問題
半径4の円に内接する四角形ABCDがあり、AB=5、∠ABC=60°とするとき、四角形ABCDの面積の最大値を求めよ。
解答
条件により、３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置は決まります。
正弦定理より、sin∠ＡＣＢ＝ＡＢ/２Ｒ＝5/8 （Ｒは半径）
また、cos∠ＡＣＢ＝√{1-(5/8)2}＝(√39)/8
加法定理より、
sin∠ＣＡＢ＝sin(120°−∠ＡＣＢ)＝
＝ｓｉｎ120°cos∠ＡＣＢ−cos120°sin∠ＡＣＢ
＝(√3/2)(√39)/8−(-1/2)(5/8)
＝(3√13＋5)/16
正弦定理より、ＡＣ＝２Ｒ・sin∠ＡＢＣ＝4√3
よって、
△ＡＢＣ＝(1/2)ＡＢ・ＡＣ・sin∠ＣＡＢ
＝(1/2)・5・4√3・(3√13＋5)/16
＝(25√3＋15√39)/8 ・・・（一定）
一方、△ＡＣＤは、点Ｄが直線ＡＣからもっとも離れたときに面積最大であり、
それは、ＡＤ＝ＣＤとなるときである。
∠ＡＤＣ＝180°−∠ＡＢＣ＝120°
であるので、ＡＤ＝ＣＤとなるのは、∠ＤＡＣ＝∠ＤＣＡ＝30°のとき。つまり、
ＡＣ＝4√3
より、ＡＣを底辺としたときの△ＡＣＤの高さは
ＡＣ/2√3＝２
よって、△ＡＣＤ＝4√3×２÷２＝4√3
以上より、四角形ＡＢＣＤの面積の最大値は、
(25√3＋15√39)/8＋4√3
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