問題
一辺の長さ２の正三角形ABCの辺AB,BC,CA上にそれぞれ点 P,Q,R を
AP=BQ=CR≦１
となるようにとる。△PQRの面積が△ABCの面積の１/２倍となるときのAPの長さをもとめよ。
解答
AP=2x とおきます。
※2x とおくのは、途中で分数が出ないようにするためのテクニックです。AP=x とおいてもできます。
まず、面積が１／２倍になるためには、辺の長さは√２／２倍でなければ
ならないので、ＰＱ＝ＱＲ＝ＲＰ＝√２ となることを押さえた上で、
解答１（三角関数を用いた方法）
△ＡＰＲにおいて、第２余弦定理
PR2 = AP2 + AR2 -2AP・ARcos∠PAR
より、
(√2)2 = (2x)2 + (2-2x)2 -2(2x)(2-2x)cos60°
cos60°= 1/2 を用いて、式を整理すると、
12x2- 12x + 2 = 0
6x2- 6x + 1 = 0
２次方程式の解の公式より、
x = (3 ±√3)/6
AP＜1 より、x＜1/2 だから
x = (3 - √3)/6
AP = 2x = (3 - √3)/3
解答２（三平方の定理を用いた方法）
図のように、点ＰからＡＣに垂線をおろし、その足を点Ｈとします。
∠PAR＝60°なので、
AH＝x
PH＝√3ｘ
また、
HR＝AC - CR - AH = 2 - 3x
△PHR において、三平方の定理より、
PH2 + HR2 = RP2
(√3x)2 + (2-3x)2 = (√2)2
整理して
12x2- 12x + 2 = 0
6x2- 6x + 1 = 0
２次方程式の解の公式より、
x = (3 ±√3)/6
AP＜1 より、x＜1/2 だから
x = (3 - √3)/6
AP = 2x = (3 - √3)/3
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