かわうそさんからの質問1
問題
円の中に内接している正五角形があってその円の半径をrとして
その五角形の1辺の長さをrを使って表せ。
解答
五角形の面積から一部引用しています。
図2の△OABのにおいて、ABが求める長さです。
OBを底辺とすれば、高さは、図3のAHとなる。
ここで、図3の△AFOは、∠F=∠O=72°の二等辺三角形である。
図4のように、∠Oの二等分線OGを引くと、△AFOと△OGFは相似となる。
図4の●1つで36°を表す。
△OGFを抜き出したのが図5である。
△AFOと△OGFの辺の比より、
r:x=x:(r-x)
よって、
x2=r(r-x)
x2+rxーr2=0
x>0の範囲でxについて解くと
x=(-r+r√5)/2=r×(√5-1)/2
すると、
FH=HO=r×(√5-1)/4
となり、△AHFにおける三平方の定理より、
AH2=AF2-FH2=r2{1-(3-√5)/8}
=(5+√5)r2/8
一方、図6において、
BH=BO-HO=r-(√5-1)r/4
=(5-√5)r/4
BH2=(30-10√5)r2/16=(15-5√5)r2/8
△ABHにおける三平方の定理より、
AB2=AH2+BH2=r2{(5+√5)+(15-5√5)}/8
=(20-4√5)r2/8
=(5-√5)r2/2
よって、
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