yoshida さんからの質問１

問題
　(sinA+sinB)／sin(A+B)=cosA+cosB
が成り立つとき三角形ABCはどんな形でしょうか？

解答
和積の公式より
　sinA+sinB = 2sin{(A+B)/2}・cos{(A-B)/2}
　cosA+cosB = 2cos{(A+B)/2}・cos{(A-B)/2}
これを代入して、
　2sin{(A+B)/2}・cos{(A-B)/2}／sin(A+B)=2cos{(A+B)/2}・cos{(A-B)/2}
cos{(A-B)/2}≠0 より、・・・（A-B が、π、３πなどになることはない）
両辺 cos{(A-B)/2} で割って整理すると、
　sin{(A+B)/2}=sin(A+B)・cos{(A+B)/2}
(A+B)/2＝α とおくと、
　sinα＝sin２α・cosα
sin2α＝２sinαcosα　より、
　sinα＝２sinαcos²α
　sinα(２cos²α−１)＝０
よって、sinα＝０、または cos²α＝1/2
０＜α＜π／２ より、
　sinα＝０　は、ありえない。
　cos²α＝1/2　より、α＝π/４
よって、A+B＝π/２ となり、Ｃ＝π/２ の直角三角形となります。

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