[ 掲示板に戻る ]
記事No.26989に関するスレッドです
★ 最大最小 / ジェネシックガオガイガー
この問題も次のページ行っちゃって放置気味だったのでお願いします、ここだけが後分からないだけなんです

3点P,Q,Rが原点Oを中心とする半径1の円周上を自由に動くとき、内積↑PQ・↑PRの最大値、および最小値を求めよ、解説は画像の2枚です

分からないのは最大値の時β＝φ=πの所と最小値の時β=5π/3,
φ=2π/3の所が分かりません
No.26989 - 2014/06/17(Tue) 07:21:26
☆ Re: 最大最小 / ジェネシックガオガイガー
画像の続きです
No.26990 - 2014/06/17(Tue) 07:21:59
☆ Re: 最大最小 / ヨッシー
以前のように、点Ｓ(cosα−1, sinα) を取ります。
最大：
　ＰＱ・ＰＲ＝(1/2)(ｔ＋１)^2−1/2
　0≦t≦2 より、ｔ＝２　かつ　cos(β−φ)＝1 で最大値４を取ります。
ｔ^2/2＝1−cosα＝２ のとき、α＝π
このとき、ＰＱ＝ＯＳ＝(-2,0) であるので、φ＝π
cos(β−φ)＝１　より、β−φ＝０　よって　β＝π

最小：
　ＰＱ・ＰＲ＝(1/2)(ｔ−１)^2−1/2
　0≦t≦2 より、ｔ＝１　かつ　cos(β−φ)＝−1 で最小値-1/2を取ります。
ｔ^2/2＝1−cosα＝1/2 のとき、α＝π/3 または α＝５π/3

α＝π/3のとき、ＰＱ＝ＯＳ＝(-1/2,√3/2) であるので、φ＝2π/3
cos(β−φ)＝−１　より、β−φ＝π　よって　β＝5π/3

α＝5π/3のとき、ＰＱ＝ＯＳ＝(-1/2,−√3/2) であるので、φ＝4π/3
cos(β−φ)＝−１　より、β−φ＝π　よって　β＝π/3

※α＝5π/3のときは、α＝π/3のときに対して、ｘ軸対称なので、
　最小値の存在を示すだけなら、どちらかの記述で良いと判断して、
　省略したものと思われます。
No.26991 - 2014/06/17(Tue) 09:16:32
☆ Re: 最大最小 / ジェネシックガオガイガー
ＰＱ＝ＯＳ＝(-1/2,√3/2) であるので、φ＝2π/3
ＰＱ＝ＯＳ＝(-1/2,−√3/2) であるので、φ＝4π/3
ここが分かりません、確かに同じですが、ここから何でφが求まるんですか
No.26994 - 2014/06/17(Tue) 10:23:20
☆ Re: 最大最小 / ヨッシー
φはＯＳのｘ軸となす角なので、以下の通り。

No.26997 - 2014/06/17(Tue) 10:36:46
☆ Re: 最大最小 / ジェネシックガオガイガー
あ、本当だ、PQと同じだから角度を変な所から測ってました、これで納得です、本当に有難うございました
No.26999 - 2014/06/17(Tue) 10:40:35