問題
△ABCにおいて、AB＝5,AC＝7,∠ABC＝60°とする。
辺BCの長さをxとすると、xは
x2-[ア]x-24=0
の解であり、x＞0だから
BC＝[イ]
である。
∠ABCの二等分線と△ABCの外接円との交点のうち、Bではない方をD、線分BCを5:3に内分する点をEとする。
直線AEと線分BDとの交点をF、直線AEと△ABCの外接円との交点のうち、Aではない方をGとする。
このとき、線分BEの長さは[ウ]だから、
∠BAG＝[エオ]°,∠BFE＝[カキ]°
であることがわかる。
また、
∠ADC＝[クケコ]°
であることと、AD＝CDであることから、
AD＝サ√シ／ス
となる。よって、
DE＝セ√ソ／タ
であり、線分DGと線分BCの交点をHとすると、4点D,F,E,Hが同一円周上の点であるから
FH＝チ／ツ
である。
解答
△ＡＢＣにおける余弦定理より
７2＝ｘ2＋５2−２・５・ｘcos∠ＡＢＣ
整理して
ｘ2−５ｘ−２４＝０ ・・・[ア]
これを解いて、
（ｘ−８）（ｘ＋３）＝０
ｘ＞０ より
ｘ＝８ ・・・[イ]
この時点で、ＣＥ＝３，ＢＥ＝５ ・・・[ウ] が決まります。
△ＡＢＥは正三角形となり
∠ＢＡＧ＝60° ・・・[エオ]
∠ＢＦＥ＝90° ・・・[カキ]
四角形ＡＢＣＤは円に内接するので、
∠ＡＤＣ＝180°−∠ＡＢＣ＝120° ・・・[クケコ]
△ＡＣＤは、頂角が120°の二等辺三角形であり、３辺の比は、１:１:√3 なので、
ＡＤ＝７÷√3＝7√3/3 ・・・[サシス]
△ＡＤＥにおいて、DFは、ＡＥの垂直二等分線になっているので、△ＡＤＥは、ＡＤ＝ＤＥ の二等辺三角形。
よって、
ＤＥ＝ＡＤ＝7√3/3 ・・・[セソタ]
円に内接する四角形ＤＦＥＨにおいて、
∠ＤＦＥ＝90° より、∠ＤＨＥ＝90°
ＡＤ＝ＤＥ＝ＤＣ より、△ＥＤＣは二等辺三角形であり、ＤＨは、ＣＥの垂直二等分線になるので、
ＣＨ＝ＨＥ
これと、ＡＦ＝ＦＥ と合わせて、中点連結定理より、
ＦＨ＝ＡＣ／２＝７／２ ・・・[チツ]
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