問題
ｍを実数とする。Ｏを原点とする座標平面上で、放物線ｙ＝ｘ2 とその曲線上にある２点
Ａ（ａ，ｍａ＋１）、Ｂ（ｂ，ｍｂ＋１） （ａ＜０＜ｂ）
を考える。
(1) ２点Ａ，Ｂのｘ座標ａ，ｂは、ｍを用いて
ａ＝(ｍ−√Ｄ)／[Ａ]、 ｂ＝(ｍ＋√Ｄ)／[Ｂ]
と表される。ここで、Ｄの式は
Ｄ＝ｍ2＋［Ｃ］
である。
(2) 線分ＡＢとｙ軸の交点の座標を（０，ｃ）とおくと、ｃ＝［Ｄ］である。
(3) さらに、３点Ｏ，Ａ，Ｂを頂点とする三角形ＯＡＢの面積Ｓをａ，ｂを用いて表すと、
Ｓ＝(1/2)［Ｅ］
である。
ただし、［Ｅ］には、次の(0)〜(5)の中から適切なものを選びなさい。
(0)a+b (1)a-b (2)b-a (3)a2+b2 (4)a2-b2 (5)b2-a2
また、ｍを用いてＳを表すと
Ｓ＝(［Ｆ］／［Ｇ］)√(ｍ2＋［Ｈ］)
であるから、Ｓが最小となるのは、ｍ＝［Ｉ］のときであり、その最小値は Ｓ＝［Ｊ］である。
解答
(1)
Ａ，Ｂの座標はＡ（ａ，ａ2）、Ｂ（ｂ，ｂ2）でもあるので、
ａ2＝ｍａ＋１、ｂ2＝ｍｂ＋１
これらをａ＜０＜ｂ の条件下で解いて、
ａ＝（ｍ−√（ｍ2＋４)）／２， ｂ＝（ｍ＋√（ｍ2＋４)）／２ ・・・(i)
［Ａ］＝［Ｂ］＝２、［Ｃ］＝４
(2)
Ａ，Ｂともに、ｙ＝ｍｘ＋１ 上の点であるので、ｙ軸との交点はこの直線のｙ切片となり、
ｃ＝１ ・・・ ［Ｄ］
(3)
Ｃ（０，１） とします。
Ｓ＝△ＡＣＯ＋△ＢＣＯ
△ＡＣＯ＝(-1/2)ａ
△ＢＣＯ＝(1/2)ｂ
より
Ｓ＝(1/2)(ｂ−ａ) ・・・答えは ［Ｅ］＝(2)
これに、(i) を代入すると、
Ｓ＝(1/2)√（ｍ2＋４)
［Ｆ］＝１、［Ｇ］＝２、［Ｈ］＝４
Ｓの最小値はｍ＝０のとき１。
［Ｉ］＝０，［Ｊ］＝１
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