安里さんからの質問1
問題
(1)
 z=(√6+√2)/4+(√6-√2)i/4
のとき
 (n=1〜23)zn を求めよ
ただしiは虚数単位とする。

(2)
 335100-308を24で割った余りはいくらか?

解答
(1-1) 式だけで解く方法
 z2=√3/2+i/2
 z4=1/2+√3i/2
 z6=i
 z12=(z6)2=-1
よって、
 (n=1〜23)zn=z+z2+・・・+z12+z13+z14+・・・z23
   =z+z2+・・・+z12+z12(z+z2+・・・+z11)
   =z+z2+・・・+z12−(z+z2+・・・+z11)
   =z12-1

(1-2) 複素平面による解き方
 z2=√3/2+i/2=cos30°+i sin30°
とおけるので、
(覚えているひとは、いきなり z=cos15°+i sin15°とおいてもいい)
 z12=(z2)6=cos180°+i sin180°=-1
よって、
 (n=1〜23)zn=z+z2+・・・+z12+z13+z14+・・・z23
   =z+z2+・・・+z12+z12(z+z2+・・・+z11)
   =z+z2+・・・+z12−(z+z2+・・・+z11)
   =z12-1


(2-1) まともにやる方法
 335 ÷ 24 = 13 余り 23 ですので、
 3352 を 24 で割った余りは 232 を 24 で割った余りに等しく、余り1です。
 3353 を 24 で割った余りは 1×23 を 24 で割ったあまりに等しく、余り 23 です。
 以下、指数が奇数の時は余り23、偶数の時は余り1になります。
335100 を 24 で割ると、余り1ですから、そこから 308(=13×24−4) を引くと、
余りは 1+4= となります。
※ 23 余るのを -1 余ると考えると、23 を掛けるたびに余りが -1,1,-1,1, と変化する
 ことがよくわかります。
※Aを24で割ると余りa、Bを24で割ると余りbとすると、
 A=24α+a、B=24β+b (α、βは整数) と書けるので、その積
  AB=242αβ+24(aβ+αb)+ab
 となるので、余りの掛け算だけで調べればいいのです。たし算、ひき算も同じ。

(2-2) ちょっとひねった方法
 336 は 24 で割りきれます。そこで、
 335100=(336−1)100
二項定理より
 (336−1)1001000336100100133699(-1)1+・・・+100993361(-1)99100100(-1)100
最後の項以外はすべて 336 が掛けられているので 24 で割りきれ、余りは最後の項で
 100100(-1)100=1 となります。
そこから 308(=13×24−4) を引くと、余りは 1+4= となります。

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