問題
二つの放物線 C: y=x2/2、D: y= -(x-a)2 を考える。a は正の実数である。
(1) C上の点P(t, t2/2)におけるCの接線Lを求めよ。
(2) LがさらにDとも接するとき、LをCとDの共通接線と言う。
2本の（CとDの）共通接線L1とL2を求めよ。
(3) 共通接線L1とL2とCで囲まれた図形の面積を求めよ。
解答
(1)
Ｃの式をｘで微分して、
ｙ’＝ｘ
より、点Ｐにおける接線の傾きは ｔ 。
よって、求める接線は、傾き ｔ で、点(t, t2/2) を通る。その式は、
ｙ＝ｔ(ｘ−ｔ)＋t2/2
ｙ＝ｔｘ−t2/2 ・・・答え
(2)
ｙ＝ｔｘ−t2/2
が、y= -(x-a)2 に接するので、両式を連立させて、
-(x-a)2＝ｔｘ−t2/2
(x-a)2＋ｔｘ−t2/2＝０
(x-a)2＋ｔ(ｘ-a)＋at−t2/2＝０
x-a に関する方程式と見なしたときの判別式を取って、
ｔ2−4(at−t2/2)＝０
3t2-4at＝０
これを解いて、ｔ＝０，4a/3
よって、求める接線は、
ｙ＝０ と ｙ＝(4a/3)ｘ−8a2/9
(3)
ｙ＝(4a/3)ｘ−8a2/9 と ｘ軸との交点は（2a/3，0）
図の黄色の部分を直接求める方法
図の黄色と緑を合わせた部分から、緑の部分を引く方法
こちらの公式の３を使う方法
(4a/3)3/12＝8a3/81
算数・数学の部屋に戻る