問題
半径1の円に内接する四角形ABCDにおいて,AB=√3,∠ADC=75°,∠BCD=120°であるとき
(1)∠ADB,∠DACの大きさを求めよ。
(2)線分CD,ACの長さを求めよ。
解答
(1) △ＡＢＤにおける正弦定理より、
ＡＢ/ｓｉｎ∠ＡＤＢ＝２Ｒ
√3/ｓｉｎ∠ＡＤＢ＝２
ｓｉｎ∠ＡＤＢ＝√3/２
０°＜∠ＡＤＢ＜75° より、
∠ＡＤＢ＝60°
円周角より、
∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝60°
よって、
∠ＡＣＤ＝120°−60°＝60°
△ＡＣＤの内角の和を考えると、
∠ＤＡＣ＝180°−∠ＡＣＤ−∠ＡＤＣ
＝180°−60°−75°
＝45°
(2)△ＡＣＤにおける正弦定理より、
ＣＤ＝２Ｒ・sin∠ＤＡＣ
＝２・sin45°＝√2
同じく
ＡＣ＝２Ｒ・ｓｉｎ∠ＡＤＣ
＝２・ｓｉｎ75°
このような図を考えると（●１個が15°）、
sin75°＝(√6＋√2)/４
よって、
ＡＣ＝(√6＋√2)/２
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