yoshida さんからの質問1

問題
 (sinA+sinB)/sin(A+B)=cosA+cosB
が成り立つとき三角形ABCはどんな形でしょうか?

解答
和積の公式より
 sinA+sinB = 2sin{(A+B)/2}・cos{(A-B)/2}
 cosA+cosB = 2cos{(A+B)/2}・cos{(A-B)/2}
これを代入して、
 2sin{(A+B)/2}・cos{(A-B)/2}/sin(A+B)=2cos{(A+B)/2}・cos{(A-B)/2}
cos{(A-B)/2}≠0 より、・・・(A-B が、π、3πなどになることはない)
両辺 cos{(A-B)/2} で割って整理すると、
 sin{(A+B)/2}=sin(A+B)・cos{(A+B)/2}
(A+B)/2=α とおくと、
 sinα=sin2α・cosα
sin2α=2sinαcosα より、
 sinα=2sinαcos2α
 sinα(2cos2α−1)=0
よって、sinα=0、または cos2α=1/2
0<α<π/2 より、
 sinα=0 は、ありえない。
 cos2α=1/2 より、α=π/4
よって、A+B=π/2 となり、C=π/2 の直角三角形となります。

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