問題
点Oを原点とするxyz空間に2点Ａ(2,0,0),Ｂ(0,1,1)をとり、実数s(0≦s≦2)に対して2点Ｐ(s,1,0),Ｑ(s,0,1)を考える。
また、点Ｑから直線BPにおろした垂線と直線BPとの交点をＨ、線分PQ上を動く点をＲとする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)BH:HP=t:1-tとおくとき、OHの成分を実数s,tを用いて表せ。
(2)OH=s2ＯＰ/(s2+1)＋ＯＢ/(s2+1) であることを示せ。
(3)PR:RQ=1-u:uとおくとき、ARの成分を実数s,uを用いて表せ。
(4)点Ｒが線分AH上にあるとき、実数s,uの値を求めよ。
解答
(1)
ＯＨ＝ｔＯＰ＋(1-t)ＯＢ＝ｔ(s,1,0)＋(1-t)(0,1,1)＝(st, 1, 1-t)
(2)
点ＨがＢＰを ｓ2：１ に内分することを示せばいいです。
ＱＨ＝ＯＨ−ＯＱ＝(st-s, 1, -t)
一方、
ＢＰ＝ＯＰ−ＯＢ＝(s, 0, -1)
ＱＨ⊥ＢＰ より、
ＱＨ・ＢＰ＝ｓ2(t-1)＋t＝０
これより、
ｔ(ｓ2+1)＝ｓ2
ｔ＝ｓ2/(ｓ2+1)
となり、点Ｈは、ＢＰをｔ：１−ｔ に内分するということは、すなわち、
ｓ2/(ｓ2+1) ： １/(ｓ2+1) ＝ ｓ2：１
に内分するということになり、
OH=s2ＯＰ/(s2+1)＋ＯＢ/(s2+1)
と書けます。
(3)
ＰＲ：ＲＱ＝1-u：u より
ＡＲ＝ｕＡＰ＋(1-u)ＡＱ＝ｕ(ＯＰ−ＯＡ)＋(1-u)(ＯＱ−ＯＡ)
＝ｕ(s-2,1,0)＋(1-u)(s-2,0,1)＝(s-2, u, 1-u)
(4)
Ａ，Ｒ，Ｈ が一直線上にあるということは、点Ａが、△ＰＨＱ、ひいては△ＢＰＱと
同じ平面上にあるということです。つまり、ＡＰＢＱは、平行四辺形(ひし形)になり、
Ｐ，Ｑのｘ座標は、Ａの1/2 の、1となります。つまり
ｓ＝１
このとき、△ＡＰＱ，△ＢＰＱ は、合同な正三角形であるので、Ｈ、Ｒを含んだ図は、次のようになります。
点Ｈは、ＢＰの中点となり、△ＡＱＲと△ＨＰＲは相似(相似比２：１）なので、
ＱＲ：ＲＰ＝２：１
よって、ｕ＝2/3
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