八百屋さんからの質問

問題

数列１,１，３，１，３，５，１，３，５，７,・・・・において次の問いに答えよ。k,m,nは自然数とする。
(１)k＋１回目に現れる１は第何項か。
(２)m回目に現れる１７は第何項か。
(３)初項からk＋１回目の１までの項の和を求めよ。
(４)初項から第n項までの和をSnとするとき、Sn＞１３００となる最小のnを求めよ。

解答
{１}，{１，３}，{１，３，５}，{１，３，５，７}・・・
のように区切り、1つの｛　｝を、グループと呼び、
{１} を第１グループ
{１，３}を第２グループ
{１，３，５}の３を、第３グループの第２項と呼ぶことにします。

第ｎグループの項数はｎ個で、１から２ｎ−１までの奇数が並んでいます。

(1)
ｋ＋１回目の１は、第ｋ＋１グループの第１項の１です。
それの１つ前の数は、第ｋグループの最後の数です。
そこまでの項数は、
　１＋２＋３＋・・・ｋ＝ｋ（ｋ＋１）／２
で、その次の１は、
　ｋ（ｋ＋１）／２＋１＝（ｋ^2＋ｋ＋２）／２
答え　第（ｋ^2＋ｋ＋２）／２　項

(2)
最初に17が現れるのは、
　２ｎ−１＝１７
より、第９グループの第９項です。それ以降のグループには必ず第９項に１７が現れます。
よって、ｍ回目に現れる１７は
第ｍ＋８グループの第９項です。
第ｍ+７グループの最終項までの項数は
　１＋２＋・・・＋（ｍ＋７）＝（ｍ＋７）（ｍ＋８）／２
これに９を足して
　（ｍ＋７）（ｍ＋８）／２＋９＝(ｍ^2＋１５ｍ＋７４)／２
答え　第(ｍ^2＋１５ｍ＋７４)／２項

(3)
k＋１回目の１は、第ｋグループの最終項の次の項です。
各グループの項の和は、第１グループから順に、１，４，９・・・のようになり、
第ｎグループの項の和はｎ^2 です。
第ｋグループまでの項の和は
　１＋４＋９＋・・・＋ｋ^2＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）／６
k＋１回目の１までの項の和は
　ｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）／６＋１＝(２ｋ^3＋３ｋ^2＋ｋ＋６)／６　・・・答え

(4)
第ｋグループの最終項までの和をＭ_k とすると、
　M_k＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）／６
　Ｍ₁₅＝1240
　Ｍ₁₆＝1496
より、Sn＞１３００ となる第ｎ項は、第16グループにあります。
　１３００−１２４０＝６０
より、第８項までの和で
　１２４０＋８^2＝１３０４
となります。第15グループまでの項数が
　１５・１６／２＝１２０
さらに８項で、求めるｎは　１２８　です。


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