安里さんからの質問１
問題
(1)
　z=(√6+√2)/4+(√6-√2)i/4
のとき
　��_(n=1〜23)zⁿ を求めよ
ただしiは虚数単位とする。

(2)
　335¹⁰⁰-308を24で割った余りはいくらか？

解答
(1-1) 式だけで解く方法
　z²＝√3/2＋i/2
　z⁴＝1/2＋√3i/2
　z⁶＝i
　z¹²＝(z⁶)²＝-1
よって、
　��_(n=1〜23)zⁿ＝z＋z²＋・・・＋z¹²＋z¹³＋z¹⁴＋・・・z²³
　　　＝z＋z²＋・・・＋z¹²＋z¹²(z＋z²＋・・・＋z¹¹)
　　　＝z＋z²＋・・・＋z¹²−(z＋z²＋・・・＋z¹¹)
　　　＝z¹²＝-1

(1-2) 複素平面による解き方
　z²＝√3/2＋i/2＝cos30°＋i sin30°
とおけるので、
（覚えているひとは、いきなり　z＝cos15°＋i sin15°とおいてもいい）
　z¹²＝(z²)⁶＝cos180°＋i sin180°＝-1
よって、
　��_(n=1〜23)zⁿ＝z＋z²＋・・・＋z¹²＋z¹³＋z¹⁴＋・・・z²³
　　　＝z＋z²＋・・・＋z¹²＋z¹²(z＋z²＋・・・＋z¹¹)
　　　＝z＋z²＋・・・＋z¹²−(z＋z²＋・・・＋z¹¹)
　　　＝z¹²＝-1

(2-1) まともにやる方法
　335 ÷ 24 ＝ 13 余り 23 ですので、
　335² を 24 で割った余りは 23² を 24 で割った余りに等しく、余り１です。
　335³ を 24 で割った余りは 1×23 を 24 で割ったあまりに等しく、余り 23 です。
　以下、指数が奇数の時は余り23、偶数の時は余り１になります。
335¹⁰⁰ を 24 で割ると、余り１ですから、そこから 308（＝13×24−4） を引くと、
余りは　１＋４＝５　となります。
※ 23 余るのを -1 余ると考えると、23 を掛けるたびに余りが -1,1,-1,1, と変化する
　ことがよくわかります。
※Ａを24で割ると余りａ、Ｂを24で割ると余りｂとすると、
　Ａ＝24α＋ａ、Ｂ＝24β＋ｂ　（α、βは整数）　と書けるので、その積
　　ＡＢ＝24²αβ＋24(ａβ＋αｂ）＋ａｂ
　となるので、余りの掛け算だけで調べればいいのです。たし算、ひき算も同じ。

(2-2)　ちょっとひねった方法
　336 は 24 で割りきれます。そこで、
　335¹⁰⁰＝(336−1)¹⁰⁰
二項定理より
　(336−1)¹⁰⁰＝₁₀₀Ｃ₀336¹⁰⁰＋₁₀₀Ｃ₁336⁹⁹(-1)¹＋・・・＋₁₀₀Ｃ₉₉336¹(-1)⁹⁹＋₁₀₀Ｃ₁₀₀(-1)¹⁰⁰
最後の項以外はすべて 336 が掛けられているので 24 で割りきれ、余りは最後の項で
　₁₀₀Ｃ₁₀₀(-1)¹⁰⁰＝１ となります。
そこから 308（＝13×24−4） を引くと、余りは　１＋４＝５　となります。

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