問題
円の中に内接している正五角形があってその円の半径をｒとして
その五角形の１辺の長さをｒを使って表せ。
解答
五角形の面積から一部引用しています。
図２の△ＯＡＢのにおいて、ＡＢが求める長さです。
ＯＢを底辺とすれば、高さは、図３のＡＨとなる。
ここで、図３の△ＡＦＯは、∠Ｆ＝∠Ｏ＝72°の二等辺三角形である。
図４のように、∠Ｏの二等分線OGを引くと、△ＡＦＯと△OGＦは相似となる。
図４の●１つで36°を表す。
△OGＦを抜き出したのが図５である。
△ＡＦＯと△OGＦの辺の比より、
ｒ：ｘ＝ｘ：(ｒ−ｘ)
よって、
ｘ2＝ｒ(ｒ−ｘ)
ｘ2＋ｒｘーｒ2＝０
ｘ＞０の範囲でｘについて解くと
ｘ＝(−ｒ＋ｒ√5)/2＝ｒ×(√5−1)/2
すると、
ＦＨ＝ＨＯ＝ｒ×(√5−1)/4
となり、△ＡＨＦにおける三平方の定理より、
ＡＨ2＝ＡＦ2−ＦＨ2＝ｒ2{1−(3−√5)/8}
＝(5＋√5)ｒ2/8
一方、図６において、
ＢＨ＝ＢＯ−ＨＯ＝ｒ−(√5−1)ｒ/4
＝(5−√5)ｒ/4
ＢＨ2＝(30−10√5)ｒ2/16＝(15−5√5)ｒ2/8
△ＡＢＨにおける三平方の定理より、
ＡＢ2＝ＡＨ2＋ＢＨ2＝ｒ2{(5＋√5)＋(15−5√5)}/8
＝(20−4√5)ｒ2/8
＝(5-√5)ｒ2/2
よって、
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