YUさんからの質問

問題
AB=2、BC=√2、CA=√8である三角形ABC があり、この三角形の外接円の弧AC(点Bを含まない方の弧)上に、
点DをDC=BCとなるようにとる。
(1)線分ADと線分BDの長さを求めよ。
(2)線分ACと線分BDの交点 をEとするとき、sin∠AEBを求めよ。

解答


(1)
BC=CDより、それぞれに立つ円周角は等しくそれらをθとおく。
△ABCにおいて、余弦定理より、
 cosθ=(AB2+AC2-BC2)/(2・AB・AC)=(4+8-2)/(2・2・2√2)=5/4√2 ・・・(1)
一方、△ACDにおける、余弦定理より、
 cosθ=(AD2+AC2-BC2)/(2・AD・AC)=(AD2+8-2)/(2・AD・2√2)=5/4√2
整理して、
 AD2-5AD+6=0
 (AD-2)(AD-3)=0
これを解いて、
 AD=2 または AD=3
AD=2 は △ABCの形状の場合の数値であるので、この場合は、AD=3 のみが答えである。

 cos2θ=2cos2θ-1
より、
 cos2θ=9/16
△ABDにおいて、余弦定理より、
 BD2=AB2+AD2-2・AB・ACcos2θ
  =4+9-2・2・3・9/16=25/4
BD>0 より BD=5/2
答え AD=3, BD=5/2

(2)
 △AEBと△ADCは相似であるので、∠AEB=∠ADC
よって、sin∠ADC を求めることにする。
△ADCにおいて、余弦定理より、
 cos∠ADC=(AD2+DC2-AC2)/(2・AD・DC)
  =(9+2-8)/(2・3・√2) = 1/2√2
よって、
 sin∠ADC=√(1-1/8)=√7/2√2
答え √7/2√2

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