問題
正三角形ABCの３辺BC,CA,ABを１：２の比に内分する点をそれぞれD,E,Fとする。
線分ADとBEの交点をS,線分BEとCFの交点をT,線分CFとADの交点をUとするとき、
AS、US を AB、AC を用いて表せ。
（太字はベクトルです）
解答１（ベクトルのみを使う方法）
点Ｓは直線ＢＥ上にあるので、
ＡＳ＝ｓＡＢ＋（１−ｓ）ＡＥ
と表せる。
ＡＥ＝２ＡＣ/３
であるので、
ＡＳ＝ｓＡＢ＋２（１−ｓ）ＡＣ/３ ・・・(1)
一方、点Ｓは直線ＡＤ上にあるので、
ＡＳ＝ｔＡＤ
と表せる。
ＡＤ＝(２ＡＢ＋ＡＣ)/３
であるので、
ＡＳ＝ｔ(２ＡＢ＋ＡＣ)/３ ・・・(2)
ＡＢとＡＣは平行でないので、(1),(2) を比較して、
ｓ＝２ｔ/３
２(１−ｓ)/３＝ｔ/３
これを解いて、
ｓ＝４/７、ｔ＝６/７
よって、
ＡＳ＝４ＡＢ/７＋２ＡＣ/７・・・（答１）
図の対称性より、
ＡＳ：ＳＤ＝ＣＵ：ＵＦ＝６：１ ・・・ＡＳ＝ＡＤ×６/７ より
よって、
ＡＵ＝(６ＡＦ＋ＡＣ)/７
と表せる。
ＡＦ＝ＡＢ/３
であるので、
ＡＵ＝(２ＡＢ＋ＡＣ)/７・・・（答２）
解答２（メネラウスの定理による方法）
メネラウスの定理より
(ＡＳ/ＳＤ)(ＤＢ/ＢＣ)(ＣＥ/ＥＡ)＝１
(ＡＳ/ＳＤ)＝(ＢＣ/ＤＢ)(ＥＡ/ＣＥ)＝(３/１)(２/１)＝６/１
よって、
ＡＳ＝６ＡＤ/７
ＡＤ＝(２ＡＢ＋ＡＣ)/３ より、
ＡＳ＝４ＡＢ/７＋２ＡＣ/７・・・（答１）
図の対称性より、
ＡＳ：ＳＤ＝ＣＵ：ＵＦ＝６：１
メネラウスの定理より、
(ＡＵ/ＵＤ)(ＤＣ/ＣＢ)(ＢＦ/ＦＡ)＝１
(ＡＵ/ＵＤ)＝(ＣＢ/ＤＣ)(ＦＡ/ＢＦ)＝(３/２)(１/２)＝３/４
よって、
ＡＵ＝３ＡＤ/７
ＡＤ＝(２ＡＢ＋ＡＣ)/３ より、
ＡＵ＝(２ＡＢ＋ＡＣ)/７・・・（答２）
解答３（平行線を利用する方法）
図のような補助線を引くと、ＡＵ：ＵＳ：ＳＤ＝３：３：１であることがわかる。
以下は解答１，２ と同様。
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