2003年06月 の投稿ログ


8347.こんな質問困るかもしれませんが…  
名前:ムエ(高1)    日付:6月30日(月) 23時26分
順列、組み合わせ、確率系統がまったく分かりません。いい理解方法はありますか?



8352.Re: こんな質問困るかもしれませんが…
名前:ヨッシー    日付:7月1日(火) 8時59分
この単元の基本は、「間違いなく数え上げられる」ことです。
順列や、組合せもそのための手法に過ぎません。
例えば、ABCを並べ替えると、
ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA
の6通りあります。では、ABCDを並べ替えると?
まずは、書き並べてみて下さい。
書いているうちに、
1字目がAのとき、残りの3つの文字の並び方は6通り。
1字目がBのときも残りの3つの文字の並び方は6通り。
・・・
ということがわかって、ここで 4×6 という式が出てきます。

同様に、ABCDE だと....(以下略)

数え上げのイメージと、式の形が一致しないと、理解が難しいでしょう。
 
http://yosshy.sansu.org/


8359.Re: こんな質問困るかもしれませんが…
名前:ムエ(高1)    日付:7月1日(火) 19時37分
返信ありがとうございます!
また質問なのですが順列と組み合わせはそれぞれの問題ごとにとき方を覚えていくしかないですよね?

8345.バカなので判りません  
名前:隆宏    日付:6月30日(月) 22時37分
4人乗りの観覧車のゴンドラ2台に、6人が分乗する。次の場合は何通りあるか。ゴンドラも人も座席も区別して考える。わからないので教えてください。



8348.Re: バカなので判りません
名前:arc    日付:6月30日(月) 23時54分
86で、

20160通りでしょうか。

違うかもしれません・・。


8349.Re: バカなので判りません
名前:隆宏    日付:7月1日(火) 0時15分
有難うございます。

8344.制約条件付き最大化  
名前:ぽんた    日付:6月30日(月) 22時31分
yの値を最大にするようなxとzを求めよ

最大化したい関数:y=ax^b+cz
制約条件式:px+z=m

制約条件式をz=の形に変えて、y=の式に代入して
それをxについて微分って感じはわかるんですけど、

dy/dx=abx^(b−1)−cp=0
x^(b−1)=cp/ab・・・★

ここで詰まりました。
よろしくご教授願います。



8346.正確に書くと
名前:ぽんた    日付:6月30日(月) 22時55分
y=a・(x^b)+c・z
px+z=m

でした。

8341.助けて下さい。(。o● ●o。)。゚シクシク  
名前:コロ坊    日付:6月30日(月) 14時57分
素数の意味がよくワカリマセン(>_<)



8342.Re: 助けて下さい。(。o● ●o。)。゚シクシク
名前:Bob    日付:6月30日(月) 15時24分
素数とは、1以外で「1と自分自身でしか割れないもの」
例えば、2は1と2でしかわれませんね。→素数
    3も1と3でしかわれません。→素数
    4は1と2と4なので2が入ってしまい→素数でない。

これでどうでしょうか?

注意:1が素数でないことにきをつけましょう。
おまけ:1から30までの素数は?
    2、3、5、7、11、13、17,19、23、29
    です。

8338.台形の面積について…  
名前:数学★    日付:6月30日(月) 7時13分
台形の面積の求め方を教えて””
いろいろな方法で求める式を



8339.Re: 台形の面積について…
名前:Bob    日付:6月30日(月) 9時58分
三角形2つに分ける。
台形を逆さにもう一つ作って、平行四辺形にして求める。(ノーマル)
等脚台形なら縦線2本引いて、長方形と三角形2つにして求められる。

「台形」「面積」を検索にかけてみても面白い出し方が見つかるかも。

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

8335.またお世話になります。  
名前:ガンタ★大1    日付:6月30日(月) 1時56分
Original Size: 303 x 150, 8KB

また行列の問題です。
「行列Aはθに関わらず可逆である事を示し、Aの逆行列を求めよ。」


前回同様地道に解いてみたのですがなかなか答えが出ません。
計算の過程なども教えてくださると嬉しいです。
馬鹿ですみません!



8337.Re: またお世話になります。
名前:ヨッシー    日付:6月30日(月) 5時34分
Original Size: 303 x 150, 6KB

公式に当てはめて、行列式や逆行列を計算すればいいのですが、
少し考察すると、Aは、空間座標上で、任意の点を
z座標はそのままで、z軸周りに−θ回転させる1次変換なので、
逆に、θ回転させる行列を作ってやれば、それが答えになります。
 
http://yosshy.sansu.org/



8361.有難う御座います。
名前:ガンタ★大1    日付:7月1日(火) 23時29分
毎回毎回有難うございます!
本当にお世話になりました!

8334.重心の求め方  
名前:t    日付:6月30日(月) 1時4分
Original Size: 770 x 480, 4KB

はじめまして。
さっそくですが、こんななんだかわからない曲線と
直線で囲まれた図形の重心って求められますか?
いろいろ調べたのですがわかりません。
宜しくお願いします。



8340.Re: 重心の求め方
名前:ヨッシー    日付:6月30日(月) 14時39分
図形の存在する範囲が a≦x≦b として、
曲線の関数 y=f(x) が明らかになっているとき、
重心のx座標、y座標をGx、Gy とすると、
 Gx=∫a〜bxf(x)dx/∫a〜bf(x)dx
 Gy=∫a〜bf(x)2/2dx/∫a〜bf(x)dx
と書けます。
ただし、密度は均一とします。
 
http://yosshy.sansu.org/


8343.Re: 重心の求め方
名前:花パジャ    日付:6月30日(月) 16時57分
任意の形の板の重心を求める、てことなら
ここの第44回で茨城県の重心を求めているので御参考に

8331.はじめまして.  
名前:zen    日付:6月29日(日) 23時17分
高校3年生のzen(HN)と申します.はじめまして☆
今回,学校の「テーマ研究」という授業で自作の公式集(既出のものでも自作したものであれば載せてます./というか実際問題全て既出だと思います.)を作っています.
そこで相談事があるのですが,メールでの相談というのは行ってないのでしょうか.
個人的な話になるので,メールの方がよいかと思い,HPでメールでの連絡先を探したのですが,見つかりませんでした.
もしよければメールでの応答待ってます☆



8333.Re: はじめまして.
名前:中川 幸一    日付:6月29日(日) 23時22分
オリジナルの公式ですかぁ〜。
有名なものに
∫[0x1]{xm(1-x)n}dx = (m!n!)/(m+n+1)!
というものが有りますね☆
頑張ってください。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

8326.二次関数  
名前:数学バカ    日付:6月29日(日) 14時33分
aは定数とする。関数y=-x^2-ax+a^2(0≦x≦1)について
最大値Mを求めよ
という問題で、解答を見ると場合分けが a≦-2 -2<a<0 0≦a
の三つになぜなるのかが分かりません



8327.Re: 二次関数
名前:T兄弟    日付:6月29日(日) 15時11分
頂点のx座標が定義域0≦x≦1の内側にあるか外側にあるか考えるので3通り。

8325.英語・・・  
名前:Cindy    日付:6月29日(日) 14時20分
はじめまして。Cindyといいます。大学一年です。
おそらく一次変換(liner Transformations)の問題です。

Prove that expansion of the L3 along the x3-axis carries a sphere with center at the origin into an ellipsoid of revolution and the ellipsoid of revolution

x1^2/a1^2 + x2^2/a2^2 + x3^2/a2^2 = 1

into general ellipsoid of revolution. Prove that the same transformation carries the hyperboliod of revolution

-x1^2/a1^2 + x2^2/a2^2 + x3^2/a2^2 = +1or-1

of one or two sheets into a gengeral hyperboloid of one or two sheets.

なのですが、一応英訳はしたのですが、いささか意味がつかみずらく、回転楕円面というものにもネットで探したのですが、ぴんと来ないのです。どういう風にとけばよいのでしょう?



8362.Re: 英語・・・
名前:ケロ    日付:7月2日(水) 1時38分
意味がわかっても説ける知識はないのですが、単語を組み合わせて読めるかなと訳そうとしましたが、
expantion,L3,x3-axis,general
がつながらず、わかりませんでした。原語の掲示板をさがして、問題の意味がつかめるような質問をしたらよいと思います。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/

8318.線形代数学  
名前:やす    日付:6月29日(日) 12時14分
A=(cosα sinα)  X=(x)
(-sinα cosα)   (y)
1:AX=λXを満足する自明でない解を持つλとその時の解の組の全てを求  めよ
2:行列積S^(-1)*A*Sが対角行列となる正方行列Sを見出せ
という2つなんですが、どうすればいいのかわかりません。
よろしくお願いします。



8324.Re: 線形代数学
名前:ヨッシー    日付:6月29日(日) 14時14分
AX=λX はAX=λEX と書けるので(E は単位行列)
(A-λE)X=0 となります。
A-λE が逆行列を持つと、X=0 のみが解となり、自明な解となるので、
A-λE が逆行列を持たないような、λを決めます。

(問題の流れからして)たぶん2つあると思いますが、
それらを、(λ1、X1)、(λ2、X2) とすると、
AX1=λ1X1
AX2=λ2X2
これをまとめて書くと、
( cosα sinα)(x1 x2)=(x1 x2)(λ1 0)
(-sinα cosα)(y1 y2) (y1 y2)(0 λ2)
となります。
(x1 x2)
(y1 y2) がSにあたります。
 

http://yosshy.sansu.org/

8316.不等式の問題です、いろいろな意見よろしくお願いします。  
名前:toshi_高1    日付:6月29日(日) 10時24分
Original Size: 205 x 36, 4KB

不等式は添付しています。
a,b,cを三辺の長さとする三角形において、a,b,cにおける次の不等式が成り立つことを証明せよ。

という問題なのですが、解き方が分かりません。前後の問題はほとんどが相加相乗平均関連の解法で解けているからこの問題もそれでいけるのでしょうか?

よろしくお願いします。。。



8317.Re: 不等式の問題です、いろいろな意見よろしくお願いします。
名前:T兄弟    日付:6月29日(日) 11時27分
不等式をまちがっていると思われます。


8320.Re: 不等式の問題です、いろいろな意見よろしくお願いします。
名前:toshi_高1    日付:6月29日(日) 13時55分
>>T兄弟 さん
あれ?問題はこの通りです…
ということは配られた方が間違っているのかもしれません(x_x)


8322.Re: 不等式の問題です、いろいろな意見よろしくお願いします。
名前:ヨッシー    日付:6月29日(日) 14時1分
たとえば、a=b=c=1 とすると、
左辺の1項目がマイナスになるんですよねぇ。
b+c−a の間違いかと思われますが。
 
http://yosshy.sansu.org/


8328.Re: 不等式の問題です、いろいろな意見よろしくお願いします。
名前:toshi_高1    日付:6月29日(日) 16時3分
Original Size: 205 x 36, 4KB

あ、本当ですね。(xx)

b+c-a,c+a-b,a+b-cだときちんと綺麗になっていますし。。。
もう一度あげ直しました!
すいませんでした…m__m



8329.Re: 不等式の問題です、いろいろな意見よろしくお願いします。
名前:ケロ    日付:6月29日(日) 20時30分
普通の相加相乗と(1/x+1/y+1/z)/3=1/3√xyzが使えると思います。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/


8330.Re: 不等式の問題です、いろいろな意見よろしくお願いします。
名前:ケロ    日付:6月29日(日) 20時45分
(a+b+c)/3=((a+b-c)+(c+a-b)+(b+c-a))/3≧3√((a+b-c)(c+a-b)(b+c-a)).
≧3/((1/(a+b-c)+1/(c+a-b)+1/(b+c-a)))
これは、
(1/x+1/y+1/z)/3≧1/3√xyz
を左右入れ替えて、
3√xyz≧3/(1/x+1/y+1/z)
を使いました。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/


8371.Re: 不等式の問題です、いろいろな意見よろしくお願いします。
名前:toshi_高1    日付:7月3日(木) 18時31分
ケロ さん、ありがとうございます!

期末であまりパソコン使える状態じゃないです。。。(--;

8309.二項定理の証明問題  
名前:初夏(高2)    日付:6月28日(土) 22時12分
等式  50
    Σ60Ck・40C50-k=100C50を証明せよ。
    k=10
と言う証明問題で(1+x)^60・(1+x)^40=(1+x)^100を利用するらしいのですがどう利用するかすらわかりません。宜しくお願いします。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/tokusei.htm



8310.Re: 二項定理の証明問題
名前:ヨッシー    日付:6月28日(土) 22時45分
>(1+x)60・(1+x)40=(1+x)100
で、x50 の係数を考えると、
右辺は二項定理より 10050 です。
左辺は (1+x)60 のxの次数と (1+x)40 の次数の和が50 になる組合せの和をとればいいので、
 601010404040601111403939601212403838+・・・+6050504000
より、  以下略
 
http://yosshy.sansu.org/


8312.Re: 二項定理の証明問題
名前:初夏(高2)    日付:6月28日(土) 23時56分
ありがとうございます
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/tokusei.htm

8308.また平面座標についてです…  
名前:KZZ(高2)    日付:6月28日(土) 18時9分
問(1)円:x^2+y^2−2(x+y)+1=0と直線a(x+y)+x−y=0が異なる二点
で交わるような、定数aの値の範囲を求めよ。また、aがこの範囲を動くとき、2つの交点P、Qを結ぶ線分の中点Rの軌跡を求めよ。

この問題で、僕の書いた解答と解説の解答が違ったので、合ってるかどうか見てくださいm(_ _)m
解)
x^2+y^2−2(x+y)+1=0…@
(x−1)^2+(y−1)^2=1…@’
a(x+y)+x−y=0…A
(a+1)x+(a−1)y=0…A’
@とAが異なる2点で交わるのは
絶対値(a+1+a−1)/√(a+1)^2+(a-1)^2<1
∴-1<a<1
また、このとき
Aに垂直で@の中心を通る直線は
(a-1)(x-1)-(a+1)(y-1)=0
(a-1)x-(a+1)y+2=0…B
よってAとBの交点が線分PQの中点RになるのでAは定点(0,0)
                      Bは定点(1,1)を通り
AとBが垂直なので、点Rは点(0,0)と(1,1)を直径とする円上にある
これは、(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2…C
ただし、A’はx=0、y=0
    Bはx=1、y=1を表さない
したがって点(0,1)、点(1,0)はC上にあるのでこれを除く
また@は第1象限にあるので線分PQの中点Rも1象限にあることから
点Rの軌跡は中心(1/2,1/2)、半径1/√2の円(ただし、1象限にあり、点(0,1)、(1,0)を除く

模範解答では、解と係数の関係を使ってました。
それとこの続きの問題で
(2)(1)で、交点P,Qと軌跡上の点Sを頂点とする三角形が正三角形となるとき、aの値を求めよ。
これに関してはさっぱり解りませんでした。学校の先生も解らない始末…

(1)についてはもっと良い解答があればそれも教えてくれると嬉しいです



8311.Re: また平面座標についてです…
名前:ヨッシー    日付:6月28日(土) 23時37分
(1) 良いやり方かどうかわかりませんが、円の図を描いた上で、
a=1 の時は、直線は x=0(y軸)となり、円と2点で交わらないので、
a≠1 を確認して、直線の傾きを (1+a)/(1-a) として
 (1+a)/(1-a)>0
を解くという方法もあります。
あ、もちろん、直線は常に原点を通ることを、知った上でやってます。

(2) は、SはPQの垂直二等分線上にあり、つまり、Rと(1,1)を結ぶ
線上にあるということで、これと、(1) の答えの円との交点がSになりますが、
これは常に(1,1)であることに気づけば、少し進むでしょうか?

 
http://yosshy.sansu.org/


8313.Re: また平面座標についてです…
名前:ヨッシー    日付:6月29日(日) 7時10分
私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
 
http://yosshy.sansu.org/


8314.Re: また平面座標についてです…
名前:高橋 道広    日付:6月29日(日) 8時52分
私は 円のもんだいは中心と距離と半径を受かってとくことが多いです。
(2)は次のようにして解くのはどうでしょう。

S(1,1)に気が付くのがマズ大事。でもこれってなかなか気がつかない。
でも気が付いたらSR=√3/2だから 点S(1,1)と直線の距離の公式から
絶対値(2a)/√{(a+1)^2+(a-1)^2}=√3/2
a>0なので 絶対値(2a)/√2(a^2+1)=√3/2
両辺を2上して分母を払うと 6(a^2+1)=15a^2
a^2=3/5 a=+-√15/5 (-1<a<1を満たすから解)


8319.Re: また平面座標についてです…
名前:KZZ(高2)    日付:6月29日(日) 13時4分
詳しい解説本当にありがとうございました〜(ペコリ
でも最後に質問です!
(1)で、点(0,1),点(1,0)は除くという記述は要らないのでしょうか?
なんか書かないとマズい気が…


8321.Re: また平面座標についてです…
名前:ヨッシー    日付:6月29日(日) 13時59分
私の手元にある、教科書では、象限の説明のところに
「ただし、座標軸はどの象限にも含まれないものとする」
とあるので、「第1象限」だけで良いと判断しました。

 
http://yosshy.sansu.org/


8350.Re: また平面座標についてです…
名前:KZZ(高2)    日付:7月1日(火) 0時46分
なるほど〜x軸、y軸は含まれないのか…
どうもありがとうございました〜☆

8297.うまい解き方  
名前:よろしく(高1の人)    日付:6月27日(金) 21時58分
|x^2-3x+1|
これの、0から2まで定積分の値を求めよ。

x^2-3x+1=0 を解くと、
汚い数値が出てきて、
それらの数値を絶対値についての場合わけして、
さらに、それらの境目で積分区間を分けてから、
計算すると、汚い数値を代入するハメになるので
計算が面倒になって困る。

よかったら、どなたか、
うまい解き方(計算処理かな?)を教えてください。



8299.Re: うまい解き方
名前:T兄弟    日付:6月27日(金) 23時21分
x2-3x+1=0
の解をα,βとおいて
積分をα,βをつかって求め
解と係数の関係
α+β=3
αβ=1
をつかって計算するのがよいかな?


8300.Re: うまい解き方
名前:T兄弟    日付:6月27日(金) 23時26分
すみません。
0<α<2<βになるので
解と係数の関係は使えません。


8301.無理
名前:よろしく(高1の人)    日付:6月27日(金) 23時28分
途中でβが消えてしまいます。( α<β として )
ので、解と係数の関係が使えません。


8302.Re: うまい解き方
名前:T兄弟    日付:6月27日(金) 23時31分
(1/3)α3-(3/2)α2
=(1/6)(2α3-9α2+6α)

α2-3α+1=0
をつかって次数下げ。


8303.Re: うまい解き方
名前:T兄弟    日付:6月27日(金) 23時38分
3-9α2+6α=-5α+3
となる。
02|x2-3x+1| dx
=∫0αx2-3x+1 dx+∫2αx2-3x+1 dx
=(1/3)(2α3-9α2+6α)+4/3
=(1/3)(-5α+3)+4/3

8296.教えてください。  
名前:T.T.C.(高2)    日付:6月27日(金) 19時8分
1−1)連立不等式x^2+ax+b≧0、4x^2-8x-5≦0の解は-1/2≦x≦1/2、または3/2≦x≦5/2であるときのaとbを求めよ。
2−1)すべての実数xにたいして、不等式kx^2+(k-1)x+k−2<0が成り立つkの値の範囲を求めよ。
2−2)x^2-(m-3)x+m^2+2m+1<0が解をもたないように実数mの値の範囲を定めよ。
これらを教えてください。不等式苦手なので。



8304.Re: 教えてください。
名前:IF    日付:6月27日(金) 23時50分
1-1 はまず、4x^2-8x-5≦0を解いて、x^2+ax+b≧0との共通部分が1/2≦x≦1/2、または3/2≦x≦5/2となるようにa,bを定めれば解けます。
2-1 はkが0、0より大きい、0より小さいに場合わけしたり、グラフを考えて解きます。
2-2 もグラフを考えて見ましょう。


8305.Re: 教えてください。
名前:ケロ    日付:6月28日(土) 0時58分
1だけ図示してみました。下へどうぞ。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/rakugaki.htm


8306.Re: 教えてください。
名前:ケロ    日付:6月28日(土) 1時23分
2と3はヨッシーさんのホームページへもどって、
ご質問に答えるコーナー。→これ以前のご質問。→方程式と不等式。→りなさん。と進んでください。参考になります。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/rakugaki.htm

8294.(untitled)  
名前:高3    日付:6月27日(金) 17時28分
m,nを正整数、m>nとするとき、m*(m+1)*(m+2)*...*(m+n) が
平方数となることはあるでしょうか?
m≦n のときはチェビシェフの定理でいけるんですが。

8290.平面図形(点の集合と図形) [中1]  
名前:バカボン    日付:6月27日(金) 9時47分
Original Size: 961 x 702, 18KB

図のように、2点X,Yと直線l,mがある。2点X,Yからの距離も等しく、2直線l,mからの距離も等しい点を、作図によって求めよ。

「すみません 図がわかりにくいようだったので もう一度送ってみました。」



8291.Re: 平面図形(点の集合と図形) [中1]
名前:Bob    日付:6月27日(金) 9時59分
直線lの両端をA、B
直線mの両端をC、Dとして
ABの垂直2等分線
CDの垂直2等分線
線分XYの垂直2等分線
この3つを作図して
その3直線の交点が求めたい点です。

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


8292.Re: 平面図形(点の集合と図形) [中1]
名前:ヨッシー    日付:6月27日(金) 10時55分
>2点X,Yからの距離も等しく
は、線分XYの垂直二等分線で、実現できます。
>2直線l,mからの距離も等しい
は、l と m の交点を通り、l と m のなす角を二等分する直線(2本あります)
で、実現できます。
これらの線の交点が求める点で、最大2個(PとQ)存在します。

垂直二等分線、角の二等分線、の作図は、習った通りです。
 
http://yosshy.sansu.org/


8307.Re: 平面図形(点の集合と図形) [中1]
名前:Bob    日付:6月28日(土) 14時20分
ヨッシ−さんのが正解ですね。
図のみかたがわかりませんでした。図をクリックすれば出るんですね。
2点から等しい距離
2直線から等しい距離
でしたね。
問題も見間違えた。
情けない…

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

8286.助けてください。  
名前:T.T.C.(高2)    日付:6月27日(金) 0時38分

1)14x+11y=700を満たす正の整数xとyの組(x、y)をすべて求めよ。
2)3x^2-4xy+y^2=3を満たすとき整数xとyの組(x、y)をすべて求めよ。
3)1から9までの異なる整数x、y、zが5x-3y-10z=0を満たすとき、x+y+zの値を求めよ。

1)複素数a+bi(a,bは実数で、i=√-1である)が(a+bi)^2=iを満たすとき、a+biを求めよ。
2)方程式x^2+4xy+5y^2-6y+9=0を満たす実数x、yの値を求めよ。

1)方程式x^3+px+q=0の1つの解が√3 -1であるとき、整数p、qの値をもとめ他の2つの解を求めよ。
さっぱりわからないので、誰か説明してください。よろしくお願いします。



8287.Re: 助けてください。
名前:ケロ(高3グライダーと思ふ)    日付:6月27日(金) 1時41分

1)11y=14(50−x)。11と14は互いに素だから、y=14n(nは正の整数)。
  代入して整理すると、11n=50−xだから、nに数を入れてみるかな。
2)(4x^2−4xy+y^2)−x^2=3。因数分解かな。
3)5x=3y+10z。xに9から入れてみて、しらみつぶし。
2.1)展開してみると、a^2−b^2+2abi=0+1i。
2)(x^2+4xy+4y^2)+(y^2−6y+9)=0。 かっこの中身は0。
3。1)もう一つの解は、−√3−1だから、解と係数の関係。 
http://nkiso.u-tokai.ac.jp/comshum/index.asp


8288.Re: 助けてください。
名前:ケロ(高3グライダーと思ふ)    日付:6月27日(金) 1時49分
失礼。上記のURLは一度だけ名前がКероになっちゃったときの添付。またハイッチャイマシタ。ごめん。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/


8293.Re: 助けてください。
名前:高橋 道広    日付:6月27日(金) 11時38分
1(3)は5(x-2z)=3yから yは5の倍数 y=5
x-2z=3となって x=2z+3 z=1はx=5となってだめなので
z=2,3 x=7,9となります。

というとき方もあります。


8295.Re: 助けてください。
名前:T.T.C.(高2)    日付:6月27日(金) 18時26分
ありがとうございます。

8280.二次関数  
名前:麻美(高1)    日付:6月26日(木) 16時24分
(問題)
aを実数としxの二次関数y=(a^2+1)x^2+(2a−3)x−3のグラフをCとする。グラフCがx軸のx≧3の部分の1点を通るようなaの範囲を求めなさい。

う〜んどのように考えれば良いのでしょうか?ただ問題から、a^2+1>0より下に凸のグラフであり、y切片が−3なのでグラフとx軸は正と負の2点で交わる。っていう事はわかるのですが・・・
説明よろしくお願いします。



8281.Re: 二次関数
名前:T兄弟    日付:6月26日(木) 16時50分
グラフを適当に書いてみると

x軸のx=3の1点を通る
ならば
y=(a^2+1)x^2+(2a-3)x-3=0

x軸のx>3の1点を通る
ならば
y=(a^2+1)x^2+(2a-3)x-3<0

x軸のx>3の1点を通らない
ならば
y=(a^2+1)x^2+(2a-3)x-3>0

ことまで見えてくるでしょう。


8282.忘れてた。
名前:T兄弟    日付:6月26日(木) 16時52分
それぞれの式にx=3を代入して下さい。

8279.おしえてください。  
名前:かず(小6)    日付:6月26日(木) 15時12分
1)4a+2/2=2a+1
2)2a+1/2=2aの2を消してa+1それとも、これ以上簡単にはなりませんか?
3)a2乗+a/a=a+1
4)a+1/a=1それとも、これ以上簡単にはなりませんか?
5)a2乗−a+5/a2乗+5=−aそれとも、これ以上簡単にはなりませんか?

1)3)は、こたえ合ってますか?2)4)5)はどちらが正しいですか?あとこのようなわり算の問題は、どのように考えれば良いんですか?教えて下さい。よろしくおねがいします。



8283.Re: おしえてください。
名前:匿名希望    日付:6月26日(木) 18時34分
代数に 1 2 3 ・・・ など 具体的な 数を 
代入すること。
この原則を 守って 地道に 計算してください。


8284.Re: おしえてください。
名前:ヨッシー    日付:6月26日(木) 20時27分
1)4a+2 は 2×(2a+1) と書き換えられることはわかりますか?
 これがわかって、はじめて、
 (4a+2)/2=2a+1
だと、答えられます。
3)同じように、a2+a=a×(a+1) と書けるので、
 (a2+a)/a=a+1 です。

では、
2)2a+1=2(???)  ???はどう書けますか?
4)a+1=a×(???)  ???はどう書けますか?
5)a2−a+5=(a2+5)×(???)  これは無理ですね。

ただし、2)、4)も、これ以上簡単にする必要はない場合もあります。
 
http://yosshy.sansu.org/


8353.Re: おしえてください。
名前:かず(小6)    日付:7月1日(火) 11時8分
理解出来てすっきりしました。ヨッシー先生ありがとうございました。

8278.過去の記事の保管  
名前:ヨッシー    日付:6月26日(木) 13時50分
この掲示板では、約20ページの過去記事まで見られますが、
それ以前の記事は、消えていきます。

過去の記事で、基本的には、
 質問者が理解されたと見なせる記事(その旨のレスがあった記事)を
 中心にこちらに、保管していくことにしました。
 お目当ての質問までたどり着くのに、まだ難がありますが、多くの場合、
これを見るのは質問者本人であることが多いだろうと思い、とりあえず、こんな
形にしました。

保管された記事は、ヨッシーのページが続く限り残ります。
 
http://yosshy.sansu.org/

8274.√3では方眼用紙で正方形が書けないのはなぜか?  
名前:ぶみ    日付:6月25日(水) 22時57分
今、平方根の勉強をしている中学三年生です。一辺の長さが√2の場合は、方眼用紙のマスメを使って正方形が書けます。でも、数学の先生が、「一辺の長さが√3だと方眼用紙のマスメを使って書くことは出来ない、これはなぜか?」と問題をだされました。考えたのですがよく分かりません。教えてください。



8275.Re: √3では方眼用紙で正方形が書けないのはなぜか?
名前:ヨッシー    日付:6月25日(水) 23時41分
方眼紙の目の交わるところを格子点といいますが、
格子点どうしを結んでも、√3 にならないことを
いうわけですね。
つまり、縦、横ともに整数の長方形の対角線が
√3 になるかどうかを調べるわけですが、
1×1の長方形(正方形)だと、対角線は√2
1×2の長方形だと、対角線は√5 になり、
1×3,1×4と増やしても、√5 より大きくなるだけで、√3 にはなりません。
2×1、2×2・・・以降も、すべて√5 以上となり、√3 になることはありません。
 
http://yosshy.sansu.org/


8378.別解
名前:高3    日付:7月4日(金) 21時59分
任意の整数nに対して、n^2≡0または1 (mod 4) なので。

8269.不等式の証明  
名前:    日付:6月25日(水) 19時37分
a>0,b>0のとき(3a+1/b)(b+3/a)≧16を証明せよ。左辺を計算してから相加相乗平均の関係を使うと答えと合うのですが、はじめっから相加相乗平均の関係を使うと答えと合いません。というか左辺≧12になり、等号成立がab=1/3,ab=3になってしまいます。どいうことなんでしょうか?



8270.Re: 不等式の証明
名前:しんちー    日付:6月25日(水) 21時1分
不等式を示す時には等号がいつ成立するかを考える必要があります。
鯉さんの後者のやり方で (左辺)≧12 となったときに、等号は「ab=3 かつ ab=1/3」のときに成り立つわけですが、この2式が同時に成り立つことはないので、実際には 左辺 は 12 にはならないわけです。


8271.Re: 不等式の証明
名前:    日付:6月25日(水) 21時30分
それでは12より大きいというのはあっているのですか?


8276.Re: 不等式の証明
名前:しんちー    日付:6月26日(木) 0時53分
(左辺)>12、つまり a,b にどんな正の数を入れても左辺が12より大きくなる、というのは正しい関係式ではあります。
ただ、これでは左辺を 13 や 14 にできるのかは不明です。
(左辺)≧16 が示せて、等号が成り立つ場合があることが確かめられれば、
左辺は 13 や 14 などにはならないことがはっきりとわかりますね。
(つまり、これが「もっとも正確な評価」になります)

8266.表面積 解いてみてください  
名前:amatsu 大学    日付:6月25日(水) 17時39分
重積の問題です。
次の曲面積を求めよ、ただし 0<a<b, c>0

直円柱 x^2+y^2=c^2 (z>=0, bx<=z<=ax)

この問題って解けるんですか?
ちなみに教科書の答えは 3π(a^2) だったんですけど。
0<a<b で bx<=z<=ax という範囲はおかしくありませんか?
誰かご教授くださいまし!



8267.訂正
名前:amatsu 大学    日付:6月25日(水) 17時50分
教科書の答えは 4(b-a)(c^2)
でした。


8268.Re: 表面積 解いてみてください
名前:amatsu 大学    日付:6月25日(水) 18時15分
この問題もお願いします。

z=a(x^2+y^2) (0<=z<=c) Ans:(1/(16a^2))*((c^5)/5-(c^3)/3)

答えが合わないんです。

8265.ありゃりゃ  
名前:高橋 道広    日付:6月25日(水) 17時28分
一生懸命書いてたらヨッシーさんどだぶっちゃった…
なるほど内分を2回すると解けますね…
また勉強になりました(^.^)



8273.Re: ありゃりゃ
名前:高3    日付:6月25日(水) 22時45分
>内分を2回する

>OI=1/(a+b+c)×(aOA+bOB+cOC)
は同じことでは?


8277.Re: ありゃりゃ
名前:高橋 道広    日付:6月26日(木) 8時34分
うん そうなんですけど 
内分のベクトルの公式を知ってる人って少ないと思うんです。
ですから 解説としてはよりわかりやすい「内分のベクトルを
求める過程」を書くという方あよかったなあ と。
そう思ったのです。

質問してくれている人に こうすると わかりやすく説明できる
ということで勉強になりました。

8262.平面座標についてなんですが…  
名前:KZZ(高2)    日付:6月25日(水) 15時19分
3点A(−4,0),B(13/2,0),C(4,6)を頂点とする△ABCについて
次の問に答えよ。
問、△ABCの内接円の方程式を求めよ。
という問題で、一応解答は作ったんですが、解答がかなり微妙なってしまったので、合ってるかどうか見て頂けないでしょうか…
解)
△ABCの内接円を(x-a)^2+(y−b)^=r^2…@とかける。(a≧0,b≧0)
ここで、直線AC:y=3/4(x+4) ∴3x-4y+12=0…A
@とAは接するので、
絶対値3a−4b+12/5=r…B
また
直線AB;y=0…C
Cと@は接するので b=r…D
直線BC;12x+5y+78=0…E
Eと@は接するので 絶対値12a+5b+78/13=r…F
DよりB,Fは 3a-4r+12=±5r…B´
       12a+5r+78=±13r…F´
よって、−21r−30=±20r±13r
    r≧0より r=5/2 これより b=5/2
ゆえにF´よりa=7/2
よって求める方程式は (x-7/2)^2+(y-5/2)^2=25/4

他に何か簡単な求め方があればその方法も教えてくれると嬉しいです。



8263.Re: 平面座標についてなんですが…
名前:ヨッシー    日付:6月25日(水) 17時3分
まず、式(6) は、12x+5y+78=0 ではなく、12x+5y-78=0 です。
この式を使って、同じように解けば、一応答えは出ます。
ただし、r≧0より r=・・・ のくだりは、やや弱いです。
r≧0となる 21r±20r±13r の組合せは他にもあるからです。

お気づきのように、距離の公式の分母が√が取れてしまうと言うことは、
AC、BCがきれいな数値で表されるということです。
内接円の半径をrとすると、
(AB+BC+CA)r/2=△ABC
より、rをまず出してしまう方法があります。
あとは、ABをrだけずらした直線と、ACまたはBCをrだけずらした
直線(y軸方向ではなく距離でr離す)との交点が円の中心になります。

また別の方法として、角の二等分線の定理を使う方法もあります。
例えば、AC=10、BC=6.5なのですが、
ABを10:6.5に内分した点をDとするとCDが∠ACBの2等分線になります。
同様に、∠Aか∠Bの二等分線の式を出して、それらの交点を求める方法も
あります。(ただし、少し面倒です)
 

http://yosshy.sansu.org/


8264.Re: 平面座標についてなんですが…
名前:高橋 道広    日付:6月25日(水) 17時24分
方針は合っています。

残念ながら計算が間違っています。
直線BC;12x+5y+78=0…Eは 12x+5y-78=0の間違いですね。 残念。

計算が少々楽になる方法をひとつ
絶対値(3a−4b+12)/5=r…Bとしてますね。
図を描いてみるとわかりますが、点(a,b)は直線3x-4y+12=0の
下方にありますので3x-4y+12>0の領域にあります。
つまり絶対値はなくなって(3a−4b+12)/5=rとなります。

同様に 直線12x+5y-78=0の下方にありますから 
12x+5y-78<0の領域にあるので(12a+5b-78)/13=-r
このことから
3a-4r+12=5r…B´
12a+5r-78=-13r…F´
をとけばいいことになります。a=3 r=7/3になりますね。

さてほかにどんな方法があるかというと(あなたがといた方法が
基本的で一番よい方法だと思いますが)
内接円の中心は各の2等分線の交点ですから
角CABの二等分線が y=1/3(x+4)
角ABCの二等分線が y=-2/3(x-13/2) を出して
交点が中心 と出す方法があるようです。

この角の二等分線はtanを利用してもできますが
傾き3/4(3:4:5の直角三角形)
傾き12/5(5:12:13の直角三角形)を利用して傾きを出すことが
できます。
でもこれってほんと技巧的なんで あんまりお勧めできないかなあ。

あとベクトルを利用する方法
aAI+bBI+cCI=0 (大文字のAI等はベクトルをあらわします)
から OI=1/(a+b+c)×(aOA+bOB+cOC)
a=13/2 b=10 c=21/2
OA=(-4,0) OB=(13/2,0) OC=(4,6) を代入すると
OI=(3,7/3)を得ます。


8272.Re: 平面座標についてなんですが…
名前:KZZ(高2)    日付:6月25日(水) 21時48分
ヨッシーさん、高橋さん詳しい解説本当にありがとうございました。
なるほど〜あそこで領域を使うと符合が固定できるんですね(気付かなかった

8252.ポアソン比について  
名前:コアラ君    日付:6月24日(火) 23時48分
ポアソン比の問題です。ある立方体を横方向に引っ張り、体積に変化がない場合のポアソン比は?・・・・・多分0.5ではないかと思うのですが正しいのでしょうか?しかし何で0.5なんだろうか?知っている人がいらっしゃいましたらよろしくお願いします。



8260.Re: ポアソン比について
名前:トモ    日付:6月25日(水) 3時0分
変形前の横の長さL、断面積S、幅dとおくと
L+ΔLになったとき、幅d'=d-Δdになったとする
S'=SL/(L+ΔL)
d'=√{S/(1+ΔL/L)}=d(1+ΔL/L)-1/2
=d{1-(1/2)(ΔL/L)}   (1≫ΔL/Lのとき)
Δd=d-d'=(1/2)(ΔL/L)d
σ=(Δd/d)/(ΔL/L)=(1/2)(ΔL/L)/(ΔL/L)=1/2=0.5

8250.三角関数の問題です、よろしくお願いします。  
名前:toshi_高1    日付:6月24日(火) 23時31分
Original Size: 276 x 61, 4KB

こんばんは、
三角関数の問題なのですが、これといってよい解法が浮かびません。
問題は「次の式を簡単な式で表せ」ということなのですが…(__:)
問題は添付しました。

よろしくお願いします。。。



8254.ひとまず解答だけ…。
名前:中川 幸一    日付:6月25日(水) 0時4分
求め方はあとで記入します。

Π[k=0 to n]_cos (2kθ)=(1/2n)Σ[k=1 to 2n]_cos (2k-1)

答え自体はこれであっていると思います。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


8255.Re: 三角関数の問題です、よろしくお願いします。
名前:中川 幸一    日付:6月25日(水) 2時6分
積和公式を使って, あとは帰納法で解けると思います。
チョット技巧的な解法は思いつきません。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


8256.Re: 三角関数の問題です、よろしくお願いします。
名前:nabeX    日付:6月25日(水) 2時15分
sin(2n+1θ)/(2n+1sinθ)ですね。
sin(2θ)=2sinθcosθ を何度も使えばよいです。


8257.Re: 三角関数の問題です、よろしくお願いします。
名前:トモ    日付:6月25日(水) 2時28分
cosθcos2θcos4θ…cos2nθ=f(θ)とおく
2nsinθを両辺にかけると
2nsinθf(θ)
=2nsinθcosθcos2θcos4θ…cos2nθ
=2n-1sin2θcos2θcos4θ…cos2nθ
=2n-2sin4θcos4θ…cos2nθ
=2sin2ncos2nθ
以下略


8258.そういえば…。
名前:中川 幸一    日付:6月25日(水) 2時31分
私の解答は, 総積関数が総和関数に式変形されただけで簡単にはなってなかった…。
私の解答は無視してください。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


8259.訂正
名前:トモ    日付:6月25日(水) 2時42分
2n+1sinθを両辺にかけると
2n+1sinθf(θ)
=2n+1sinθcosθcos2θcos4θ…cos2nθ
=2nsin2θcos2θcos4θ…cos2nθ
=2n-1sin4θcos4θ…cos2nθ
=2sin2ncos2nθ


8285.Re: 三角関数の問題です、よろしくお願いします。
名前:toshi_高1    日付:6月26日(木) 21時38分
中川 幸一 さん、
nabeX さん、
トモ さん、ありがとうございました!
今からじっくり見て考えて見ます!

8248.積分8問お願いします。  
名前:田村 正和    日付:6月24日(火) 22時55分
今日積分の授業をやったんですが高校3年生の授業とさほどかわらず最後にプリント配られたんです。一応宿題でして16問あったんですがちょうど半分の8問は簡単なのに後の8問が難しくて。授業が終わった後にみんなで会議したんですが結局わかりませんでした。あ、大学1年生です。できたら途中式も書いてください。よろしくお願いします。どれか1問でもいいので。
(1)∫log(x2+1)dx
(2)∫x√(x−1)dx
(3)∫x2/(x3+2)3dx
(4)∫dθ/(1+sinθ)
(5)∫tan-1dx
(6)∫tan2
(7)∫cos(logx)dx
(8)∫sin√(x−1)dx



8249.Hint
名前:中川 幸一    日付:6月24日(火) 23時19分
(1)
log(x2+1)=(-2 + 2x2/(1+x2) + log(1+x2)) + 2/(1+x2)
と変形。

(3)
x3+2=t と置換。

(5)
arctan x = (x/(1+x2) + arctan x) - x/(1+x2)
と変形。

(6)
1 + tan2 x = sec2 x
を利用。

(8)
√(x-1)=t と置換。

他のものの解き方は省略します。
(解答だけを載せることなら可能ですが…。)

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


8251.Re: 積分8問お願いします。
名前:たかし@高3    日付:6月24日(火) 23時41分
(4)は、1−sinθを分母分子に掛けてはどうですか。


8261.Re: 積分8問お願いします。
名前:高橋 道広    日付:6月25日(水) 11時20分
では残りのヒントを乗せましょう
もしわからなかったら詳解を書きますね

(2)t=x−1とおきます
t=√(x-1) としてもできるけど 個人的には 最初の方が好きです。
(7)logx=tとおきます。するとe^t×costの積分になるので 2回部分
積分の公式を使います。

カウンター108000でひそかにうれしかったりする.100000かと思った。

8243.部屋割り論法?  
名前:怜@高3    日付:6月24日(火) 0時8分
△ABCで、sin^2A+sin^2B+sin^2C=2が成り立つ時、この△はどんな形か。
=============================================================
かと思い、考えてみたのですが、
あるひとつの角が45°より大であること、又あるひとつの角が60°より
小であることしかもとまりません。

よろしくおねがいいたします。



8244.Re: 部屋割り論法?
名前:T兄弟    日付:6月24日(火) 2時39分
sin2A+sin2B+sin2C=2
cos2A+cos2B+cos2C=1
cosA=(b2+c2-a2)/2bc
cosB=(c2+a2-b2)/2ca
cosC=(a2+b2-c2)/2ab
4a2b2c2=a2(b2+c2-a2)2+b2(c2+a2-b2)2+c2(a2+b2-c2)2
(b2+c2-a2)(a2+b2-c2)(a2+b2-c2)=0
A=90°またはB=90°またはC=90°の直角三角形


8245.訂正
名前:T兄弟    日付:6月24日(火) 2時43分
(b2+c2-a2)(a2+b2-c2)(a2+b2-c2)=0
 ↓
(b2+c2-a2)(c2+a2-b2)(a2+b2-c2)=0


8247.Re: 部屋割り論法?
名前:怜@高3    日付:6月24日(火) 20時52分
返信ありがとうございました。
sineの式だから、cosineに直しても対してかわらない。
と思っていたのに、こんなにあっさりといくなんて。

8236.二次元図形の変換について教えてくださいm(_ _ )m  
名前:真美    日付:6月23日(月) 14時13分
二次元座標平面上の点(X、Y)を、原点を中心として角度θだけ反時計回りに回転した点P(X'、Y')の求め方

X'=Xcosθ-Ysinθ Y'=Xsinθ+Ycosθ
の式の導き方を教えてください。

できましたら、わかりやすく教えていただけると嬉しいです。



8237.Re: 二次元図形の変換について教えてくださいm(_ _ )m
名前:ヨッシー    日付:6月23日(月) 17時30分
(X,Y) は、(1,0) を X 倍して、(0,1) を Y 倍して、足したものです。
これを、θ回転したと考えると、
(1,0) は (cosθ, sinθ)、(0,1) は(-sinθ, cosθ) に移るので、
それぞれ、X 倍、Y 倍して足すと、
 (Xcosθ, Xsinθ)+(-Ysinθ, Ycosθ)=(Xcosθ-Ysinθ, Xsinθ+Ycosθ)
となります。
 
http://yosshy.sansu.org/


8238.Re: 二次元図形の変換について教えてくださいm(_ _ )m
名前:高橋 道広    日付:6月23日(月) 17時33分
こんにちは
やはり学年とか書いておいてくれるといいですね。
このとき方は行列やベクトルや複素数を使う方法など
たくさんあります。
一番簡単そうな複素数を使った方法を紹介します。

複素数平面状で点P(X+Yi)を原点を中心にθ回転して得る点をP'(X'+Y'i)
とします。
X'+Y'i=(X+Yi)(cosθ+isinθ)
   =(Xcosθ-Ysinθ)+i(Xsinθ+Ycosθ)となりますから
虚数部分と実数部分を比較して
X'=Xcosθ-Ysinθ Y'=Xsinθ+Ycosθ を得ます。

この考え方は高校2年生の最後あたりに学習する内容による解法です。
今 まだ習っていなかったら他の解き方もありますよ(^。^)  
http://micci.sansu.org


8239.Re: 二次元図形の変換について教えてくださいm(_ _ )m
名前:高橋 道広    日付:6月23日(月) 17時39分
ありゃりゃ 回答を書いているうちにダブってしまいました。
ベクトルを使った回答ですね
しかも ベクトルはあまり意識しなくても
長方形を回転したと考えるといいわけですから
しかもヨッシーさんの方がわかりやすい  ^_^;
失礼しました〜  てってけて〜(逃げ足)
http://micci.sansu.org

8233.教えてください  
名前:    日付:6月23日(月) 1時42分
f(x)=(x−1)2、 g(x)=−2x2−4x+aとする。
(1)すべてのxでf(x)>g(x)となる定数aの値の範囲を求めよ。
(2)−2≦x≦2において、すべてのxでf(x)<g(x)となる定数aの値の範囲を求めよ。
(3)方程式f(x)=g(x)が−2≦x≦2においてただ1つの解をもつとき定数aの値および範囲を求めよ。

答えは分かっているのですが、解き方が全く分かりません。よろしくお願いします。



8234.Re: 教えてください
名前:たかし@高3    日付:6月23日(月) 1時59分
(1)f(x)−g(x)>0なので、左辺=0の方程式が
  実数解を持たないための条件とは?
(2)もおなじようなかんがえ方ですが。−2≦x≦2の
  範囲でのみ、実数解をもたないための条件を考える。
(3)f(x)−g(x)=0の解が−2≦x≦2で
  ただ1つ。y=f(x)−g(x)を考え、
  軸の位置で場合わけをしてみましょう。
がんばってください。


8241.Re: 教えてください
名前:    日付:6月23日(月) 21時18分
1,2は解けました。
3なのですが、
(a)−2≦x≦2で重解をもつとき と
(b)−2≦x≦2で1つの解、他でもう1つの解をもつ
ようにすれば良いんですよね。
(a)のときは分かったんですが、(b)が分かりません。
教えていただけますか?


8246.Re: 教えてください
名前:    日付:6月24日(火) 18時55分
(3)も解けました。
ありがとうございました。

8227.2次関数の最大最小  
名前:    日付:6月22日(日) 19時45分
はじめまして。期末が近いのでテキストをやっていたら、0≦x≦4のとき二次関数y=-x^2+2(a+1)x-6a-1の最大値Mの最小値をもとめよ。という問題でつまってしまいました。平方完成して場合分けしていったのですが、解答と合いません。よろしくおねがいします。
(高校1年)
場合分けは4≦a+1,2<a+1<4,a+1=2,0<a+1<2,a+1≦0の5パターンでやりました。



8228.Re: 2次関数の最大最小
名前:ヨッシー    日付:6月22日(日) 20時33分
この問題は、 y=-x^2+2(a+1)x-6a-1 自体の最小値は聞いていないので、
範囲を2で区切る必要はありません。
a+1≧4、0<a+1<4、a+1≦0 の3通りで十分です。

答えは、a=2 のとき最小値 -4 となるはずです。
 
http://yosshy.sansu.org/


8232.Re: 2次関数の最大最小
名前:    日付:6月22日(日) 23時17分
ヨッシーさんありがとうございました。ついでにもうひとつ質問させてください。
y=(x^2+2x+1)+2(x^2+2x+1)-3の最小値最大値を求めるのですが、
x^2+2x+1=(x+1)^2=t(t≧0)とおいて,y=t^2+2t-3=(t+1)^2-4
t=0のときmin=-3,maxなし。ここで(x+1)^2=0,x=-1だから
f(-1)のときmin=-3,maxなし。(終)
解答はmin=-1になってます。どこが間違ってるか教えてください。


8235.Re: 2次関数の最大最小
名前:ヨッシー    日付:6月23日(月) 8時34分
xについての、制限はありませんか?

または、min=-1 と書いているのは、最小値ではなく、
最小値を与えるxの値であるとか?

xがすべての実数を取るなら、x=−1 のとき最小値−3になります。
  
http://yosshy.sansu.org/

8221.数学ではないのですが  
名前:jen    日付:6月22日(日) 12時46分
電磁誘導の法則で、
  V=−dΦ/dt
という式が出てきますが、このVは電圧のことですよね。だったらこの
電圧はどことどこの電位差のことなのですか。
高3です。



8229.Re: 数学ではないのですが
名前:ヨッシー    日付:6月22日(日) 20時36分
む?
コイルの端と端じゃないんですか?
 
http://yosshy.sansu.org/


8230.Re: 数学ではないのですが
名前:Керо    日付:6月22日(日) 22時25分
物理なら、下記はどうですか。
http://nkiso.u-tokai.ac.jp/comshum/index.asp


8231.Re: 数学ではないのですが
名前:田村 正和    日付:6月22日(日) 22時35分
おおーありがとうございます。Kepoさん。
私も物理でわからないところがあったらここで質問します。

8220.教えてください  
名前:数列    日付:6月22日(日) 11時12分
はじめまして。早速ですが質問です。「初項15、公比2の等比数列を{bn}とし、正の整数nを4で割ったときの余りをCnとする。このとき
C₁+C₂+・・・+C40=
b₁C₁+b₂C₂+・・・b40C40=」
の答え[60,17(2⁴⁰−1)]は分かっているのですが、解法がわかりません。教えてください。



8223.Re: 教えてください
名前:Bob    日付:6月22日(日) 13時32分
まずbn=15・2^(n−1)
  C1=1、C2=2、C3=3、C4=0
あとはこの繰り返しです。
つまり、
C₁+C₂+・・・+C40=(1+2+3+0)+…+(1+2+3+0)
        
(1+2+3+0)が10個あるので10(1+2+3+0)=60

b₁C₁+b₂C₂+・・・b40C40は
(@)C1=C5=C9=C13=C17=C21=C25=C29=C33
                        =C37=1
よりb1C1はb1、b5C5はb5のようにCがきえる。

(A)C4=C8=C12=C16=C20=C24=C28=C32
                    =C36=C40=0
  よってb4C4などは0になり消えてしまう。

つまり残るのは、
(b1+b5+b9+b13+b17+b21+b25+
b29+b33+b37)+(b2C2+b3C3+…+C39b39)

(B)b2C2+b3C3+…+C39b39の部分
ここで、C2=C6=…=C38=2 より
2×(b2+b6+b10+b14+b18+b22+
         b26+b30+b34+b38)
同様にC3=C7=…=C39=3 より
3×(b3+b7+b11+b15+b19+b23+
         b27+b31+b35+b39)

(C)(b1+b5+b9+b13+b17+b21+b25+
b29+b33+b37)+2×(b2+b6+b10+b14+b18+b22+b26+b30+b34+b38)+3×(b3+b7+b11+b15+b19+b23+b27+b31+b35+b39)
=15(1+2^4+2^8+2^12+2^16+2^20+2^24+
    2^28+2^32+2^36)+
 2×15(2+2^5+2^9+2^13+2^17+2^21+
      2^25+2^29+2^33+2^37)+
 3×15(2^2+2^6+2^10+2^14+2^18+2^22
      +2^26+2^30+2^34+2^38)
=15{1・(2^4^10−1)/(2^4−1)}
 +30{2・(2^4^10−1)/(2^4−1)}
 +45{4・(2^4^10−1)/(2^4−1)}
=(15+60+180){(2^4^10−1)/(2^4−1)}
=255・1/15 ・(2^4^10−1)
=17・(2^40−1)
http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


8224.Re: 教えてください
名前:たかし@高3    日付:6月22日(日) 14時15分
(後者)
4項ずつ区切った最初の項だけの数列は
 Ak(kは1から10) とすると
 Ak=15*(2^4)^(k-1)

4項ずつ区切った中の4項目は必ず0。
残りの3項の和をLとすると
 L=Ak(1+2*2+2*2*3)=17Ak
よって、n=40までの和なのでk=1から10までの和
よって、S=納k=1 to 10]17Ak
     =17(納k=1 to 10]Ak)
     =17(15*(1-(2^4)^10)/(1-2^4))
     =17((2^40)-1)


8225.Re: 教えてください
名前:数列    日付:6月22日(日) 16時10分
頭の固い僕にも理解できました。本当にありがとうございました。

8218.質問・・・です、周期関数のことについて、です。よろしくお願いします。  
名前:toshi_高1    日付:6月22日(日) 9時17分
お久しぶりです…
F(x)が基本周期pの周期関数であるとき、F(ax+b) (a>0)も周期関数であるか?周期関数であるならその基本周期はいくらになるか? 

という問題はどのように解けばいいのでしょうか?
F(ax)は周期関数となるから…??

また余談ですが F(x)=√(1-cos(x))+√(1+cos(x)) といったグラフも
周期関数になるのでしょうか?そうなるならば基本周期はどのように求めればよいのでしょうか?



8219.Re: 質問・・・です、周期関数のことについて、です。よろしくお願いします。
名前:ヨッシー    日付:6月22日(日) 9時47分
F(x)が基本周期pの周期関数であると言うことは、任意のxについて
 F(x+p)=F(x)
が言えるということです。ところで、
 G(x)=F(ax+b)
とおくと、F(ax+b)=F(ax+b+p) より、
 G(x)=F(ax+b)=F(ax+b+p)=G(???)
より、G は周期 ??? の周期関数となります。 ??? の部分に何かが入ります。

<下の方>
cos(x+2π)=cos(x) なので、F(x+2π)=F(x) となり、少なくとも、
2π の周期にはなります。
 
http://yosshy.sansu.org/


8240.Re: 質問・・・です、周期関数のことについて、です。よろしくお願いします。
名前:toshi_高1    日付:6月23日(月) 20時47分
いつも素早い回答ありがとう御座います。
じっくり考えて見ます。

それでは。。。

8217.質問です。  
名前:田村 正和    日付:6月21日(土) 23時54分
ある掲示板にすべてのスレッドにレスする管理人さんがいるのですが
もうそのサイト100万ヒット超えてましてその管理人さんにこれからはおそらくlogxのグラフのようにレスしなければならない人が増えるだろうと予測してその管理人さんに疲れるからもうやめといたほうがいいのでは?と忠告をしようと思っているのです。
そこで統計上毎日来る新しい客が一定だとしてたとえばここの掲示板のスレッド1つに対して1回レスつけるとしたら時間(長い期間)とレスする人数のグラフはどのようになるでしょうか?
またヨッシーさんはどんなグラフを描いてると思いますか?
べつにちゃんとした関数であらわさなくていいので教えてください。お願いします。

8209.(untitled)  
名前:flea    日付:6月21日(土) 20時32分
刀ゥこの記号は何か分かりますか?



8210.Re: (untitled)
名前:hippo    日付:6月21日(土) 21時35分
経路積分記号(Path Integral)です。
数学の方は詳しくないので他の方に譲るとして、物理学では量子力学等でよく出てきます。
経路積分法そのものに関しては専門書を参照してください。


8211.Re: (untitled)
名前:ast    日付:6月21日(土) 23時14分
数学だと, 線積分で積分の経路が閉路(サイクル)であるときに
使うと思われますが, 私はあまり見かけません.


8212.Re: (untitled)
名前:中川 幸一    日付:6月21日(土) 23時18分
数学講座【線積分】

上記サイトを参考にしてください。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


8213.Re: (untitled)
名前:flea    日付:6月21日(土) 23時37分
皆さんどうも有り難うございました。

8206.(untitled)  
名前:紗菜高校一年    日付:6月21日(土) 18時50分
ある美術館の入場料は、一人800円であるが、30人以上の団体の場合は、2割引きになる。30人未満の団体でも30人の団体として入場料を払った方が安くなるのは、団体の人数が何人以上の場合か?またまた、お願いします(^^)/



8208.Re: (untitled)
名前:flea    日付:6月21日(土) 20時30分
800円×30人×0.8>800円×Xを解けば解けるはずです。
頑張ってください

8205.一次不等式の応用  
名前:紗菜高校一年    日付:6月21日(土) 18時44分
ある学校で卒業記念に文集を作成することになった。費用は100冊まで100000円であるが、それを超える分については1冊850円になるという。何冊以上作成すると、1冊あたりの費用が900円以下になるか?よろしくお願いします★



8207.Re: 一次不等式の応用
名前:ast    日付:6月21日(土) 19時44分
なにゆえ, 8204 と名前を変えての投稿なのでしょう・・・?


8216.Re: 一次不等式の応用
名前:Bob    日付:6月21日(土) 23時53分
x冊作成するとする

100000+850×(x−100)        全費用
100000+850×(x−100)/x  1冊あたりの費用

100000+850×(x−100)/x ≦900

100000+850×(x−100)≦900x
100000+850x−85000≦900x
 15000≦50x
   300≦x
 よって300冊以上
http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

8204.二次方程式の応用  
名前:穂花    日付:6月21日(土) 18時29分
10000円で仕入れた洋服にx%の利益を見込んで定価をつけたが、売れなかったので、定価のx%引きの9600円で売った。xの値はいくらか?



8214.Re: 二次方程式の応用
名前:Bob    日付:6月21日(土) 23時45分
定価は10000×(1+x/100)
定価のx%引きは10000×(1+x/100)×(1−x/100)

よって
  10000×(1+x/100)×(1−x/100)=9600
これを解くと
   10000×(1−x^2/10000)=9600
   10000−x^2=9600
         x^2=400
         x=±20
x>0よりx=20
http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

8200.曲線の長さ  
名前:怜@高3    日付:6月20日(金) 21時58分
f(x)=(1/2)(e^x+e^(-x))とする。曲線y=f(x)上の点A(a,f(a))に
おける接線がy軸と交わる点をBとする。
線分ABのながさと、この曲線のX=0からX=aまでの長さを比較する。
ただし、a>0とする。

よろしくおねがいいたします。



8201.Re: 曲線の長さ
名前:あ〜く(高三)    日付:6月20日(金) 22時50分
基本的な方針としては
1:接線方程式の立式(しなくても良いんですけどね)(汗
2:曲線の長さの公式(?)からの導出
でしょう。

1:f`(a)=1/2・(ea-e-a)
  ∴三平方の定理より、線分ABの長さは
  →a・√{1+(f`(a))2}
  =a/2・(ea+e-a)(=g(a)とする)


2:求める曲線のの長さは
  (0≦x≦a)∫√{1+(f`(x))2}dx
 =(0≦x≦a)1/2・[ex-e-x]
 =1/2・(ea-e-a)(=h(a)とする)

よってa>0においてg(a)とh(a)に関して考えればよいことになります。
(x>0においてf`(x)>0なのでg(a)>h(a)というのは分かりますが・・・)
問題の要求が「比較」だったのでどこまですれば良いのかよく分からなかったので、一応ここまでにしておきます。
(あとはg(a)、h(a)のグラフでも書けば分かるかな?っと)

P.S.カテナリーは多くの性質を持つので、知っておくと良いと思います。この問題に関しても、性質を利用してより簡単に出来る・・・のかな?


8222.Re: 難しいです。計算ミスでしょうか?
名前:怜@高3    日付:6月22日(日) 12時51分
あーくさん、返信ありがとうございます。
ところで、やっぱり疑問に思うのですが、

線分ABの長さを、接線の式を出さなくてもでる。とのことですが、
その場合の計算式が、>>a・√{1+((a))2}なんですよね?
三平方の定理考えてみましたが、どうしてこのようになるか
わかりません。
接線の式を求めて計算すると、確かにそうなりますが、
どうして(a)だと分かるのでしょうか?


それと、比較せよ。という問題の意図でしたが、
どっちが長いか?というもののようです。
解答では、ABの方が長い。となってました。
グラフを書いて微分しようとしましたが、増減表がうまくかけません。
ご教授よろしくおねがいいたします。


8242.Re: 曲線の長さ
名前:怜@高3    日付:6月23日(月) 23時2分
あ〜くさん以外の方でも、
よろしくおねがいいたします。

8198.よろしくお願いします。  
名前:あ〜く(高三)    日付:6月20日(金) 21時48分
高三という受験生身分なのに、数学ばっかりやっていて良いのだろうか・・・と思う今日この頃。
今回は自作の問題を見てもらいたいと思い、参りました。
(質問板ですが、こういうのは良いのでしょうか?)
其の問題は以下の通りです。


各々の辺の長さがa,b,cの△ABCが存在する。(a,b,cは正の実数)
この△ABCの外接円の半径をR,内接円の半径をrとする。
このとき、いかなる三角形においても以下の不等式が成立する自然数kの最小値を求めよ。

Rr−k(ab+bc+ca)<0


という問題です。
考えてくだされば、幸いです。
(また悪問か良問か、問題で追加すべき条件など突っ込みも出来ればお願いします)m(_ _)m



8202.Re: よろしくお願いします。
名前:ころっさす    日付:6月20日(金) 23時53分
常に R*r=a*b*c/(2*(a+b+c))≦(a*b+b*c+c*a)/18 ですね.


8203.Re: よろしくお願いします。
名前:あ〜く(高三)    日付:6月21日(土) 0時18分
>ころっさすさん
返信有り難う御座います。
文章の意をくみ取ると、この関係は一般によく知られている関係なのでしょうか?
わたしの勉強(?)不足でしたか・・・
 
それとこれは質問なのですが・・・

3次元空間上に体積がk・n3(k定数)と表すことが出来る閉曲面で囲まれた領域(一定の形を持ち、nによって拡大縮小が可能)があり、この中にある格子点(閉曲面上も含む)の数をL(n)とする。
そうするとき、(n→∞)lim{k・n3/L(n)}=1となるかどうか調べよ。

というものです。(ただただ自分で考えただけですが・・・)私としては、格子点の数:3次的(?)に増加・体積:3次的(?)に増加・表面の格子点:体積増加よりも遙かに低い、ということでたいていの場合は成り立つと思うのですが、厳密な証明が分かりません。(εδ法・・・で???)

これに関してもご教授していただければ幸いです。


8226.Re: よろしくお願いします。
名前:ころっさす    日付:6月22日(日) 18時11分
> 一般によく知られている関係
かは兎も角,不等式の部分は相加相乗からの帰結です.

後半は,例えば,A⊂R^3,a,b,c,d∈Z,m∈R,
{ (x,y) | ∃z((x,y,z)∈A) }⊂[a,b]×[c,d],
m=max{ #({z|(x,y,z)∈A}) | (x,y)∈[a,b]×[c,d] } ならば,
任意の正整数 n に対し,A を原点中心に n 倍拡大した集合を A(n) とおくと
#{ A(n) の境界に属する格子点 }≦m*(b-a)*(c-d)*(n^2)
と評価できますね.

8196.三角形の五心  
名前:のんちゃん    日付:6月20日(金) 20時27分
五心のI,Ia,O,H,Gの由来は?

8193.どうすればいいですか?  
名前:kenji    日付:6月20日(金) 16時46分
x4+7x3-3x2-23x-14=0のような高次方程式はどうやったら、解けますか?
それともう一つ、長さacmの針金で二等辺三角形をつくり、その底辺を軸として、1回転させてできる立体の体積を最大にするには二等辺三角形の底辺と等辺をどのようにすればいいか?
できれば所ところに途中式も載せてくれるとうれしいです。



8194.Re: どうすればいいですか?
名前:ヨッシー    日付:6月20日(金) 17時27分
高校までの範囲であれば、大抵は因数定理を使って解きます。
例えば、この式は、x=-1 は1つの解ですから、(x+1) をくくりだして
 x4+7x3-3x2-23x-14=(x+1)(x3+6x2-9x-14)
と因数分解できます。さらに、x3+6x2-9x-14=0において、
x=-1 が1つの解なので、(x+1) をくくり出せます。
あとは、2次方程式が残るだけなので、解けますね。

こういうふうに、解の1つが簡単に見つからないもの(一般の4次方程式)は
公式か何かで解くしかありません。


図のように、AB=AC、DをBCの中点とし、BD=xとすると、
AB=a/2-x であり、ピタゴラスの定理より、AD2 が出ます。
体積は、πAD2×x×2/3 で、xの2次式になります。
これの最大値を出せばいいです。
底辺(=2x)a/4、等辺 3a/8 となります。
 
http://yosshy.sansu.org/


8195.Re: どうすればいいですか?
名前:kenji    日付:6月20日(金) 18時4分
できました〜(^^)/ありがとうございます。

8186.(untitled)  
名前:怜@高3    日付:6月19日(木) 22時38分
◆次のものを示せ。
(1)e^x>=1+x
(2)(2/3)<∫[0〜1](e^(-x^2))dx<(π/4)
==========================================
(1)は示せました。
ただし、x>=0でしか示せなかったし、これしか無理な気がするのですが、x<=0では成立しませんよね?
(2)についてですが、左部分は次のようにしました。
これでいいでしょうか?↓
x=-t^2とすると、e^x>=0,1+x<=0よりe^x>=1+x。
よってe^x>=1+xに影響はなく、
e^(-t^2)>=1-t^2として・・・・

右部分については、∫[0〜1]√(1-t^2)dtであり、
e^(-t^2)と√(1-t^2)の大小比較を行えばいいと思うのですが、
これがうまくしめせません。

よろしくおねがいします。



8187.Re: (untitled)
名前:怜@高3    日付:6月19日(木) 22時43分
間違いました。
(1)ですが、負についても成立するのはグラフで分かるのですが、
f(x)=e^x-1-xとして、f`(x)=e^x-1
f``(x)=e^xとなり、f`(x)=は増加関数となるけれど、
f`(x)=e^x-1は、常に正にならないので、f(x)>=0が
示せないのです。


8188.Re: (untitled)
名前:しんちー    日付:6月19日(木) 23時4分
(1) f' の符号が x=0 の前後で変わることから、f は x=0 で最小になります。


8189.Re: (untitled)
名前:しんちー    日付:6月19日(木) 23時9分
(2) なんとか(1)を利用できないか考えてみました。
 x≧0 では (1) より e^(-x)≦1/(1+x) が成り立つので、これを用いて x を適当に置き換えると…


8191.Re: (untitled)
名前:たかし@高3    日付:6月20日(金) 1時29分
右部分は、(1)を利用すると
 1/e^(x^2)≦1/(1+x^2)
となり、積分とって、
右辺は、x=tanθで置換するやつですね。


8199.Re: (untitled)
名前:怜@高3    日付:6月20日(金) 21時53分
できました!!
ありがとうございました。

8185.123  
名前:    日付:6月19日(木) 22時32分

下何桁かに特徴の現れる計算…何がありますか?後数学オリンピックの問題で2003nの下三桁が113となるもののうち最小の数を求めよっていうのを見つけたんですが…解法分かりますか??お願いします!!サイトでも。。



8190.Re: 123
名前:田村 正和    日付:6月19日(木) 23時17分
私も受けました。高校2年のときに初応募で順合格という悲しい結果でした。
ええと大学への数学2003年の3月号持ってまして。その2番ですね。
2003n≡3n(mod1000)なので、2003nと3nの下三桁は等しい。3n=113となる正の数nは存在せず、n=371のとき3n=1113となるので、条件を満たす最小の自然数nは371である。
ちなみに数学オリンピックで活躍していた開成高校出身、東大理1の長尾健太郎さんという方はいま何をやってるかご存知でしょうか?
ちなみにマルチポストはあんまりいいとはいえないです。中にはそういうのを嫌う人がいるので。私は別にどうでもいいと思ってますが。MKGにも書いておきました。

8183.教えてください。  
名前:kenji    日付:6月19日(木) 20時25分
@二次関数y=-x2+ax-aの0≦x≦5における最大値が3である。aの値をもとめよ。
A三つの不等式3x+2y≧4、2x+y≦5、x+2y≦6で示される領域を求め、これを図示し、領域内の点(x、y)に対して」x+yの最大値および最小値を求めよ。
B正の実数x、yが4≦x+2y≦8を満たすという。このときk=x2+y2がとりうる値の範囲を求めよ。
これらなんですけど、どうすればいいのかわからないので教えてください。



8184.Re: 教えてください。
名前:ast    日付:6月19日(木) 21時15分
丸付き数字は機種依存文字です.

(1)グラフを描く. 軸の方程式に注意して場合分け.
 各場合について, 最大値を求め, それが 3 になるようにする.
(2) 3 つの直線を引き, それぞれの不等式の示す部分をさがす.
 求める領域は 3 つの不等式の示す部分の共通部分である.
 こいつを図示したら, x+y の値を k とでも置いて, この直線が
 求めた領域と交わるところで・・・.
(3) (2) と本質的に同じ.


8192.Re: 教えてください。
名前:kenji    日付:6月20日(金) 16時34分
なんとかできました。ありがとうございます。

8174.式の変型  
名前:yosikawa    日付:6月19日(木) 15時1分
文系高校生の数学素人です。

X=(Y×Z×cosθ)÷(Y+Z×sinθ)

式の変型で
Z=
の形にもっていきたいのですが、どうしたらいいかわかりません。
どなたか教えていただけたら助かります。
(記号に意味はなく、ただの式の変型の問題です)



8175.Re: 式の変型
名前:ヨッシー    日付:6月19日(木) 15時38分
÷(Y+Z×sinθ)
の部分、分数で書くと、分母に当たる部分ですが、これがあると、
式変形は思うように行かないので、両辺に(Y+Z×sinθ)を掛けます。
 X(Y+Z×sinθ)=(Y×Z×cosθ)
カッコをはずして、
 XY+XZsinθ=YZcosθ
移項して、
 XY=YZcosθ−XZsinθ
Zでくくって、(ついでに左右入れかえて)
 Z(Ycosθ−Xsinθ)=XY
 Z=XY/(Ycosθ−Xsinθ)
 
http://yosshy.sansu.org/


8178.Re: 式の変型
名前:yosikawa    日付:6月19日(木) 16時26分
「ヨッシー」さん返信ありがとうございました。
助かりました。
Z=
のやりかたがわかったので応用で
Y=(-XZsinθ)/(X-Zcosθ)
としてみましたがあってますでしょうか?


8180.Re: 式の変型
名前:ヨッシー    日付:6月19日(木) 17時20分
はい、合ってます。
 Y=(XZsinθ)/(Zcosθ-X)
の方が、私の好みですが、どちらでもいいです。
 
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8173.よろしくおねがいします。  
名前:さとえ;小学6年    日付:6月19日(木) 14時44分
「−9、−8、−7はAにふくまれる」と表す場合、不等式を使って−7≦Aで表すこと出来ますか?おかしくないですか?教えて下さい。



8176.どこで出てきましたか?
名前:ヨッシー    日付:6月19日(木) 15時44分
Aは、集合でしょうか?
単に含むことを表すには、
 A∋−7、A∋−8、A∋−9
のように書きます。(うまく表示されるか?ヨのまるっこい記号です)

また、Aの中身(要素といいます)が、−7,−8,−9 の3つだけという
ことを表すには、
 A={−7,−8,−9}
 A={x|x=−7,−8,−9}
 A={x|−9≦x≦−7、xは整数}
のように書きます。
 
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8179.Re: よろしくおねがいします。
名前:さとえ;小学6年    日付:6月19日(木) 16時52分
ごめんなさい。説明するのがへたくそで、本当にすみません。

数直線上に−7、−8、−9があって、この−7から−9をAで全部ふくむようにするためには?Aはどんな範囲で表わすと良いんですか?AはA<0とする。
それで−7≦Aという範囲で問題を満たしたことになりますか?

何度もすみません。よろしくおねがいします


8181.Re: よろしくおねがいします。
名前:ヨッシー    日付:6月19日(木) 17時34分
−7≦A は「Aは−7以上」=「Aは−7と等しいかそれより大きい」
という意味ですね。
一方、−8 や −9 は、−7より小さいので、よくありませんね。

さて、たとえば、-11≦A≦-6 で表される、Aの範囲は、下の図の通りですが、
この範囲には、たしかに、−7,−8,−9 の3つとも含まれています。
でも、何となく、こういうことを聞きたいのでは、ないような気がしますが。

 
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8171.マクロ-リン展開  
名前:大学生    日付:6月19日(木) 12時35分
y=√(1+x)のマクローりん展開を4次の項まで求め、1/√2の近似値を求めてください。お願いします!



8172.Re: マクロ-リン展開
名前:ヨッシー    日付:6月19日(木) 13時35分
y、y’、y”、y(3)、y(4) を求め、
マクローリン展開のページの一番上の公式に従い、
 y=○+○x+○x2+○x3+○x4
のような近似式を作ります。

あとは、x=1を代入すると、√2の近似値が出て、
その逆数をとれば、1/√2 になります。

約384/547≒0.7020 になります。
 
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8182.Re: マクロ-リン展開
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月19日(木) 17時53分
>あとは、x=1を代入すると、√2の近似値が出て、
その逆数をとれば、1/√2 になります。
約384/547≒0.7020 になります。

x=1 は収束半径の値。その方がよい場合もあるが、それはともかく、剰余項を調べて誤差評価をした方がよい。
x = -1/2 と置けば直接求める値が得られて近似も良くなる。

8168.最大値  
名前:たかし@高3    日付:6月18日(水) 23時46分
すみません、教えてください。
関数f(x)=|x^3-3a^2x| (a≧0)
の0≦x≦1における最大値M(a)を求めよ。
という問題の答えに、
(1)0≦a≦1/2
(2)1/2≦a≦1
(3)1≦a
と場合わけしてあるのですが。
この1/2がどこから出てきた値かわかりません。
0≦a≦1と1≦aで場合わけしてしまったのですが。
よろしくお願います。(_o_)



8170.Re: 最大値
名前:ast    日付:6月19日(木) 0時1分
微分してみると, 極大値が何処に現れるのかというと・・・.


8177.Re: 最大値
名前:たかし@高3    日付:6月19日(木) 15時59分
astさん、わかりました。
aを0からずらしていくと、まずx=1で最大値を持つ
境目は、x=aでの極値と等しくなるとき、
つまり、a=1/2のとき、ということですね。
ご指摘ありがとうございました。

8167.平均値定理?  
名前:jun    日付:6月18日(水) 21時30分
f(x),g(x)は2回微分可能とする
f'(a)=g'(a)=0 ならば
(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f''(c)/g''(c)
をみたすc(a<c<b)が存在することを示せ。(f'(a):微分係数のことです)

平均値の定理を使えばいいことはわかるんですが、どう活用していいのかわかんないんです。どうすればいいですか?



8169.Re: 平均値定理?
名前:ast    日付:6月18日(水) 23時57分
まず,
 {f(b)-f(a)}/{g(b)-g(a)}=f'(c_1)/g'(c_1)
となる c_1 ∈ (a,b) が取れること(Cauchy の平均値定理)を示す.
そうすると, 求める c は 開区間(a,c_1) からとれます.

8160.ヨッシーさん♪♪ありがとう!!  
名前:ラッ子(17歳)    日付:6月18日(水) 15時41分
なるほど〜(@_@)そうやって考えれば良いんだ!!すっきりしました。ありがとうございました。

8158.二次不等式  
名前:ラッ子(17歳)    日付:6月18日(水) 14時36分
(問題)
不等式x^2+14x+48<0を満たすようなすべてのxが、不等式x^2−ax−2a^2>0を満たすような、aの範囲を求めなさい。

方針としては、2次不等式をとりあえず解いて、その答がもう一つの2次不等式の答にすっぽり含まれるようにaの範囲を考えていけば良いと思いますが・・・

解答見ますと
x^2+14x+48<0
(x+6)(x+8)<0
−8<x<−6

x^2−ax−2a^2>0
(x+a)(x−2a)>0

ここで、aの値によって場合分けします。
@a≧0のときは、−a<2aなので
 (x+a)(x−2a)>0⇒x<−aまたは2a<x・・・@

Aa<0のときは−a>2aなので
 (x+a)(x−2a)>0⇒x<2aまたは−a<x・・・A

あと略します。

−aと2aの大小が変わるので、場合分けしなきゃいけない事は解りますが、場合分けするとき、何で@のa≧0はa>0じゃないんでしょうか?=が付いているって事は0含まれますよね!!って事は(x+a)(x−2a)はaも0、−2aも0になって場合分け出来ないんじゃないでしょうか?う〜ん解りません(*_*)

数学は中学時代から苦手で困ってます。教えて下さい。よろしくお願いします。



8159.Re: 二次不等式
名前:ヨッシー    日付:6月18日(水) 15時16分
確かに、少し気持ち悪いですね。
そう思ったら、a>0、a=0、a<0 に分けてみましょう。
a>0,a<0 の場合は、文句ないと思います。
a=0の場合は、
(x+a)(x−2a)>0 は x2>0
なので、解は、x≠0 ですが、これは
 x<0 または x>0
とも書けます。そうすると、
(1)の解 x<−aまたは2a<x ・・・(1)

(2)の解 x<2aまたは−a<x ・・・(2)
で、a=0と置いたものと合致します。
このことを踏まえた上で、a=0の場合を、a>0の場合に含めて書いたのが、
上の解答です。(別に、(2) に含めて a>0 と a≦0 としても良いです)
 
http://yosshy.sansu.org/

8145.(untitled)  
名前:jun    日付:6月18日(水) 0時32分
lim(x→∞)((x-1)/(x+1))^x
うーんどうやったらいいんだろう・・・
お願いします。



8146.Re: (untitled)
名前:ケロ    日付:6月18日(水) 1時27分
eに持っていけそう。前の方は−∞にするのかな。
(((x−1)/x)^x)*((x/(x+1))^x)。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/


8165.Re: (untitled)
名前:jun    日付:6月18日(水) 19時52分
ありがとうございまーす

8144.このときどうしたらイイのですか?  
名前:kenji    日付:6月18日(水) 0時30分
@実数x、yがx+3y=1を満たす時、x2+y2の最小値を求めよ。
A条件x2+y2=4(x、yは実数)のもとで、2x+yおよび2x2+y2+2y-2の最大値、最小値を求めよ。
B正の数x、yが2/x+3/yを満たすとき、xyの最小値を求めよ。
この三つですけど、さっぱりわかりません。助けてください。



8148.Re: このときどうしたらイイのですか?
名前:たかし@高3    日付:6月18日(水) 2時12分
(1)x=-3y+1をx^2+y^2に代入しyの二次式にし最小値を求める
(2)2x+y=kとおき、
  i) y= にして、x^2+y^2=4に代入し判別式
  もしくは
  ii) 円(の中心)と直線との距離を利用してとく方法
 2x^2+y^2+2y-2にx^2=-y^2+4を代入し,yの二次式にし
 最小値を求める
(3)はどうするんだろう。。。(^^;


8149.Re: このときどうしたらイイのですか?
名前:ヨッシー    日付:6月18日(水) 7時10分
(3) は、2/x+3/y=1 などの等式になっていないと解けません。
 
http://yosshy.sansu.org/


8150.Re: このときどうしたらイイのですか?
名前:ヨッシー    日付:6月18日(水) 9時12分
(3)
で、もし 2/x+3/y=1 だとすると、
X=1/x, Y=1/y とおくと、
xy が最小のとき、XY=1/xy は最大なので、(x,y ともに正の数)
 2X+3Y=1 の条件で XY の最大値を求める問題となり、(1) と同じ考え方が出来ます。
 
http://yosshy.sansu.org/


8151.Re: このときどうしたらイイのですか?
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月18日(水) 10時23分
>(2)
  ii) 円(の中心)と直線との距離を利用してとく方法
 2x^2+y^2+2y-2にx^2=-y^2+4を代入し,yの二次式にし
 最小値を求める

正確には -2 ≦ y ≦ 2 の範囲での最大最小を求めなければいけない。
(質問者が大学生ならラグランジュの乗数法もある)


8153.Re: このときどうしたらイイのですか?
名前:    日付:6月18日(水) 12時17分
こんなのもあります。とりあえず(1)だけ。

コーシー・シュワルツの不等式
(ac + bd)^2 ≦ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)において、
a=1,b=3,c=x,d=yと代入してみると…


8155.ころっさすさんに倣って刹那的に
名前:repunit    日付:6月18日(水) 12時27分
f(x,y) = 2x2+y2+2y-2
= 2x2+y2+2y-2-(x2+y2-4)/2 = (3/2)x2+(y+2)2/2-2 ≧-2 = f(0,-2)
f(x,y) = 2x2+y2+2y-2-2(x2+y2-4) = -(y-1)2+7 ≦7 = f(±√3, 1)


8156.Re: このときどうしたらイイのですか?
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月18日(水) 13時2分
>コーシー・シュワルツの不等式
(ac + bd)^2 ≦ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)において、a=1,b=3,c=x,d=yと代入してみると…
  
等号成立条件も確認しなくては。
  
>f(x,y) = 2x2+y2+2y-2=2x2+y2+2y-2-(x2+y2-4)/2 = (3/2)x2+(y+2)2/2-2 ≧-2 = f(0,-2)
f(x,y) = 2x2+y2+2y-2-2(x2+y2-4) = -(y-1)2+7 ≦7 = f(±√3, 1)
 
なるほど刹那的。お見事。(HTML直接コピペ。)


8157.(3)の別解
名前:repunit    日付:6月18日(水) 14時13分
k = 2/x+3/y ≧ 2√(6/xy) (∵相加相乗平均, 以下略)


8161.Re: このときどうしたらイイのですか?
名前:kenji    日付:6月18日(水) 17時14分
ありがとうございます。助かりました。

8137.おねがいします  
名前:普段はROM(高3)    日付:6月17日(火) 23時20分
・√xの定積分を用いて、次の不等式を証明せよ
(2/3)n√n < (√1)+(√2)+…+(√n) < (2/3)n√n +√n

・次の不等式を証明せよ。ただし、n≧2とする。
2{√(n+1) −1} < 1+{1/(√2)}+{1/(√3)}+{1/(√n)} < 2(√n)−1

教科書の問題なんで簡単なんでしょうけど、ここらへんどうも苦手で。。。
ヒントでいいので教えていただければ光栄です。



8141.Re: おねがいします
名前:ヨッシー    日付:6月17日(火) 23時47分

こういう図を描いて、
(4)<(1)=(3)<(2)
と行きたいのですが、(2)がうまく表せませんねぇ。

ま、一応、積分を使うという意味はこんな感じかと。
http://yosshy.sansu.org/


8142.Re: おねがいします
名前:たかし@高3    日付:6月17日(火) 23時50分
前者:
 まずf(x)=√xのグラフを書いて見てください。
 左側の不等式:(2/3)n√n < (√1)+(√2)+…+(√n) の証明
 (√1)+(√2)+…+(√n)は、
  f(1)×幅1 + f(2)×幅1 + .... + f(n)×幅1という
  棒グラフみたいな図の面積の和になりますよね。
  その面積は、∫[0〜N]√xdxよりも大ですね。
  このことを使って、証明できると思います。
 右側の不等式 (√1)+(√2)+…+(√n) < (2/3)n√n +√nの証明
 (√1)+(√2)+…+(√(n-1))は、
  f(1)×幅1 + .... + f(n-1)×幅1という
  図の面積の和になりますね。
  その面積は、∫[0〜N]√xdxよりも小ですね。
  その後、両辺に、√nを足す。
 という感じですかね。
図がなくってすみません。がんばって下さい。


  


8164.Re: おねがいします
名前:普段はROM(高3)    日付:6月18日(水) 18時46分
ヨッシーさん、たかし@高3さん、ありがとうございます。
お二人の図と説明のおかげで証明できました。

8136.指数  
名前:張間 美樹    日付:6月17日(火) 20時59分
2乗を平方といい、3乗を立方と言うなら、4乗は何というのですか?




           中学1年



8162.Re: 指数
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月18日(水) 17時18分
4乗 (知りません。多分ない。)

2乗 昔は自乗(じじょう)と言っていました。

3乗を英語で云うと cube
では2乗を英語で云うと・・・?
昔、山口百恵の曲に E = mc^2 と云うのが有った。
あなたは知らないでしょうが。


8163.Re: 指数
名前:    日付:6月18日(水) 17時56分
四乗って,四次元のことだと思う。
立方に時間をかけたものって,聞きました。

8135.3次元の円の表現  
名前:あや    日付:6月17日(火) 19時53分
3次元で円を表現したいのですが・・どうしたらよいでしょうか?
表現したい円というのは・・
法線ベクトル(xn,yn,zn)に対する原点(0,0,0)を通る平面に乗った
円を表現したいのです.
よろしくお願い致します.



8139.Re: 3次元の円の表現
名前:ケロ    日付:6月17日(火) 23時37分
平面は内積から xnx+yny+znz=0。
円は半径をrとすると、球をそのまま使い x^2+y^2+x^2≦r^2。
この二つの組み合わせかなあ。誰もいないのかな。コンコン。どなたかいらっしゃいませんか。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/


8143.Re: 3次元の円の表現
名前:ヨッシー    日付:6月17日(火) 23時54分
平面上にある平行でない2つのベクトルを作ると、
平面上の任意の点Pの位置ベクトルは、
 =m+n (m、nは実数)
と表せます。これを使って、
 OP=一定値
とするとか、
直径の両端である2点A、Bを決めて
 PAPB=0 (直径に立つ円周角は直角)
とするとか言う方法があります。
 
http://yosshy.sansu.org/


8152.Re: 3次元の円の表現
名前:あや    日付:6月18日(水) 11時19分
ありがとうございます
結局
上記を参考に致しまして
法線を基にした平面式の点を定め,それを単位ベクトルAとし,
法線ベクトルと単位ベクトルAの外積をもとめて,単位ベクトルBを算出し
このAとBを用いて3次元円を強引に求めました

ありがとうございました

8131.困っています お願いします  
名前:megu    日付:6月17日(火) 12時22分
凸四辺形OABCにおいOA=28、AB=21、BC=5、∠OAB=∠OBC=90゜であるとき∠AOCの大きさを求めよ。教えて下さい。



8132.Re: 困っています お願いします
名前:T兄弟    日付:6月17日(火) 13時13分
△OABについて
三平方の定理より
OB=35
cos∠AOB=4/5
sin∠AOB=3/5
△OBCについて
三平方の定理より
OC=25√2
cos∠COB=(7√2)/10
sin∠COB=(√2)/10

cos∠AOC=cos∠AOBcos∠COB-sin∠AOBsin∠COB
で計算する


8133.Re: 困っています お願いします
名前:ヨッシー    日付:6月17日(火) 14時2分

EOとECの長さを調べればわかります。
 
http://yosshy.sansu.org/

8125.2次関数と直線  
名前:たいが    日付:6月16日(月) 22時45分
すみません。回答が消えててあっているのか
わかりません。教えてください。
y=x^2+2x-1をx軸正の方向に2k、y軸の正の方向にk移動させると、
その放物線は、y=2x-7に接するという。
このとき、移動した放物線と接点を求めよ。
という問題です。
解が、y=x^2-(14/3)x+37/9 接点(10/3,-1/3)
とでたのですが。あっていますでしょうか。



8127.Re: 2次関数と直線
名前:ケロ    日付:6月17日(火) 0時45分
平行移動ですから、求める式と接線y=2x−7は
y=x^2+2x−1・・・(1)とこの(1)の傾き2の接線を
くっつけて移動したと考えます。(1)を微分すると
 y’(x)=2x+2 ですから、
2x+2=2⇒x=0。これを(1)に代入。
移動する前の形は y=2x−1。移動すると
y−k=2(x−2k)−1。整理して、y=2x−3k−1。
この式はy=2x−7のことだから、k=2。(1)の方は
y−k=(x−2k)^2+2(x−2k)−1だから・・・。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/


8128.Re: 2次関数と直線
名前:ヨッシー    日付:6月17日(火) 0時48分
合っていません。
最初の放物線の頂点が(−1,−2)
答えの放物線の頂点が(7/3,-4/3)なので、移動量は
(10/3,2/3) であり、2:1になりません。

途中で出てくる、kの値は、k=2 です。
 
http://yosshy.sansu.org/


8129.Re: 2次関数と直線
名前:たいが    日付:6月17日(火) 1時2分
ありがとうございます。
k=2 となりました。
お手数おかけしました。

8120.リンクをはらせてください。  
名前:ケロりんマンの父    日付:6月16日(月) 20時59分
紹介文は
学校に行ってない人、日本に帰ってきた人、今から勉強したい父さん。数学でわからないことがあったら、「訪問のすすめ」
です。自分のとNPOのと二箇所で使いたいのですが。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/



8121.Re: リンクをはらせてください。
名前:ヨッシー    日付:6月16日(月) 21時7分
どうぞ、お好きなだけお張りください。

こうしてみると、何の苦もなくロシア語フォントが出るなんて、
さすが、大国ロシアですね。
本国でも、同じコードなんでしょうか?
まさかね。全角だし。
 
http://yosshy.sansu.org/


8122.Re: リンクをはらせてください。
名前:ケロの父    日付:6月16日(月) 21時54分
ありがとうございます。
作って煮込んで用意してました。でもNPOの方、バーナーが出ません。どうしてかなあ。
コードのことわからないですけど、ほとんど見られます。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/


8124.Re: リンクをはらせてください。
名前:ケロ    日付:6月16日(月) 22時39分
ついでに質問ですが、数学者で、ダヴィッド・ギルベルトっていう人いましたか。集合の〜とか、1900年に〜とか、ゲッチンゲンで〜というんですけど。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/


8147.Re: リンクをはらせてください。
名前:ケロ    日付:6月18日(水) 1時50分
ロシアの数学サイトは英語バージョンもたくさんありますよ。専門家の方も訪れてください。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/

8116.極限  
名前:しん    日付:6月16日(月) 15時19分
lim_[x→+0]xlogx=?



8118.Re: 極限
名前:たかし@高3    日付:6月16日(月) 15時55分
”lim_[x→∞]logx/x = 0”は大丈夫ですか。
lim_[x→+0]xlogxのx=1/tとすると
lim_[t→∞]log(1/t)/t
=lim_[t→∞](log1-logt)/t
=lim_[t→∞]-logt/t
=ー0=0
になると思います。
#別解があるかもしれませんが。

8107.最後のところがわかりません1!!教えてください☆  
名前:sayu(高3)    日付:6月16日(月) 6時40分
図形と方程式の問題で、
円C:x^2+y^2=1,D:x^2+y^2−4x−2y+1=0 について
(1)2円C,Dの両方に接する直線lの方程式を求めよ。
(2)円Cに点A(3,2)から引いた2本の接線の接点をP,Qとする。2つの接点P,Qを通るmの方程式を求めよ。

…という問題で、(1)は分かったんですが(2)は点(3,2)から円Cに引いた接線の接点をP(x1,y1),Q(x2,y2)とすると
x1+y1=1,x2+y2=1
これらの接線は当然(3,2)を通るから
x1・3+y1・2=1,x2・3+y2・2=1というところまではわかんたんですが、「このことから(x1,y1),(x2,y2)を通る直線mの方程式は
3x+2y=1になる」というところがなんでこうなるのかが分かりません。教えてください!!お願いします



8108.Re: 最後のところがわかりません1!!教えてください☆
名前:ヨッシー    日付:6月16日(月) 8時4分
異なる2点(x1,y1),(x2,y2)があって、この2点を同時に満たす直線の式が
あったならば、それは2点を通る直線の式と言って良いでしょう。
ちょうど、3x1+2y1=1、3x2+2y2=1
は、全く同じ形ですので、即座に3x+2y=1と結論づけられます。
 
http://yosshy.sansu.org/


8119.Re: 最後のところがわかりません1!!教えてください☆
名前:たかし@高3    日付:6月16日(月) 15時59分
私も、
「接点の座標を求めて。。。」という解法だと
複雑になるので、ヨッシーさんのような解法で
習いました。
#この直線mを、
#点Aを極とするCの極線というそうです。


8126.Re: 最後のところがわかりません1!!教えてください☆
名前:sayu(高3)    日付:6月16日(月) 23時46分
なんだか、直線と直線からまた別の直線が出てくるのはとても変な感じがしたんですが、少し納得できました☆”極線”というのは始めて聞きました!!!円との接点2つを結ぶとできる直線のことをいうのですか??


8130.Re: 最後のところがわかりません1!!教えてください☆
名前:たかし@高3    日付:6月17日(火) 1時7分
はい。


8166.Re: 最後のところがわかりません1!!教えてください☆
名前:sayu(高3)    日付:6月18日(水) 21時14分
わかりました!!ありがとうございました☆

8101.行列の問題です。  
名前:ガンタ★大1    日付:6月16日(月) 2時11分
Original Size: 440 x 196, 28KB

展開して地道に計算していったのですが、なかなか答えがでません。
どなたか解けるでしょうか?

また、展開しないでも解ける方法はあるのでしょうか?



8102.書き忘れました。
名前:ガンタ★大1    日付:6月16日(月) 2時14分
a,b,cは定数で、xについて解きます。


8104.Re: 行列の問題です。
名前:中川 幸一    日付:6月16日(月) 4時36分
解いてみましたが, なかなか苦労しますね☆

もしも 4×4 行列の方が正則ならば『クラメルの公式』を使ってみてはいかがでしょうか?

ちなみに解は以下のようになります。

x1 = a/(a+b+c)(a-b-c)
x2 = a/(a+b+c)(a-b-c)
x3 = -(b+c)/(a+b+c)(a-b-c)
x4 = -(b+c)/(a+b+c)(a-b-c)

となります。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


8109.答えて頂き有難う御座います!
名前:ガンタ★大1    日付:6月16日(月) 8時9分
解りました。
これから自分で解いていってみようと思います。
「クラメルの公式」も使ってみます!

本当に有難う御座いました!!!

8099.極方程式の積分  
名前:ヤッス_高3    日付:6月16日(月) 1時15分
極方程式で示されたグラフの積分の一般的な方法はあるのでしょうか?簡単な説明つきで教えていただけるとありがたいです。



8117.Re: 極方程式の積分
名前:たかし@高3    日付:6月16日(月) 15時27分
公式:S=1/2∫r^2dθ のことですかね。
説明:微小増分に対して
   儡≒(半径r、中心刄ニの扇形の面積)
      =(1/2)r^2・刄ニ
   が成立するので、積分の概念から
    S=1/2∫r^2dθ
   となります。
  

8093.円の接線  
名前:Izumi(高1)    日付:6月15日(日) 22時1分
x2+y2=r2
の上にある点P(x1,y1)における接線の方程式は
x1x+y1y=r2
である。これを、座標平面とベクトルを使って2通りで証明せよ。

この問題を解きたいのですが、いまいちやり方がわかりません。
ヒントだけでもいいので教えて頂けたらと思います。
よろしくお願いします。



8094.Re: 円の接線
名前:ast    日付:6月15日(日) 22時35分
平面座標でやるなら,
  直線が円に接する<===>円の中心と直線との距離が半径

ベクトルでやるなら,
  円の中心から接点へ向かうベクトルは接線の方向ベクトルに直交する

にでも着目してみたら如何ですか.


8095.Re: 円の接線
名前:田村 正和    日付:6月15日(日) 22時43分
こんな感じ?
円の接線は接点を通る半径に垂直である。この性質を用いて、円x^2+y^2=r^2上の点T(x1、y1)における接線の方程式を求める。
(1)x1≠0かつy1≠0のとき
直線OTの傾きはy1/x1であり、これに垂直な直線の傾きは−x1/y1である。これより、接線の方程式は
y−y1=−x1/y1(x−x1)・・・・・・・・・・・1
分母を払って整理すると
x1x+y1y=r^2
(2)x1=0のとき
y1=±rであり、接線の方程式は
y=rまたはy=−r
これは1を満たす。
(3)y1=0のとき
x1=±rであり、接線の方程式は
x=rまたはx=−r
これは1を満たす。

解答ついでに実験させてください>ヨッシーさん
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8096.Re: 円の接線
名前:Izumi(高1)    日付:6月15日(日) 22時58分
これで解けそうです!
astさん、田村さんどうもありがとうございました。

8092.ユークリッド?  
名前:Kou(高1)    日付:6月15日(日) 17時58分
こんばんは。

a,bを0でない整数とし、dをa,bの最大公約数とすると、
集合{ma+nb|m,nは整数}
は、dの倍数全体の集合、すなわち{kd|kは整数}と一致する。

というのを証明したいのですが、友人は
「ユークリッドの互除法を使う」と教えてくれたのですが、
今ひとつ具体的な方法が見つかりません。よろしくお願いします。



8097.Re: ユークリッド?
名前:Kou(高1)    日付:6月16日(月) 0時13分
あ、拡張ユークリッドの互除法の証明方法も書いておいて頂ければ
幸いです。


8106.下記サイトを参考にしてみてください。
名前:中川 幸一    日付:6月16日(月) 5時1分
DS数学BBS
DS数学BBS
高校・高専1〜3年の数学掲示板



http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

8090.自然数  
名前:ケロ    日付:6月15日(日) 17時6分
nが自然数のとき、n(n+1)(2n+1)は6で割り切れることを証明しなさい
っていう問題の解き方を教えてください。
たぶん数学的帰納法で解くと思うのですが…??



8091.Re: 自然数
名前:ヨッシー    日付:6月15日(日) 17時26分
数学的帰納法で解くなら、それはそれで良いです(意味深)。
n=1のとき、(与式)=1・2・3=6 ・・・ OK
n=k のとき、k(k+1)(2k+1)=6t (tは整数)であるとき
n=k+1 について考えると、
 (与式)=(k+1)(k+2)(2k+3)=2k3+9k2+13k+6
  =k(k+1)(2k+1)+6(k2+2k+1)
という感じです。

他には、6で割れるためには、2で割れてしかも3で割れることを言えばいいので、
n、n+1 のいずれかは偶数なので、n(n+1)(2n+1) は2で割り切れる。
n=3t のときは nが3の倍数
n=3t+1 のときは、2n+1=6t+3 が3の倍数
n=3t+2 のときは、n+1=3t+3 が3の倍数
よって、n(n+1)(2n+1) は3で割り切れる。
という具合です。

いっそ、
n=6t,6t+1,6t+2・・・6t+5 と分ける方法もありますが、
手間だけかかって、スマートじゃないでしょう。
 
http://yosshy.sansu.org/


8098.Re: 自然数
名前:nabeX    日付:6月16日(月) 1時10分
n(n+1)(2n+1)/6=Σ[k=1 to n]k2
右辺は明らかに整数。
よってn(n+1)(2n+1)は6で割り切れる。
というのは邪道でしょうか?


8111.Re: 自然数
名前:ヨッシー    日付:6月16日(月) 11時3分
この「2乗和の公式」を自明のものとするかどうかですね。
「2乗和の公式」自体の証明をやった上で、「だから分子は6の倍数」とやるのは、
問題ないと思います。
 
http://yosshy.sansu.org/


8113.Re: 自然数
名前:しんちー    日付:6月16日(月) 11時44分
他によくある方法としては、「3連続整数の積は6の倍数」を用いる方法で、
 2n+1 = (n-1)+(n+2)
より
 (与式) = (n-1)n(n+1) + n(n+1)(n+2)
とするものがありますね。


8298.Re: 自然数
名前:ケロ    日付:6月27日(金) 22時29分
ありがとうございました。
孫に代わってお礼申し上げます。
ケロのじっちゃん。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/

8088.極限  
名前:とも(高3)    日付:6月15日(日) 13時26分
Original Size: 398 x 82, 9KB

この極限値の出し方がわかりません。
教えてください<m(__)m>



8089.Re: 極限
名前:ヨッシー    日付:6月15日(日) 13時40分
(1-1/n^2)=(n-1)(n+1)/n^2
を利用します。
n=2 から、3,4,5 といくつか書き並べてみれば、
何か気づくでしょう。

答えは 1/2 です。
 
http://yosshy.sansu.org/


8134.Re: 極限
名前:とも(高3)    日付:6月17日(火) 19時14分
書き並べてみたんですが・・・見えてきません・・・・・
センスないんでしょうか・・・(T.T)


8138.Re: 極限
名前:ヨッシー    日付:6月17日(火) 23時29分

こういうのが書けましたか?

あの2とあの2が消えて、あの3とあの3が消えて、もひとつ3が消えて・・・
そして残ったのは?

それで、n→∞ とすると?
 
http://yosshy.sansu.org/


8140.Re: 極限
名前:とも(高3)    日付:6月17日(火) 23時43分
あ〜なるほど!!左右対称に残るってやつですね!


lim_[n→∞](n+1)/2n
=lim_[n→∞](1+1/n)/2
=1/2

これで今日ぐっすり眠れます。 有り難うございました<m(__)m>

8086.正則行列  
名前:岡村    日付:6月15日(日) 12時11分
Aがm次正則行列、Dがn次正則行列ならば、任意のm×n行列B、
n×m行列Cに対し、次の行列X,Y,Zは正則であることを示せ。

X=|AB|
   |OD|
Y=|AO|
   |CD|
Z=|BA|
   |DO|
よろしくお願いします。

8081.よろしくお願いします。  
名前:偏差値30    日付:6月15日(日) 10時30分
(問題)
|a|−|b|≦|a+b|を証明しなさい。

左辺がa<bなら成立するが、a≧bの場合成立しないので2乗して比較する。
|a+b|^2-(|a|-|b|)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2|ab|+b^2)
         =2(ab+|ab|)≧0
∴|a+b|^2-(|a|-|b|)^2≧0
          |a+b|>0、|a|-|b|>0だから
          |a|−|b|≦|a+b|は証明された。
          等号成立はab=|ab|すなわちa=0またはb=0

このような証明の仕方でよろしいんでしょうか?もし違っていたら、詳しく説明して下さい。よろしくお願いします。



8083.Re: よろしくお願いします。
名前:ast    日付:6月15日(日) 11時35分
仕方はそれで構いませんが,
>a≧bの場合成立しないので2乗して比較する。
成立しないなら話がそこで終わってしまうので, これはいただけません.
「a≧b の場合を調べる」とでもしましょう.

また, 三角不等式を書き換える方法でも証明できるはずです.


8110.Re: よろしくお願いします。
名前:高橋 道広    日付:6月16日(月) 10時22分
等号のチェックがおかしいように思います。
ab+|ab|=0から|ab|=-abつまり a,bが異符号ですからb≦0≦a
となるのではないでしょうか。
http://micci.sansu.org

8076.三角方程式  
名前:ケイコ 高2    日付:6月15日(日) 8時5分
2cos2Θ+4cosΘ-1=0 0°≦Θ≦360°

最初の2cos2Θの変形方法が分からないです。



8077.Re: 三角方程式
名前:ヨッシー    日付:6月15日(日) 8時13分
こちらの公式。
 
http://yosshy.sansu.org/


8078.Re: 三角方程式
名前:ケイコ 高2    日付:6月15日(日) 8時41分
計算したら、cosΘ=−3/2と1/2になりました。でもcos-3/2に当てはまる角度が見つかりません。1/2は60°と30°だと思うのですが。


8079.Re: 三角方程式
名前:ヨッシー    日付:6月15日(日) 9時54分
cosθ=1/2 または cosθ=-3/2
までは、正しいですね。
これを、0°≦θ≦360°の範囲で解くわけですが、
>cosθ=-3/2に当てはまる角度が見つかりません。
と気づくところは、正しいです。もう一歩踏み込んで、
「これを満たす角度θは存在しない!」と言い切ってしまいましょう。
では、cosθ=1/2 だけに絞り込めるわけですが、
>60°と30°
ではないですね。もう一度。
 
http://yosshy.sansu.org/


8080.Re: 三角方程式
名前:ヨッシー    日付:6月15日(日) 9時55分
単に0が抜けただけなのでしょうか?
 
http://yosshy.sansu.org/


8087.Re: 三角方程式
名前:ケイコ 高2    日付:6月15日(日) 13時25分
そうでした。ありがとうございました。

8073.行列式(大1)  
名前:haiji    日付:6月14日(土) 23時30分
・次の行列式の値を求めよ。
(1)
| 2 −4 −5  3|
|−6 13 14  1|
| 1 −2 −2 −8|
| 2 −5  0  5|
(2)
| 99 100 101|
|100  99 100|
|101 101  99|
(3)
|1/4 1/6 2/3|
|1/12 1/6 1/4|
|1/4 0 1/6|
行列の性質がよく分かっていません。サルスの方法はわかります。
よろしくおねがいします。



8075.Re: 行列式(大1)
名前:ast    日付:6月15日(日) 6時36分
大体、方法は決まっていると思いますが・・・.

(i)[行列式は基本変形で不変] という性質を利用してより簡単な行列の
行列式に帰着する. (特に三角行列の行列式は, 対角成分の積)
(ii)行列式の列または行に関する線型性を利用して余因子展開する.
・・・etc.

教科書にはどのようにかかれているのか, 今一度確認しては如何でしょうか.


8085.Re: 行列式(大1)
名前:haiji    日付:6月15日(日) 12時7分
じっくり説明を読むと理解できました。ありがとうございました〜!

8065.ベクトルについての問題なんですけど…  
名前:KZZ(高2)    日付:6月14日(土) 21時29分
あるベクトルの問題の最後の解説部分についての疑問なんですが、
ベクトルAP=1+2t/3ベクトルAB+1-3tベクトルAC
ベクトルBP=−ベクトルAB+ベクトルAC
このときベクトルAP//ベクトルBCとなるのは
1+2t/3:1-3t=−1:1

という解説で、係数比較をとると平行ではなく、同じ向きであるとしか言えないのではないでしょうか? 
わかる方どうか教えて下さいm(_ _)m



8069.Re: ベクトルについての問題なんですけど…
名前:回転する「考える人」    日付:6月14日(土) 22時45分
「2つのベクトルが平行」とは方向が同じで大きさは
違ってもよい
ということだったのではないかな?

(佐久間信子たんのファン)


8070.Re: ベクトルについての問題なんですけど…
名前:ヨッシー    日付:6月14日(土) 22時46分
たとえば、
ベクトルBP=−ベクトルAB+ベクトルAC の代わりに
ベクトルPB=ベクトルAB−ベクトルAC
のように、向きを正反対にしてみましょう。
すると、
 1+2t/3:1-3t=1:-1
になるわけですが、これは、
 1+2t/3:1-3t=−1:1
と同じです。

つまり、係数の比が等しいということは、向きに関係なく、平行であることを
示しているということです。
 
http://yosshy.sansu.org/

8054.このなぞ答えてください。  
名前:kenji    日付:6月14日(土) 18時8分
2ab2-3ab-2a+b-2を因数分解すると(b-2)(2ab+b+a+1)になるんですけど、答えには(b-2)(2ab+a+1)って書いてあるんです。どうしたらこうなるんですか?教えてください。



8055.Re: このなぞ答えてください。
名前:ヨッシー    日付:6月14日(土) 18時55分
因数分解で答えが出たら、それを展開して、元の式になるか確認しましょう。
そうすれば、(b-2)(2ab+b+a+1) と (b-2)(2ab+a+1) のどちらが正しいか
わかります。
 
http://yosshy.sansu.org/


8057.Re: このなぞ答えてください。
名前:kenji    日付:6月14日(土) 19時14分
ではどうやって(b-2)(2ab+a+1)に導くんですか?


8058.Re: このなぞ答えてください。
名前:ast    日付:6月14日(土) 19時49分
貴方のやった計算を此処に正確に書いてみてください.
誰かが添削してくれるでしょう.


8061.謎でも何でもない.
名前:回転する「考える人」    日付:6月14日(土) 20時34分
(与式)=(2b2−3b−2)a+(b−2)
    =(b−2)(2b+1)a+(b−2)
    =(b−2){(2b+1)a+1}
    =(b−2)(2ab+a+1)

(佐久間信子たんのファン)


8062.Re: このなぞ答えてください。
名前:kenji    日付:6月14日(土) 20時45分
ありがとうございました。自分あほでした。

8050.ベクトルの内積と面積  
名前:翼  高1    日付:6月14日(土) 11時44分
平面上のベクトルa=(2,1)、b=(3,4)について
(1)ka−bとaが垂直のとき、実数kの値を求めよ。
(2)|ma+b|を最小にする実数mの値を求めよ。
(3)(2)のmについて、maとbがつくる平行四辺形の面積を求めよ。

  ※aとbの上には 「→」がつきます。

答え:(2)m=−2 (3)10

(1)(2)は分かったのですが、(3)が分かりません。お願いします。



8051.Re: ベクトルの内積と面積
名前:Bob    日付:6月14日(土) 12時29分
(3)m=−2で ma=−2(2,1)=(−4,−2)
         b=(3,4)
        |ma|=2√5
        |b|=5


 ここで図で考えると、平行四辺形の1辺をma、もう1辺をbとし
 それぞれの対辺を書けば、平行四辺形が出来ますよね?
 次に対角線を引くと同じ三角形が2つ出来ます。
 そうするとmaとbの作る角をθとすると、
 内積は|ma||b|cosθ=10√5・cosθ
成分から内積を出すと(−4)・3+(−2)・4=−20
よって10√5・cosθ=−20 cosθ=−2/√5
そうすると(sinθ)^2=1/5  sinθ=1/√5
ここで数Tの三角比の最後にある三角形の面積公式を使います。
S=(1/2)・10√5・1/√5=5

よって平行四辺形は三角形2コ分より5×2で10 面積10
http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


8053.Re: ベクトルの内積と面積
名前:翼  高1    日付:6月14日(土) 16時22分
ありがとうございました。

8043.ミニ講座について  
名前:ふくちゃん    日付:6月13日(金) 23時44分
ミニ講座の「じゃんけんの確率」についてですが、

勝負がつく確率が、

誰が勝つか負けるかの組合せが、
一人一人について勝つか負けるかの2通りあって、
全員が勝つというのと全員が負けるというのを除いて
2^n−2通りで、

何で勝つかが、3通りあるので、

{3×(2^n−2)}/3^n

となるので、あいこの確率が、

1−(2^n−2)/{3^(n−1)}

の方が簡単だと思うのですがいかがでしょう?



8044.Re: ミニ講座について
名前:ヨッシー    日付:6月13日(金) 23時57分
ご意見ありがとうございます。

この記事は元々、質問が発端だったのですが、その時に、ふくちゃんさんと
同じような解き方を示された方もいます。
それはそれで、簡単ですし、載せても良いかなと思ったのですが、
あいこを1種類のあいこと3種類のあいこに分けた方が、後々の
応用が利くかなと言うことと、漸化式の方法を残しておきたかったので、
今のままにしてあります。
 
http://yosshy.sansu.org/

8036.最大値、最小値  
名前:もえこ    日付:6月13日(金) 21時7分
関数f(x,y)=x^2+2y^2-xの領域x^2+y^2≦1における最大値、最小値を求めよ。
領域が絡んでくるとよく分かりません。どなたかお願いします。
(高専生)



8037.刹那的に
名前:ころっさす    日付:6月13日(金) 22時8分
x^2+y^2≦1 ⇒
f(x,y)=2*y^2+(x-1/2)^2-1/4≧-1/4=f(1/2,0),
f(x,y)=2*y^2+x^2-x≦2*(1-x^2)+x^2-x=9/4-(x+1/2)^2≦9/4=f(-1/2,±√(3)/2).


8038.Re: 最大値、最小値
名前:xxx    日付:6月13日(金) 23時19分
ころっさすさんへ

同じ方法で、
「関数g(x,y)=-x^2-2y^2+xの領域x^2+y^2≦1における最大値、最小値を求めよ。」
はどうやりますか?


8082.Re: 最大値、最小値
名前:もえこ    日付:6月15日(日) 11時6分
>ころっさす さん、分かりました!教えてくださってありがとうございました。


8100.Re: 最大値、最小値
名前:xxx    日付:6月16日(月) 1時17分
ころっさすさんへ

誤答を訂正されないまま、質問者から感謝のコメントがついてしまっ
たので、書かせて頂きます。

領域を表す式を、目的関数に「代入し」、どうして目的関数の上限、
あるいは下限が評価できるのですか?


もえこさんへ

f(x,y)を全平面上で考えると、ある点で最小値を取り、その点から離れ
る全方向に対し、単調増加であるという事を、まず示します。
最小値は、考えるべき領域に「ある点」が含まれるため、その点での値、
最大値は、領域は、最小値を取る点を囲むような形になっていることと
上で説明したことから、領域の境界上にある事が解り、その境界上で、
最も大きい値をもつ場所を探すため、f(x,y)にy^2=1-x^2を代入し、...
という方針で求める事となります。


8154.Re: 最大値、最小値
名前:代理    日付:6月18日(水) 12時22分
g(x,y) = -(x-1/2)2-2y2+1/4 ≦ 1/4 = g(1/2,0)
g(x,y) ≧ -x2-2y2+x-2(1-x2-y2) = (x+1/2)2-9/4 ≧ -9/4 = g(-1/2,±√(3)/2)

8031.教えてください。  
名前:S(大学1)    日付:6月13日(金) 16時53分
1/2(1+x)の微分がわかりません。
簡単じゃないか、と言わずぜひ教えてください。お願いします。



8032.Re: 教えてください。
名前:田村 正和    日付:6月13日(金) 17時27分
h→0として極限で考えます。
1/h{1/2(1+x+h)−1/2(1+x)}
=(1/h)(h/2)
=1/2
もしや合成関数のところがわからないとか?


8034.タグが表示されないので
名前:中川 幸一    日付:6月13日(金) 17時50分
(d/dx) (1/2)(1+x)

ですか?
それとも

(d/dx) 1/{2(1+x)}

ですか?

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


8052.Re: 教えてください。
名前:S(大学1)    日付:6月14日(土) 13時46分
問題の書き方で誤解を生じてしまい。
申し訳ありませんでした。
お聞きしたいのは
(d/dx) 1/{2(1+x)}
です。
どうかもう一度お願いします。


8056.Re: 教えてください。
名前:ヨッシー    日付:6月14日(土) 19時2分
1/(x+1) の微分を考えます。
1/(x+1)=(x+1)-1 なので、
(xn)'=nxn-1 の公式に従い
{(x+1)-1}'=-(x+1)-2=-1/(x+1)2
です。
これに、係数の 1/2 をつけて -1/{2(x+1)2} となります。

※厳密には
 u=x+1 , y=1/u としたときの dy/dx を求める問題なので、
  dy/dx=(dy/du)(du/dx)
ですが、du/dx=1 なので、dy/du だけを考えました。
 
http://yosshy.sansu.org/

8025.教えてください。  
名前:ゆみ    日付:6月13日(金) 15時7分
「{1/n!}の無限級数を求めよ。」という問題なのですが、
まったくやりかたが分かりません。どうか教えてください。



8039.Re: 教えてください。
名前:xxx    日付:6月13日(金) 23時22分
{x^n/n!}の無限級数はご存じだともいます。


8074.Re: 教えてください。
名前:ゆみ    日付:6月15日(日) 0時51分
で、どうすればいいのですか?
誰か答えてくれませんか?


8084.Re: 教えてください。
名前:ast    日付:6月15日(日) 11時45分
他所で回答を得たニモカカワラズ, そんなことを言いますか.

8024.はじめまして、よろしくお願いします。  
名前:このみ(高1年)    日付:6月13日(金) 14時34分
(問題1)
任意の整数nについて、n^2−n は、2の倍数であることを示しなさい。

(解答)
因数分解してn^2−n=n(n−1) 
n、n−1は、2つの連続する整数だから、どちらか一方は必ず2の倍数になる。したがってn^2−nは2の倍数である。

任意の整数nの中に0も含まれますよね?nが0ならn、n−1は、0,−1になって、どちらか一方は必ず2の倍数にならないんじゃないでしょうか?nが1でも偶数になりません。う〜ん解りません。どのように考えればよろしいんでしょうか?説明よろしくお願いします。



8026.Re: はじめまして、よろしくお願いします。
名前:大学生    日付:6月13日(金) 15時12分
偶数とは0も含みます。
よってn=0,1のときも成り立ちます。


8027.Re: はじめまして、よろしくお願いします。
名前:このみ(高1年)    日付:6月13日(金) 15時21分
へぇ〜偶数にゼロも含まれるんですか〜(@_@)でも奇数には含まれませんよね?
大学生さん♪ありがとうございました。

8023.虫食算  
名前:えさえさ(小6)    日付:6月13日(金) 13時15分
先生がこんなの出して、ご満悦でむかつきます。
おにいさん、おねえさん方、解けますか?
     □□9□□□
   × □□□□9□
――――――――――――
     □9□□□□
   □□□□□9□
   □□9□□□
  9□□□□9
□□□□9□□
□9□□□□
―――――――――――
□□□□□□□□9□□



8030.Re: 虫食算
名前:ヨッシー    日付:6月13日(金) 16時51分
答えは、
139777×597395
ですね。途中経過はそのうち。
 
http://yosshy.sansu.org/


8047.Re: 虫食算
名前:ヨッシー    日付:6月14日(土) 7時33分
私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
 
http://yosshy.sansu.org/


8114.Re: 虫食算
名前:えさえさ(小6)    日付:6月16日(月) 11時46分
すご〜い。すごいです。
ありがとうございました。
これで先生の鼻をあかせそうです。

8022.集合論  
名前:大学生    日付:6月13日(金) 12時35分
Aを要素数が有限の集合とする。
f:A→Aがどのように与えられてもうまくm、nを選べば
f^n=f^mとできることを証明せよという問題がわかりません。
どなたかわかる人よろしくお願いします。



8028.Re: 集合論
名前:locally univalent    日付:6月13日(金) 15時48分
逆に質問しますが、m,nはいったい何をあらわしていますか。
それと記号f^nの意味もよくわかりません。
これは濃度のベキという意味ですか?


8029.Re: 集合論
名前:通りすがり    日付:6月13日(金) 16時47分
f^n
はfのn乗という意味なのでは?
確かパソコンで表記する際の基本的な表し方だった気が、
あとmnは任意の値だと思うのですが、
違うかもしれませんね。失礼しました。


8046.Re: 集合論
名前:ast    日付:6月14日(土) 6時46分
>通りすがりさん
>はfのn乗という意味なのでは?
関数の n 乗とは, どう云う意味ですか?
>mnは任意の値
値とは, 何処の値ですか?

ということで, スレ主さんにも同じ疑問をぶつけて
みたいと思います.

ちなみに, どう解釈しても, この問題文が正しいとするならば,
m=n とすれば自明でしょう. としか言えないとは思いますが.

8015.助けてください3  
名前:kenji    日付:6月12日(木) 22時22分
@x+y/3=y+z/6=z+x/7≠0のときx3+y+3z3/(x-y)(y-z)(z-x)の値をもとめよ。
Ax+y+z=1/x+1/y+1/z=1の時x、y、zのうち、少なくとも1つは1に等しいことを示せ。
ぜんぜんわからないので、途中式などをつけてやり方を教えてください。おねがいします。



8017.(2)
名前:K.N.G.    日付:6月12日(木) 23時13分
(2)
【方針】
「x,y,zのうち少なくとも1つは1に等しい」を数式で表すと
  (x-1)(y-1)(z-1)=0 …(*)
となります.
従って,「x,y,zのうち少なくとも1つは1に等しい」ことを示すには
与えられた条件
  x+y+z=1/x+1/y+1/z=1
を変形して,(*)となることを示せばいいわけです.

【解答例】
  x+y+z=1/x+1/y+1/z=1
より
  x+y+z=1 …(*1)
  1/x+1/y+1/z=1 …(*2)
(*1)より
  1-(x+y+z)=0 …(**1)
(*2)の両辺に xyz を掛けると
  yz+zx+xy=xyz
 ⇔xyz-(xy+yz+zx)=0 …(**2)
(**1),(**2)より
  xyz-(xy+yz+zx)=1-(x+y+z)
 ⇔xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1=0
 ⇔(x-1)(y-1)(z-1)=0
故に,x,y,zのうち少なくとも1つは1に等しい.■


8018.Re: 助けてください3
名前:ヨッシー    日付:6月13日(金) 0時26分
(x+y)/3=(y+z)/6=(z+x)/7=k とおくと、
 x+y=3k…(1), y+z=6k…(2), z+x=7k…(3)
3つの式の左辺どうし、右辺どうし足すと、
 2(x+y+z)=16k
 x+y+z=8k…(4)
(4)−(1), (4)−(2), (4)−(3) より、
 z=5k, x=2k, y=k
これを、 (x3+y3+z3)/(x-y)(y-z)(z-x) に代入します。
答えは -67/6
 
http://yosshy.sansu.org/


8035.Re: 助けてください3
名前:kenji    日付:6月13日(金) 19時12分
ありがとうございました。ほんと助かりました。お礼遅れてごめんなさい。

8009.物理の質問なんですが・・・。  
名前:田村 正和    日付:6月12日(木) 18時31分
すいません物理の掲示板でいい掲示板が見つからなかったもので。
速度の2乗に比例する力を受けながら落下する物体の運動方程式の解を求めてください。
大学1年です。



8013.Re: 物理の質問なんですが・・・。
名前:T兄弟    日付:6月12日(木) 21時46分
物理数学の本を読んでみてはいかが?いろいろ出てます。
大学の本は買うときりがないので図書館を利用し、
気に入ったら買うのがいいと思います。

この問題の解き方は
力学I(裳華房)原島鮮
P43
にでてます。


8016.Re: 物理の質問なんですが・・・。
名前:田村 正和    日付:6月12日(木) 22時23分
ありがとうごあざいます。
一応物理の本は大学レベルのはSEGの吉田著の要説物理学しか持ってません。
明日御茶ノ水いって見てきます。


8020.Re: 物理の質問なんですが・・・。
名前:花パジャ    日付:6月13日(金) 1時2分
ここでは、運動方程式
(この場合、x"=-g+k(x')^2かな?)
を示して、この微分方程式の解き方は?と訊くのがいいかと


8041.Re: 物理の質問なんですが・・・。
名前:hippo    日付:6月13日(金) 23時37分
この問題はどちらが要求されているのでしょうか。
m(d2x/dt2)=mg-k(dx/dt)2
m(dv/dt)=-kv2
http://www5d.biglobe.ne.jp/~tokkii/

8008.助けてください2  
名前:kenji    日付:6月12日(木) 18時9分
a+b+c=5,ab+bc+ca=3,abc=-3のときa4+b4+c4の値を簡単に出すやり方教えてください。



8010.Re: 助けてください2
名前:ast    日付:6月12日(木) 19時28分
ひとまず (a+b+c)^2 を計算しておいて, (a+b+c)^4 を計算してみれば(以下略.


8011.Re: 助けてください2
名前:ヨッシー    日付:6月12日(木) 19時40分
つけたし...
(a+b+c)2 を計算することによって、a2+b2+c2 を求める。
(a2+b2+c2)2 を計算することによって、
a4+b4+c4 を求めようとするのだが、
a2b2+b2c2+c2a2 が必要になる。
(ab+bc+ca)2 を計算することによって、a2b2+b2c2+c2a2 を求める。
 
http://yosshy.sansu.org/


8012.Re: 助けてください2
名前:高3    日付:6月12日(木) 20時26分
a, b, c は f(x)=x3-5x2+3x+3=0 の3解であり、
a4, b4, c4 は f(x1/4)=0 の3解です。


8014.Re: 助けてください2
名前:kenji    日付:6月12日(木) 21時51分
できました。ありがとうございます。また近い内に来ると思いますがその時もよろしくお願いします。

8004.助けてください。  
名前:kenji    日付:6月12日(木) 16時1分
x2+x=1のときx5+5xの値を求めてください。



8005.Re: 助けてください。
名前:kenji    日付:6月12日(木) 16時3分
5-5xの値でした。


8006.Re: 助けてください。
名前:ast    日付:6月12日(木) 16時36分
x^5-5x を x^2+x-1 で割った式を考えて, その式の, x^2+x=1 を
満たす x での値 を調べてみてください.

若しくは, x^2=1-x ですから, コレを使って, x^5-5x を変形しましょう.


8007.Re: 助けてください。
名前:kenji    日付:6月12日(木) 17時30分
ありがとうございました。なんとか解けました。

7997.内積  
名前:くりいむ    日付:6月12日(木) 10時27分
はじめまして。
非直交座標でも内積は定義できるのですか。
その場合内積<a,b>は|a|*|b|cosθで定義すると、
ベクトルaとbの成分同士の積の和は<a,b>と一般的に
異なってきますが、それで良いのですか?
(例えば、二次元空間で基底が45°で交わっている
として、a=(1,0),b=(0,1)とすると成分同士の積の和は
1*0+0*1=0ですが|a|*|b|cosθでは
1*1*cos45°=1/2^(1/2)となりますよね)



8003.Re: 内積
名前:ast    日付:6月12日(木) 12時52分
成分表示を, 元の直交基底を使うのではなくて, 今考えている
斜交基底に関する成分表示に書き換えれば, ご心配されている
ような差異は現れないはずです.


8042.Re: 内積
名前:くりいむ    日付:6月13日(金) 23時43分
普通の直交基底(2次元のxy座標のグラフ)を
Y軸を負の向きに45°回転させると、
変換前の直交基底で表すと(1/2^(1/2),1/2^(1/2))
だった点が変換後の直交基底で、(0,1)になりますよね。
このベクトルb(0,1)と、(1,0)というベクトルa
(最初の直交座標での(1,0)と変わらない位置)の内積を
もとめると、成分同士の積の和は0*1+1*0=0になるのですが、
|a*b|cosθでやると1*1*1/2^(1/2)=1/√2になると
考えたのですが、これは間違えているのですか?
この場合についてのaとbの内積の二通りの正しい出し方を
おしえてください、お願いします。


8048.Re: 内積
名前:ast    日付:6月14日(土) 9時3分
座標変換と基底変換が逆ではありませんか?

#もしかして、私が逆に言ってるのかも・・・;


8049.Re: 内積
名前:ast    日付:6月14日(土) 9時29分
と, なんかボケたことを書いてしまっているようなので, 方針変更します.

a=a_1e_1+a_2e_2, b=b_1e_1+b_2e_2

で, e_1, e_2 が必ずしも直交しない長さ 1 の基底としましょう.
すると, <e_1,e_2>≠0 です.

このときの, a, b の内積 <a,b> とは,

  a_1*b_1*<e_1,e_1>+a_1*b_2*<e_1,e_2>+a_2*b_1*<e_2,e_1>+a_2*b_2*<e_2,e_2>
  =a_1*b_1+a_2*b_2+a_1*b_2*<e_1,e_2>+a_2*b_1*<e_2,e_1

で与えられます.
成分の積の和になるのは, 基底が直交しているからです.

#考えているのは実二次元でしょうから, 上の内積 <a,b> は更に
# a_1*b_1+a_1*b_2+(a_1*b_2+a_2*b_1)*<e_1,e_2>
#に等しいです.


8059.Re: 内積
名前:くりいむ    日付:6月14日(土) 19時59分
計算式の出し方は分かりました。
ありがとうございました。

7994.幾何  
名前:野比    日付:6月12日(木) 1時23分
平行四辺形ABCDがある。(対角線はAC,BDで交点はOとする)線分BC上の任意の点E(B、C以外)とし、AEとBDの交点をFとする。また、OEとCFの交点をGとする。最後にBGの延長線上のCDとの交点をHとすると、DH=HCとなる。証明してくれませんか?(図解だったらもっとうれしい)



7998.Re: 幾何
名前:高橋 道広    日付:6月12日(木) 11時32分
Original Size: 417 x 194, 3KB Original Size: 427 x 216, 3KB Original Size: 440 x 220, 4KB

う〜む 2、3回メネラウスの定理を使うとできますね。
もし理解できないときはベクトル または平行線の補助線を
引くとできます。

一番簡単そうなメネラウスで解答を書きますね。
初めて図をUPするのでうまく書けるかなあ
DE:EC=1:mとします。三角形BEFと三角形DAFが相似なので
BF:FD=BE:DA=1:(1+m) BO:OD=1:1から BF:FO=1:m/2=2:m
(図1)
三角形OBEに直線CFが交わっていると考えてメネラウスの定理から
FG:GC=1:(m+2)  (図2)
三角形CDFに直線BHが交わっていると考えてメネラウスの定理から
CH:HD=1:1 (図3)

図をはじめて書いたので うまくUPできるか どきどきです(*^_^*)
http://micci.sansu.org



7999.Re: 幾何
名前:高橋 道広    日付:6月12日(木) 11時35分
どなたか 図がきれいにUPされないのはなぜか教えていただけますか。
クリックするときれいな図を見れることは見れますが。
もとの図が大きくて 自動的に縮小されてる正ですかね??
あと説明 図 説明 図 のようにUPする方法も教えていただくと
ありがたいです。
http://micci.sansu.org


8000.Re: 幾何
名前:ヨッシー    日付:6月12日(木) 12時41分
>もとの図が大きくて 自動的に縮小されてるせいですかね??
そのせいです。
「添付」で送られた画像(に限らず諸々のファイル)は、すべて、記事の
上に来ます。
文章の間にはさみたいときは、
「ご自分のページに画像を作成して<IMG>タグで貼り付ける」
が、確実ですが、せっかく上の記事があるので、そのファイルを利用して
<IMG>タグで貼る方法もあります。この画像ファイルは、この記事がある限り残るので、
画像を貼った記事の直後に返信で書けば、良いでしょう。
次に例を書きます。(解答は高橋さんのそのまま転用)
 
http://yosshy.sansu.org/


8002.Re: 幾何
名前:ヨッシー    日付:6月12日(木) 12時46分
解答の書き直しの例です。

BE:EC=1:mとします。三角形BEFと三角形DAFが相似なので
BF:FD=BE:DA=1:(1+m) BO:OD=1:1から BF:FO=1:m/2=2:m

三角形OBEに直線CFが交わっていると考えてメネラウスの定理から
FG:GC=1:(m+2)

三角形CDFに直線BHが交わっていると考えてメネラウスの定理から
CH:HD=1:1

 
http://yosshy.sansu.org/


8021.Re: 幾何
名前:高橋 道広    日付:6月13日(金) 8時33分
図の掲載の仕方について 早速丁寧なレスをありがとうございます。
これから解答できるものがあったらそのときにやってみたいと
思います。
図が大きいとちょっと迷惑ですね。もう少し小さい図を添付しべきだ
ということも学習しました φ(..)メモメモ
http://micci.sansu.org

7987.ヨッシーさんへの賞賛とご紹介  
名前:田中    日付:6月11日(水) 17時36分
ヨッシーさんの動く図形は、いつ見てもすごいです。感動します。
でも、これはできるでしょうか。摩擦も空気もないところでの振り子の運動のようす。・・・・昔 私もBASICで作りましたが、数値が丸め込まれてだんだん振幅がずれていくのです。また、完全に跳ね返るスーパーボール。これも同じになってしまいました。いつか 暇があったら見せてください。



7989.Re: ヨッシーさんへの賞賛とご紹介
名前:ヨッシー    日付:6月11日(水) 19時12分

完全に跳ね返るスーパーボールで出来た振り子(^^;

私のは都度計算しているわけではないので、永久に繰り返します。
その代わり、速度が、ブラウザの影響を受けます。
 
http://yosshy.sansu.org/


7990.おそれいれました。
名前:田中    日付:6月11日(水) 20時51分
ぷっ・・ すごいです。・・でも うーん ちゃんと最下点の方で速くなっている・・・本物みたいだ。逐次計算ではなくやっているのもすごいですね。でも、ブラウザが遅くなるなら、はずしてください。私は保存してしまいましたけど。(笑)ありがとうございました。


7991.Re: ヨッシーさんへの賞賛とご紹介
名前:ヨッシー    日付:6月11日(水) 21時52分
そんなにウケていただくとうれしいです。

ブラウザが遅くなるのではなく、ブラウザによって、つまり
ネットスケープと、インターネットエクスプローラとでは
微妙に速度が違うということです。

本当は、もっと分割を多くして、なめらかに動かしたかったんですが、
1コマの間隔が、これより速くならない(ブラウザもある)ので。
 
http://yosshy.sansu.org/

7978.ラグランジュアン  
名前:まい    日付:6月10日(火) 23時5分
質量mの質点の放物運動のラグランジュアンを求め、その運動方程式をたてよ。という問題なんですが、放物運動ですからやっぱり重力加速度を考えないといけませんか?私は水平方向にx、y鉛直方向にz軸をとって
x=rsinαcosβ
y=rsinαsinβ
z=rcosα
として求めようとしたんですがこれだと放物運動ではないかな?
と思ったのです。



7984.Re: ラグランジュアン
名前:花パジャ    日付:6月11日(水) 10時29分
T=(1/2)mv^2
v^2=x'^2+y'^2+z'^2
x'=dx/dt, y'=dy/dt, z'=dz/dt
U=mgz
L=T-U
d/dt(∂L/∂q')-∂L/∂q (ここで、q=x,y,z)
といった話とは違うのです?
球座標での運動方程式を立てよ、という話ですか?


7992.Re: ラグランジュアン
名前:まい    日付:6月11日(水) 22時53分
そうです。
私は放物運動だからzを表す式が質点を鉛直に投げたように時間とともに減少
していかないといけないのかと思ったんです。


8019.Re: ラグランジュアン
名前:花パジャ    日付:6月13日(金) 0時59分
>そうです。
何に対して肯定しているのかが不明ですね
解決した、と受け取っていいのだろうか?

7977.線形代数  
名前:jun    日付:6月10日(火) 22時54分
Aを全ての成分が整数である正方行列とする。
 「Aが正則行列であり、しかもAの逆行列の全ての成分が整数であるための必要十分条件は、Aの行列式が±1であること」
を示せ

余因子展開で試したんですけどうまくいきません。どうしたらいいんでしょう??
(掃き出し法による求め方はまだやってないのでそれを使わないで解くやり方を教えてください)



7979.Re: 線形代数
名前:ast    日付:6月11日(水) 0時51分
行列式の性質と, 仮定から明らかですが.
# A*A^{-1} = E (E:単位行列)


7981.Re: 線形代数
名前:jun    日付:6月11日(水) 7時24分
必要性はわかっているのですが、十分性がわかりません。


7985.Re: 線形代数
名前:ast@学校    日付:6月11日(水) 16時38分
これは失礼しました.

吐き出し法でなく逆行列を求める, ということですから
おそらく余因子を用いた表示はご存知でしょう.
ならば, 逆行列を余因子行列を使って実際に書けば, 各成分は
(余因子)/(行列式)の形ですからこちらも自明でしょう.


7986.Re: 線形代数
名前:ast@学校    日付:6月11日(水) 16時39分
誤字が・・・;
吐き出し法 ではなくて 掃き出し法 でした.


7993.Re: 線形代数
名前:jun    日付:6月11日(水) 23時23分
解けました。ありがとうございます。

7970.球の表面積  
名前:ああああ    日付:6月10日(火) 19時56分
球の表面積の値はその球の体積の、半径についての
微分係数になっていますが、これはただの偶然ですか?
また球の表面積はどうやって求めるのですか?
(もちろん4πr^2になることは知っています)
おしえてください、おねがいします。



7976.Re: 球の表面積
名前:ヨッシー    日付:6月10日(火) 22時41分
偶然ではありません。
球をほんの少しふくらませたとき、その変化量は、
 表面積×極薄の薄皮
ですから。

球の表面積は、こちらをどうぞ。
http://yosshy.sansu.org/


7980.Re: 球の表面積
名前:田中    日付:6月11日(水) 6時51分
これ、むかし 数学セミナーの「エレガントな解答を求む」の問題でした。この考えで、円周は、2*パイ*r ということから 円の面積を導くこともできますよ。 drを微少な間隔として置いて、積分するのです。・・・はじめてやると 感動します。


7995.Re: 球の表面積
名前:ああああ    日付:6月12日(木) 10時2分
すいません、球の表面積の記述はどこですか?
GIFアニメのコーナーですか?
覚え書き?、ミニ講座?
なんという題名ですか?
探しきれませんでした。
タイトルを教えて下さい、おねがいします。


7996.Re: 球の表面積
名前:ああああ    日付:6月12日(木) 10時4分
ごめんなさい、
クリックする場所を間違えていました。
ありがとうございました。

7969.写像  
名前:高3    日付:6月10日(火) 19時42分
平面上のすべての点の集合を S として、1対1写像 f : S→S が任意の円を円に写すとき、
f は任意の直線を直線に写すことを示せ。
という問題なんですが、どう考えたらよいでしょうか?



7972.Re: 写像
名前:おおさわ    日付:6月10日(火) 20時21分
こんにちは。

任意の円は、1次変換で円に写せることを考えれば明らかだと思われますが。

http://simfan.cn1.jp/mathmarks/


7973.Re: 写像
名前:しんちー    日付:6月10日(火) 20時23分
「1次変換の利用」が最近の高校生には難しいですよね。


7974.Re: 写像
名前:高3    日付:6月10日(火) 20時48分
任意の円を円に写す f : S→S は、一次変換に限るのでしょうか?


7983.Re: 写像
名前:我疑う故に存在する我    日付:6月11日(水) 9時43分
(元の質問をそのまま解釈すれば)おおさわさんの証明は完全な間違い(或いは勘違い)です。(と言うより意味不明)

7968.面積の最大値  
名前:翼  高1    日付:6月10日(火) 18時18分
放物線C:y=x^と直線L:y=ax+a+1(a>0)の交点をA(α,α^),B(β,β^)とする。また、点P(t,t^)は放物線C上を動くものとする。ただし、α<t<βとする。
(1)点Aの座標を求めよ。
(2)直線x=tと直線Lとの交点をQとする。このとき、三角形APQの面積が最大となるようなtの値と、そのときの面積を求めよ。

答え(1)A(−1,1) (2)t=2a+1/3  最大値2/27(a+2)^3

解き方が分かりません。教えて下さい。



7982.Re: 面積の最大値
名前:ヨッシー    日付:6月11日(水) 9時40分
(1) 直線Lの式は、y=a(x+1)+1 なので、点(−1,1)を通り、
傾きaの直線です。a>0 より、もう一方の交点は必ずx>1の範囲にあるので、
点(−1,1)はAということになります。

というのは、いかにも解答を知ってから書いたような解答ですが、
普通にやれば、CとLを連立させて
 x2−ax−a−1=0
 (x+1)(x−a−1)=0
より、x=−1,a+1
−1<a+1 より、α=−1、β=a+1
点Aは(−1,1)


(2)P(t、t2)、Q(t、ta+a+1)より、
 PQ=ta+a+1−t2=−(t+1)(t−a−1)
PQを底辺としたときの高さは t+1
よって、三角形APQの面積S(t)は、
 S(t)=−(t+1)2(t−a−1)/2
微分して
 S'(t)={−2(t+1)(t−a−1)−(t+1)2}/2
   =−(t+1)(3t−2a−1)/2
よって、S'(t)=0 となるのは、t=−1(極小)、t=(2a+1)/3(極大)
 (2a+1)/3<a+1 より、
 t=(2a+1)/3 はα<t<β の範囲にある。
t=(2a+1)/3 で最大となり、面積は、
 S((2a+1)/3)={2(a+2)/3}2{(a+2)/3}/2
  =2{(a+2)/3}3=2(a+2)3/27
 
微分なしで解けるでしょうか?
 
http://yosshy.sansu.org/

7966.お願い  
名前:匿名    日付:6月10日(火) 13時31分
はじめまして。
わたしは留学関係のホームページを作っているのですが、「ヨッシーの算数・数学の部屋」のリンクを貼る許可をいただくために投稿させていただいております。メールアドレスが見つからず他に方法が見つからなかったので、こちらに書き込ませていただきました。許可を下さるようお願い申し上げます。



7967.Re: お願い
名前:ヨッシー    日付:6月10日(火) 15時39分
リンクの件、OKです。

メールは事情があって掲載していません。
掲示板があるので、まぁ、いいかなと(今回のように)

また、あなたのページアドレスも知らせて下さいね。
 
http://yosshy.sansu.org/

7953.極限  
名前:Swindler    日付:6月9日(月) 23時9分
またまたすいません。よろしくお願いします。
lim{(a^x-1)×1/x}
x→0
先ほど用いたeの式と、その前の形(1+1/x)^x(x→∞)→e
、そして質問して解いたあの式だけしか、いきなり使えるものは
ありません。
よろしくお願いします。



7954.ヒント
名前:中川 幸一    日付:6月9日(月) 23時37分
f(x)=ax とおくと,
lim[x→0]_[{f(x)-f(0)}/(x-0)]
となります。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


7955.Re: 極限
名前:Swindler    日付:6月9日(月) 23時53分
答えはlog(e)(a)なんですけど、
教えていただいたとおり計算しても、どうしても答えに行き着きません。どうしたらいいんでしょうか?


7956.Re: 極限
名前:中川 幸一    日付:6月9日(月) 23時57分
[{f(x)-f(0)}/(x-0)]=f '(c)
(0<c<x)
となるのは分かりますか?
これが分かれば,

lim[x→0]_[{f(x)-f(0)}/(x-0)]=lim[c→0]_f '(c)

以下略


となっていくのですが…。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


7957.Re: 極限
名前:Swindler    日付:6月10日(火) 0時9分
lim[c→0]_[ca^c-1]ですよね?
f'(x)=xa^x-1ですから。

どこからlogがでてくるんですか。


7959.Re: 極限
名前:しんちー    日付:6月10日(火) 0時25分
> f'(x)=xa^x-1

ここが違います。x^a を x で微分すると ax^(a-1) ですが、
この場合指数が x なので指数関数の微分です。


7962.Re: 極限
名前:ast    日付:6月10日(火) 6時5分
疑問に思ったならば, 原点回帰.
f(x)=a^x を定義に従って微分しましょう.

  f'(x) = lim_[h -> 0] {a^(x+h) - a^x}/h
  = lim_[h -> 0] a^x * {a^h - 1}/h

ですよ. ここで, a^x = e^{x*log_[e](a)} を使って, (ごにょごにょ


7965.にも程がある
名前:ころっさす    日付:6月10日(火) 13時19分
a^x-1=y とおくと x→0 ⇔ y→0 及び x=log_{a}(1+y) から
(a^x-1)/x=y/log_{a}(1+y)→log_{e}(a).


7975.Re: 極限
名前:Swindler    日付:6月10日(火) 21時31分
中川幸一さん、しんちーさん、astさん、ころっさすさん
ありがとうございました。一応解けました。
様々な解き方を教えていただいてありがとうございました。
全ての場合で答えを導き出すことが出来ました。
できの悪い生徒ですいませんでした。
またよろしくお願いします。

7952.ベクトル  
名前:ボード    日付:6月9日(月) 22時27分
こんにちは、初めて投票しますよろしくお願いします
3次元空間に、ベクトルA、ベクトルBがあります
2つのベクトルは、原点から伸びているものとします

ベクトルBはベクトルAに対して
X軸、Y軸、Z軸に、何度動いているかを求める式が知りたいのですが
よろしくお願いします



7958.Re: ベクトル
名前:ヨッシー    日付:6月10日(火) 0時22分
たとえば、(1,0,0)を
z軸周りに90°→(0,1,0)
x軸周りに90°→(0,0,1)
と、
y軸周りに−90°→(0,0,1)
は結果は同じです。

ですから、最初はx軸周り、次にy軸で最後にz軸、のように順番を決めないと、
一意に決まりません。
順番が決まったなら、たとえば、x軸周りなら、yz平面への射影(A’,B’)を考えて、
yz平面上での回転(A’をB’に重ねる)を考えれば、それがx軸周りの回転となります。
回転させた後に、zx平面で考え、さらに回転させた後に(この時点で両者xy平面上に
あるはず)xy平面上での回転を考えます。
 
http://yosshy.sansu.org/


7960.Re: ベクトル
名前:ボード    日付:6月10日(火) 2時44分
回答有難うございました、それぞれの面に射影するのは考えていたんですが
やはりそれしか方法はないのでしょうか?
それと質問ですが
(1,0,0)を
z軸周りに90°→(0,1,0)はわかります
以下の2つが良くわからないのですが・・・
x軸周りに90°→(0,0,1)これって(1.0.0)
y軸周りに−90°→(0,0,1)これって(0.0.−1)
になるような・・
すみません勉強不足で、教えていただけますでしょうか?


7963.Re: ベクトル
名前:ヨッシー    日付:6月10日(火) 10時57分
z軸まわりに90°回転して、さらにx軸まわりに90°という意味です。
y軸まわりといった場合、右ネジの方向を回転の方向とします。
つまり、z軸を90°回してx軸に重ねる角度が+90°です。
 
http://yosshy.sansu.org/


7964.Re: ベクトル
名前:ころっさす    日付:6月10日(火) 12時55分
A を x 軸周りに xy 平面まで回転したもの=A'
B を y 軸周りに xy 平面まで回転したもの=B'
として A → A' → B' → B で充分でしょう.

7946.体積  
名前:sakura    日付:6月9日(月) 1時32分
底面の半径1、高さ1である直円柱がある。この底面の直径を含み、
底面と45度をなす平面で直円柱を2分する時、小さい方の体積を求めなさい
という問題なんです。形はわかるんですが求め方が分からないのです。
教えてください。



7948.Re: 体積
名前:たかし@高3    日付:6月9日(月) 7時38分
底面の直径をx軸、
底面(円)の中心を原点とし、
x軸に直交するy軸も底面上にとる。
x=tでの底面に垂直にきったものは
底辺√(1-t^2)、高さも√(1-t^2)の
直角2等辺三角形だから,
その面積は,√(1-t^2)^2/2
よって、
 2∫[0 to 1] (1-x^2)/2dx
を計算すればよいと思いますよ。


7951.Re: 体積
名前:ヨッシー    日付:6月9日(月) 12時47分

一応、図を載せておきます。
 
http://yosshy.sansu.org/

7943.不等式です  
名前:にゃすお    日付:6月8日(日) 23時37分
x^2-(m-3)x+m^2+2m+1<0が解を持たないような実数mの値の範囲を求めなさい。
高校二年生ですが、判別式を使っていっぺんに出しちゃってもよろしいのでしょうか?



7944.Re: 不等式です
名前:ast    日付:6月8日(日) 23時39分
なにか判別式に疑問点でもおありですか?

7940.対数の極限  
名前:Swindler    日付:6月8日(日) 21時31分
はじめまして。Swindlerといいます。
趣味で数学を勉強している文系の大学生です。
理系に進んで、数学を勉強している友人と張り合っているのですが、
以下の問題が、どーしても分かりません。よろしくお願いします。
lim [{log(a)(1+x)}×1/x]
x→0
logのあとの一個目のかっこが底、二個目が真数とします。
1/xを分子と同じように対数の形にしてみたんですが、
訳が分からなくなりました。
是非、お教えください。



7941.Re: 対数の極限
名前:ヨッシー    日付:6月8日(日) 21時54分
limx→0(1+x)1/x=e
というのは無条件に使って良いのでしょうか?
 
http://yosshy.sansu.org/


7942.Re: 対数の極限
名前:Swindler    日付:6月8日(日) 22時49分
ネイピアの数のeですよね?
OKです。
最近勉強したばかりですから。


7945.Re: 対数の極限
名前:ヨッシー    日付:6月9日(月) 0時32分
なら、解けたも同然。
 {loga(1+x)}/x = loga(1+x)1/x
ですから、eを使って・・・
 
http://yosshy.sansu.org/


7947.Re: 対数の極限
名前:Swindler    日付:6月9日(月) 7時7分
そのままlog(a)(e)でいいんでしょうか?


7949.Re: 対数の極限
名前:ヨッシー    日付:6月9日(月) 9時46分
表現方法の違い(好み?)を除けば、logae で良いです。

表現方法というのは、多くの場合、eを底にして
1/loga (logは自然対数=底はe=底を省略)
と書くことが多いということです。
 
http://yosshy.sansu.org/


7950.Re: 対数の極限
名前:Swindler    日付:6月9日(月) 11時55分
ああ、そうなんですか〜。
これで模範解答と一致しました。
ややこしく考えすぎていました。
どうもありがとうございました。
理系の友人を打ち負かすため、日々精進します。
また行き詰ったら、ご指導よろしくお願いします。

7936.微分積分  
名前:やす    日付:6月8日(日) 16時12分
y=log(sin(x^2))の微分と
y=x*sin(x^2)の積分なんですが
上は単純に2xcos(x^2)/sin(x^2)でいいんですか?
下はよくわからないのです。



7937.Re: 微分積分
名前:通りすがりですが    日付:6月8日(日) 18時14分
合成関数の積分(?)だったかと思います。
合成関数の微分、{f(x2)}'=2xf'(x2)はご存じのようですので(だから上のはあってると思います)
↑の式の両辺を2で割って、f'(x2)=sin(x2)と考えれば左辺の{ }'の中身が答えです。
∫g'(x)f'(g(x))dx=f(g(x))+C(積分定数) が基本の式かと。


7939.Re: 微分積分
名前:通りすがりですが改め普段はROMさん    日付:6月8日(日) 18時36分
例えば
∫xcos(x2)dx
=(1/2)×∫(x2)'cos(x2)dx
=sin(x2)×(1/2)+C(積分定数)
です。不安だったら微分して元の式になるかを確認すれば確実かと。

7934.関数のグラフ  
名前:斎藤    日付:6月8日(日) 12時32分
y={x*(x^2−1)}^1/3
のグラフを描けという問題です。
微分すると極値が±1/√3になって変曲点なしに
なったのですがy'式の分母が0にならないように
するにはx≠0、±1ですがそれだとグラフが書けないのです。
x≠0、±1のときにもyはちゃんと出るし・・・。
どんなグラフになるのか教えてください。



7935.Re: 関数のグラフ
名前:たかし@高3    日付:6月8日(日) 15時56分
グラフは、
x*(x^2−1)≧0がxの範囲ですよね。
つまり、-1≦x≦0 と 1≦xの範囲。
この範囲で増減表を書いてみては。
グラフのイメージは、y=x*(x^2−1)
の-1≦x≦0 と 1≦xの部分のイメージと
おなじようなグラフになるかと思います。

7930.変換  
名前:のぶお    日付:6月7日(土) 13時10分
F(1,1)=(1,3)、F(-1,1)=(3,1)をみたす
平面状の線形変換Fを表す行列を求めよ。



7931.Re: 変換
名前:田村 正和    日付:6月7日(土) 13時22分
|1 、−1||x、z|=|1、3|
|1、  1||y、w| |3、1|
をといて
x=2、y=1、z=2、w=−1


7932.Re: 変換
名前:ヨッシー    日付:6月7日(土) 14時26分
求める行列をAとすると、

と書けます。両辺右から
(1 −1)
(1  1)
の逆行列を掛けて、
(−1 2)
( 1 2)
です。
 

http://yosshy.sansu.org/


7933.すいません
名前:田村 正和    日付:6月7日(土) 15時9分
私がまちがっていました
右からかけるのか左からかけるのかを間違えていました。
ヨッシーさんのが正しいです。

7926.√の計算方法  
名前:FP見習    日付:6月7日(土) 1時9分
(4√100/94 - 1)×100 の解き方を教えて下さい。
   100/94は√の中に入ります.



7929.Re: √の計算方法
名前:Bob    日付:6月7日(土) 12時15分

(4・√100÷√94−1)・100=100・{(40/√94)−1}
                  =4000/√94 −100
                  有理化して
                  =4000√94/94 −100
                  =2000√94/47 −100
http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

7924.(untitled)  
名前:たかし@高3    日付:6月7日(土) 0時48分
素朴な質問です。
微分方程式のところでいう「同次」ってなんでしょうか。
(1)「同次形」※y/x=uにして解く方法
 これは、xyの項が同じ次数になっている
 から同次形というのはわかるのですが。
(2)2階線形微分方程式のところの線形同次方程式の
 「同次」ってなんでしょうか。何が「おなじ」なのかなー。



7927.サイトの紹介。
名前:中川 幸一    日付:6月7日(土) 1時18分
下記サイトを参考にしてください。

数学講座


http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


7928.Re: (untitled)
名前:たかし@高3    日付:6月7日(土) 1時31分
中川 幸一 さん、ありがとうございます。

7922.不等式の証明。  
名前:うっしー    日付:6月6日(金) 19時1分
χ≧0のとき、
{(1+χ1/2)/2}≧{(1+χ1/3)/2}
を証明せよ。

という問題です。
χ=aとおいて計算するのかなと思って
いろいろやってみましたが、行き詰まってしまいました。
どなたかご教授下さい。



7923.何か久しぶり
名前:astro4    日付:6月6日(金) 19時47分
仰る通りにx=a6とおくと、
(左辺)-(右辺)=......=(a-1)2(a4+2a3+2a+1)/8≧0
x=1で等号が成立することに注目すれば(a-1)2で括れることを発想できるのではないか、と思います。

本題と関係ないですが、x(エックス)をギリシャ文字のχ(カイ)で代用するのは余り格好良くないと思います。。


7925.Re: 不等式の証明。
名前:うっしー    日付:6月7日(土) 1時4分
なるほど・・・ありがとうございました!

7918.高2です。答えが合わないんです。  
名前:kenji    日付:6月5日(木) 23時52分
@xの整式f(x)をx−2で割れば8あまり、x+3で割ればー7余る。f(x)を(x−2)(x+3)で割った時のあまりを求めよ。
A周の長さが30cmで、直角を挟む2辺の長さの差が7cmであるような、直角三角形の3辺の長さを求めよ。なんですけどお願いします。できれば途中式もお願いします。



7919.Re: 高2です。答えが合わないんです。
名前:ヨッシー    日付:6月5日(木) 23時56分
私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
 
http://yosshy.sansu.org/


7920.Re: 高2です。答えが合わないんです。
名前:kenji    日付:6月6日(金) 7時25分
ありがとうございます。助かりました。

7910.素朴な疑問  
名前:数太    日付:6月5日(木) 22時3分
100人でいっしょにじゃんけんして、決着する(あいこにならない)確率はいくらですか?計算式もお願いします。



7913.Re: 素朴な疑問
名前:ヨッシー    日付:6月5日(木) 22時29分
私のページの「ミニ講座」に「じゃんけんの確率」があります。
その中のBnが勝負のつく確率です。
 
http://yosshy.sansu.org/


7915.Re: 素朴な疑問
名前:A__SLEEPING__BEE    日付:6月5日(木) 23時18分

かなり強引な計算だが、求める確率 P を直接計算すると、

P=3*Σ[k=1〜99, comb(100,k)]*(1/3)^100

 =(1267650600228229401496703205374)/   (171792506910670443678820376588540424234035840667)

≒ 7.37896*10^(−18).

( ※ 数式処理ソフトで処理した)

7905.質問です。下巻  
名前:田村 正和    日付:6月5日(木) 21時12分
(d^2y/dx^2)−3(dy/dx)+2y=0の解を求めよという問題がわかりません。



7907.Re: 質問です。下巻
名前:nabeX    日付:6月5日(木) 21時26分
与式は
y''-y'=2(y'-y)
y''-2y'=y'-2y
と書きなおせます。
上はy'-y=z 下はy'-2y=zと置けば一階の微分方程式に帰着します。


7912.Re: 質問です。下巻
名前:田村 正和    日付:6月5日(木) 22時12分
すいません。私は大学1年生です。うっかり書くの忘れていました。
微分方程式自体本格的に習っていないんです。
もしnabeXさんよりわかりすい解答がありましたら教えてください。お願いします。


7914.それでは
名前:nabeX    日付:6月5日(木) 22時33分
y''-y'=2(y'-y)
y''-2y'=y'-2y
上はy'-y=z 下はy'-2y=wと置けば
z'=2z w'=w となるのでこの微分方程式を解けば
z=Ce2x w=Cex となります (Cは積分定数)
y'-y=Ce2x y'-2y=Cex となりますから
この式からy'を消去すればOKです。


7916.Re: 質問です。下巻
名前:田村 正和    日付:6月5日(木) 23時49分
わかりやすい解答ありがとうございます。解けました。
ところでCっていのはそれぞれ別の値のCですよね?


7917.Re: 質問です。下巻
名前:nabeX    日付:6月5日(木) 23時52分
>Cの値
そうです、C1 C2と書いたほうがよかったですね。

7904.質問です。上巻  
名前:田村 正和    日付:6月5日(木) 21時10分
y=tanh^(−1)x(逆関数)を対数関数を使ってあらわせという問題がわかりません。



7906.Re: 質問です。上巻
名前:nabeX    日付:6月5日(木) 21時22分
y=(ex-e-x)/(ex+e-x))
ですから分母を払った後exを両辺にかけて
exについての二次方程式をとけばよいでしょう。


7909.Re: 質問です。上巻
名前:ヨッシー    日付:6月5日(木) 21時32分
x=tanhy=(ey−e-y)/(ey+e-y)
 =(e2y−1)/(e2y+1)
これを e2y=(xの分数式) の形にして、両辺の対数をとればどうでしょう?
 
http://yosshy.sansu.org/


7911.Re: 質問です。上巻
名前:田村 正和    日付:6月5日(木) 22時8分
ご解答ありがとうございます。無事解けました。

7901.一次変換  
名前:江崎    日付:6月5日(木) 16時59分
A=(a 1)の表す一次変換によって、
 (1 b)
直線x-y+1=0 が直線x+2y+3=0
に写される時、a,b,の値を求めなさい
という問題なのですが一次変換という言葉は
初めて聞くし教科書を見ても一次変換
のことは全く書かれていません。
全く一次変換について知識のない
僕でも理解できようにできるだけ詳しく
説明していただけるとうれしいのですが・・・



7902.Re: 一次変換
名前:ヨッシー    日付:6月5日(木) 17時38分
平面で、行列を使った方法に絞って答えます。
まず行列の掛け算は、ご存知ですか?
質問に書かれたは、その一つで、その大きさは色々です。(上記は2行2列の行列)
また、座標(x、y)を縦に書いたを行列の右から掛ける計算を
のように、決めます。
すると、(x,y)→(ax+by,cx+dy)という、座標の変換が出来ます。
これを1次変換といいます。

一般に直線上の何点かを1次変換で移動させると、移動後の点も、一直線上に
並ぶことが知られています(条件によっては、そうでない場合もありますが、その場合は、直線上のどの点も、移動後は同じ点になるので、すぐわかります)
例)(x,y)→(2x+y,x−2y) によって、
 x−y+1=0 上の点、(−1,0)、(0,1)、(1,2)はそれぞれ
(−2,−1)、(1,−2)、(4,−3) に移り、これらは、直線
x+3y+5=0 上にあります。

さて、本問です。
直線は、異なる2点で決まるので、x−y+1=0上の点(1,0)、(0,1)を
で移すと、(a,1)、(1,b)に移ります。
これらが x+2y+3=0 上にあるので、代入して、a,b を求めると、
 a=−5、b=−2
 

http://yosshy.sansu.org/

7895.期待値の単位。  
名前:うっしー    日付:6月5日(木) 1時18分
今日、とある模試を受けたのですが、その数学の問題の中で
「〜の期待値を求めよ。」という問題がありました。
試験が終わった後、友人と出来不出来について語っていたのですが、
その期待値の問題の答えに、単位がいるのかどうかで大変もめました。
ちなみに、その問題の答えに単位をつけるなら「個」です。
私個人の意見としては、期待値に単位はあってもなくてもいいのでは?と思います。
よく見ると、数学Tの教科書や参考書とかではたいてい期待値には
「円」、「点」など単位がついています。
しかし、数学Bになって本格的に(?)期待値を取り上げている中では
「円」などと単位をつけても差し障りのないところでも単位がついて
いません。
やはり友人の言うように「絶対単位はいる!」のでしょうか?
皆様のご意見を頂きたいです。



7899.Re: 期待値の単位。
名前:ヨッシー    日付:6月5日(木) 11時29分
詳しくは教科書屋さんに聞かないとわかりませんが、
個人的には、「単位を付けるのが自然」と思います。
「事象が全体の期待値を上回る確率」というのもありますので、
事象の単位と同じであるのが、合理的でしょう。
 
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7921.Re: 期待値の単位。
名前:うっしー    日付:6月6日(金) 18時50分
どうもありがとうございました。

7894.線形1階微分方程式  
名前:たかし@高3    日付:6月4日(水) 23時29分
すみません、教えてください。
線形1階微分方程式
 y’+P(x)y=Q(x)
に関して、
P(x)が、定数でもよいという記述はあるようですが
Q(x)が、定数でもよいのでしょうか。
よろしくお願いします。



7896.Re: 線形1階微分方程式
名前:T兄弟    日付:6月5日(木) 7時12分
Q(x)=0のときどのような解を持つか、
Q(x)=0でないときどのような解を持つか
微分方程式を解いてみるといいでしょう。
微分方程式の解き方はわかっていますか?


7897.Re: 線形1階微分方程式
名前:たかし@高3    日付:6月5日(木) 8時29分
REPLYありがとうございます。
素朴な質問をしてしまって、すみません。
私のしっている解法は、直接積分型、変数分離型(同次形含)。
1階線形微分方程式のところを今勉強しているところです。
Q(x)が、定数でも1階線形微分方程式の解法が使えるようですね。
 例:y’−y=1
 という問題を見つけ、1階線形微分方程式の解法で解くことが
 できました。

ちなみに、
Q(x)=0の場合は、変数分離型ですね。

7890.特性方程式について  
名前:初夏    日付:6月4日(水) 22時17分
ただいま高校2年生です。特性方程式のところでan+1=ban+c に対して、x=bx+cってところでなぜan+1、anというものは全く別の数をあらわすのに両方ともxで表せるのですか??教えてください。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/tokusei.htm



7891.Re: 特性方程式について
名前:ヨッシー    日付:6月4日(水) 22時37分
はじめに x=bx+c ありきではなくて、
 an+1=ban+c
を、何とかして、
 an+1−α=b(an−α)
の形にならないか?そうすれば、等比数列に置き換えられるぞ、と考える
過程で、αは x=bx+c の解であるということが見つかるわけです。
 
http://yosshy.sansu.org/


7893.Re: 特性方程式について
名前:初夏    日付:6月4日(水) 23時0分
理解できました。ありがとうございました。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/tokusei.htm

7888.正十二面体のパネルの組み合わせについて  
名前:マキネン(某大手予備校一年生)    日付:6月4日(水) 18時40分
正十二面体に対し12枚のパネルの裏表を考えその通りを求めよ。
これ、答えはわかってるんです
798京3360兆通りだそうです。
求め方がわかりません。
自分の計算式と合わないんです。
よろしくお願いします。



7892.Re: 正十二面体のパネルの組み合わせについて
名前:ヨッシー    日付:6月4日(水) 22時42分
「パネルの裏表」の意味が曖昧ですが、たとえば
正十二面体の各面を黒か白に塗るとき、全部が白または全部が黒の
場合も含めて、塗り方は何通りあるか?ただし、回転させて同じになるものは
一通りと数える。
というのと同じでしょうか?
でも、それなら、そんなに多くはならないのですが。
 
http://yosshy.sansu.org/


7900.Re: 正十二面体のパネルの組み合わせについて
名前:ヨッシー    日付:6月5日(木) 13時16分
色分けではなかったようですね。
12枚の正五角形のタイルがあり、それぞれに違う図柄が描かれている。
図柄は、裏、表にそれぞれ違うものが描かれており、いずれも対称性がないものとする。
これらを適当に組み合わせて正十二面体を作るとき、何通りの図柄の組合せがあるか?
ということですね。
※(対称性がないとは、72°回転して同じ模様になる形のものはないということ)

例えば、1〜12の数字がそれぞれ、黒字、赤字で書かれているとします。
1のタイルを常に手前に、正しい向きに置くようにして、
その他の11個の位置にどのタイルが来るかという並べ方が
 11!通り
2〜12のタイルの向きと裏表の変化がそれぞれ10通り(回転5通り×裏表2通り)で、
 1011 通り
1のタイルの裏表が2通り
 11!×1011×2=798京3360兆 通り
です。
 
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7887.行列の可逆  
名前:吉田    日付:6月4日(水) 18時19分
「A、Bは正方行列で、AB=Oとする。
このとき、もしB=OでなければAは可逆ではないことを示せ。」

何をどうやっていいのか全く解りません…。
皆様のお力をお貸しください!



7889.Re: 行列の可逆
名前:しんちー    日付:6月4日(水) 20時51分
対偶を考えましょう。

7884.レベルの低い質問ですが・・・  
名前:Kazu(高1年)    日付:6月4日(水) 16時11分
a/2sinA=2RをsinA=a/2Rの変形(正弦定理の分母を払った形)するには、どのように計算すれば良いんでしょうか?教えて下さい。よろしくお願いします。



7885.Re: レベルの低い質問ですが・・・
名前:ヨッシー    日付:6月4日(水) 16時28分
正しくは、a/sinA=2R ですね。
両辺 sinA/2R を掛ける、というのが普通のやり方です。

分母にあるsinAをとにかく分子にあげたいので、両辺sinAを掛けて、
 a=2R・sinA
2Rが邪魔なので、これで割って、
 sinA=a/2R
というのが、少しくだけたやり方。

私の場合、3数の公式は、2,3,6を当てはめて考えます。
 a/sinA=2R を 6/2=3(6/3=2でも良い)に見立てて、
sinA である2を、6と3で表すには6÷3だな、と考えて、
6に当たるaを、3に当たる2Rで割って a/2R です。
これは、距離/時間=速度、電圧/電流=抵抗 などにも使えます。

 
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7886.Re: レベルの低い質問ですが・・・
名前:Kazu(高1年)    日付:6月4日(水) 17時8分
>正しくは、a/sinA=2R ですね。
そうですね。書き間違いました。

とても早いレス感謝します。ありがとうございました。

7879.不等式の範囲(高1)  
名前:あみ    日付:6月4日(水) 0時56分
4<y<10であるとき。
y/nを四捨五入したときの値が1だけであるような
自然数nを求めよ。で、解はn=7,8になるのですが、
求め方が分かりません。どなたか教えて下さい。
よろしくお願いします。



7880.Re: 不等式の範囲(高1)
名前:たかし@高3    日付:6月4日(水) 1時33分
”y/nを四捨五入したときの値が1だけであるような”
とあるので、y/nの範囲は、
0.5≦y/n<1.5
よって
0.5n≦y<1.5n ....(1)

4<y<10の時、(1)を満足すればよいので
 0.5n≦4 かつ、10≦1.5n
これを解くと、n=7,8になると
思います。

7871.行列の問題  
名前:けんや@高3    日付:6月3日(火) 19時48分
2
=I
3
を満たす3×3行列Aを少なくとも8個発見せよ。

発見できませんでした。
というか、発見する方法ってあるのですか?



7872.Re: 行列の問題
名前:けんや@高3    日付:6月3日(火) 19時56分
すみません。
タグを誤ったのか、変な表記になってしまいました。
意味は

「Aの2乗=I(Iは3×3の単位行列)を満たす3×3行列Aを少なくとも8個発見せよ。」

という意味です。


7873.Re: 行列の問題
名前:ヨッシー    日付:6月3日(火) 20時12分
まず I そのものと、−I は条件を満たしますね。
あと、I の成分を適当に入れかえれば、いくつかできます。
−I も同様に行えば、4つずつでも合わせて8つ。
 
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7875.Re: 行列の問題
名前:けんや@高3    日付:6月3日(火) 20時23分
なるほど…分かりました!
では今から早速自分でやってみたいと思います!

お答え頂き有難う御座いました!

7869.積分  
名前:たかし@高3    日付:6月3日(火) 19時10分
すみません、教えて下さい。
xを0からパイの範囲で、
y=sinxとx軸で囲まれる部分を
y軸の周りに回転させてできた体積の
求め方に関してですが
∫2パイxf(x)dxの公式を利用するしか
ないのでしょうか。
ご存知のかた教えてください。



7881.Re: 積分
名前:目覚めよ、サダム    日付:6月4日(水) 9時7分
y=sin(x)の−π/2≦x≦π/2 の部分の逆関数を y=Arcsin(x) とすれば、
求める体積 V は、

 V=π*∫[x=0〜1,(π−y)^2]dx −π*∫[x=0〜1,y^2]dx

  =π*∫[x=0〜1,(π^2−2y)]dx

 =π*∫[x=0〜1,(π^2−2Arcsinx)]dx

= 2π^2.


7882.訂正
名前:目覚めよ、サダム    日付:6月4日(水) 9時53分

すまん、式の一部が間違っていた。次のように訂正してくれ。

 Vを求める式の2行目: (π^2−2y) → (π^2−2πy)
3行目: (π^2−2Arcsinx) → (π^2−2πArcsin(x)).

 
  なお、Arcsin(x) の原始関数は、 

  x*Arcsin(x)+(1−x^2)^(1/2)  である。


7883.Re: 積分
名前:たかし@高3    日付:6月4日(水) 10時51分
ありがとう、ございました。

7868.(untitled)  
名前:    日付:6月3日(火) 19時8分
関数y=f(x)でf(a+b)=f(a)+f(b)+4ab,f(ab)=f(a)・f(b)/2を満たすとき、f(x)の一般の式を求めよ



7870.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:6月3日(火) 19時31分
f(ab) の式に b=1 を代入すると、f(1) が求まります。
f(a+b) の式に b=1 を代入すると、f(a+1) と f(a) の関係が求まります。
これをあたかも、漸化式のようにして解くと、整数xについての
f(x) の一般式が得られます。
これが、整数以外の場合にも成り立つことを示します。

という手順です。

答えは f(x)=2x2
http://yosshy.sansu.org/


7876.Re: (untitled)
名前:花パジャ    日付:6月3日(火) 21時56分
別解)
f(1)を求める
前の式でa=b=1としてf(2)を求める
前の式でb=a,後の式でb=2として2式を比較

7859.数列  
名前:IF    日付:6月2日(月) 23時32分
すべての正の整数xで定義されたf(x)において、
 f(x+1)>f(x)かつ、f(f(x))=3x
が成り立つとき、f(x)の一般項を求めよ。

という問題ですが、解答はx=1から順番に求めていって一般項を推定して数学的帰納法で証明していました。それはそれで納得できるのですが、数学的帰納法を使わずに導く方法はないでしょうか。



7861.Re: 数列
名前:中川 幸一    日付:6月3日(火) 0時11分
f(1) の値とかは問題文についてはいませんでしたか?
http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


7865.Re: 数列
名前:ころっさす    日付:6月3日(火) 9時29分
帰納法は標準的な自然数の定義の一部であり,加法,乗法,大小関係
といった自然数の基本性質も帰納法により構成されます.従って
> 数学的帰納法を使わずに導く方法
は存在しません.

f はその条件を満たす
⇒ f(1)=2,∀x ( f(3*x)=3*f(x) )
⇒ ∀n ( f(3^n)=2*3^n )
ここで
∀n ( f(2*3^n)=3^{n+1} ),
∀n ( f(2*3^n)-2*3^n=f(3^n)-3^n=3^n ),
∀x ( f(x+1)-(x+1)≧f(x)-x )
ゆえ
∀x∀n≧0 ( 3^n≦x≦2*3^n ⇒ f(x)=x+3^n ),
∀x∀n ( 2*3^n≦x≦3^{n+1} ⇒ f(x)=3*(x-3^n) ).


7877.Re: 数列
名前:IF    日付:6月3日(火) 23時22分
中川さんへ
 f(x)は正の整数の値をとる という条件を忘れていました。
 

7855.pLATEX 2e について  
名前:ピータ    日付:6月2日(月) 21時44分
LATEXを使ってみたいのですが、ダウンロードをどこですればよいか
よくわかりません。
だれか知っている人がいれば教えてください。



7857.Re: pLATEX 2e について
名前:しんちー    日付:6月2日(月) 22時25分
こちらあたりがよろしいかと。

7854.極限  
名前:のぶお    日付:6月2日(月) 21時38分
lim_[X→0](1-cosX)/(sinX)^2
lim_[X→1](X/(X-1))-(1/logX)
の極限を求めよです。



7860.Re: 極限
名前:たかし@高3    日付:6月2日(月) 23時39分
前者は、(1+cosX)を分母分子に掛け
後者は、X-1をtとおくのかな。

7852.ごめんください。  
名前:檸檬    日付:6月2日(月) 20時51分
数学の部屋から飛んできました。お世話になります。
自分は高校三年です。卒業研究というのがあるんですが、自分は数学の中でも数列が得意なので(人並程度ですが・・)数列を題材にしたいと思っています。フィボナッチ数列もしくは三項間漸化式を使って何か面白い事をしたいと思ってます、クラス全員の前で発表するにあたって、文系の人でも「へぇ〜不思議だな〜。」と思う様な事をしたいのですが、何かネタはご存じではないでしょうか?長くなってすいません。



7863.Re: ごめんください。
名前:ヨッシー    日付:6月3日(火) 9時9分
フィボナッチ数列の一般項で、あの式に1,2,3を代入すると、
ことごとく整数になること自体、不思議ではありますね。
黄金比とからめて、未菜実さんのページのネタを
参考にさせてもらうのはどうでしょうか?
 
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7864.Re: ごめんください。
名前:ころっさす    日付:6月3日(火) 9時14分
安物ですが,10000/9899 の10進小数展開などは如何でしょう?


7866.Re: ごめんください。
名前:ヨッシー    日付:6月3日(火) 11時6分
計算すると、10000/9899 になるのは必然なのですが、不思議ですね。
ちなみに、1000000/998999 というのもありますが、かなり冗長ですね。
 
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7867.Re: ごめんください。
名前:キューダ    日付:6月3日(火) 15時46分
私が思い浮かぶ面白い数列として次があります。
最初の50項を示します。

1,1,2,1,3,2,3,1,4,3,5,2,5,3,4,1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,
5,8,3,7,4,5,1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,9,7,...

一見デタラメな数字の並びと思われますが、よくよく見ると数字の並びに特徴が
見えてきます。
その特徴等を手がかりに、どのように定義されたものかトライしてみませんか?

定義式はシンプルな形をしています。
シンプルすぎて、その定義式にちょっといたずらする(ある部分に×2を入れる)と
1,2,3,4,5,6,...という全くつまらない数列に成り下がってしまう程です。

このようにシンプルな形で定義された数列ですが、思いがけないような面白い性
質を持っています。これもトライしてみませんか。


7874.ありがとうございます。
名前:檸檬    日付:6月3日(火) 20時15分
みなさんとても参考になりました。
ありがとうございます。

7851.娘の質問に答えられません  
名前:困っているおやじ    日付:6月2日(月) 20時30分
小学3年のうちの娘が
1メートル×1メートルは1平方メートル
じゃ1リットル×1リットルは
と聞かれ、詰まりました。
この場合どう答えればいいのでしょうか?



7858.Re: 娘の質問に答えられません
名前:???    日付:6月2日(月) 22時55分
3次元の世界が最高なんだよって・・・


7862.Re: 娘の質問に答えられません
名前:通りすがりの学生    日付:6月3日(火) 1時10分
そもそも
1メートル×1メートル=1平方メートル
の式自体が誤りだと思います。小学校においての面積の定義の仕方は、
(縦の長さ)×(横の長さ)
で定義するものだと思われがちですが、正確にはまず最初に一辺1メー
トルの正方形1個分の面積を1平方メートルと決めておいて、それが
いくつ分敷き詰める事ができるか、という事で面積を定義しています。
つまり、縦2メートル横3メートルの長方形の面積の求め方は、
(縦2メートル)×(横3メートル)
で定義するのではなく、
(縦2個分)×(横3個分)
で定義されます。

多分教科書にも最初はそう書いてあると思いますが、みんなその辺の
説明をすっとばして、
(メートル)×(メートル)
って思ってしまうんですよね。
小学校における掛け算は、基本的に足し算の延長で、
2+2+2
っていうのを、いちいち書くのも面倒だし数えるのも大変なので
2×3
って書きましょうねっていうのがベースになっていると思います。
面積の計算の時も、上のように、その説明があてはまりますよね。

掛け算ってどんな時に使うのか、それをはっきりさせておくと、
(リットル)×(リットル)
が(少なくとも身の回りの世界では)意味をもたなくなってくる
のがわかるようになってくるのではないでしょうか?

7850.逆行列  
名前:    日付:6月2日(月) 20時29分
大学1年です。
線形代数の本に、正方行列Aの逆行列はAB=BA=EなるBだと書いてありましたが、AB=Eならば必ずBA=Eなのでしょうか。
2次だとそうなるのですが・・・。



7853.Re: 逆行列
名前:ころっさす    日付:6月2日(月) 21時5分
AB=E なる B が存在
⇔ f:x→Ax は全射
⇔ f:x→Ax は単射 ∵ 次元定理
⇔ CA=E なる C が存在.

有限次元でないと,次のような例が作れます.
f:(x(1),x(2),x(3),...)→(x(2),x(3),x(4),...),
g:(x(1),x(2),x(3),...)→(x(1),x(1),x(2),...),
f・g=id,g・f≠id.


7878.Re: 逆行列
名前:    日付:6月3日(火) 23時56分
写像はいまいちわからないのですが、とりあえず成り立つということはわかりました。ありがとうございました。

7846.(untitled)  
名前:あき    日付:6月2日(月) 18時33分
A・Bの農家からなしを同数ずつ仕入れた。それらのなしを1級品と2級品に分けたところ、その比がA 2:3、B 4:3 となった。1級品のなしを2級品の5割増で売ったときのA:Bの売上比を求めよ。

比を使った問題はどうも苦手意識があってよくわかりません。よろしくお願いします。



7847.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:6月2日(月) 18時54分
「倍数算」ですかね。

同数ずつ、というのを35個ずつと考えてみましょう。
Aからの1級品が何個、2級品が何個、Bからの・・・

あと、価格は、2級品1円、1級品1.5円でも良いし、
2級品100円、1級品150円でも良いので、適当に決めて、
合計売上高を計算してみましょう。

比の問題は、このように適当に数字を決めてやると、イメージしやすいです。

答え:14:15 です。
 
http://yosshy.sansu.org/


7898.Re: (untitled)
名前:あき    日付:6月5日(木) 10時48分
なるほど。、くわかりました。ありがとうございました

7841.(untitled)  
名前:taro yosikawa    日付:6月2日(月) 15時57分
文系高校です。
          tan(B)×tan(C)
tan(A)= --------------------------------
          tan(90-C)

C=
上の式をC=の形に変えたいのですが
http://www.geocities.co.jp/Playtown-Dice/5061/sansu/theorem/kaho.htm を見させていただいて
加法定理を使っていったら
tanA    sinC        cosC
----=   (----)   ÷   (-----)
tanB    cosC      sinC
になってその先がよくわかりません。
どうしたら「C=」の形にできるでしょうか?
どうかよろしくお願いします。



7842.Re: (untitled)
名前:たかし@高3    日付:6月2日(月) 16時29分
2個おなじ質問がありますね。
最初の質問削除したらどうでしょう?

(tanC)^2=(tanA)/(tanB)
になったということですよね。

#条件で、「三角形ABCで」がつきますか。


7843.Re: (untitled)
名前:taro yosikawa    日付:6月2日(月) 17時3分
すいません。三角形ではないです。条件はつきません。
削除KEYをいれないで書き込みしたのですが、削除のときはどうしたらよいのでしょうか?


7845.Re: (untitled)
名前:taro yosikawa    日付:6月2日(月) 18時4分
「たかし@高3」さん返信ありがとうございました。
問題解決いたしました。

7837.角度とは?  
名前:    日付:6月2日(月) 10時47分
38歳の主婦です。こんな質問は、ここにはどうかとも思ったのですが、なんでだろうと思ったので、質問させていただきます。
 最近、ビリヤードを始めたのです、それには『角度』を読まなければなりません。それで、角度の単位についてですが、直線は180度といいますよね、どうして直線は180なのですか?



7839.Re: 角度とは?
名前:たかし@高3    日付:6月2日(月) 12時33分
 三角形の3つ内角を1点に集めると
 一直線になり、内角の和は180度。
ってな感じですかね。


7844.Re: 角度とは?
名前:ヨッシー    日付:6月2日(月) 17時35分
聞いた話によると、1年が365日で、これに近くて、約数の比較的多い
360を1周角にしたようです。
つまり、太陽が1日に黄道上を約1°動くというわけです。
 
http://yosshy.sansu.org/


7903.Re: 角度とは?
名前:    日付:6月5日(木) 20時29分
ありがとうございました。
ところで、角度って誰が決めたのでしょうね。

7832.すみません  
名前:☆ 高2です    日付:6月1日(日) 22時22分
ABC
―――です。cosのあとはそれぞれ左の通りです。
222

7831.2  
名前:☆ 高2です    日付:6月1日(日) 22時20分
                   A B C
△ABCにおいて、sinA+sinB+sinC=4cos―cos―cos―がなりたつことを証
                    2  2 2
明しなさい。です  よろしくお願いいたします。

7830.お初です  
名前:☆ 高2です    日付:6月1日(日) 22時18分
A B C
△ABCにおいて、sinA+sinB+sinC=4cos―cos―cos―がなりたつことを証
                    2  2 2
明しなさい。です  よろしくお願いいたします。



7836.Re: お初です
名前:repunit    日付:6月2日(月) 8時5分
A+B+C=180°に注意して、右辺を積→和でばらせばよいでしょう。

7827.三角関数を含む式  
名前:サダ    日付:6月1日(日) 21時5分
(式)sec20(√(cos220)
質問:secの意味がわかりません。
  :cos220の読み方は?。又その扱い方は?。
中学も満足な成績でなかった60才近いおじさんです。仕事上、何とかクリヤーしたい式です。ご面倒でしょうがご指導宜しくお願いします。



7828.お仕事頑張ってくださいネ.
名前:回転する「考える人」    日付:6月1日(日) 21時37分
          1
 sec 20゚ は ――― のことです.
        cos 20゚

また,cos2 20゚=(cos 20゚ )2のことです.

ここで,単位円を描けば cos 20゚>0が判りますから

√(cos2 20゚)=√(cos 20゚)2=cos 20゚

             1
よって (与式)= ―――・cos 20゚= となります.
           cos 20゚

※角度表記は度数法として解答しました.
 弧度法の場合も同様に出来ます.

(佐久間信子たんのファン)


7829.Re: 三角関数を含む式
名前:ヨッシー    日付:6月1日(日) 21時40分
角度の単位は、°(度)として、お答えします。
cos220°の読み方は
 「コサイン2乗20°」「コサイン20°の2乗」
のどちらでも良いでしょう。意味は、
 cos220°=(cos20°)2=(cos20°)×(cos20°)

sec(セカント) は、cos の逆数、つまり
 sec20°=1/cos20°
です。ちなみに、sin の逆数はcosec(コセカント)、tan の逆数は cot(コタンジェント)です。
 
http://yosshy.sansu.org/

7825.連続  
名前:ロングマン    日付:6月1日(日) 20時21分
(1)x^(m/n)とn乗根√(x^m)は等しいか。
(2)x^a(a>0)は[0,∞)で連続であることを示せ。
お願い致します。



7826.Re: 連続
名前:田村 正和    日付:6月1日(日) 20時35分
(1)は等しいであってます。
(2)なんですが連続でないことを示せという問題ならといたことがあるのですが連続であることを示せっていう問いはといたことがないのでわかりません。すいません。


7833.Re: 連続
名前:ロングマン    日付:6月1日(日) 22時26分
問題は間違っていませんでした。


7835.Re: 連続
名前:しんちー    日付:6月1日(日) 23時44分
一般に関数 f(x) の連続性は
 limx→a f(x) = f(a)
が各 a で成り立つことをいえばいいです。


7838.Re: 連続
名前:ころっさす    日付:6月2日(月) 11時42分
x^a の定義により,対処が異なります.

x^a=exp(a*log(x)) なる流儀ならば,
定数関数,exp の連続性,exp の狭義増加性,
狭義増加連続関数が連続な逆関数を有すること,
及び,連続性が積,合成に関して保たれることに従います.

a の属する集合を拡大してゆく流儀ならば,
s<a<t なる有理数 s,t により x^a を x^s,x^t で挟んで,
a が有理数の場合,従って,x^m (mは正整数)の狭義増加連続性に帰着されます.

7824.微分  
名前:タケシ    日付:6月1日(日) 20時13分
1.次の関数を微分しなさい。
(1)sin^(-1)_(x/a)
(2)cot^(-1)_x
逆三角関数の微分なんですが、どのようにして解けばいいかわかりません。
{sin^(-1)_(x)}’=1/√(1-x^2)を使うと思うのですがわかりません。
よろしくおねがいします。



7849.Re: 微分
名前:ヨッシー    日付:6月2日(月) 19時29分
(1)は、厳密に言えば合成関数ですね。
 u=x/a とおくと、
 dy/dx=(dy/du)(du/dx)
 dy/du=1/√(1-u^2)
 du/dx=1/a より...

(2) は、一応こちらを紹介しておきますが、
逆関数の性質から、求められるようにしておきましょう。
http://yosshy.sansu.org/


7856.Re: 微分
名前:タケシ    日付:6月2日(月) 21時51分
参考になりました。
ありがとうございました

7817.微分法  
名前:タケシ    日付:6月1日(日) 18時36分
次の式を微分しなさい。
(1)y=log{x+√(x^2+1)}
解答には
y=1/{x+√(x^2+1)}×{1+1/2×2x/√(x^2+1)}
=1/√(x^2+1)

という風に簡単に書かれていてわかりませんでした。
最初のy=1/{x+√(x^2+1)}×{1+1/2×2x/√(x^2+1)}
の部分がどうやって微分したのかがわかりません。
解説よろしくおねがいします。



7819.Re: 微分法
名前:タケシ    日付:6月1日(日) 18時46分
訂正です
次の式を微分しなさい。
(1)y=log{x+√(x^2+1)}
解答には
y’=1/{x+√(x^2+1)}×{1+1/2×2x/√(x^2+1)}
=1/√(x^2+1)

という風に簡単に書かれていてわかりませんでした。
最初のy’=1/{x+√(x^2+1)}×{1+1/2×2x/√(x^2+1)}
の部分がどうやって微分したのかがわかりません。
解説よろしくおねがいします


7820.Re: 微分法
名前:nabeX    日付:6月1日(日) 18時53分
y=log(t) t={x+√(x2+1)}
として、合成関数の微分をしています。


7821.Re: 微分法
名前:回転する「考える人」    日付:6月1日(日) 19時0分
 合成関数の微分法を用いています.

【解説】
 u=x+√(x2+1)とおくと,y=loguとかけるから
             1
   y´=(logu)´=―・u´
             u
ここで,uとu´を計算して代入すると解答のようになります.
置き換えせずに出来るように練習しておきましょう.

(佐久間信子たんのファン)


7822.Re: 微分法
名前:タケシ    日付:6月1日(日) 19時13分
解決しました!ありがとうございました。

7815.??  
名前:だめ男    日付:6月1日(日) 15時28分
空間ベクトルです
 
 4点O(0ベクトル)、A(aベクトル)、B(bベクトル)C(cベクトル)
が同一平面上にない物とするとき
pベクトル=r(aベクトル)+s(bベクトル)+t(cベクトル)
が成立するときの、この同一平面上とはこの4点全てが同一へいめんじょうにないときということですよね?

7809.線形代数です★  
名前:かおり    日付:6月1日(日) 11時23分
昨日教えてもらったんですが、か「Aが正則、Bが正則でないn次正方行列のとき、ABは生則でないことを示せ。」という問題が分かりません。
背理法を使ったほうがいいのですか?
あと、「A,Bがn次正則行列のときABA^−1(inverse)も正則になることを示せ。」という問題も分かりません(>_<)
教えてください



7810.Re: 線形代数です★その1
名前:回転する「考える人」    日付:6月1日(日) 12時1分
【問題】
A,Bをn次正方行列とする.Aが正則であって,
Bが正則でないとき,ABは正則でないことを示せ.

【解答】
 Aが正則であって,Bが正則でないから
   |A|≠0,|B|=0
である.このとき
   |AB|=|A||B|=0
となるので,ABは正則でない.■

注)n次正方行列A,Bに対して,|AB|=|A||B|
  成り立ちます.行列式の大事な性質ですヨ.

(佐久間信子たんのファン)


7812.Re: 線形代数です★その2
名前:回転する「考える人」    日付:6月1日(日) 12時11分
【問題】
A,Bがn次正則行列のとき,ABA-1も正則となることを示せ.

【解答】
 A,Bは正則行列なので,A-1,B-1が存在する.
このとき,n次正方行列XをX=AB-1-1とすれば
   ABA-1・X=X・ABA-1=En
となるので,ABA-1は正則となる.■

(佐久間信子たんのファン)


7813.Re: 線形代数です★その1別解
名前:回転する「考える人」    日付:6月1日(日) 12時43分
【問題】
A,Bをn次正方行列とする.Aが正則であって,
Bが正則でないとき,ABは正則でないことを示せ.

【解答】
 背理法で示す.
Aは正則なので,
   AX=XA=En …☆
をみたすn次正方行列Xが存在する.
また,ABが正則であると仮定すると
   AB・Y=Y・AB=En …★
をみたすn次正方行列Yが存在する.
☆,★より
   AX=AB・Y …♪
♪の両辺に左からA-1をかけると
   X=BY.
このとき☆より,BYA=Enとなるが
これはBが正則でないことと矛盾する.
よって,ABが正則でない.■

行列式を使わないと,意外と面倒だナァ.

(佐久間信子たんのファン)


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