問題
xy平面上において、x軸上に原点Ｏと異なる位置にある点Aをとり、点Ａを中心とした半径ＯＡの円をかく。
また、この円の外側のx軸上に点Ｂ、y軸上に点Ｃを、線分BCがこの円と異なる2点で交わるようにそれぞれとり、
線分BCと円との交点を、点Bに近い方からＰ，Ｑとする。
いま、BP=PQ=QCとなるときOA：ABを最も簡単な整数の比で表すといくらか。
解答
図のように、点Ａ(a,0)、点Ｂ(b,0) とし、０＜ａ、２ａ＜＜ｂとします。
また、ＢＰ＝ＰＱ＝ＱＣ＝ｍ とします。
方べきの定理より、
ＣＱ・ＣＰ＝ＣＯ2
よって、
ＣＯ2＝ｍ・２ｍ＝２ｍ2
ＣＯ＝√2ｍ
△ＢＣＯにおける三平方の定理より
ＢＯ2＝ＣＢ2−ＣＯ2＝(3m)2−２ｍ2＝７ｍ2
よって、
ＢＯ＝ｂ＝√7ｍ
方べきの定理より、
ＢＰ・ＢＱ＝ＢＤ・ＢＯ
ｍ・２ｍ＝(ｂ−２ａ)ｂ
２ｍ2＝７ｍ2−2√7ａｍ
ｍ＞０ より、両辺ｍで割って、整理すると、
2√7ａ＝５ｍ
ａ＝5√7ｍ/14
よって、求める比は
ＯＡ：ＡＢ＝ａ：(ｂ−ａ)＝(5√7ｍ/14)：(9√7ｍ/14)＝５：９
算数・数学の部屋に戻る