問題
四角形ABCDにおいてAD//BC、AB=２、AD=3、cos∠ABC=１/５とする。
（１）Aから辺BCに下ろした垂線とBCとの交点をEとすると、BE＝（ア）/(イ)であり、BD2＝(ウ)/(エ)である。
（２）三角形ABDの外接円上に、BF=１となる点Fをとり、四角形ABFDを作る。
このとき、cos∠BFD＝(オ)/(カ)であり、FD=(キ)、cos∠ABF=(ク)/(ケ)である。
解答
（１） ＢＥ＝ＡＢ×cos∠ＡＢＣ＝２×1/5＝2/5………（ア）/(イ)の答え
ＤからＢＣに垂線をおろし、その足をＧとすると、ＥＧ＝ＡＤ＝３ である。
よって、ＢＧ＝2/5＋３＝17/5
△ＡＢＥにおける三平方の定理より
ＡＥ2＝ＡＢ2−ＢＥ2＝96/25
ＧＤ＝ＡＥ なので、
△ＢＤＧにおける三平方の定理より
ＢＤ2＝ＢＧ2＋ＧＤ2＝(17/5)2＋96/25＝77/5………(ウ)/(エ)の答え
（２）ＡＤ//ＢＣ より、
∠ＡBC＋∠ＢＡＤ＝180°
また、四角形ＡＢＦＤは円に内接するので、
∠ＢＡＤ＋∠ＢＦＤ＝180°
よって、
∠ＡＢＣ＝∠ＢＦＤ
なので、cos∠BFD＝cos∠ＡＢＣ＝1/5………(オ)/(カ)の答え
△BFDにおける余弦定理より、
ＢＤ2＝ＢＦ2＋ＦＤ2−２ＢＦ・ＦＤcos∠ＢＦＤ
77/5＝１＋ＦＤ2−２ＦＤ/５
両辺５を掛けて整理すると、
５ＦＤ2−２ＦＤ−７２＝０
これを解いて、ＦＤ＝(１±１９)/５
ＦＤ＞０より、 ＦＤ＝４………(キ)の答え
cos∠ＡＢＦ＝ｔ とおくと、cos∠ＡＤＦ＝cos(180°−∠ＡＢＦ)＝−ｔ
△ＡＢＦと△ＡＦＤの双方から、余弦定理を使って、ＡＦ2 を表すと、
ＡＦ2＝ＡＢ2＋ＢＦ2−２ＡＢ・ＢＦcos∠ＡＢＦ
＝４＋１−２・２・１・ｔ＝５−４ｔ
ＡＦ2＝ＡＤ2＋ＤＦ2−２ＡＤ・ＤＦcos∠ＡＤＦ
＝９＋１６＋２・３・４ｔ＝２５＋２４ｔ
よって、
５−４ｔ＝２５＋２４ｔ
これを解いて、
２８ｔ＝−２０
cos∠ＡＢＦ＝ｔ＝−５／７………(ク)/(ケ)の答え
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