割り切り判定法
ある数が、２，３，４・・・で割り切れるかどうかの判定法です。
＜表記の定義＞
英文字で、ABCDE などと書けば、それぞれの英文字が十進法での各位の数を表すこととします。
つまり、ABCDE = A×10000 + B×1000 + C×100
+ D×10 + E
合成数のうち、異なる素因数を持つ数の判定は、それぞれの素因数に関する判定法を、併せて判定する。
（例）６＝２×３ なので、２で割りきれ、かつ、３で割り切れれば、その数は６でも割り切れる。
７２＝８×９＝２3×３2 なので、８で割り切れ、かつ、９で割り切れれば、その数は７２でも割り切れる。
２n，５n に関するもの
| 判定対象 | 判定方法 | 説明 |
| ２，５，１０ | 下１桁で判定 | ABCDE = ABCD×10 + E = 2×5×ABCD + E |
| ４，２５、１００ | 下２桁で判定 | ABCDE = ABC×100 + DE = 4×25×ABC + DE |
| ８，１２５、１０００ | 下３桁で判定 | ABCDE = AB×1000 + CDE = 8×125×AB + CDE |
| １６，６２５，１００００ | 下４桁で判定 | ABCDE = A×10000 + BCDE = 16×625×A + BCDE |
| 以下略 |
9, 99, 999, 9999・・・を利用するもの
| 判定対象 | 判定方法 | 説明 |
| ９を利用 ３，９ |
各位の数の和が３，９で割り切れる ABCDE→A+B+C+D+E で判定 |
ABCDE=A×10000+B×1000+C×100+D×10+E =A×(9999+1)+B×(999+1)+C×(99+1)+D×(9+1)+E =A×9999+B×999+C×99+D×9+A+B+C+D+E =9×(A×1111+B×111+C×11+D×1)+(A+B+C+D+E) |
| ９９を利用 １１ |
２桁ずつ区切った数の和が１１で割り切れる ABCDE→A+BC+DE で判定 |
ABCDE=A×10000+BC×100+DE =A×(9999+1)+BC×(99+1)+DE =A×9999+BC×99+A+BC+DE =99×(A×101+BC)+(A+BC+DE) |
| ９９９を利用 ２７，３７ |
３桁ずつ区切った数和が２７，３７で割り切れる ABCDEFGH→AB+CDE+FGH で判定 |
ABCDEFGH=AB×1000000+CDE×1000+FGH =AB×(999999+1)+CDE×(999+1)+FGH =AB×999999+CDE×999+AB+CDE+FGH =999×(AB×1001+CDE)+(AB+CDE+FGH) |
| ９９９９を利用 １０１ |
以下略 | 以下略 |
| ９９９９９を利用 ４１，２７１ |
||
| ９９９９９９を利用 ７，１３ |
||
| ９９９９９９９を利用 ２３９，４６４９ |
||
| ９９９９９９９９を利用 ７３ |
11, 101, 1001, 10001・・・を利用するもの
| 判定対象 | 判定方法 | 説明 |
| １１を利用 １１ |
１桁ごとに、交互に加減 ABCDE→A-B+C-D+E で判定 |
ABCDE=A×10000+B×1000+C×100+D×10+E =A×(9999+1)+B×(1001-1)+C×(99+1)+D×(11-1)+E =A×9999+B×1001+C×99+D×11+A-B+C-D+E =11×(A×909+B×91+C×9+D)+(A-B+C-D+E) |
| １０１を利用 １０１ |
２桁ずつ区切り、交互に加減 ABCDE→A-BC+DE で判定 |
ABCDE=A×10000+BC×100+DE =A×(9999+1)+BC×(101-1)+DE =A×9999+BC×101+A-BC+DE =101×(A×99+BC)+(A-BC+DE) |
| １００１を利用 ７，１１，１３ |
３桁ずつ区切り、交互に加減 ABCDEFGHIJK→-AB+CDE-FGH+IJK 1001=7×11×13 を利用 |
ABCDEFGHIJK =AB×1000000000+CDE×1000000+FGH×1000+IJK =AB×(1000000001-1)+CDE×(999999+1)+FGH×(1001-1)+IJK =1001×(AB×999001+CDE×999+FG)+(-AB+CDE-FGH+IJK) |
| １０００１を利用 ７３，１３７ |
以下略 | 以下略 |
| １００００１を利用 ９０９１ |
||
| １０００００１を利用 ９９０１ |
十の位以上の数に、一の位の数をｎ倍して足す方法
この方法は、割り切れるかどうかの判定で、あまりまでは特定しない。
| 説明の一例 | ||
| 判定対象 | 判定方法 | 説明 |
| ７ | 十の位以上から、１の位の２倍を引く ABCDEF→ABCDE-2×F で判定 |
ABCDE×10+F≡0 (mod 7) ←→ ABCDE×50+5F≡0
(mod 7) ←→ABCDE×(1+49)+(-2+7)F≡0 (mod 7) ←→ABCDE-2F≡0 (mod 7) |
ｎの値の例
| ｎの値 | -10 | -9 | -8 | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 判定対象 | 101 | 91 | 27, 81 | 71 | 61 | 17, 51 | 41 | 31 | 7, 21 | 11 | 3, 9 | 19 | 29 | 13, 39 | 49 | 59 | 23, 69 | 79 | 89 | 33, 99 |
同様の方法で、百の位以上の数に、下二桁をｎ倍して足す方法もあります。
２桁以下の素数で、有効そうな（ｎが１桁の）ものを挙げます。
| ｎの値 | -9 | -8 | -3 | -2 | 1 | 3 | 4 | 8 | 9 |
| 判定対象 | 53 | 89 | 43 | 67 | 11 | 13, 23 | 19 | 17 | 29, 31 |