ずんさんからの質問
問題
整式f(x)は恒等的に
f(x2)=x3f(x+1)-2x4+2x2
を満たすとき、f(x)を求めよ。
解答
まず、f(x) の次数を特定します。
一般に、ｎ次式のｘにｘ2 を代入すると、２ｎ次式になります。
f(x) がｎ次式とすると、左辺は２ｎ次式、右辺は３＋ｎ次式なので、
２ｎ＝３＋ｎ より、f(x) は３次式です。
（右辺において、ｘ4が最高次である可能性も一応気にとめますが、あり得ないとわかります）
f(x)=ax3+bx2+cx+d
とおきます。
f(x2)=ax6+bx4+cx2+d ………(1)
f(x+1)=a(x+1)3+b(x+1)2+c(x+1)+d
=a(x3+3x2+3x+1)+b(x2+2x+1)+c(x+1)+d
=ax3+(3a+b)x2+(3a+2b+c)x+(a+b+c+d)
x3f(x+1)-2x4+2x2=ax6+(3a+b)x5+(3a+2b+c-2)x4+(a+b+c+d)x3+2x2 ………(2)
(1),(2) を比較して、
3a+b=0, b=3a+2b+c-2, a+b+c+d=0, c=2, d=0
以上より、a=1, b=-3, c=2, d=0
よって、
f(x)=x3-3x2+2x
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