問題
△ＡＢＣにおいて、辺ＢＣの中点をＭとする。
∠Ｃの２等分線と辺ＡＢ、線分ＡＭとの交点をそれぞれＤ，Ｅ、
直線ＢＥと辺ＣＡとの交点をＦ、線分ＡＭと線分ＤＦとの交点をＮとするとき、次の各問に答えよ。
(１)ＣＦ＝ＤＦ であることを証明せよ。
(２)ＥＭ／ＥＮ＝ＥＣ／ＥＤ＝ＡＢ／ＡＤ であることを証明せよ。
解答
(1)
メネラウスの定理より
(ＡＥ/ＥＭ)(ＭＢ/ＢＣ)(ＣＦ/ＦＡ)＝１
(ＡＥ/ＥＭ)(ＭＣ/ＣＢ)(ＢＤ/ＤＡ)＝１
ＭＢ＝ＭＣ より、
ＣＦ/ＦＡ＝ＢＤ/ＤＡ
よって、△ＡＢＣと△ＡＤＦは相似となり、ＤＦ//ＢＣ となるので、
∠ＤＣＢ＝∠ＣＤＦ（錯角）
条件より
∠ＤＣＢ＝∠ＤＣＦ
よって、 ∠ＤＣＦ＝∠ＣＤＦ となり、△ＣＤＦは ＣＦ＝ＤＦ の二等辺三角形となる。
以上より、 ＣＦ＝ＤＦ が証明された。
(2)
ＤＦ//ＢＣ より、△ＥＭＣと△ＥＮＤは相似（詳しい証明は省略）であるので、
ＥＭ／ＥＮ＝ＥＣ／ＥＤ ・・・(a)
同様に、△ＥＢＣと△ＥＦＤが相似なので、
ＥＣ／ＥＤ＝ＢＣ／ＤＦ ・・・(b)
また、△ＡＢＣと△ＡＤＦが相似なので、
ＢＣ／ＤＦ＝ＡＢ／ＡＤ ・・・(c)
(a)(b)(c)より、
ＥＭ／ＥＮ＝ＥＣ／ＥＤ＝ＡＢ／ＡＤ
となる。
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