
のように、それぞれの中点であることを利用すれば、
連立６元１次方程式が出てきて、計算すれば、
Ａ(-3,2)、Ｂ(3,0)、Ｃ(1,-4)と簡単に答えが出てきます。

15378．Re: わかりません…
名前：花パジャ    日付：6月22日(火) 19時13分
一般の三角形で、3つの辺の中点と頂点のうちの1つとを考えると、平行四辺形になります。
ですから、ベクトルで考えれば、簡単に解けます。

例えば、△ABCに対して、BCの中点をa,CAの中点をb,ABの中点とすると
　aA=ab+ac
原点O基準に変形すると
　OA-Oa=(Ob-Oa)+(Oc-Oa)
　OA=Ob+Oc-Oa

尚、計算を楽にするには
　OA=Ob+Oc+Oa-2*Oa
として
　(1,-2)
から、それぞれの中点の座標の2倍を引いていく、がいいかも

15350．ベクトル方程式について  
名前：gungunir    日付：6月21日(月) 20時13分
こんにちは。高2のgungunirです。
ベクトルを示すものは《》ベクトルの大きさを示すものは［］で表します。
《OA》＝《a》,《OB》＝《b》,［a］＝［b］＝1,《a》・《b》＝ｋのとき、線分OAの垂直二等分線のベクトル方程式を媒介変数ｔと《a》,《b》,kを用いて表せ。という問題で、自分は下の解き方をしたのですけど、答えが違っています。どこがいけないのか教えてください。ちなみに答えは《p》＝1/2《a》+t(k《a》-《b》)です。
【僕の解き方】
求めるベクトルを《p》とし、OAの中点をMとする。
また《p》上に《OC》＝m《b》となる点Cをとる。
するとMC＝－1/2《a》+m《b》よって《MC》⊥《OA》なので
（－1/2《a》+m《b》）・《a》=0 ⇒ m＝1/(2k)
よって《OC》＝1/（2k）《b》
なので《p》は点Mと点Cを通るので
《p》＝1/2t《a》+1/(2k)(1-t)《b》


15359．Re: ベクトル方程式について
名前：ケロ    日付：6月22日(火) 0時30分
こんばんは。
gungunirさんの答のtに1+2tkを代入すると問題集の答になります。
ということはtの設定が異なっているだけで、あっているということだと思います。
解き方が違っているだけでしょう。でも、gungunirさんの答ですと、
k=0の場合が表されていませんので、垂直二等分線との交点が抜けてしまいます。
k=0の場合を付け加えれば、正解だと思います。
問題集の答にどうたどり着くのかはやっていませんが。

15363．Re: ベクトル方程式について
名前：tobira    日付：6月22日(火) 4時0分
解答と同じにするには

Bから 直線OAにひいた垂線とOAの交点をCとして、《OC》＝m《a》とおき、
《BC》＝m《a》＋《b》、《BC》⊥《OA》よりm＝ｋと求め
求めるものは「Mを通りBCに平行な直線」なので
《p》＝1/2《a》+t(k《a》-《b》)

15364．Re: ベクトル方程式について
名前：tobira    日付：6月22日(火) 4時4分
訂正です。m(__)m

下から2行目の出だし
《BC》＝m《a》＋《b》
でなく
《BC》＝m《a》－《b》
でした。
・・・・・・すみません。

15386．Re: ベクトル方程式について
名前：gungunir    日付：6月22日(火) 23時18分
あんなに見にくい文章を読んで返信してくださり本当にありがとうございました。
また何かわからないことがあったときはよろしくお願いします。

15333．連続関数  
名前：あき　    日付：6月20日(日) 14時42分
limF(x)=α>0（ｘ→ａ）,limG（ｘ）＝∞（ｘ→ａ）ならｌｉｍF（ｘ）G（ｘ）＝∞（ｘ→ａ）の証明を教えてください


15340．Re: 連続関数
名前：さすらい人    日付：6月20日(日) 21時20分
証明する以前に明らかなような気もしますが、
あえて書くなら

Pr.)題意よりx→aのときF(x)=α, G(x)＝∞
したがって、x→aのとき
　　F(x)・G(x)＝α・∞＝∞ ∵α>0
　　ゆえに、x→aのとき　F(x)・G(x)＝∞

こんな感じでいいんじゃないでしょうか？
もちろん、limを使った方がいいですが、掲示板に打つと見にくいのでやめました。

15342．Re: 連続関数
名前：StoneWall    日付：6月21日(月) 1時10分
証明に

α･∞

という書き方は使わないほうが良いと思います。
∞はあくまで形容詞みたいなものなので。
http://f42.aaacafe.ne.jp/~chembox/

15343．Re: 連続関数
名前：あき　    日付：6月21日(月) 7時56分
ではどのようになるのですか？

15346．Re: 連続関数
名前：ころっさす    日付：6月21日(月) 12時21分
　lim_{x→a}F(x)＝α＞0
より，適当な区間 |x-a|＜s 上で α/2＜F(x)．

　lim_{x→a}G(x)＝+∞
より，任意の正数 K に対して，適当な区間 |x-a|＜t 上で 2K/α＜G(x)．

このとき，区間 |x-a|＜min{s,t} 上で K＝(α/2)×(2K/α)＜F(x)×G(x)，つまり
　lim_{x→a}F(x)×G(x)＝+∞．

15349．Re: 連続関数
名前：さすらい人    日付：6月21日(月) 18時54分
う～ん、追い出しを使うという手がありましたか。それに比べ、私の証明は稚拙すぎましたね…。『あき』さん、申し訳ありません。

15358．Re: 連続関数
名前：あき　    日付：6月21日(月) 23時53分
ありがとうございました

15328．２次関数  
名前：桃    日付：6月20日(日) 11時37分
x=1のとき最小値をとる。また、３≦ｘ≦５における最大値、最小値はそれぞれ９，３である。

つぎの2次関数の式をもとめたいのですが、わかりません。
グラフはどのようになるのでしょうか。。。
よろしくおねがしいます。


15330．Re: ２次関数
名前：さすらい人    日付：6月20日(日) 12時40分
f(x)=a(x-p)^2+q　とおく
題意より　f(1)=q　∴p=1
また、y=f(x)のグラフは下に凸であるので　f(3)=3, f(5)=9
したがって f(3)=a(3-1)^2+q=3 ⇔ 4a+q=3
　　　　 f(5)=a(5-1)^2+q=9 ⇔ 16a+q=9
　　　　　　　　　∴a=1/2, q=1

Ans.f(x)=1/2(x-1)^2+1

もっとスマートな解答があるかもしれませんが、こんな感じで。

15331．Re: ２次関数
名前：あいこ(高2)    日付：6月20日(日) 13時42分
もとめる2次関数の式が下に凸となるのは分かりますか？

15337．Re: ２次関数
名前：まみ    日付：6月20日(日) 19時56分
下に凸になるのは分かります。

どうして　f(3)=3, f(5)=9になるのかが分かりません。

15338．Re: ２次関数
名前：Bob    日付：6月20日(日) 20時21分
グラフはかけましたか？
頂点をしっかり記入してください。

つぎに適当にｘ＝３とｘ＝５の点を
グラフに書きこみましょう。
どちらがｙ座標が大きいか比較しましょう。

15341．Re: ２次関数
名前：桃    日付：6月20日(日) 22時57分
グラフを書いてみると分かってきました。
解説ありがとうございました。

15327．軌跡を教えてください  
名前：けん    日付：6月20日(日) 11時10分
はじめましてけんです。社会人です。

点Aは円
　x^2+y^2=1　（y>0）
　の上にある。
点Bは円
　(x-2)^2+y^2=4　（y>0）
　の上にある。
点Aと点Bは、それぞれの円上を
可動とするが、その距離は　√5　とする。

点Aと点Bを結ぶ直線ABを3:1に分割する点Cの
軌跡はどうなるか?

どうか教えてください。


15334．Re: 軌跡を教えてください
名前：さすらい人    日付：6月20日(日) 17時5分
力業でなら、図形的に考え、パラメーター表示で答えが出ないでもないですが、計算がかなり面倒です。何かもっとスマートな解法があるように感じますね…。ん～…。

15336．Re: 軌跡を教えてください
名前：けん    日付：6月20日(日) 17時54分
ありがとうございます。

C点の軌跡としては、どこか一点を
中心とする円になるのでしょうか？

なんとか、お教えいただけませんでしょうか？

なにとぞどうぞよろしくお願いいたします。

15339．Re: 軌跡を教えてください
名前：さすらい人    日付：6月20日(日) 20時54分
C点の軌跡は円のようなキレイな形にはなりません。おそらくは、前回も書きましたようにパラメータ表示で解が出て、いびつな釣り針のような形になるものと思われます。時間さえあれば力業でもいいのですが、とても打てる量ではありません…。きっと、何か気づくべきことに気がついていないのでしょう…。
『軌跡の問題が得意な方！ＨＥＬＰ！！』
というのが、正直なところでしょうか…。
お力になれず、申し訳ありません。

15360．Re: 軌跡を教えてください
名前：けん    日付：6月22日(火) 0時34分
なんとか教えてください。
どうぞよろしくお願いいたします。

15369．Re: 軌跡を教えてください
名前：pi_moru    日付：6月22日(火) 14時8分
Original Size: 714 x 542, 7KB

少し考えて見ましたが、まったくうまくいきません。

そこで、実際に作図してみました。さすらい人さんの指摘のように釣り針のような形になっています。


15376．Re: 軌跡を教えてください
名前：らすかる    日付：6月22日(火) 17時40分
強引に計算したら次のような式になりました。
x=(10t^2+t-18-6√(t^4+2t^3-5t^2-2t+4))/(16t-20)
y=(√(1-t^2)+3√(4-((2t^2-6t+4-2√(t^4+2t^3-5t^2-2t+4))/(4t-5))^2))/4
(-1＜t＜1)
グラフを描いたらpi_moruさんのグラフとそっくりになりましたので、
多分合っていると思います。

# 式はもう少し整理出来そうですが、やる気が起きません。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15392．Re: 軌跡を教えてください
名前：けん    日付：6月23日(水) 2時52分
ありがとうございます。

釣り針型ということは、
点Cの軌跡としては、どこか一点を中心とする
真円を描くわけではないのですね？


また教えてください。

15400．Re: 軌跡を教えてください
名前：らすかる    日付：6月23日(水) 8時22分
Original Size: 497 x 250, 6KB

参考までに、これが私の式をグラフにしたものです。
軌跡(紫色)の部分を拡大しています。
明らかに真円にはならないですね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp


15412．Re: 軌跡を教えてください
名前：けん    日付：6月23日(水) 21時45分
本当にありがとうございました。

C点が
　円　x^2+y^2=1　（y>0）
　の上にある、すなわち
A点＝C点であれば
C点の軌跡は中心（0,0)半径1の真円となりますよね。
また、C点が
円　(x-2)^2+y^2=4　（y>0）
　の上にある、すなわち
B点＝C点であれば
C点の軌跡は中心(2,0)半径２の真円となりますよね。

それがA点B点間長さ固定の
直線上の点が描く軌跡は
真円にならないのは、
ちょっと不思議な気がします。

２円の半径が同じであれば、
２点を結ぶ直線上の点は
同じ半径の真円を描くと考えます。

これらの内容は当たり前のことなのでしょうか？
考え方を教えてください。

よろしくお願いいたします。

15413．Re: 軌跡を教えてください
名前：らすかる    日付：6月23日(水) 22時59分
＞２円の半径が同じであれば、
＞２点を結ぶ直線上の点は
＞同じ半径の真円を描くと考えます。

これは違うと思います。
２円の半径が同じで、かつＡＢの長さが
円の中心の距離と等しければそう言えますが、
例えば
・Ａは (x+1)^2+y^2=1 上の点
・Ｂは (x-1)^2+y^2=1 上の点
・ＡＢの長さは1/2
のような例を考えると、真円にならないと思います。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15418．Re: 軌跡を教えてください
名前：けん    日付：6月24日(木) 1時56分
ありがとうございます。
おっしゃるとおりです。

２円の半径が同じで、かつＡＢの長さが
円の中心の距離と等しい場合にだけ、
Ｃ点がＡＢ間のどこにあっても、
真円を描くということですね。

逆に、上記条件から外れれば、
真円にならないとも言い切れますでしょうか？

また、お教えいただけますでしょうか？

15419．Re: 軌跡を教えてください
名前：らすかる    日付：6月24日(木) 2時34分
もしかしたら、半径が違ってもＡＢの長さと中心の距離と半径が
特定の関係がある時に真円になるということがあり得るかも
知れませんので、ちゃんと調べないとどんな場合に真円になるかは
わからないですね。
例えば、半径が違っても中心位置が同じならＡＢの長さによらず
真円になりますよね。
直感的には、半径が異なって０でなく、中心位置も異なっていれば、
真円にはならなそうな気がしますが、そのことをちゃんと調べるのは
とても大変だと思います。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15434．Re: 軌跡を教えてください
名前：けん    日付：6月24日(木) 22時42分
確かに、お教えいただいたとおりのような気が
してきました。
中心が同じなら、半径が違っても確かに
真円ですね。

とにかく、それら証明があまくはないと
いうことがよくわかりました。

ありがとうございました。
またいろいろ教えてください。

15326．乱数表  
名前：両津　勘吉    日付：6月20日(日) 9時52分
乱数表ってどうやって作っているんですか？
コンピューターに乱数表など作れるのでしょうか？コンピュータなのだから、規則的な乱数表になりませんかね・・・なるような気がしてならない…


15329．Re: 乱数表
名前：c.e.s.    日付：6月20日(日) 12時39分
そうですね。通常、コンピュータの乱数は擬似乱数であり、完全な乱数ではありません。(多くの場合)擬似乱数にはseed(種)というものを与え、それを元に擬似乱数を発生させるので、同じseedに対しては常に同じ数列を発生します。(そしてまた多くの場合)seed(種)として時刻を与えることで常に異なった数列を発生させるようにしています。

15335．Re: 乱数表
名前：両津　勘吉    日付：6月20日(日) 17時40分
なるほど！面白い話をどうもありがとうございました。

15318．積分  
名前：両津　勘吉    日付：6月19日(土) 19時43分
こんにちは。

∫(x^2 +3)sinx dx
を教えてください。よろしくお願いします。


15319．Re: 積分
名前：AxlRose    日付：6月19日(土) 19時54分
こんばんは。

∫(x^2+3)sinx dx
=∫(x^2+3)(-cosx)' dx
=-(x^2+3)cosx - ∫(2x)(-cosx) dx
=-(x^2+3)cosx + ∫2xcosx dx
=-(x^2+3)cosx + ∫(2x)(sinx)' dx
=-(x^2+3)cosx + 2xsinx - ∫(2sinx) dx
=-(x^2+3)cosx + 2xsinx + 2cosx + C
=-x^2cosx + 2xsinx - cosx + C

これは部分積分の基本的な問題です。

基本的な知識なくして応用には取り組めません。
基本的な内容をまずしっかりと習得することに力をいれていただきたいと思います。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15320．Re: 積分
名前：両津　勘吉    日付：6月19日(土) 20時8分
アクセルさん、どうもありがとうございました。
りかいできました。

15315．お願いします  
名前：Rattle    日付：6月19日(土) 17時8分
成分が０または１であるような行列Ａは次の条件を満たすとする。
1.各iに対して、第(i,j)成分が１となるような番号jの全体は等差数列をなす。
2.その公差dはiによらず一定である。
このとき行列式|A|は-1,0,1のいずれかであることを示せ。


15344．(untitled)
名前：Rattle    日付：6月21日(月) 8時12分
どうやって証明すべきかよくわかりません。場合わけの仕方であるとか。

15345．Re: お願いします
名前：ころっさす    日付：6月21日(月) 12時10分
Aをn次とします．
(1) 0のみからなる行があるとき，|A|=0
(2) 0のみからなる列があるとき，|A|=0
(3) 1を2個以上含む列があるとき，それらの1を含む行は他の成分も一致するので，|A|=0
上記以外のとき
(2)，(3)より，各列は1を1個だけ含むから，Aに含まれる1は全部でn個，(1)と合わせて，各行も1を1個だけ含む．つまり，(i,x(i))成分=1 とおくと，x(1)，…，x(n)は1，…，nにある置換を施したものとなり，|A|=(その置換の符号)=(1または-1)．

# |A|≠0 の場合は，実際にAを幾つか作ってみると判りやすいでしょう

15348．Re: お願いします
名前：Rattle    日付：6月21日(月) 17時26分
(3) 1を2個以上含む列があるとき，それらの1を含む行は他の成分も一致するので，|A|=0
について。必ずしもこうなるとは限らないのでは？
例えばn=5として、第１行(1,0,1,0,1),第２行(0,1,0,1,0),第３行(1,0,1,0,0),第４行(0,1,0,0,0),第５行(1,0,0,0,0)についてはどうでしょう？
　　　　

15312．何故微分するのか  
名前：今田美幸    日付：6月19日(土) 16時11分
二項定理の証明に付いて何故微分するのかを教えて下さい。単に係数を求めるのではなく、テイラー展開などについても調べたのですが分かりませんでした。宜しくお願い致します。


15313．Re: 何故微分するのか
名前：ast    日付：6月19日(土) 16時39分
http://bbs5.cgiboy.com/p/74/00242/
http://yuki.to/math/prybbs.html?mode=res&no=11702

15309．(untitled)  
名前：こうすけ    日付：6月19日(土) 15時39分
1りっとるは、何ピコリットル？
中二


15311．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：6月19日(土) 15時59分
ミリ＝10^(-3)＝1/1000＝千分の一
マイクロ＝10^(-6)＝1/1000000＝百万分の一
ナノ＝10^(-9)＝1/1000000000＝十億分の一
ピコ＝10^(-12)＝1/1000000000000＝一兆分の一
従って１リットルは１兆ピコリットルです。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15316．Re: (untitled)
名前：こうすけ    日付：6月19日(土) 17時46分
やっと分りました。愚問ですみませんでした。

15300．基本かもしれませんが分かりません  
名前：中３のあまり頭の良くない男子    日付：6月18日(金) 23時3分
ＡＢ・ＣＤ＋ＢＣ・ＤＡ＝ＡＣ・ＢＤの「・」ってどうゆう意味ですか？最近数学に興味を持ち始めたのですが定理でよくこれが出てくるのでどうゆう意味かわからない限り定理が理解できません。


15301．Re: 基本かもしれませんが分かりません
名前：c.e.s.    日付：6月18日(金) 23時30分
掛け算の「×」の代わり。

15302．Re: 基本かもしれませんが分かりません
名前：さすらい人    日付：6月18日(金) 23時37分
c.e.s.さんのおっしゃる通り、「・」っていうのは「×」のことです。通常は省略して書かない事が多いのですが、図形問題等で辺ＡＢと辺ＣＤの長さをかける時など、あえて書かないと意味が違ってくる場合には必ず書く必要がありますね。

15303．Re: 基本かもしれませんが分かりません
名前：中３のあまり頭の良くない男子    日付：6月19日(土) 7時7分
分かりました　本当に有難うございます

15298．三角関数  
名前：６次・・・    日付：6月18日(金) 19時29分
sin(X)=2cos(3X)　(0≦X≦2π)　を解きたいのですが、６次方程式になってしまう上に、整数解を持たない雰囲気なんです。何かルツボにはまってるんでしょうか・・・。どなたかお願いします。


15304．Re: 三角関数
名前：花パジャ    日付：6月19日(土) 10時33分
sin(x)=2cos(3x)
　=2(cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x))
　=2((cos^2(x)-sin^2(x))cos(x)-2sin^2(x)cos(x))
　=2cos(x)(cos^2(x)-3sin^2(x))
cos(x)≠0なので両辺に
　1/cos^3(x)=(1+tan^2(x))/cos(x)
をかけて
　tan(x)(1+tan^2(x))=2(1-3tan^2(x))
ここで
　t=tan(x)
と置いて
　t(1+t^2)=2(1-3t^2)
　t^3+6t^2+t-2=0
　(t+2)^3-11(t+2)+12=0
更に
　s=t+2=tan(x)+2
と置いて
　s^3-11s+12=0
sは整数にはなりません(-4～-3,-1～0,0～1に1つずつ)。

15308．Re: 三角関数
名前：花パジャ    日付：6月19日(土) 14時48分
>　s^3-11s+12=0
>sは整数にはなりません(-4～-3,-1～0,0～1に1つずつ)。

「-4～-3,1～2,2～3に1つずつ」の誤り

当然、分数にもなりません。
で、三次方程式の解の求め方に従って
　s=u+v
と置くと、u^3,v^3は
　y^2+12y+(11/3)^3=0
の解
　y=-6±i√(359/27)
....

15322．Re: 三角関数
名前：６次・・・    日付：6月19日(土) 22時12分
ありがとうございました。tanに統一するという発想が出てこず、三倍角でぐちゃぐちゃやって６次にしてしまったのがダメでしたね・・・。コンピューターと手計算で計算したところ、かなり汚い解でしたが、Ｘが求まりました。感謝いたします。

15323．Re: 三角関数
名前：二代目    日付：6月20日(日) 6時9分
６次といっても、cos2(x) の３次式でしょ？
# それが簡単に解けるわけではありませんが

15294．確率  
名前：kk    日付：6月18日(金) 12時52分
サイコロを１２０回振って次の結果を得た。このサイコロは正しくないと言えるか。危険率５％で検定せよ。

目の数　　１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６　　　計
出た回数　27 　12 　　　14 　　28 　　15 　　　24 　　120

回答可能な方がいましたら、宜しくお願いします。


15296．Re: 確率
名前：Red cat    日付：6月18日(金) 14時50分
# 久しぶりに降臨してみましたw
χ2 分布を用いた適合度検定ですね。

サイコロで i の目が出る確率を pi , 実際に i の目が出た回数を fi , 全試行回数を n とします。このとき
χ20 = Σi = 16 (fi - npi)2/npi
は自由度が 6 - 1 = 5 の χ2 分布に従います。

そこで帰無仮説を
H : p1 = … = p6 = 1/6
として、実際に χ20 を計算し、後は χ2 分布 の表を見て判定します。
(数学愛好猫)
http://redcat.web.infoseek.co.jp/

15347．Re: 確率
名前：kk    日付：6月21日(月) 15時44分
ありがとうございます。
確率は難しすぎますね。
またお聞きすると思いますが、宜しくお願いします。

15293．図形と方程式  
名前：あいこ(高2)    日付：6月18日(金) 12時19分
次の不等式の表する領域を図示せよ。

｜x｜+｜y｜≦1

という問題なのですが、どこから手をつけてよいか分かりません。どなたか御指導していただければ幸いです。


15295．Re: 図形と方程式
名前：pi_moru    日付：6月18日(金) 14時4分
ヒントはまず、場合を分けて考えることです。

1) x<0,y<0
2) x<0,0≦y
3) 0≦x,y<0
4) 0≦x,0≦y

上の4つの場合についてそれぞれグラフを描いてみては。

15297．Re: 図形と方程式
名前：ich habe hunger    日付：6月18日(金) 18時53分
こんにちは。
　
求める図形は x 軸対称かつ y 軸対称であることはあきらかです。
従って、x>0 , y>0 の範囲で絶対値を外し、その図形を
x 軸、y 軸について対称移動してやれば終わります。

15317．Re: 図形と方程式
名前：あいこ(高2)    日付：6月19日(土) 18時7分
pi_moruさん、ich habe hungerさん、御指導有難うございました。

皆様の御指導を参考に、再び考えなおしてみました。

まず、｜x｜+｜y｜≦1･･･(１) を図示するにあたり、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限における(１)のｘとｙについて、場合分けをします。そうすると各々の象限においてｘとｙは、0≦x,0≦y　　x<0,0≦y　x<0,y<0　0≦x,y<0　に分けることが出来る。そして図示する。

以上の考えました。御指導とても助かりました。心からお詫び申し上げます。

15324．Re: 図形と方程式
名前：ヤッス    日付：6月20日(日) 9時30分
似たような問題が２００３年度の九大入試問題で出ていたので紹介しておきます。

15325．Re: 図形と方程式
名前：ヤッス    日付：6月20日(日) 9時31分
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho03/kyushu/zenki/ri_sugaku/mon2.html

15332．Re: 図形と方程式
名前：あいこ(高2)    日付：6月20日(日) 13時49分
ヤッスさん、有難うございました。早速解いてみたいと思います。

15286．もう１題ありました  
名前：高一    日付：6月17日(木) 22時39分
問題：四角形ABCDは円に内接し、Eは直線AB、CDの交点、Fは直線AD、BCの交点である。∠E、∠Fの二等分線を引いたとき、四角形の辺との交点を図のようにG、J、H、Iとするとき、四角形GJHIはひし形であることを証明せよ。


15292．Re: もう１題ありました
名前：tobira    日付：6月18日(金) 0時57分
∠E、∠Fの二等分線が、四角形GJHIの対角線となるので、
これが直交することを証明すれば・・・
（円に内接する四角形の角度の性質を利用）

例えば(方法はいくつか・・・)
∠E、∠Fの二等分線の交点をP
四角形EAFDとEPFDで
①∠E＋∠F＋∠B＝(∠D)＝180－∠B
②1/2(∠E＋∠F)＋∠P＝(∠D)＝180－∠B
①②より∠P＝90

15285．ヒントだけでも教えて下さい  
名前：高一    日付：6月17日(木) 22時34分
問題：円に内接する四角形ABCDの外接円の弧AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、SとするときPR⊥QSであることを示せ


15287．Re: ヒントだけでも教えて下さい
名前：かめい    日付：6月17日(木) 22時46分
PRとQSの交点をT,円の中心をOとする。このとき、∠SRT＋∠RST＝90°となればよい。∠SRT＝∠QSC＋∠RSC＝1/2∠BOC＋1/2∠COD。
ここまでをヒントに。

15288．Re: ヒントだけでも教えて下さい
名前：かめい    日付：6月17日(木) 22時48分
すいません。∠SRTではなく、∠TSRでした。

15289．Re: ヒントだけでも教えて下さい
名前：かめい    日付：6月17日(木) 22時50分
また間違えました。1/2でなく、1/4です。

15290．Re: ヒントだけでも教えて下さい
名前：高一    日付：6月17日(木) 23時21分
１/4は∠BOCと∠CODの両方ですか？

15291．Re: ヒントだけでも教えて下さい
名前：高一    日付：6月17日(木) 23時45分
この問題解けました。ヒントありがとうございました。

15282．また某校の入試問題ですが・・・  
名前：天極（高１）    日付：6月17日(木) 20時35分
BC＝15、BD＝12、∠CBD＝2∠ABDとなる四角形ABCDがある。
△ABDの外接円と辺CDとのD以外の交点をPとすると、直線BPは∠CBDを二等分した。
また、BP＝13となった。このとき、次の問いに答えよ。

１、ABの長さを求めよ。
２、面積比△ABD：△PBCを最も簡単な整数の比で表せ。
３、面積比△ABD：四角形ABCDを最も簡単な整数の比で表せ。

部屋の片付け中に出てきたのでやってみましたが、どこから解けばいいのか全く分かりませんでした。
お願いします。


15283．Re: また某校の入試問題ですが・・・
名前：かめい    日付：6月17日(木) 21時18分
△ABDと△PBDの関係に着目しましょう。

15372．Re: また某校の入試問題ですが・・・
名前：天極（高１）    日付：6月22日(火) 17時9分
すみません、全く分からなかったので、ネタばらしお願いします。

15258．２次不等式  
名前：IGA（高１）    日付：6月16日(水) 23時9分
２つの２次不等式x^2-x-2>0,x^2-(a+1)x+a<0を同時に満たす
ｘの整数値がー２だけであるような定数aの値の範囲を求めよ。

間違っているだろうと思いますが、自分のやったところまでを
かきますと・・・。

x^2-x-2>0
(x-2)(x+1)>0
x<-1,2<x

x^2-(a+1)x+a<0
(x-1)(x-a)<0
1<aのとき1<x<a
1>aのときa<x<1

ここまでやってみましたが・・・・。ん～お願いします。


15260．Re: ２次不等式
名前：Bob    日付：6月16日(水) 23時17分
二種類の数直線を書けばいいのでは？

ⅰ.　x<-1,2<x　と1<x<a

ⅱ.　x<-1,2<x　　と　a<x<1

ⅰ,ⅱそれぞれ　共通範囲を考えるとⅰは正の範囲になり
　題意にそぐわない

ⅱはa＜ｘ＜－１が範囲になるがこの中の整数値が－２だけになるには
　－３＜a＜－２となるのでは？

15263．Re: ２次不等式
名前：IGA（高１）    日付：6月16日(水) 23時57分
わかりやすかったです。
＞－３＜a＜－２となるのでは？
－３≦a≦ー２ではないのですか。

15266．すいません
名前：Bob    日付：6月17日(木) 0時8分
a＜ｘ＜－１で
ａ＝－３ならＯＫでしたね
ａ＝－２は－２＜ｘ＜－１となってしまい整数値がありません。

よって　－３≦ａ＜－２　が答えですね

15305．Re: ２次不等式
名前：IGA（高１）    日付：6月19日(土) 13時20分
有り難うございました。
今後ともよろしくお願いいたします。

15257．２次不等式  
名前：IGA（高１）    日付：6月16日(水) 22時54分
２次不等式x^2+(2-a)x-2a<0を満たすxの整数値が存在しないような定数aの値の範囲を求めよ。

わからないのですが・・・一応やったところまでかきます。

x^2+(2-a)x-2a<0
(x+2)(x-a)<0
-2<aのとき-2<x<a
a<-2のときa<x<-2

ここまでです・・・。まったく答えに近づいていないようなきがするのですが・・・。
どうかお願いします。


15261．Re: ２次不等式
名前：c.e.s.    日付：6月16日(水) 23時32分
いえ、答えにすごく近づいていますよ。「-2<aのとき-2<x<a」の方を例にとります。-2<x<aとしてxが整数を取るとすれば、-2より大きい-1,0,1…ですよね？つまり、この中でも小さい-1を取れないようにaを定めてやればよいわけです。

P.S.)答案では「a=-2ではありえない」ということを書いた方が無難だと思います。

15262．Re: ２次不等式
名前：IGA（高１）    日付：6月16日(水) 23時48分
たしかにa=-2ははいりませんね。
答えをみると-3≦ｘ≦-1となっていました。
この答えだとー２は、はいっていることになりますが、
この答えはあっているのでしょうか？

15268．Re: ２次不等式
名前：c.e.s.    日付：6月17日(木) 0時25分
>「a=-2ではありえない」
あ、すみません。(x+2)^2<0はどんなxでもありえないってことです。つまり、整数値も存在しないってことです。紛らわしかったですね。

15307．Re: ２次不等式
名前：IGA（高１）    日付：6月19日(土) 13時21分
有り難うございました。
今後ともよろしくお願いいたします。

15255．２次関数  
名前：IGA（高１）    日付：6月16日(水) 22時38分
２次関数y=-2x^2+4ax+a^2(0≦ｘ≦２）を考える。
（１）最大値をaであらわせ。
これはa>0のときa^2
0≦a≦2のとき3a^2
2<aのとき a^2+8a-8
（２）最大値が４０となるような値を求めよ。
４０ただ単にイコールで結んでもできないのです・・・。
お願いします。


15264．Re: ２次関数
名前：IGA（高１）    日付：6月16日(水) 23時57分
４０ただ→４０をただ

15269．Re: ２次関数
名前：pi_moru    日付：6月17日(木) 0時43分
1) a<0の場合
　 a^2=40 a=±√40=±2√10
　　条件よりa=-2√10

2) 0≦a≦2の場合
　　3a^2=40 a=±√(40/3)
2解とも条件に不適

3) 2<aの場合
　　a^2+8a-8=40
(a-4)(a+12)=0
a=4,-12
条件よりa=4

よってa=-2√10,4のとき。

15270．Re: ２次関数
名前：pi_moru    日付：6月17日(木) 1時5分
先程は、書いていませんが(1)については、おわかりになりますね。

aの場合分けをしているのは2次曲線の極大値が、x<0、0≦x≦2、2<xのどこに
きているかで、最大値をとるxの値が決まるからです。実際にはグラフを描いてみると判ります。

高1では微分を習わないのでしょうが、x=aのときにこの2次曲線は極大になります。
ですから、0≦a≦2の場合分けをしているのです。

15274．Re: ２次関数
名前：くぼ    日付：6月17日(木) 8時19分
極大より，頂点といったほうがわかりやすいでしょうね

15306．Re: ２次関数
名前：IGA（高１）    日付：6月19日(土) 13時20分
有り難うございました。
今後ともよろしくお願いいたします。

15253．倍数  
名前：みーのすけ4年生です。    日付：6月16日(水) 22時22分
12の倍数の各位の数の和が必ず３の倍数になっているのはなぜですか？


15256．Re: 倍数
名前：momono花    日付：6月16日(水) 22時41分
3の倍数の各位の和は3の倍数という性質があります。
12の倍数は3の倍数なので上の性質を満たします。

下のURLを参照してください。
http://yosshy.sansu.org/warikire.htm

15250．2次方程式の解  
名前：ほし 高1    日付：6月16日(水) 21時31分
こんにちは。このもんだいを教えてください。まったく手がつかないのです・・・

問題
X＾２－３X＋４＝０の2つの解をα、βとするとき次の2次関数を2つの解とする2次方程式をつくれ。

１）αβ、α＋β

２）αー３、βー３

３）１　　１
　　―，　―
　　α　　　β


15251．Re: 2次方程式の解
名前：Bob    日付：6月16日(水) 21時40分
解と係数の関係を習いましたか。
習っていなければ、方程式を解いてその二解をα,βにして解きます。

15265．Re: 2次方程式の解
名前：ほし 高1    日付：6月17日(木) 0時6分
解と係数は習いました。でもあいまいです・・・。
α＋β＝３、αβ＝４

で（１）は３と４を解とする2次方程式でよいのでしょうか。
だとすると、
（２）、（３）はどうなるのか教えてください。

15267．Re: 2次方程式の解
名前：Bob    日付：6月17日(木) 0時18分
二次方程式で解がα　βなら
その二次方程式の一つは
ｘ＾２－（α＋β）ｘ＋αβ＝０　です。

（１）はαβ　とα＋βが解なので
ｘ＾２－｛αβ＋（α＋β）｝ｘ＋αβ（α＋β）＝０
ｘ＾２－７ｘ＋１２＝０

（２）はｘ＾２－｛（α－３）＋（βー３）｝ｘ＋（αー３）（βー３）＝０
　　　　ｘ＾２－（α＋βー６）ｘ＋・・・・　　＝０となる。

15272．Re: 2次方程式の解
名前：ほし 高1    日付：6月17日(木) 6時37分
ｘ＾２－（α＋βー６）ｘ＋・・・・　　＝０となる。
の・・・の部分が分かりません。
あと、（３）もどなたか教えていただけないでしょうか。
わからなくてすみませんが、宜しくお願いします。

15275．Re: 2次方程式の解
名前：Bob    日付：6月17日(木) 10時1分
昨日は眠ってしまい途中までしか投稿していませんでした。
（２）は
ｘ＾２－｛（α－３）＋（βー３）｝ｘ＋（αー３）（βー３）＝０
ｘ＾２－（α＋βー６）ｘ＋｛αβ－３（α＋β）＋９｝＝０となる。
ｘ＾２－（３－６）ｘ＋（４－９＋９）＝０
ｘ＾２＋３ｘ＋４＝０

（３）は
ｘ＾２－｛（１／α）＋（１／β）｝ｘ＋（１／α）（１／β）＝０
ｘ＾２－｛（β＋α）／αβ｝ｘ＋｛１／（αβ）｝＝０
ｘ＾２－（３／４）ｘ＋（１／４）＝０
４ｘ＾２－３ｘ＋１＝０

15276．Re: 2次方程式の解
名前：花パジャ    日付：6月17日(木) 10時3分
係数をαβ、α＋βで表せばいいのです。
(2)がわかれば(3)もわかるので(2)だけ
x^2 - {(α-3)+(β-3)}x + (α-3)(β-3)=0
x^2 - (α+β-6)x + (αβ-3α-3β+9)=0
x^2 - {(α+β)-6}x + {αβ-3(α+β)+9}=0
x^2 - (3-6)x + (4-3*3+9)=0
x^2 + 3x + 4=0

　　　　

15243．教えてください  
名前：高2の馬鹿ですｗ    日付：6月16日(水) 20時8分
円x^2+y^2=4に接して傾きが3／4である直線の方程式が求めよ！
この解き方がわからないのですが
とき方を教えてください


15249．Re: 教えてください
名前：momono花    日付：6月16日(水) 21時18分
点と距離の公式を使う 3x - 4y + a = 0と原点の距離が2。

3x - 4y + a = 0とx2 + y2 = 4を連立して
(判別式) = 0

図形的に考察。相似を使う。

などなど。

15242．正四面体といえば？  
名前：両津　勘吉    日付：6月16日(水) 19時50分
こんにちは。

正四面体と言えば、
（１）正三角形で四つの面が出来ている。
（２）各頂点から底辺に下ろした垂線が重心になっている。

・・・この他、あとは何がありますか？
教えてください。よろしくお願いします。


15278．Re: 正四面体といえば？
名前：ヨッシー    日付：6月17日(木) 11時23分
内接球の中心、外接球の中心が同じで、
その点は、頂点から対面におろした垂線を３：１に内分する。

立方体から三角錐４つを切り取って出来る正四面体の体積は、
もとの立方体の体積の１／３。

正四面体の４つの頂点部分から、１辺が半分の正四面体を切り取ると、
正八面体になり、その体積は、もとの正四面体の体積の１／２。

　
http://yosshy.sansu.org/

15280．Re: 正四面体といえば？
名前：両津　勘吉    日付：6月17日(木) 18時4分
おお！なるほど！
よくわかりました。
どうもありがとうございました。

15239．すいません  
名前：IGA（高１）    日付：6月16日(水) 18時43分
グラフを用いて|x^2-1|<2x+1を解け。

できましたが、グラフに自信がありません。もしできればグラフをかいていただければ、自分のと照らし合わせられるのですが・・・・。
すいません図々しい頼み事で。


15244．Re: すいません
名前：Bob    日付：6月16日(水) 20時28分
ｙ＝ｘ＾２－１　のグラフを書く。
その後絶対値がついているので上のグラフでx軸より下部に出ている
ところをx軸を折り目として上に上げてください。
そのあとｙ＝２ｘ＋１を同じ座標平面上に書きます。
あとは２つのグラフで｜ｘ＾２－１｜が２ｘ＋１より下部にあるところを
求めます。

15248．Re: すいません
名前：arc    日付：6月16日(水) 20時52分
Original Size: 861 x 861, 39KB

グラフ。

赤　y = |x2-1|-(2x+1)
緑　y = |x2-1|
青　y = 2x+1


15232．ルート計算  
名前：悩んでいます    日付：6月16日(水) 11時0分
解答がわかりません。

｛√（５）+１｝×｛√（１０+２√（５））｝／４

宜しくお願いします。


15234．Re: ルート計算
名前：Bob    日付：6月16日(水) 16時16分
http://bbs5.cgiboy.com/p/74/00242/に返信が来てましたよ。

15235．Re: ルート計算
名前：pi_moru    日付：6月16日(水) 16時38分
与式=A　として、両辺に4(√5－1）を掛けて整理すると、
　A(√5－1)=√(10+2√5) となる。
両辺を2乗して整理すると
　A^2=(5+√5)/(3-√5)
分母を有理化すると、
　A^2=5+2√5
ゆえに
　A=±√(5+2√5)となる。
但し与式は正の数なので与式=√(5+2√5)

力まかせの回答のなので、どなたかもっとすっきりした回答を・・・

15237．Re: ルート計算
名前：tarame    日付：6月16日(水) 17時33分
(√5+1)×｛√(10＋2√5)}/4
＝[√{(√5＋1)^2×(10＋2√5)}]/4
＝[√{(6＋2√5)(10＋2√5)}]/4
＝{√(80＋32√5)}/4
＝√(5＋2√5)
これ以上は、二重根号は外れませんね。

こんな感じでどうでしょう

15238．Re: ルート計算
名前：らすかる    日付：6月16日(水) 18時40分
関係ないかも知れませんが、
(√5+1)√(10+2√5)/4 = √(5+2√5)
は
4cos36°cos18°= tan72°
と同じですね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15224．(untitled)  
名前：キリク    日付：6月15日(火) 22時26分
次の連立一次方程式で解を持つようなa,b,c,dを全て求めよ。という問題で困っています。

2x+3y+ z+5w=a
-x+5y- 7z+4w=b
6x+ y+11z+7w=c
-3x+ y- 8z+2w=d

という方程式です。これは代数学で行列式の範囲の問題ですので拡大係数行列か何かで基本変形をしていったりする問題だと思うのですが、、、普通に連立一次方程式を解くやり方ではなく行列式を使ったやり方を教えてほしいです。お願いします。実はこの問題他の掲示板でもご質問したことがあるのですがいかんせん自分では答えがわからなく急ぎなもので、、、誰かよろしくお願いします


15226．Re: (untitled)
名前：かめい    日付：6月15日(火) 22時38分
クラメールの公式を使うのでは？

15240．Re: (untitled)
名前：キリク    日付：6月16日(水) 19時1分
クラメルをやってみたんですが、分母が０になって値がでないんですよね、、、どうしよう、、、

15252．Re: (untitled)
名前：c.e.s.    日付：6月16日(水) 22時15分
係数行列の行列式が0なんですが…

15259．Re: (untitled)
名前：c.e.s.    日付：6月16日(水) 23時13分
クラメルの解法は、「係数行列が可逆ならば」という条件付でしか使えませんよ。で、掃き出し法使った方が早いと思うんですが。

15223．三角関数の加法定理とやら　  
名前：舜(高一)    日付：6月15日(火) 22時7分
cos(α＋β)二乗＝1－sin(α＋β)二乗
の式から、cos(α＋β)を証明するには、
どのようにしたらいいんですか?教えてください。


15225．Re: 三角関数の加法定理とやら　
名前：プルこぎ    日付：6月15日(火) 22時37分
cos（α+β）を証明する　とはどういうことですか？

15236．Re: 三角関数の加法定理とやら　
名前：花パジャ    日付：6月16日(水) 16時38分
正弦の加法定理がわかっているときに、余弦の加法定理を証明したい、てことでは?
なら、1=正弦の二乗+余弦の二乗　を使うのでは?
(でも、これだと、符号の処理が面倒...)

15247．Re: 三角関数の加法定理とやら　
名前：舜(高一)    日付：6月16日(水) 20時44分
説明が不足して申し訳ありません。
１＝正弦の二乗＋余弦の二乗　の式から、
cos(α＋β)二乗＝１－sin（α＋β)二乗　という式が出て、
そこから、cos(α＋β)＝cosα*cosβ－sinα*sinβ　
をどうやって導くのかというものです。

15277．Re: 三角関数の加法定理とやら　
名前：花パジャ    日付：6月17日(木) 10時16分
1=正弦の二乗+余弦の二乗　を何度か使うのです

15284．Re: 三角関数の加法定理とやら　
名前：舜(高一)    日付：6月17日(木) 22時5分
どうもありがとうございました。おかげで解けました。
（納得するのに時間がかかり、お礼が遅れてすみません。）

15220．極値  
名前：主役    日付：6月15日(火) 19時52分
y=x^(1/3)(x-1)^(2/3)の極値を求める問題がわからないので教えてください。グラフを書いたほうがよろしいのでしょうか？


15222．Re: 極値
名前：c.e.s.    日付：6月15日(火) 21時58分
まずは、dy/dx=0をxについて求めてください。

15233．Re: 極値
名前：主役    日付：6月16日(水) 14時46分
ありがとうございます。質問ですが、指数がついている微分の計算が得意ではありません。それに分数ともなることで抵抗してしまいます。どのように計算をすればいいのか教えてくださいますか？

15241．Re: 極値
名前：我疑う故に存在する我    日付：6月16日(水) 19時19分
＞y = x^(1/3)*(x - 1)^(2/3)の極値
y の増減と z = y 3 = x*(x - 1)^2 の増減は一致するから、先ず z の極値を求める

15246．Re: 極値
名前：主役    日付：6月16日(水) 20時39分
幾度もありがとうございます。Ｚの極値を求めるにはどのようにすればよろしいのか教えてくださいますか？文字がたくさんあり、偏微分を用いるのかが全然わかりません。宜しくお願いできますか？

15254．Re: 極値
名前：c.e.s.    日付：6月16日(水) 22時37分
まず、x^(1/3)(x-1)^(2/3)の定義域を調べると、x≧1です。
さて、y'={x^(1/3)(x-1)^(2/3)}'
={x^(1/3)}'(x-1)^(2/3)+x^(1/3){(x-1)^(2/3)}'
=1/3 x^(-2/3)(x-1)^(2/3)+2/3 x^(1/3)(x-1)^(-1/3)
=(3x-1)/{3(x-1)^(1/3)x^(2/3)}
なので、y'=0⇒x=1/3となりこれが候補ですがこれは定義域外です。よって極値なし。

15273．Re: 極値
名前：我疑う故に存在する我    日付：6月17日(木) 8時14分
＞y = x^(1/3)*(x - 1)^(2/3)
の定義域にもよるが、この場合は、 - ∞ ＜ x ＜ ∞, 即ち実数全体と考える事も出来る。その場合は、
前に述べた事により、
z = y 3 = x*(x - 1)^2 を微分して、
dz/dx = (x - 1)(3x -1), = 0 と置くと、 x = 1, x = 1/3.
x = 1/3 で、 z の極大値 4/27, x = 1 で極小値 0. よって、
x = 1/3 で、 y の極大値 4 1/3 /3, x = 1 で極小値 0.

15299．Re: 極値
名前：c.e.s.    日付：6月18日(金) 21時35分
今「数学の部屋掲示板(http://kent.parks.jp/59/otona/bbs.cgi?)」で話し込んでる内容ですが、負の数の立方根は高校範囲では定義しないと思います。

15219．三角関数の方程式  
名前：かめーと    日付：6月15日(火) 18時59分
はじめまして。
突然なのですが、
cos(b/X) = X/(X+a)
と言う式をXについて解きたいのですが
どうもわかりません。
教えていただけないでしょうか。


15221．Re: 三角関数の方程式
名前：ast    日付：6月15日(火) 19時56分
無理。

15212．検定  
名前：ことみ    日付：6月15日(火) 15時56分
友達にここのページを教えていただいたものです。計算ができないので教えてください。
問題　ある工場で作っている製品の性能は平均３．００である。ある日の製品の中から無作為抽出した１００個の性能の平均は２．８６，不偏分散は０．９１＾２であった。この日の製品は普段と異なると言えるか。危険率５％で検定せよ。
解き方がわからないため進むことができずに悩んでいます。
宜しくお願いします。
(３２歳の社会人)


15230．Re: 検定
名前：ケロ＠???    日付：6月16日(水) 0時24分
keisandakenara.
x = 2.86, μ_0 = 3.00, s = 0.91, N = 100
T(x, s^2)= (x –μ_0)/(s/√N)
自由度N-1のt分布で両側検定なので
t_N-1(α/2)=t_99(0.025) = 表より？。
|T(x, s^2)| < t_N-1(α/2)ならば普段と異ならない。
shitumonhuka.

15245．Re: 検定
名前：ことみ    日付：6月16日(水) 20時37分
どうもすみません。ありがとうございます。わからない箇所があるので質問させてください。下の４つの値はどのように求めたのかわからないのですが。また、｢表｣というのはどの表を用いてどのような過程でもとめていくのか書いてくださると私も勉強になりますので宜しくお願い申し上げます。

15209．図形の問題なのですが・・・  
名前：未菜実    日付：6月15日(火) 15時19分
ご無沙汰しています。未菜実です。
質問させてください。
円Pの内部に点Aと点Bがあります。今、円周上に∠PQA=∠PQBを満足する点Qを作図するには、どうすればいいですか？


15210．Re: 図形の問題なのですが・・・
名前：ヨッシー    日付：6月15日(火) 15時25分
お久しぶりです。

即座に浮かばないので、まず確認です。
点Ｐは、円の中心ということで良いですか？
　
http://yosshy.sansu.org/

15211．Re: 図形の問題なのですが・・・
名前：未菜実    日付：6月15日(火) 15時51分
そうです。^^;

15214．Re: 図形の問題なのですが・・・
名前：らすかる    日付：6月15日(火) 17時28分
直線ABと円周の交点を点Qとすれば∠PQA=∠PQBは満たすと思いますが、
きっと点A、点B、点Qが一直線上にあってはいけないのでしょうね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15215．Re: 図形の問題なのですが・・・
名前：未菜実    日付：6月15日(火) 17時31分
すみません。ＡとＢはどちらも円の内部にあります。

15216．Re: 図形の問題なのですが・・・
名前：らすかる    日付：6月15日(火) 17時36分
円の内部にあるということは、直線ABと円周との交点が
必ず２つあるわけですよね？
その交点の一つをQとすれば、一応題意は満たすと思うのですが…。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15217．Re: 図形の問題なのですが・・・
名前：ヨッシー    日付：6月15日(火) 17時47分
まあ、そうなのですが、おそらくそういうことではないのでしょう。

左ではなく、右のようなのでしょう。
　　
http://yosshy.sansu.org/

15218．パズルの発展形
名前：未菜実    日付：6月15日(火) 18時7分
そう、右の図です。
実は、パズルで川に立ち寄って目的地に行く最短距離を求めるものがありますね。
で、川が直線ではなくて、曲線(簡単のため円を想定しましたが）の場合はどうやって求めるのか考えて見たのですが、いい案が浮かばなくて・・・^^;

15227．Re: 図形の問題なのですが・・・
名前：らすかる    日付：6月15日(火) 23時3分
Size: 214 x 218, 4KB Size: 215 x 215, 4KB Size: 216 x 215, 4KB

難しいですね。
全然解決にはなっていませんが…
円周とは関係なく、∠PQA=∠PQBを満たす点がどんな軌跡を描くのかを
調べてみました。この軌跡と円周の交点が求める点Ｑになります。
グラフで見ると、最大４点あるようですね。
作図方法は、今のところわかりません。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp


15229．Re: 図形の問題なのですが・・・
名前：らすかる    日付：6月15日(火) 23時48分
↑なんかグラフに∠PQA=∠PQBを満たさない点が含まれているみたい
ですが、細かいことは気にしないで下さい…。
（具体的には、３つのグラフとも、Ａ－原点－Ｂと繋がる
　半円状の部分が余計でした。）
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15201．しゅうごう　  
名前：あき    日付：6月15日(火) 0時5分
Ｓが有解集合で、ａ＝infS、ｂ＝supS　とするとき、Sの任意の集積値αはa≦α≦bを満たすことを示せ。という問題なのですが教えてください

15199．微分可能？？こう３  
名前：がっと    日付：6月14日(月) 23時21分
すいません。ひとつ教えていただきたいことがあるのですが‥
微分可能とはどういうことですか？


15204．Re: 微分可能？？こう３
名前：c.e.s.    日付：6月15日(火) 1時14分
点x=aについて微分可能とは、lim[x→a]{(f(x)-f(a))/(x-a)}が存在することを言います。
区間Iについて微分可能とは、全てのa∈Iについてlim[x→a]{(f(x)-f(a))/(x-a)}が存在することを言います。

15191．倍数  
名前：和馬　孝敏    日付：6月14日(月) 16時46分
こんにちは。銀行に勤めながら数学を勉強しています。初めてですが教えてください。
２＾７０＋３＾７０は１３の倍数であることを示せ。

という問題です。７０を素因数分解するのでしょうか？


15192．Re: 倍数
名前：花パジャ    日付：6月14日(月) 18時2分
(訂正しました)
加えてx^(2n+1)+y^(1n+1)の因数分解かと

15194．Re: 倍数
名前：和馬　孝敏    日付：6月14日(月) 19時39分
ありがとうございます。しかし、何の訂正なのかがわからないので、具体的に解法お願いします。非常に困っている状態です。

15197．Re: 倍数
名前：花パジャ    日付：6月14日(月) 20時57分
訂正した結果が上記なんです(その前のを見た人がいるかもしれないので)。
「加えて」というのは70の素因数分解に加えて、という意味です。

...だけでは何なので。13=2^2+3^2

15206．Re: 倍数
名前：ヨッシー    日付：6月15日(火) 9時15分
ｎが(正の)奇数の時は、
　a^n + b^n = (a+b)(・・・・)
の形に因数分解できます。例えば、
　a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)
　a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)
一方、７０は偶数ですが、例えば、a=2^10、b=3^10 とおくと、
　2^70 + 3^70 = a^7 + b^7
と書けます。すると、
　2^70 + 3^70 = (a + b)(・・・・・・) = (2^10 + 3^10)(・・・・・・)
と書けます。

ただし、これでは、13 の倍数に持っていくことは出来ません。
「a=2^10、b=3^10」の部分を他のパターンで考えてみて下さい。
　
http://yosshy.sansu.org/

15207．Re: 倍数
名前：キューダ    日付：6月15日(火) 14時40分
mod 13では、

2^6=64=13*5-1≡-1なので、2^70=2^(4+6*11)=16*64^11≡3*(-1)^11≡-3
3^3=27=13*2+1≡1なので、3^70=3^(1+3*23)=3*27^23≡3*1^23≡3

という方向でＯＫだと思いますよ。

15208．Re: 倍数
名前：キューダ    日付：6月15日(火) 14時51分
なるほど、2^70+3^70=4^35+9^35=...という方法もありますね。

15213．Re: 倍数
名前：花パジャ    日付：6月15日(火) 17時24分
2^70+3^70=(2^2+3^2)(2^8-2^6*3^2+2^4*3^4-2^2*3^6+3^8)(2^60-...+3^60)

15231．Re: 倍数
名前：ケロ＠???    日付：6月16日(水) 1時16分
nigiyakanisanka。matome。
f(x)=x^(2k+1)+a^(2k+1) (k:自然数)と置くと、
f(- a)=0。
因数定理より、f(x)=(x+a)Q(x)。
2^70+3^70=4^35+9^35=13 Q(4)。

15185．階差数列  
名前：両津　勘吉    日付：6月13日(日) 22時17分
こんばんは。

次の数列の一般項をもとめよ。
1,3,7,13,21,……
という問題で、
an=(n^2)-n+1
と出すまではよいのですが、このあとの、

「これはn=1のときも成り立つ」

という文章。気になる…。
まあ、階差数列の公式を導いた時にｎ≧２で導いていたので
ｎ＝１の時はどうかわからないから調べているのだと思いますが、
それにしても、「ｎ＝１の時に成り立たない」ことなどあるのですか？
また、もしも、ｎ＝１の時も必ず成り立つのならば、それでもこの文章は書かなければならないのでしょうか？

この辺がちゃんと理解できません。教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。


15186．Re: 階差数列
名前：AxlRose    日付：6月13日(日) 23時34分
参考までにどうぞ。

http://www005.upp.so-net.ne.jp/mi_kana/story/difference.pdf
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15189．Re: 階差数列
名前：両津　勘吉    日付：6月14日(月) 1時55分
ご紹介どうもありがとうございます。
よませていただきました。
それにしてもピッタリのＰＤＦですねえ。どうもです。
世の中には私と同じ疑問を持つ輩が他にいるもんですね…。
考えることは皆同じなのかな・・・面白かった…（笑

反例のように、n=1とn=2にギャップがあるように、意図的に数列を定めればありうるのですね…

しかし、このＰＤＦに書いてあるような、b1とbnの値が異ならない場合、つまり、b1=2という設定が無ければ、ｎ＝１の場合にも成り立つわけで、そうなると、初めの疑問に戻ってしまうのですが…

15193．Re: 階差数列
名前：両津　勘吉    日付：6月14日(月) 19時16分
あと、初項から第ｎ項までの和Ｓnが、Ｓn＝n^2で表される数列{an}の一般項を求めよ。という問題でも、

「n=1のときにも成り立つ」

としています。

15198．Re: 階差数列
名前：らすかる    日付：6月14日(月) 23時10分
＞両津　勘吉さん
「初項から第ｎ項までの和Ｓnが、Ｓn＝n^2+1で表される数列{an}の一般項を求めよ。」
を解いたらどうなりますか？
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15202．Re: 階差数列
名前：両津　勘吉    日付：6月15日(火) 0時46分
おおおおおお！！！！！判例だあ！！
こういうことがあるので、ｎ＝１の場合も調べないと駄目なのですね。
納得です。どうもありがとうございました。
ぜひまた教えてやってくださいっ＾＾

15203．Re: 階差数列
名前：両津　勘吉    日付：6月15日(火) 0時46分
アクセルさん、らすかるさん、どうもありがとうございました。

15179．２次不等式  
名前：IGA（高１）    日付：6月13日(日) 19時9分
x^2-2ax-a+2......1 x^2-(a;29x+a^2=0......2

1,2の少なくとも一方が解を持つ場合の定数aの値の範囲を求めよ。

少なくとも、とはどういうことでしょうか？


15180．Re: ２次不等式
名前：IGA（高１）    日付：6月13日(日) 19時35分
＞x^2-2ax-a+2......1
x^2-2ax-a+2＝０......1です。すいません

15181．Re: ２次不等式
名前：Bob    日付：6月13日(日) 19時55分
今回の場合次の４通りのパターンが考えられるのはわかりますか？

あ.　１も２も解をもつ
い.　１だけ解をもつ
う.　２だけ解を持つ
え.　１も２も解をもたない

「少なくとも一方が解をもつ」とは解をどちらかがもてばいい

つまり上の４つのうち、「あ」「い」「う」がOKです。


あと２の式がよくわかりませんが…

15183．Re: ２次不等式
名前：IGA（高１）    日付：6月13日(日) 21時9分
すいません２のしきは
x^2-(a+2)x+a^2=0
です。

15184．Re: ２次不等式
名前：IGA（高１）    日付：6月13日(日) 21時9分
有り難うございます！考えてみます。

15178．２次不等式  
名前：IGA（高１）    日付：6月13日(日) 19時7分
２次方程式x^2+(k-2)x+k-4=0は、ｋの値にかかわらず異なる二つの実数解をもつことを示せ。
という問題です。
ｋの値にかかわらずがひっかかります。
つまりｋの値がどんな値であろうと異なる二つの実数解をもつことを示せということでしょうか？
あとどのような方針でとけばいいでしょうか。
お願いします。とりあえず判別式をつくったものですが・・・。すべて成り立たなくなってしまいます。


15182．Re: ２次不等式
名前：Bob    日付：6月13日(日) 20時1分
判別式をつくると
（ｋ－２）＾２－４（ｋ－４）
＝ｋ＾２－８ｋ＋２０　　　これが正なら異なる２つの実数解をもちます。
そこで平方完成
ｙ＝ｋ＾２－８ｋ＋２０　　x軸⇒ｋ軸としてグラフを書く
　＝（ｋ－４）＾２＋４
グラフを書くと…

15200．Re: ２次不等式
名前：IGA（高１）    日付：6月14日(月) 23時41分
わかりました！グラフをかいて常に正だとわかり、実数解を二つもつということですか。
有り難うございました。
今後ともよろしくお願いいたします。

15176．数列  
名前：あき    日付：6月13日(日) 9時53分
任意の開区間（ａ、ｂ）でも必ず有理数を含むことを使って

任意の実数Ｘとするとｒn∈Ｑかつｒn→Xとなうrnがあることを示せ

という問題なのですが教えてください


15177．Re: 数列
名前：布施    日付：6月13日(日) 13時9分
(Ｘ－１/ｎ、Ｘ)の間にある有理数をｒ_nとおけばＯＫ

15205．Re: 数列
名前：あき    日付：6月15日(火) 6時36分
わかりました

15173．asinθ + bcosθ の変形  
名前：あいこ(高2)    日付：6月13日(日) 0時10分
sinθ+√3cosθは2sin(θ+ π/3)に式変形することが可能ですがこの式変形の過程において、
2sin(θ+ π/3) の 2sin の2 の求め方は、

sinθ+√3cosθより

√^(1^2 + √3^2) = 2

2sin(θ+ π/3)の π/3 の求め方について教科書等を読んだのですが理解することができませんでした。
もしよろしければ何方様か御指導していただければ幸いです。


15174．Re: asinθ + bcosθ の変形
名前：tobira    日付：6月13日(日) 1時9分
教科書には、確か・・・
　a･sinθ+b･cosθ＝√(a^2＋b^2)･sin(θ+α)
のただし書きに
　αはsinα＝b/√(a^2＋b^2)　となる角度[cosα＝a/√(a^2＋b^2)も可]
があったはずです。

そこから
　sinα＝(√3)/2　より　α＝π/3
（普通は最小の正の値）

を導きだします。

15175．Re: asinθ + bcosθ の変形
名前：えいぶ    日付：6月13日(日) 1時15分
sinθ+√3cosθ=2sin(θ+ π/3)
と半ば機械的に処理しがちですが、原理的には右辺において加法定理から
2sin(θ+ π/3)
=2*{sinθ*cos(π/3)+cosθ*sin(π/3)}
=2*(sinθ/2+√3*cosθ/)
=sinθ+√3cosθ
を逆にたどっていっているだけです。
じっくりと観察してみてください。

15187．Re: asinθ + bcosθ の変形
名前：あいこ(高2)    日付：6月13日(日) 23時50分
tobiraさん、御指導有難うございました。
この分野は1年時に習った単元で、そのときはすらすらっと式を変形していた記憶があり、教科書の記述のような〝αはsinα＝b/√(a^2＋b^2)となる角度だから･･･〟とその都度考えていなかった気がしてならず今回質問させていただきました。やはり、αを求めるためにはそのような考え方が必要ですね。

15188．Re: asinθ + bcosθ の変形
名前：あいこ(高2)    日付：6月13日(日) 23時54分
えいぶさん、御回答有難うございました。
えいぶさんのおっしゃられた
2sin(θ+ π/3)
=2*{sinθ*cos(π/3)+cosθ*sin(π/3)}････(1)
=2*(sinθ/2+√3*cosθ/)･･･(2)
=sinθ+√3cosθ

ですが、(1)から(2)になる過程が分かりません。もし宜しければその点について御指導していただければ光栄です。

15190．Re: asinθ + bcosθ の変形
名前：tobira    日付：6月14日(月) 3時25分
二次方程式の解の公式(平方完成を使えば解けるけど、それよりも…)
の扱いと同じように、考えれば良いかと…^^:
ただ、｢えいぶ｣さんのおっしゃるように元を考えておけば忘れにくいと思います。

考え方の一例です。
sin(θ+α)の展開　と　a*sinθ+b*cosθ　を比べると
sin(θ+α)＝sinθ*cosα+cosθ*sinα
　　　　 ＝cosα*sinθ+sinα*cosθ　と変形して
比べると 　　a*sinθ+b*cosθ　　　となり

もし、|a|≦1かつ|b|≦1ならば、
a＝cosα、b＝sinα　となる　α　を探せば目的の変形ができます。

ところが、（|a|≦1かつ|b|≦1）とは限らないので
sin(θ+α)に係数をkを考えて
k*sin(θ+α)＝k(sinθ*cosα+cosθ*sinα)
　　　　　　＝kcosα*sinθ+ksinα*cosθ　と変形して
比べてみると　　　 a*sinθ+b*cosθ　　　となり
a＝kcosα、b＝ksinα　
つまり、
cosα＝a/k　sinα＝b/k　となる　α　を探せば目的の変形できます。

ここで、(cosα)^2+(sinα)^2＝１　を利用して
(a/k)^2+(b/k)^2＝１　より　a^2+b^2＝k^2
よって、　k=√(a^2＋b^2)

以上から　a*sinθ+b*cosθ＝√(a^2＋b^2)*sin(θ+α)
αは　sinα＝b/√(a^2＋b^2)　となる角度[cosα＝a/√(a^2＋b^2)も可]

15195．Re: asinθ + bcosθ の変形
名前：あいこ(高2)    日付：6月14日(月) 19時58分
tobiraさん、御指導有難うございました。(1)から(2)への変形を理解することが出来ました。1年時のことについて今ではすでに忘れているということはやはり、覚え方が悪かったからだと今回の質問を通して気ずきました。御回答を参考に改めて頭に入れていきたいと思います。
大変お世話になりました。

15168．√３が無理数であることの証明  
名前：貴    日付：6月12日(土) 22時37分
Original Size: 393 x 184, 4KB

をしてみたのですが、いまいち自信がありません。
どなたか添削してください。
お願いします。


15170．Re: √３が無理数であることの証明
名前：アカギ    日付：6月12日(土) 23時2分
互いに…以降が見えないのが気になるけど、いいんじゃないでしょうか。
√３は分数で表せない→無理数ってことで。

15171．Re: √３が無理数であることの証明
名前：らすかる    日付：6月12日(土) 23時9分
「ここで、ｍ，ｎは互いに素なので、ｎ＝３ｋと表せる。」の
「ｍ，ｎは互いに素なので、」は余計な気がします。
互いに素でなくても、左辺が３の倍数ですからｎ＝３ｋと表せますよね。
「ｍとｋは互いに素なので、」も同様。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15172．Re: √３が無理数であることの証明
名前：貴    日付：6月12日(土) 23時43分
ありがとうございます！！

そういわれるとそうですね。
互いに素でなくても３の倍数ですね。

助かりました～

15165．グラフの概形  
名前：piro    日付：6月12日(土) 20時52分
５次方程式の実数解条件ではいろいろお教えいたできました。
お礼が遅くなり申し訳ありません。
ところで、もうひとつ質問させてください。
y軸に対して対称（偶関数）で、x軸を漸近線に持つ関数を考えます。
y=1/(x^2+1)は山が１つ、y=x^2/(x^4+1)は山が２つのグラフになります。
これと同様に山が３つのグラフとなる関数を探していたのですが結局見つかりませんでした。
このようなグラフは存在するのでしょうか。
実はこの関数を探す過程で５次方程式の実数解条件が使えるのではないかと思い、先の質問をさせていただいたしだいです。
よろしくお願いします。


15167．Re: グラフの概形
名前：らすかる    日付：6月12日(土) 21時47分
例えば
山３つ　y=4((x-1)(x+1))^2/(x^6+6)
山４つ　y=4((x-1)x(x+1))^2/(x^8+1)
山５つ　y=10((x-3)(x-1)(x+1)(x+3))^2/(x^10+1000)

こういう方法を使えば、山の個数はいくつでも作れると思います。

※パラメータは、グラフを書いた時に山が見やすいように
　適当に設定しています。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15169．Re: グラフの概形
名前：piro    日付：6月12日(土) 22時55分
お～！なるほど！
ラスカル様、ありがとうございます。
そうか。分子で２乗のものを考えればよかったのですね。
気がつかなかった…

15159．文字の式  
名前：アカギ    日付：6月10日(木) 22時19分
１．掛け算の記号×は省いて書く。
２．文字と数との積では数を文字の前に書く。
３．同じ文字の積は指数を使って書く。
４．割り算は記号÷を使わないで分数の形で書く。
という４つの、文字式の表現方法の決まりがありますよね？なぜ、こう書くのか、こう書くことのメリットを教えていただきたいのです。「３」は例えばＡの５乗をＡＡＡＡＡと書くと長くなるからかな、ということは分かるのですが、他がわかりません。よろしくお願いします。


15160．Re: 文字の式
名前：えいぶ    日付：6月11日(金) 0時31分
１．数字と違って混合しないし簡単だから。
２．このようなルールを決めた方が分かりやすいから。
またはa2としたときa^2やa_2などと混合しそうだったから。
３．指数を用いるのがいちばん簡単だったから。
４．分数を使った方が全体として扱いやすいから。

全て自分の予想にすぎませんが。
数学記号のルールはこれまでたくさんの数学者が考えてきたものです。
歴史などをもっと詳しく調べてみるのも面白いと思います。

15162．Re: 文字の式
名前：アカギ    日付：6月11日(金) 23時13分
>>えいぷさん
ありがとうございます。
２と４についてなんですが、a_2というのは何ですか？分数として扱ったほうが全体として扱いやすいとはどういうことですか？よろしければ解説お願いしますm(__)m
う～ん、歴史苦手ですが調べてみます。。

15148．実数解の条件  
名前：piro    日付：6月10日(木) 11時52分
一つ質問させてください。
5次方程式が異なる5つの実数解を持つための条件とは何でしょうか。
よろしくお願いします。


15149．Re: 実数解の条件
名前：らすかる    日付：6月10日(木) 13時22分
グラフで考えればわかることですが、５次式f(x)が極値を４つ持ち、
大きさ順の極値に対するf(x)の値の符号が交互になっていれば、
５次方程式f(x)=0は異なる５つの実数解を持ちます。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15150．Re: 実数解の条件
名前：piro    日付：6月10日(木) 17時5分
らすかる様
ご回答ありがとうございます。
説明不足で申し訳ありません。
2次方程式ax^2+bx+c=0では異なる2実数解を持つ条件は
b^2-4ac>0ですが，これが5次方程式
ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0が異なる5実数解を持つための，
a,b,c,d,e,fの条件はどのようになるのか分からず
質問させていただきました。
ご存じの方がいらっしゃいましたらお願いいたします。
申し遅れましたが社会人です。

15151．Re: 実数解の条件
名前：らすかる    日付：6月10日(木) 18時3分
判別式は、５個の解をα1,α2,α3,α4,α5として
Ｄ＝{Π(αi-αj)[i＜j]}^2 すなわち
Ｄ＝{(α1-α2)(α1-α3)(α1-α4)(α1-α5)(α2-α3)
　　　(α2-α4)(α2-α5)(α3-α4)(α3-α5)(α4-α5)}^2
となるそうですので、
ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f = a(x-α1)(x-α2)(x-α3)(x-α4)(x-α5)
から解と係数の関係を作り、上記の判別式をa,b,c,d,e,fで
表せば式が作れると思います。
Ｄ＞０なら５個の異なる実数解を持つみたいです。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15152．Re: 実数解の条件
名前：piro    日付：6月10日(木) 18時26分
らすかる様
ありがとうございます。
この方針で試みてみようと思います。

15154．Re: 実数解の条件
名前：ast    日付：6月10日(木) 18時55分
（判別式） ≠ 0 ならば重根は持たないがそれが実数かどうかまでは
判別できません. 2 次あるいは 3 次程度の方程式なら実根と虚根の
判別が出来ますが, それは特殊事情です.

15157．Re: 実数解の条件
名前：らすかる    日付：6月10日(木) 19時42分
私はこの件についてあまり詳しくないので調べて書いたのですが、
私が参照したページに書いてあった内容が嘘だったみたいですね。
他のページを調べ直したら、Ｄ＞０は
「偶数組の共役な虚数解をもつ（重根はない）」
という意味でした。２次と３次の場合は偶数組＝０組しかないので
実数解のみとわかるということですね。
結局、５次方程式の判別式でＤ＞０の場合は
「異なる実数解が５個であるか、または実数解が１個」
ということになりますね。
piroさん、失礼致しました。
そしてastさん、ありがとうございました。

# ちなみに、５次方程式の判別式は５９項になるらしいです。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15158．Re: 実数解の条件
名前：らすかる    日付：6月10日(木) 20時23分
ところで、判別式だけでは異なる実数解が５個かどうかは
判別出来ないということがわかりましたが、
何かそれを判別出来る他の式はあるのでしょうか？
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15163．Re: 実数解の条件
名前：我疑う故に存在する我    日付：6月12日(土) 17時46分
判別する式はある事はあります。
残念ながら詳細は忘れました。
考え方の大筋は、次のような物です。仮にその方程式の最高次の係数が 1 で有ったとして、方程式の解を α 1 , α 2 , ....... , α 5 とし、それらのある整数係数 k 次式を考え、その式に解の全ての順列を代入し平方和を取ると、これは対称式だから、方程式の係数の整式になる事、解が実数なら平方和だから非負値になる事を使う。(k = 1, 2, 3, ...)

15164．Re: 実数解の条件
名前：らすかる    日付：6月12日(土) 20時22分
レスありがとうございます。
存在はするのではないかと予想していたのですが、やはりあるのですね。
自分で式を立てられないかとある程度考えてはいたのですが、
その話を伺うと結構複雑そうで、考えても思い付くことはなさそうなので、
自分で考えるのはあきらめます(笑)。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15137．5次関数  
名前：両津　勘吉    日付：6月9日(水) 1時7分
こんばんは。

５次関数のグラフの概形はどのようになるのでしょうか…？


15138．Re: 5次関数
名前：tobira    日付：6月9日(水) 4時24分
１次関数　　　　／

２次関数　　　＼／

３次関数　　／＼／

４次関数　　＼／＼／

５次関数　／＼／＼／

・・・・かな

15139．Re: 5次関数
名前：我疑う故に存在する我    日付：6月9日(水) 9時52分
最高次の係数が正なら、／＼／＼／、／＼／、／

15141．Re: 5次関数
名前：両津　勘吉    日付：6月10日(木) 0時17分
ありがとうございます。

私も５次関数のグラフは／＼／＼／であると思うのですが、
実際に、グラフソフトを使って書いてみると、
三次関数のグラフのひねくれたような形になります。色々やってみたのですが、／＼／＼／というグラフは出てきませんでした。
なぜでしょうか？

また、最高次の係数が正なら、／＼／＼／、／＼／、／ とはどういうことでしょうか？
微分をした時、ｆ’（ｘ）＝０となるｘの値が重解をもつのは奇数になる？？でしょうか？

15142．Re: 5次関数
名前：両津　勘吉    日付：6月10日(木) 0時19分
＞／＼／＼／というグラフは出てきませんでした。
＞なぜでしょうか？

重解であると思うのですが、しかし、なかなか／＼／＼／というグラフが出てこないのです…

15143．Re: 5次関数
名前：両津　勘吉    日付：6月10日(木) 0時21分
また、一般にｎ次関数のグラフの極値はn-1個と考えてよいのでしょうか？
例えば、１５次関数は
／＼／＼／＼／＼／＼／＼／＼／
でしょうか？

15144．Re: 5次関数
名前：らすかる    日付：6月10日(木) 0時51分
＞／＼／＼／というグラフは出てきませんでした。なぜでしょうか？

(x-1.6)(x-1)x(x+1)(x+1.6) のグラフを描いてみて下さい。

＞最高次の係数が正なら、／＼／＼／、／＼／、／ とは
＞どういうことでしょうか？

最高次の係数が負なら、＼／＼／＼、＼／＼、＼ のように
反対になるということです。

＞微分をした時、ｆ’（ｘ）＝０となるｘの値が重解をもつのは
＞奇数になる？？でしょうか？

意味がわかりません。

＞例えば、１５次関数は
＞／＼／＼／＼／＼／＼／＼／＼／
＞でしょうか？

そうです。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15145．Re: 5次関数
名前：両津　勘吉    日付：6月10日(木) 1時18分
おお！！わかりました！！
グラフもちゃんとかけました。どうもありがとうございます。！

あと、
＞＞微分をした時、ｆ’（ｘ）＝０となるｘの値が重解をもつのは
＞＞奇数になる？？でしょうか？

＞意味がわかりません。

えっと…15139で、
＞最高次の係数が正なら、／＼／＼／、／＼／、／
とありますが、これは５、３、１次関数の場合で（奇数）
２，４次関数（偶数）の場合が書いてなかったもので、奇数の場合だけなのかなあ…と…。単に、２と４の場合だけ省略したのは偶然でしょうか？

15146．Re: 5次関数
名前：らすかる    日付：6月10日(木) 1時23分
「最高次の係数が正なら、／＼／＼／、／＼／、／」というのは
「５、３、１次関数の場合」ではありません。
５次関数の時に、最高次の係数が正ならば極値の個数によって
その３つの形があり得るという意味です。
（元々私が書いたものではないですが、そのはず。）
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15147．Re: 5次関数
名前：両津　勘吉    日付：6月10日(木) 2時35分
おお！！
理解できました。
らすかるさん、我思うさん、tobiraさん、どうもありがとうございました。

15133．お願いします。  
名前：もも（中３）    日付：6月8日(火) 19時41分
ばねに色々な重さのおもりをつるしたとき、ばねののびの長さは、つるしたおもりの重さに比例するものとする。
いま、８ｇの重さの重りをつるしたとき、ばね全体の長さが8，6ｃｍになり、１７ｇの重さのおもりをつるすと、ばね全体の長さが１０，４ｃｍになった。このとき、おもりをつるしていない状態のばねの重さを求めなさい。
です。お願いします。


15134．Re: お願いします。
名前：Bob    日付：6月8日(火) 20時33分
１次関数ですね。
もとの長さｂｃｍ
１ｇ当りの延びる長さ　aｃｍ
とすると全体の長さｙｃｍ　　ｘｇのおもり

ｙ＝aｘ＋ｂ　となります。
代入すると
８．６＝８a＋ｂ
１０．４＝１７a＋ｂ　　
a＝０．２　ｂ＝７

よって答えは７ｃｍ

15140．駄レス
名前：らすかる    日付：6月9日(水) 19時14分
ばねの重さが７ｃｍ？(笑)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15156．Re: お願いします。
名前：arc    日付：6月10日(木) 19時40分
この問題の求めるものって・・・（屍

15161．Re: お願いします。
名前：もも（中３）    日付：6月11日(金) 16時39分
ごめんなさい。求めるのは長さでした（笑
Bobさんありがとうございました！！

15132．？？？  
名前：●    日付：6月8日(火) 19時37分
y=x^3+3x^2上の点(-3,0)における接線Lの傾きは９。
接線Lの方程式はy=９x+２７である。
ここまでは解けたんですけど・・・

またこの曲線㊤の点(□,□)における接線はLと平行
である。

四角(□)の求め方ががわかりません(>_<)
誰か教えてください、おねがいします!


15135．Re: ？？？
名前：Bob    日付：6月8日(火) 20時40分
微分を使えば出来ますよ。

15126．積分法  
名前：さくら    日付：6月8日(火) 17時18分
ｙ＝ｅ＾Xと原点からこの曲線にひいた接線、およびｙ軸で囲まれた図形の面積


15130．Re: 積分法
名前：らすかる    日付：6月8日(火) 18時41分
∫[0～接点のx座標](e^x-(接線の傾き)x)dx
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15124．算数です。（小６）  
名前：原だ    日付：6月8日(火) 14時45分
初めまして。塾講師しています原田といいます。
昨日生徒が持ってきた問いの解答がわかりません。。。
どなたか助けてください！！

問：三角形ABCにおいてAB＝８、BC＝３　角ABC＝６０°のとき、CAの長さを求めなさい。
（余弦定理より答えは７ですが小学生に解けるように解いてください）

よろしくお願いします。


15125．Re: 算数です。（小６）
名前：c.e.s.    日付：6月8日(火) 17時13分
三平方の定理を知っているなら、三角形ABCを含むような正三角形を描いて、点Aから直線BCに垂線を下ろせばできますが…

15128．Re: 算数です。（小６）
名前：らすかる    日付：6月8日(火) 17時22分
例えば、
△ＰＢＣが正三角形になるように辺ＡＢ上に点Ｐをとります。
ＰＢ＝３ですから、ＰＡ＝５となります。
△ＰＢＣの面積は、一辺が１の正三角形の面積の９倍(※1)
ですから、△ＡＰＣの面積は一辺が１の正三角形の面積の
１５倍になります。（∵ＰＢ：ＰＡ＝３：５）
次に、一辺の長さがＡＣである正三角形を描きます。
△ＡＰＣにおいて、∠ＡＰＣ＝120°ですから、
∠ＣＡＰ＋∠ＰＣＡ＝60°です。従って今描いた正三角形の
各辺に△ＡＰＣの辺ＡＣが一致するように正三角形の内側に
△ＡＰＣと同じものを３つ置くと、重ならずに置けて、
中心に一辺が２（＝ＡＰ－ＰＣ）の正三角形の穴が出来ます。
穴の面積は一辺が１の正三角形の面積の４倍ですから、
描いた正三角形の面積は１５×３＋４＝４９により
一辺が１の正三角形の４９倍となり、ＡＣの長さは７で
あることがわかります。

# もっとうまいやり方があるかも知れません。

※1 面積比は辺の長さの比の２乗ということを使って良ければ
　　特に問題ありませんが、そうでない場合は一辺が３の正三角形を
　　一辺が１の正三角形９個に分割すれば説明出来ると思います。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15131．Re: 算数です。（小６）
名前：原だ    日付：6月8日(火) 18時50分
らすかるさん、ありがとうございます。
一晩中悩んで解けなかったんですよ。。。

今夜はぐっすり寝れそうです☆

15117．微積  
名前：あき　一回生    日付：6月8日(火) 0時58分
Ａｎ＝１／ｎの時、Ａｎは０に収束するので「どんなε＞０が与えられてもεに応じてｎ0＝ｐ、ｑ⇒|Ap-Aq|<εとなるようにｎ0∈Ｎを選べる」
が満たされている。そこで任意に与えられたε＞０に対してｎ0∈Ｎをひとつ選べ
(大学１年) という問題なのですが詳しく教えてください


15121．Re: 微積
名前：c.e.s.    日付：6月8日(火) 2時21分
p,q>n0でしょう?それから、何度も同じ問題を書き込むのはよろしくないかと思います。「数学の部屋掲示板」で、ぽこぺんさんの記事に付記が付いていますよ。

15136．Re: 微積
名前：あき    日付：6月8日(火) 22時34分
急ぎだったので…気をつけます。すいません

15114．因数分解が分からないんです～  
名前：シズク（高３）    日付：6月7日(月) 23時27分
（ⅹ＾４+1）←ⅹの４乗+1＝０
のｘの解はどうなるのでしょうか？？

教えてください、お願いします！！


15118．Re: 因数分解が分からないんです～
名前：momono花    日付：6月8日(火) 1時50分
ⅹはxではないですし、しかも機種依存文字だったりするわけで。

x4 + 1 = x4 + 2x2 + 1 - 2x2 = (x2 + 1)2 - (√2*x)2
= (x2 + x√2 - 1)(x2 - x√2 + 1)

上の二次方程式をそれぞれ解の公式で解く。

15119．Re: 因数分解が分からないんです～
名前：momono花    日付：6月8日(火) 1時51分
最後がちょっと間違ってました。
(x2 + x√2 + 1)(x2 - x√2 + 1)
です。

15120．Re: 因数分解が分からないんです～
名前：momono花    日付：6月8日(火) 1時57分
または
x4 = -1 = cos(180°+ 360°n) + isin(180°+ 360°n)
でn = 0,1,2,3のときがx の解

15321．Re: 因数分解が分からないんです～
名前：シズク（高３）    日付：6月19日(土) 21時27分
ありがとうございます～
すごく分かりました（＞＿＜）

15100．(untitled)  
名前：りんご（中学生）    日付：6月7日(月) 21時36分
こんばんは。

∠Ｃ＝９０°、ＣＡ＝９、ＡＢ＝６√３の△ＡＢＣがある。点Ｐは頂点ＣからＡまで、辺ＣＡ上を毎秒３の速さで進む。点ＱはＰと同時に頂点Ｂを出発し、頂点Ｃまで辺ＢＣ上を毎秒√３の速さで進む。このとき、Ｐ，Ｑ間の距離の最小値を求めよ。

という問題がわかりません。
宿題で出たんですけど、授業で解説をしなかったのでわかりません・・・
おしえてください、よろしくおねがいします。


15101．Re: (untitled)
名前：AxlRose    日付：6月7日(月) 21時42分
今から書き始めるのでちょっとだけ待ってくださいね。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15103．Re: (untitled)
名前：りんご（中学生）    日付：6月7日(月) 21時49分
ありがとうございます！！うれしいです。

待ってます！

15104．三平方の定理と２次関数？
名前：AxlRose    日付：6月7日(月) 21時53分
こんばんは（=ﾟωﾟ）ノ

まずはCBの長さを三平方の定理を使って求めておきましょう。

また、この問題を考えやすくするために、辺CA上に点Pを、
辺CB上に点Qをあらかじめ書き込んでおいてください。

さて、ここで点Cと点Pと点Qでできる直角三角形に着目すると、
三平方の定理からPQ²=CP²+CQ²としてPQが求められます。

ということは、あとはCPとCQを求めてあげればいいことになりますね。

ここで、点Pと点Qが出発してからの時間をx[秒]としましょう。
するとCPとCQが比較的簡単なxの式で表すことができますね。

＃CQはCQ=CB-QBと考えれば求まりやすいかもしれません。

あとはさっきの三平方の定理の式に代入してあげれば、
PQ²をxの式で表すことができますね。

あとはPQ²が最小になるときのxを求めてあげればいいでしょう。

＊以下はちょっとした注意点です。
・点Pも点Qも３秒で目標の頂点に到達することに注意しましょう。
・PQ＞0なので、PQ²が最小になるxを求めてあげれば、
　そのときにPQもちゃんと最小になってくれます。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15105．Re: (untitled)
名前：りんご（中学生）    日付：6月7日(月) 21時57分
題名を書き忘れていました、すみません。

とても丁寧な解説どうもありがとうございます！

今からAxlRose先生の解説を見ながらもう１回解いてみます。

15106．Re: (untitled)
名前：りんご（中学生）    日付：6月7日(月) 22時16分
解いてみたんですけど、

ＰＱ^2＝（３ｘ）＾２+（３√３－√３ｘ）＾２
　　　＝４（ｘー3/4）＾２　+　２７/４

という式になりました。。。

答えはｘ＝３/４　のとき最小値２７/４　をとる

でいいんでしょうか・・？？

15107．Re: (untitled)
名前：AxlRose    日付：6月7日(月) 22時30分
＞ＰＱ^2＝（３ｘ）＾２+（３√３－√３ｘ）＾２
この式はOKです。

＞＝４（ｘー3/4）＾２　+　２７/４
のところはすごくいい感じに行ってるんですけど、正しくは

ＰＱ^2＝３｛４（ｘ－3/4）＾２　+　２７/４｝

と、３がかかっていましたよね（´∇｀

あとは最終的な解答としてはPQ^2の最小値の√を取って、
ちゃんとPQの最小値にしてあげないといけないですね。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15108．Re: (untitled)
名前：りんご（中学生）    日付：6月7日(月) 22時53分
どうもありがとうございます！！

ｘ＝√３/２　のとき最小値は　９/２　になりました。
これで合ってますか・・・？

たくさん質問してごめんなさい。

15110．Re: (untitled)
名前：AxlRose    日付：6月7日(月) 23時3分
えっと…、
x=3/4　のとき最小値は　9/2　ですね（´∇｀

PQ^2もPQも最小になるときのxの値は同じ(x=3/4)でOKです。

ただ81/4のままだとPQ^2の最小値なので、
これに関しては√を取らないといけないということですね。

ごく簡単な式で書けば、（MAXは最大値の意）
PQ²MAX=81/4
　↓√をとって
PQMAX=9/2
としましょうということです。

質問はいくらしてくださってもOKですよ。
気にしないでくださいな（´∇｀*
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15112．Re: (untitled)
名前：りんご（中学生）    日付：6月7日(月) 23時14分
わかりました！分かりやすい説明、どうもありがとうございました。

丁寧に最後まで分かりやすく教えてくれて本当にありがとうございました。

感謝です☆

15113．Re: (untitled)
名前：AxlRose    日付：6月7日(月) 23時23分
どういたしまして（´∇｀*
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15099．(untitled)  
名前：トン    日付：6月7日(月) 21時21分
直角三角形で、辺の比が1対2対√5で直角が1と2の間です。2と√5の間の角度は何度でしょうか？
という問題です、分からないので誰か解説と答え教えてください！！


15109．Re: (untitled)
名前：えいぶ    日付：6月7日(月) 22時58分
三角比の表を使え、などの指示は出ていませんか？

15111．Re: (untitled)
名前：トン    日付：6月7日(月) 23時12分
返事ありがとうございます！確か、余弦定理と関数電卓を使うって言ってました。ぼくは全然わからいのです・・・

15115．Re: (untitled)
名前：えいぶ    日付：6月7日(月) 23時30分
a=1,b=2,c=√5とおきます。手順としては
余弦定理からcosAを求める。
cosA=xとなればA=arccos(x)
です。

15116．Re: (untitled)
名前：トン    日付：6月8日(火) 0時38分
すいませんが、もっと詳しく教えてください！できたら答えも・・・

15122．Re: (untitled)
名前：c.e.s.    日付：6月8日(火) 2時35分
直角三角形ならば、余弦定理を使わなくても求める角度のsinもcosも三角比の定義から出ます。それから、関数電卓を持っていらっしゃらないならば(そんな気がしたので)、Windows付属の電卓が関数電卓になっているので使ってみてください。

15095．助けて下さい  
名前：ｍｏｍｏ    日付：6月7日(月) 19時10分
三点の座標がある三角形ＡＢＣに内接する円の中心座標を求める方法が分かりません。仮にＡＢＣの座標をＡ＝（０，５）、Ｂ＝（１０、０）、Ｃ＝（０，０）とすると三平方の定理を用いて　辺ａ＝１０、
辺ｂ＝５、辺ｃ＝１１，１８となりこの三辺を使ってヘロンの公式を用い内接円の半径までは求められるのですが、どうしても円の中心座標が分かりません。どなたかお助け下さい。


15097．Re: 助けて下さい
名前：花パジャ    日付：6月7日(月) 20時13分
この問題に限って言えば、内接円の中心座標は(内接円の半径,内接円の半径)です

15087．教えてください  
名前：ウティス    日付：6月7日(月) 0時36分
整式P(X)をX=1で割ったときあまりは1　X=2で割ったときのあまりは2　X=3で割ったときのあまりは3のとき
P(X)を(x-1)(x-2)(x-3)で割ったときのあまりを求めよ
といわれたのですが
解放がまったくわかりません教えてください


15089．Re: 教えてください
名前：c.e.s.    日付：6月7日(月) 1時42分
「剰余の定理」というのは知っていますか?
「xの整式P(x)が(x-k)を因数に持つ⇔P(k)=0」というものです。
この定理から、最初の条件は「P(1)=1かつP(2)=2かつP(3)=3」…☆と同じことです。すると(x-1)(x-2)(x-3)で割った余りは何となくxしかないような気がします(よね?)。3次式で割った余りが2次以下の式であることから、余りをax^2+bx+c等とおいて☆を使っても、a,b,cが求まります。

15086．間違えてました  
名前：あき　一回生    日付：6月7日(月) 0時9分
Ａｎ＝１／ｎの時、Ａｎは０に収束するので「どんなε＞０が与えられてもεに応じてｎo　
＜ｐ、ｑ⇒|Ap-Aq|<εとなるようにｎ0∈Ｎを選べる」
が満たされている。そこで任意に与えられたε＞０に対してｎ0∈Ｎをひとつ選べ
(大学１年)


15092．Re: 間違えてました
名前：しゅー    日付：6月7日(月) 7時4分
質問する態度じゃないけど。。

15093．Re: 間違えてました
名前：あき　一回生    日付：6月7日(月) 8時16分
すいません。そのままのせてしまいました。気分を害した方、すみません　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　いまＡｎ＝１／ｎの時、Ａｎは０に収束するので「どんなε＞０が与えられてもεに応じてｎ0＜ｐ、ｑ⇒|Ap-Aq|<εとなるようにｎ0∈Ｎを選べる」
が満たされている。そこで任意に与えられたε＞０に対してｎ0∈Ｎをひとつ選べ
(大学１年)

なんですけど教えてください

15123．Re: 間違えてました
名前：BWV645    日付：6月8日(火) 3時7分
＞そこで任意に与えられたε＞０に対してｎ0∈Ｎをひとつ選べ

例えば、n0＝[2/ε]＋1 と選べばOKです。 ( [ ]はガウス記号 )

15085．ＣＡＵＣＨＹ  
名前：あき　一回生    日付：6月6日(日) 23時37分
Ａｎ＝１／ｎの時、Ａｎは０に収束するので「どんなε＞０が与えられてもεに応じてｎ0＝ｐ、ｑ⇒|Ap-Aq|<εとなるようにｎ0∈Ｎを選べる」
が満たされている。そこで任意に与えられたε＞０に対してｎ0∈Ｎをひとつ選べ
(大学１年)

15083．面積の最大値  
名前：りんご（中学生）    日付：6月6日(日) 23時14分
こんばんは。

１辺の長さ４の正三角形ＡＢＣの辺ＢＣ上に点Ｐをとり、Ｐから辺ＡＢ，ＡＣにおろした垂線をそれぞれＰＱ，ＰＲとする。四角形ＡＱＰＲの面積が最大になるときの線分ＢＰの長さとその面積の最大値を求めよ。

という問題がわかりません。
授業ではグラフを書くところをやっているので、この問題もグラフを書いて解くのでしょうか・・？？
わからないのでおしえてください、よろしくおねがいします。


15094．Re: 面積の最大値
名前：AxlRose    日付：6月7日(月) 13時14分
こんにちは(　･ω･)ノ

まずはBPの長さをxとでも置きましょう。

で、ここでいきなり四角形AQPRのxで表せればいいんですが、
どうもそれはさすがにちょっと厳しそうですね。

でも四角形AQPRの面積って次のようにすれば求められますよね。

四角形AQPR=△ABC-△BPQ-△CPR

△ABCの面積は三平方の定理を習っていれば求められますし、
△BPQの面積も∠QBP=60°、BP=xに注意すれば求められますし、
△CPRの面積も∠RCP=60°、CP=4-xに注意すれば求められますね。

また何かあったら質問してくださいな（´∇｀*
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15098．Re: 面積の最大値
名前：りんご（中学生）    日付：6月7日(月) 21時17分
どうもありがとうございます！

AxlRose先生の解説を見ながら解いて、授業で答え合わせしたとおり、

ＢＰ＝２のとき最大値３√３をとる

となりました。

本当にどうもありがとうございました☆

15102．Re: 面積の最大値
名前：AxlRose    日付：6月7日(月) 21時43分
よかったです（´∇｀*
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15076．微積分  
名前：里　一回    日付：6月6日(日) 17時27分
教えてください　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
Xを任意の実数とすると、Ｒn∈ＱかつＲｎ→ＸとなるＲｎが存在することを示せ


15078．Re: 微積分
名前：nabeX    日付：6月6日(日) 21時47分
そう難しいことを考える必要はなくて
例えばπ=3.14159265…に対して
R1=3
R2=3.1
R3=3.14
R4=3.141
･･･
というふうに取っていけばよいわけです。

15081．Re: 微積分
名前：あき　一回生    日付：6月6日(日) 22時46分
どういうことですか？

15082．Re: 微積分
名前：nabeX    日付：6月6日(日) 23時13分
任意の実数aに対しその十進展開を考えます。
aに対して数列anがあって
a=a0+Σ[k=1,∞]ak/10k
a0は整数、a1,a2…は0～9の自然数です。
a0はaを十進小数で書いたときの整数部分
それ以外のakはaの小数第k位に当たる自然数です。
これに対しaの収束するような数列を次のように考えます。
(上で書いた数列とは微妙に異なりますが考え方は同じです。)
Rn=a0+Σ[k=1,n]ak/10k
これはつまりaの小数第n+1位以下を切り捨てたものです。
Rnは有限小数で書けますから当然有理数でしかもn→∞でaに収束します。
(これはもちろん証明が必要ですが小数第n+1位以下の部分は
1/10n以下ということを用いればよいでしょう。)

15084．Re: 微積分
名前：あき　一回生    日付：6月6日(日) 23時36分
わたしでもわかりました。たまたま通りっかっただけなのにすいまセン

よければ新スレ立てるので教えてください

15074．微積  
名前：勇人一回生    日付：6月6日(日) 17時18分
｜An－An＋1｜＜（１／２）のＮ乗を満たしている時、Anが収束するのをεδでどのように証明したらいいのですか？

15071．高２です。  
名前：サック    日付：6月6日(日) 15時0分
nを正の整数とする。１以上３ｎ以下の整数の中から互いに異なる二つの数
a,bを無作為に選ぶとき、｜a-b|＜ｎとなる確率を求めよ。
できるだけ詳しくお願いします。


15072．Re: 高２です。
名前：arc    日付：6月6日(日) 16時51分
# 結局回答になっているか分かりませんが・・・

分母 = 3nP2

分子は、
n=1 → 0
n=2 → 10
n=3 → 30
n=4 → 60
n=5 → 100
n=6 → 150
n=7 → 210
n=8 → 280
n=9 → 360
・・・となります。これは、
an = an-1 + 10(n-1)

というところまでしか・・・

15075．Re: 高２です。
名前：らすかる    日付：6月6日(日) 17時21分
無作為に選ぶ方法はarcさんが示されているように3nP2 = 3n×(3n-1)通りです。
a=1 の時、|a-b|＜n となるのは b=2～n の (n-1)通り
a=2 の時、|a-b|＜n となるのは b=1,3～n+1 の n通り
a=3 の時、|a-b|＜n となるのは b=1～2,4～n+2 の (n+1)通り
・・・
a=n-1 の時、|a-b|＜n となるのは b=1～n-2,n～2n-2 の (2n-3)通り
a=n の時、|a-b|＜n となるのは b=1～n-1,n+1～2n-1 の (2n-2)通り
a=n+1 の時、|a-b|＜n となるのは b=2～n,n+2～2n の (2n-2)通り
a=n+2 の時、|a-b|＜n となるのは b=3～n+1,n+3～2n+1 の (2n-2)通り
・・・
a=2n-1 の時、|a-b|＜n となるのは b=n～2n-2,2n～3n-2 の (2n-2)通り
a=2n の時、|a-b|＜n となるのは b=n+1～2n-1,2n+1～3n-1 の (2n-2)通り
a=2n+1 の時、|a-b|＜n となるのは b=n+2～2n,2n+2～3n の (2n-2)通り
a=2n+2 の時、|a-b|＜n となるのは b=n+3～2n+1,2n+3～3n の (2n-3)通り
a=2n+3 の時、|a-b|＜n となるのは b=n+4～2n+2,2n+4～3n の (2n-4)通り
・・・
a=3n-1 の時、|a-b|＜n となるのは b=2n～3n-2,3n の n通り
a=3n の時、|a-b|＜n となるのは b=2n+1～3n-1 の(n-1)通り

つまり、|a-b|＜n となるのは全部で
(n-1) + n + (n+1) + (n+2) + … + (2n-3) + (2n-2)　　※a=1～nのぶん
+ (2n-2) × n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　※a=n+1～2nのぶん
+ (2n-2) + (2n-3) + (2n-4) + … + n + (n-1)　　　　※a=2n+1～3nのぶん
通りです。この式は１行目と３行目の各項を加えると計算が簡単で、
{(n-1)+(2n-2)} + {n+(2n-3)} + {(n+1)+(2n-4)} + … + {(2n-2)+(n-1)}
+ n(2n-2)
= n(3n-3)+n(2n-2)
= 5n(n-1)
∴求める確率は 5n(n-1)/3n(3n-1) = 5(n-1)/3(3n-1)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15063．微分  
名前：hayato    日付：6月5日(土) 22時37分
a,b,cを実数とする。次の二つの条件を満たす整式P(x)=x^3+ax^2+bx+cを求めよ。

(A) P(x)はP(x)をxで微分して得られる数式P'(x)で割り切れる。
(B) P(1)=0

（解）

(A)よりP(x)=P'(x)Q(x)---①
(B)よりP(x)=(x-1)R(x)---②

{Q(x),R(x)はxの整式｝

②式をxで微分してP'(x)=R(x)+(x-1)R'(x)---③
これにx=1を代入してP'(1)=R(1)---④

(A)と④より

P(1)=R(1)Q(1)=0

↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓　↓

したがって、P(x)=(x-1)^2T(x) {T(x)はxの整式｝

故に、P(x)=(x-1)^3

と、なっていたのですが、矢印から下が何故そうなるのか分かりません。例えば、何故、P(x)がいきなり（x-1)^2を因数にもつと言えるのか？また、どうやったらP(x)=(x-1)^3になるのか？などです。誰か教えてください。お願いします。ちなみに今、高２です。


15066．Re: 微分
名前：c.e.s.    日付：6月6日(日) 4時0分
まず、Pのx3の係数が1であることからP'のx2の係数が3であることと数式(1)より、Q(x)=1/3 (x-α)…(5)と表せます。さて、
R(1)Q(1)=0⇔R(1)=0またはQ(1)=0。次に場合分けをします。
(i):R(1)=0⇒R(x)=(x-1)U(x) (Uはxの1次式)⇒P(x)=(x-1)2T(x) (∵数式(2))
(ii):Q(1)=0⇒P(x)=1/3 (x-1)P'(x)=(x-1)R(x) (∵数式(1)(2)(5))
⇒3R(x)=P'(x)=R(X)+(x-1)R'(x) (∵数式(3))
⇒R(x)=1/2 (x-1)R'(x)⇒P(x)=1/2 (x-1)2R'(x)(∵数式(2))
(i),(ii)よりP(x)は(x-1)2を因数に持ちます。
…何かほかにいい説明ないかなぁ

15073．Re: 微分
名前：hayato    日付：6月6日(日) 17時7分
お返事有難うございます．(x-1)^2を因数に持つことは分かりました。あとは何故(x-1)^3になるか考えてみます．

15077．Re: 微分
名前：hayato    日付：6月6日(日) 19時2分
たびたびすいません。考えてみたけど全く分かりませんでした。何故こうなるのか教えてください．お願いします．

15096．Re: 微分
名前：hayato    日付：6月7日(月) 19時49分
思考錯誤のすえ何とか分かりました。質問に答えてくださった方、ありがとうございました。

15061．行列  
名前：勇人一回生    日付：6月5日(土) 20時1分
そもそもｄｅｔって何なんですか？絶対値じゃないことわわかります


15062．Re: 行列
名前：c.e.s.    日付：6月5日(土) 20時17分
行列式

15064．Re: 行列
名前：両津　勘吉    日付：6月5日(土) 23時9分
デターミネントが０のとき逆行列は存在しません。
２＊２行列Ａ＝（a b)
　　　　 (c d)
に対して、detA=ad-bcです。

15068．Re: 行列
名前：ＣＨＩＮＣＯ    日付：6月6日(日) 14時5分
determinant

15060．数直線  
名前：大学3年    日付：6月5日(土) 18時31分
こんにちは。
ふと思いついた事なのですが、
直線とは点の集まりですが長さが求められますよね。
例えば閉区間[0、1]とは0から1までの全ての実数の点を
一直線上に乗っけたものでその長さは1ですよね。
ここで[0、1]間の有理点のみを集めてそれぞれくっつけて
一直線に並べた時の長さはどうなるのですか？
ディリクレ関数で考えてみようと思ったのですが、
うまい具合に考えられません。
どなたか教えて下さい、お願いします。


15070．Re: 数直線
名前：らすかる    日付：6月6日(日) 14時31分
有理数は可算個、無理数は非可算個だから、
長さは０になると思います…
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15079．Re: 数直線
名前：大学3年    日付：6月6日(日) 22時10分
可算個だと0になってしまうのですか。
この場合では[0,1]の無理数を集めた直線は
1になるのですか？

15091．Re: 数直線
名前：らすかる    日付：6月7日(月) 2時11分
数学的でない表現になりますが、
(非可算個)÷(可算個)＝∞ですから、
無理数は有理数の無限倍あります。
従って、無理数を集めれば1になると思います。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15054．今回も  
名前：ｿﾗ    日付：6月4日(金) 23時37分
よろしくお願い致します！
　底辺は８ｃｍの正方形、側面の二等辺三角形の２辺は四角錐がある。


15055．Re: 今回も
名前：ｿﾗ    日付：6月4日(金) 23時55分
　すみません。途中なのに、書き込まれてしまいました。
つづき・・・
　四角錐（底辺が８ｃｍの正方形で、両辺が９ｃｍの二等辺三角形４つに囲まれている：すみません。図がかけないので文字になりました。）がある。この四角錐の体積はいくつか。

　自分の中では・・・

　四角錐の体積は　１/３底面積ｘ高さ　なので、
　底辺の正方形の面積は　８ｘ８＝６４　
　二等辺三角形の高さを出したいので　3平方の定理を使うのは
　わかるのですが、その出し方が分かりません。
　よろしくお願いします。

15056．Re: 今回も
名前：パパイヤ    日付：6月5日(土) 2時47分
Original Size: 400 x 400, 18KB

３平方の定理を２回使うと高さが出ます


15053．(untitled)  
名前：あき　一回生    日付：6月4日(金) 23時26分
二次の正方行列A＝（a b） (a.b.c.dは実数)　とする
　　　　　　　　　(c d)

Aの二乗＝０　となる時のad-bcはいくらかって言う問題なんですが、

A2 = Ｏ
両辺のdeterminantは
|A2| = |Ｏ| = 0
|A2| = |AA| = |A||A| = |A|2 = 0
ゆえに|A| = 0
だからad - bc = 0 でいいのですか？


15057．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：6月5日(土) 8時42分
それで良いと思います。

また、背理法で、
　Ａ＝Ｏ　のときは明らかに　ad-bc=0
　Ａ≠Ｏ　のとき、ad-bc≠0 であると、Ａの逆行列Ａ-1が存在し、
　Ａ2＝Ｏ
の両辺にそれをかけると（左右どちらでも良い）
　Ａ＝Ｏ
となり、矛盾する。
という形でも良いでしょう。
（「ad-bc≠0 であると、Ａの逆行列Ａ-1が存在し」が既知であるとします）
　
http://yosshy.sansu.org/

15052．教えてください  
名前：だめパパ    日付：6月4日(金) 22時27分
10-(-12)の計算式の意味を教えてください。中１に教える父です。


15059．Re: 教えてください
名前：Bob    日付：6月5日(土) 12時11分
カードゲームをしてて
持ち点１０の人が（－１２）カードを失った。
今の持ち点は？

当然マイナスカードがなくなったわけだから得点は増えます。
だから
（＋１０）－（－１２）＝（＋１０）＋（＋１２）＝２２
増えてますね。

15065．Re: 教えてください
名前：ケロ＠蛙宇宙高３年今年も残念ながら留年    日付：6月6日(日) 1時23分
並べます。
10+(+12)=22　　（１）
10+(-12)=-2　　　（２）
10-(+12)=-2　　　　（３）
10-(-12)　はどういう結果にしたらきれいでしょうか。
10-(-12)=22 （４）
こうすると美しいと思います。
この結果を現実に適用するといろいろなことでうまくいくことになります。
例えば温度計。
昨日１０度だった。今日は昨日より＋１２度上がった。（１）
昨日１０度だった。今日は昨日より－１２度上がった。（２）
昨日１０度だった。今日は昨日より＋１２度下がった。（３）
昨日１０度だった。今日は昨日より－１２度下がった。（４）

15051．教えてください  
名前：だめパパ    日付：6月4日(金) 22時26分
中学1年に教えています。１０－（－１２）の意味をどうして教えるのですか。


15058．Re: 教えてください
名前：Bob    日付：6月5日(土) 12時8分
数直線上で－１２からいくつ進んだら（戻ったら）１０に到達するか

と教えてみては？

15041．おしえてください  
名前：もも    日付：6月3日(木) 22時57分
数学Ⅱの２次方程式ですが。。。

ｘ＾２＋３ｘー５＝０の二つの解をα、βとするとき次の値を求めよ。

（αーβ）＾２

教えてほしいのでわかる方、よろしくおねがいします。
基本的な問題なのにわからなくて恥ずかしいです。


15045．Re: おしえてください
名前：AxlRose    日付：6月3日(木) 23時9分
こんばんは。

２次方程式の解と係数の関係は知ってますよね。

２次方程式x^2+ax+b=0の解をα、βとしたとき、
α+β=-a、αβ=bとなるという関係のことです。

さて、ここで求めたいのは(α-β)^2なわけですが、
このままでは解と係数の関係を上手く使えません。

そこでなんとかこれをα+β、αβだけの式に変形しないといけません。
とりあえず(α-β)^2の式を展開してみると、

(α-β)^2
=α^2-2αβ+β^2

-2αβのところが2αβだったら(α+β)^2にできますね。
ということで、そのように変形してあげます。

では最後にそのヒントを書いておきます。

α^2-2αβ+β^2
=α^2-2αβ+β^2+4αβ-4αβ
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15046．Re: おしえてください
名前：まみ    日付：6月4日(金) 21時17分
α＋β=-3 　αβ＝－５で計算すると

α^2-2αβ+β^2
=α^2-2αβ+β^2+4αβ-4αβ
＝a^2＋１０ｂ＾２－２０＋２０

となりました。このあとがわからないです^_^;

15047．Re: おしえてください
名前：風あざみ    日付：6月4日(金) 21時35分
(α-β)2=α2-2αβ+β2=α2+2αβ+β2-4αβ=(α+β)2-4αβ

解と係数の関係より、α+β=-3、αβ=-5ですね。
これを(α+β)2-4αβに代入すればいいのです。

15048．Re: おしえてください
名前：まみ    日付：6月4日(金) 21時40分
答えは２９になりました。
ありがとうございました。

15038．高1です  
名前：いちおうけい    日付：6月3日(木) 22時41分
「x^4+4を展開せよ」この問題がわかりません！お願いします！


15044．Re: 高1です
名前：AxlRose    日付：6月3日(木) 23時3分
因数分解…ですよね？

もしそうであれば、
x^4+4+4x^2-4x^2
=(x^4+4x^2+4)-4x^2

として○2-△2の形を作れば因数分解できます。

ちなみにx^4の項が出てくる式の因数分解では、
このようにx^2の項を利用して○2-△2の形を作るのが定番です。

ぜひ習得しておきましょう(｀・ω・´)
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15036．お願いします  
名前：つかさ    日付：6月3日(木) 21時38分
連立方程式の｛2x+3y=7　2x-y=3の解き方と答えを教えてくださいお願いします。


15037．Re: お願いします
名前：Bob    日付：6月3日(木) 21時43分
たてにならべます。

　{2x+3y=7
　{2x-y=3
今回はたまたまｘの係数が「２」と同じなので
そのまま両辺引きます。
左辺は２ｘが消えます。
３ｙ－（－ｙ）＝４ｙ
右辺は７－３＝４
４ｙ＝４　ｙ＝１
元の２式のどちらかに代入してｘをだすとｘ＝２
こういう出し方を加減法といいます。他に代入法と
いうのがあります。

15039．Re: お願いします
名前：つかさ    日付：6月3日(木) 22時44分
ありがとうございました。ようやくわかるようになりました。

15035．よろしくお願いします。  
名前：琢也    日付：6月3日(木) 20時6分
こんばんは。全単射ｆ_｛λ｝：Ｎ→Ｘ_｛λ｝が存在するとき，写像を
π：Λ×Ｎ∋（λ，ｎ）→∪[λ∈Λ]Ｘ_｛λ｝∋ｆ_｛λ｝（ｎ）
と定めれば，これは全射である。
とあるのですが，大学でこれは全射だが単射ではないと習ったのですがなぜでしょうか？よろしくお願いします。


15088．Re: よろしくお願いします。
名前：BWV645    日付：6月7日(月) 1時17分
集合族 (X_{λ})_{λ∈Λ} に特に何の制限もないのであれば、写像πは単射であるとは
限らないです。
πが単射にならないような例としては、例えば、Λの濃度を連続の濃度とし、
任意のλ∈Λに対して、X_{λ}＝N 、全単射 f_{λ} を恒等写像
とすればいいです。　
実際このとき、Λ×Ｎの異なる２元 (λ1, n) , (λ2, n) (λ1 ≠λ2) に対して、
π((λ1, n))＝π((λ2, n))＝n となります。

15030．はじめまして  
名前：けいすけ（ぷーたろー）    日付：6月3日(木) 16時0分
ひょんなことから、数学を解く事になりました。もともと勉強とかあまりしておらず、皆様方にとっては簡単な事だと思いますが、私自X身にはまるで分からず。どうか教えて下さい。

y＝tanX　
この関数を微分すると、

１/cos＾２X
になるそうなのですが、どうしてなるのか分かりません。他にも分からない問題などがあったのですが、それらはインターネットで検索したりして分かる事ができましたが、、、、どうかお願いします。


15031．Re: はじめまして
名前：ヨッシー    日付：6月3日(木) 16時8分
まず、(sinx)’＝cosx、(cosx)’＝-sinx という公式があります。
これを示すには、微分の定義と、三角関数の加法定理に立ち戻らないと行けないのですが、
ここでは省略します。
また、２つの関数 f,g があり、その微分 f', g' も明らかになっているとき
　(f/g)' = (f'g - fg')/g^2
という公式があります。これの証明の省略します。

すると、tanx=sinx/cosx であるので、上の公式を適用すると、
　(tanx)' = (sinx/cosx)' ={(sinx)'cosx - sinx(cosx)'}/cos^2x
となります。これを整理して．．．以下略

上で、省略した部分も必要であれば、言って下さい。
　
http://yosshy.sansu.org/

15032．Re: はじめまして
名前：けいすけ（ぷーたろー）    日付：6月3日(木) 18時48分
ありがとうございます。分らないものなりに、学校いっていた友達に教科書借りたりして、、(sinx)’＝cosx、(cosx)’＝-sinx

ここらへんは分りました＾＾：平均変化率っていうのを使ってでましたよね。

>>(f/g)' = (f'g - fg')/g^2
なるほど、こういう公式使うんですね。
={(sinx)'cosx - sinx(cosx)'}
この部分の整理の仕方を教えてください。
cos＾2X+sin＾2X
↑はこのようになると1になるんですか？

15033．Re: はじめまして
名前：ヨッシー    日付：6月3日(木) 19時3分
Size: 107 x 119, 1KB

そうですね。
　sin^2x+cos^2x=1
も、有名な公式です。

０＜ｘ＜９０°に限って言うと、図において、
　sinx＝b/a、cosx＝c/a
なので、sin^2x+cos^2x=(b^2+c^2)/a^2
三平方の定理より　b^2+c^2＝a^2 なので、
　sin^2x+cos^2x=1
です。
　
http://yosshy.sansu.org/


15040．Re: はじめまして
名前：けいすけ（ぷーたろー）    日付：6月3日(木) 22時46分
詳しく教えていただき、ありがとうございました。

勉強していた当時はすぐに投げていましたのに、、、、やりだすとなかなか楽しいかも（笑

また何かあれば、簡単な質問かもしれませんがよろしくお願いします。

15026．(untitled)  
名前：calamity    日付：6月2日(水) 23時31分
今回もお願いします。

ｍが正の整数の時、√2はｍとｍ＋２/ｍ＋１の間にあることを示せ
また、ｍ＋２/ｍ＋１のほうがｍより√2に近いことを示せ

ｍをある値に置き換えれば成り立つことはわかりますが・・
それを証明となるとお手上げ状態です。できるだけ詳しくお願いします。


15029．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：6月3日(木) 9時8分
ｍ＝１　のときだけ
ｍ＜√2＜(m+2)/(m+1)　で、
ｍ≧２　のときは、(m+2)/(m+1)＜√2＜ｍ　となるので、
ｍ＝１　のときだけ個別に調べて、あとは、ｍ≧２　に限定して、
　(m+2)/(m+1)＜√2＜ｍ
を示します。√2＜ｍ　は明らかなので、
　(m+2)/(m+1)＜√2
を示します。両辺　ｍ＋１（＞０）を掛けて
　ｍ＋２＜√2（ｍ＋１）
　(右辺)－(左辺)＞０
を示せば出来上がりです。

後半も同様に　ｍ≧２について調べますが、
ｍ と (m+2)/(m+1) の中点（平均）が√2 より大きければいいので、
　{(m+2)/(m+1)＋ｍ}/２＞√2
を示します。変形すると、
　{(m+1) + 1/(m+1)}/２＞√2
(m+1) と 1/(m+1) は、ともに正なので、相加相乗平均より　（中略）
　m+1＝1/(m+1)
となるのは、ｍ＝０，－２　のときなので、この場合はあり得ない。
（以下略）
です。
　
http://yosshy.sansu.org/

15034．Re: (untitled)
名前：calamity    日付：6月3日(木) 19時37分
ありがとうございました！

15019．教えてください  
名前：若獅子魂    日付：6月2日(水) 22時56分
僕は高１で先日数Aの中間テストがあったのですが、一つ分からないことことがあります。１００から２００までの整数のうち、５，または７で割り切れる数がいくつかという問題で僕は３５と書いたのですが答えは３２なんです。どうしてそうなるのかと、式の使い方を教えてください。


15020．Re: 教えてください
名前：calamity    日付：6月2日(水) 23時17分
100から200までの数の間に
5でも7でも割り切れる数すなわち35の倍数が3つあるからです。
5の倍数は20個　7の倍数は15個
35の倍数は105,140,175の3個
よって20+15-3=32です。

15022．Re: 教えてください
名前：若獅子魂    日付：6月2日(水) 23時22分
あぁなるほど！！僕の場合かぶった分、つまり３５の倍数を引くのをわすれたわけですね？？

15023．Re: 教えてください
名前：calamity    日付：6月2日(水) 23時25分
5でも7でも割り切れる35の倍数105、140、175の３つが
ダブってカウントされているのだと思います。
ちなみに教科書のようにすると
P(A)を5で割り切れる数
P(B)を7で割り切れる数
P(A∩B)を35で割り切れる数とすると
P(A)=20　P(B)=15　P(A∩B）=3
求めるものはP（A∪B）=P(A)＋P(B)－P(A∩B)より
答えは３２になります

15024．Re: 教えてください
名前：calamity    日付：6月2日(水) 23時26分
そうですね。ダブった分を引いていないのでしょう・・

15025．Re: 教えてください
名前：若獅子魂    日付：6月2日(水) 23時29分
なるほど～！！！やっともやもやが吹っ切れました！！ホント親切にありがとうございました＾＾

15015．すいません  
名前：ぴー    日付：6月2日(水) 21時40分
解説はわかるんですが
それからどう式にあてはめればいいかわからないのですが
答えとまたその解説をおねがいできますか？


15017．Re: すいません
名前：AxlRose    日付：6月2日(水) 22時1分
記事への返信は［返信］ボタンを押してから書き込んでくださいね。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15014．ガウス分布では基本ときなことみたいですが････  
名前：ますまてぃっく    日付：6月2日(水) 21時28分
ガウス確率変数は相関がないときに限り独立となることの示し方がわからないんです。
Ｘ,Ｙ:２乗可積分を利用するみたいです。

15011．どうかといてください！！  
名前：ぴー    日付：6月2日(水) 20時36分
２けたの自然数があり、その十の位の数を３倍すると、一の位の数より
１大きくなります。また、十の位の数と一の位の数とを入れかえて出来る自然数は、もとの自然数の２倍より７大きくなります。もとの自然数
を求めなさい。


15012．Re: どうかといてください！！
名前：らすかる    日付：6月2日(水) 20時48分
「十の位の数を３倍すると、一の位の数より１大きくなる」
を満たす数字の組合せはたった３通りしかありませんので、
その３通りについてもう一つの条件を満たすかどうかを
調べれば良いと思います。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15013．Re: どうかといてください！！
名前：AxlRose    日付：6月2日(水) 20時53分
連立方程式の問題ですよね。

まずは十の位をx、一の位をyとでも置きましょう。
このときもとの自然数は10x+yとなりますね。

そして、
＞十の位の数を３倍すると、一の位の数より１大きくなります。
から、

　（十の位の数）*3=（一の位の数）+1

という方程式が立てられます。

また、
＞十の位の数と一の位の数とを入れかえて出来る自然数は、＞もとの自然数の２倍より７大きくなります。
から、

　（十の位と一の位を入れ換えた数）＝2*（もとの自然数）+7

という方程式が立てられます。

また、もとの自然数は10x+y、
十の位と一の位を入れ換えた数は10y+xなので、
それぞれの式をxとyで表すことができますね。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15016．Re: どうかといてください！！
名前：シオン    日付：6月2日(水) 21時41分
http://bbs5.cgiboy.com/p/74/00242/

15018．Re: どうかといてください！！
名前：AxlRose    日付：6月2日(水) 22時6分
＞それからどう式にあてはめればいいかわからないのですが
よく読めば式は完全に立てられるようにしてるんですけどね（´∀｀；

立てる式は次の２つです。
　（十の位の数）*3=（一の位の数）+1
　（十の位と一の位を入れ換えた数）＝2*（もとの自然数）+7

また、十の位の数がx、一の位の数がy、したがってもとの自然数が10x+y、
十の位と一の位を入れ換えた数が10y+xとなります。

…と、これは全て先のレスにも書いてあることですね。

ここからすぐに式が立てられると思いますが、
ちゃんと先のレスに書いたことを理解してから解いてくださいね。

ただ式を立てて解いただけでは力にはならないと思いますので（´∇｀
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15008．よろしくお願いします。  
名前：ｿﾗ    日付：6月2日(水) 7時27分
いつもヒントを頂いて助かっています。
苦手な数学が段々好きになってきました、
今回もどうぞ宜しくお願い致します。
　早速、質問なんですが、
ある一定量の仕事を、夫がやれば2時間で終わり、妻がやれば4時間かかる。夫と妻が協力してやったら、どれくらいかかるか。


15009．Re: よろしくお願いします。
名前：ヨッシー    日付：6月2日(水) 8時43分
例えば、２４０個のボールがあって、夫は１分間に２個、妻は１分間に１個運ぶとします。
２人でやると１分間に３個運ぶので（以下略）

一般的には、全体の仕事量を１として、１時間あたりの仕事量を
夫は1/2、妻は1/4 として、２人でやると、1/2＋1/4=3/4 の仕事を
１時間にこなす。と考えます。
　
http://yosshy.sansu.org/

15010．Re: よろしくお願いします。
名前：らすかる    日付：6月2日(水) 13時26分
別解
仕事の能率は夫：妻で２：１だから、協力した場合は
夫が一定量の仕事の2/3をこなす間に妻が1/3をこなして、
合計で一定量の仕事が終わる。
従って、夫だけがやる場合の2/3の時間で終わる。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

15028．Re: よろしくお願いします。
名前：ｿﾗ    日付：6月3日(木) 0時25分
80分ですね。ありがとうございました。

15003．(untitled)  
名前：まみ    日付：6月1日(火) 20時9分
k^2-4×２×８＜０
ｋ＾２＋64＜０
になったのですがそのあとが分かりません。


15004．Re: (untitled)
名前：AxlRose    日付：6月1日(火) 20時23分
記事に返信するときはタイトルの右にある[返信]ボタンを押してから書き込んでくださいね。

とりあえず前の記事のほうに続きを返信しておきます。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15001．基本的な問題ですが・・・  
名前：まみ    日付：6月1日(火) 19時3分
基本的な問題ですがおしえてください。

2次方程式２X^2＋ｋｘ＋８＝０が異なる２つの虚数解をもつようにｋの値の範囲を定めよ。

よろしくおねがいします。


15002．Re: 基本的な問題ですが・・・
名前：AxlRose    日付：6月1日(火) 19時48分
こんばんは（=ﾟωﾟ）ノ

２次方程式が２つの虚数解を持つ　⇔　判別式D＜0

ということなので、”判別式D＜0”の不等式を解けばいいですね。

またわからないところがあれば気軽に聞いてください。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15005．Re: 基本的な問題ですが・・・
名前：AxlRose    日付：6月1日(火) 20時25分
＞k^2-4×２×８＜０
＞ｋ＾２＋64＜０
＞になったのですがそのあとが分かりません。

まず k^2-4*2*8＜0 を整理すると、
k^2-64＜0 になりますね。

これを因数分解すると、
(k+8)(k-8)＜0

したがって、-8＜k＜8となります。

疑問に感じるところがあればまた質問してください。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

15007．Re: 基本的な問題ですが・・・
名前：まみ    日付：6月2日(水) 7時26分
返信ボタンを押すのをまちがえました。。。

ｋ＾２ー６４＜０となるのですね。
わかりやすかったです。
ありがとうございました。

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