問題
xy-平面上に不等式
logxy+2logyx＜３
を満たす点(x,y)の存在する範囲を図示せよ。
解答
公式 logab＝logb/loga より、
logyx＝1/logxy
よって、X=logxy とおくと、与式は
X+2/X＜３
と書ける。(y は底にもなっているので y≠1 より、X≠0）
X＞0 のとき、
X2+2＜3X
X2-3X+2＜0
(X-1)(X-2)＜0
より、
1＜X＜2 …………(1)
これは、X＞0 を満たす。
X＜0 のとき
X2+2＞3X
(X-1)(X-2)＞＜0
より、
X＜1 または X＞2
X＜0 を考慮して、
X＜0 …………(2)
(1) より、
1＜logxy＜2
1＜logy/logx＜2
※底は１以外の任意の正の数ですが、ここでは特に１より大きい数とします。
底を１未満の正の数としても、途中が変わるだけで、結果は同じです。
logx＜0 のとき、つまり、0＜x＜1 のとき、
logx＞logy＞2logx＝logx2
底を１より大きいとしたので、
x＞y＞x2 …………(a)
logx＞0 のとき、つまり、1＜x のとき
logx＜logy＜2logx＝logx2
より、
x＜y＜x2 …………(b)
(2) より、
logxy＜0
logy/logx＜0
logx＜0 のとき、つまり、0＜x＜1 のとき、
logy＞0
よって、y＞1 …………(c)
logx＞0 のとき、つまり、1＜x のとき
logy＜0
よって、y＜1 …………(d)
以上の結果をグラフに描くと以下のようになります。
ただし、境界線上の点は含みません。
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