高校3年さんからの質問1

問題
正三角形ABCの3辺BC,CA,ABを1:2の比に内分する点をそれぞれD,E,Fとする。
線分ADとBEの交点をS,線分BEとCFの交点をT,線分CFとADの交点をUとするとき、
ASUSABAC を用いて表せ。
(太字はベクトルです)


解答1(ベクトルのみを使う方法)
点Sは直線BE上にあるので、
 AS=sAB+(1−s)AE
と表せる。
 AE=2AC/3
であるので、
 AS=sAB+2(1−s)AC/3 ・・・(1)
一方、点Sは直線AD上にあるので、
 AS=tAD
と表せる。
 AD=(2ABAC)/3
であるので、
 AS=t(2ABAC)/3 ・・・(2)
ABACは平行でないので、(1),(2) を比較して、
 s=2t/3
 2(1−s)/3=t/3
これを解いて、
 s=4/7、t=6/7
よって、
 AS=4AB/7+2AC/7・・・(答1)

図の対称性より、
 AS:SD=CU:UF=6:1  ・・・ASAD×6/7 より
よって、
 AU=(6AFAC)/7
と表せる。
 AFAB/3 
であるので、
 AU=(2ABAC)/7・・・(答2)

解答2(メネラウスの定理による方法)
メネラウスの定理より
 (AS/SD)(DB/BC)(CE/EA)=1
 (AS/SD)=(BC/DB)(EA/CE)=(3/1)(2/1)=6/1
よって、
 AS=6AD/7
AD=(2ABAC)/3 より、
 AS=4AB/7+2AC/7・・・(答1)

図の対称性より、
 AS:SD=CU:UF=6:1
メネラウスの定理より、
 (AU/UD)(DC/CB)(BF/FA)=1
 (AU/UD)=(CB/DC)(FA/BF)=(3/2)(1/2)=3/4
よって、
 AU=3AD/7
AD=(2ABAC)/3 より、
 AU=(2ABAC)/7・・・(答2)

解答3(平行線を利用する方法)

図のような補助線を引くと、AU:US:SD=3:3:1であることがわかる。
以下は解答1,2 と同様。

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