問題
平面上に３点Ａ，Ｂ，ＣがありＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ＝１である。点Ｂを中心に半径１の弧ＡＣをかく。
(1) このとき線分ＢＣ，弧ＣＡ、線分ＡＢに内接する円の半径を求めよ。
さらに点Ｃを中心に半径１の弧ＡＢをかく。
(2)このとき線分ＢＣ、弧ＣＡ、弧ＡＢに内接する円の半径を求めよ。
さらに点Ａを中心に半径１の弧ＢＣをかく、
(3)このとき弧ＢＣ，弧ＣＡ，弧ＡＢに接する内接円の半径を求めよ。
解答
(1)
図のように内接円が描けたとします。
その中心Ｄは、∠ＡＢＣの二等分線ＢＥ上にあり、
ＤＥ＝ＤＦ （ＦはＤからＢＣにおろした垂線の足）
さらに、∠ＤＢＦ＝30°より、ＢＤ：ＤＦ＝２：１
よって、Ｄは、ＢＥを２：１に内分する点。
ＤＥ＝1/3
(2)
図の対称性より、内接円の中心Ｄは、ＢＣの垂直二等分線上にあります。
ＢＣの中点をＤ、弧ＡＣと、内接円の接点をＦとします。
このとき、ＦはＢＥの延長線上にあります。
ここで、ＥＤ＝ＥＦ＝ｘ とおいて、△ＢＥＤの三平方の定理の式を書くと、
(1-x)2＝x2＋0.52
これを解いて、ｘ＝3/8
(3)
図の対称性より、内接円の中心Ｄは、△ＡＢＣの重心になります。
辺ＡＣの中点をＥ、弧ＡＣと内接円の接点をＦとすると、
Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｆは一直線上にあります。
ＢＦ＝１、ＢＥ＝√3/2、ＢＤ＝ＢＥ×2/3＝√3/3
より、求める半径ＤＦは
ＤＦ＝ＢＦ−ＢＤ＝１−√3/3
算数・数学の部屋に戻る