勝村さんからの質問１

問題
次の関数の最大値、最小値があれば、それを求めよ
(1)　y＝−２x⁴＋４x²＋３
(2)　y＝(x² - 2x)² + 4(x² - 2x) - 1

解答

まず、２次関数の最小値・最大値をご覧下さい。

その上で、本題です。
(1)
　y＝−２x⁴＋４x²＋３
は、Ｘ＝ｘ² とおけば、
　ｙ＝−２Ｘ²＋４Ｘ＋３
という、Ｘの２次関数になります。ただし、Ｘには Ｘ≧０ と言う範囲の制限があります。
　ｙ＝−２Ｘ²＋４Ｘ＋３
を変形して
　ｙ＝−２(Ｘ−１)²＋５
ですから、Ｘ＝１のとき最大値５を取ります。最小値はありません。
Ｘ＝１ となるのは、ｘ＝±１のときです。
答え　ｘ＝±１のとき、最大値５。最小値なし。

(2)
　y＝(x² - 2x)² + 4(x² - 2x) - 1
は、Ｘ＝x² - 2x とおけば、
　ｙ＝Ｘ²＋４Ｘ−１
という、Ｘの２次関数になります。ただし、Ｘには範囲の制限があり、
　Ｘ＝x² - 2x＝(x-1)² - 1
より、Ｘ≧−１ です。
　ｙ＝Ｘ²＋４Ｘ−１
を変形して
　ｙ＝（Ｘ＋２）²−５
ですから、範囲の制限がなければ、Ｘ＝−２で最小値−５ですが、
Ｘ≧−１ なので、その範囲の境目 Ｘ＝−１ で最小値−４となります。
Ｘ＝−１となるのは、Ｘ＝(x-1)² - 1 より、ｘ＝１のときです。
答え　ｘ＝１のとき最小値−４。最大値なし。

(1)(2) の場合とも、グラフを描いてみて確認してください。

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