問題
ユークリッドの定理5「二等辺三角形の底角は等しい」、定理16「三角形においてある角の外角は他の内角より大きい」を用いて
（1）定理「三角形ＡＢＣにおいて、ＢＣ＞ＡＣならば∠Ａ＞∠Ｂ」の証明
（2）上の逆の証明
（3）定理「三角形の2辺の長さの和は、他の1辺の長さより大きい」の証明
この3つの証明を教えてください。
解答
(1)
△ＡＢＣにおいて、ＢＣ＞ＡＣであるとき、ＢＣ上に点ＤをＣＤ＝ＣＡとなるようにとる。
定理５より∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡであり、定理１６より∠ＣＤＡ＞∠ＣＢＡである。
また明らかに、∠ＣＡＢ＝∠ＣＡＤ＋∠ＤＡＢ＞∠ＣＡＤ であるので、
∠ＣＡＢ＞∠ＣＢＡ
が言える。
(2)
△ＡＢＣにおいて、∠ＣＡＢ＞∠ＣＢＡ であるとする。このとき、ＡＣとＢＣの大小について、
以下の３通りが考えられる。
1) ＢＣ＜ＡＣ
2) ＢＣ＝ＡＣ
3) ＢＣ＞ＡＣ
もし、ＢＣ＜ＡＣ であるとすると、(1) の結果より、∠ＣＡＢ＜∠ＣＢＡ となり、∠ＣＡＢ＞∠ＣＢＡに矛盾する。
もし、ＢＣ＝ＡＣ であるとすると、定理５より∠ＣＡＢ＝∠ＣＢＡ となり、やはり矛盾する。
よって、必ず、ＢＣ＞ＡＣ でなければならない。
(3) △ＡＢＣにおいて、ＢＡの延長上にＡＤ＝ＡＣとなる点Ｄをとる。
ＢＣ と ＡＢ＋ＡＣ を比較する代わりに、ＢＣ と ＢＤ を比較すればよい。
図において、ＡＣ＝ＡＤ より、∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＤ（定理５）
∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＤ＋∠ＡＣＢ＞∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ
よって、△ＤＢＣにおいて、∠ＢＣＤ＞ＢＤＣ なので、(2) の結果より、
ＢＤ＞ＢＣ となり、ＢＣ＜ＡＢ＋ＡＣ がいえる。
参考文献：遠山啓「数学入門」（上）140〜143ページ：岩波新書
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