柳屋さんからの質問3

問題1
<1>Iの方程式(log4I)2=log2aI・・・(i)がある。
ただし、aは正の定数である。
(1)I=1が (i) の解であるときa=□であり、I=4が (i) の解であるときa=□/□である。
(2)a=8のとき、 (i) の解はI=□/□、□である。
(3) (i) が異なる2つの実数解をもつのはa>□/□のときで、その2つの解α、β
(α<β)の間にβ=4096αの関係が成り立つのは、a=□のときである。  

解答1
(1) x=1 を代入して、
  02=log2
 よって、log2a=0 より、a=1
 x=4 を代入して、
  (log44)2=log24a
  1=log24a
 より、4a=2 よって、 a=1/2
(2)
 a=8 より、
  (log4I)2=log28I
 log4I=log2x/log24=log2x/2
 よって、log2x=X とおくと、
  (X/2)2=log28+log2I=3+X
 両辺4を掛けて
  X2−4x−12=0
  (X−6)(X+2)=0
  X=log2x=−2,6
 よって、
  x=2-21/4 または x=2664

(3)
 log2x=X とおいて、(i) を変形すると、
   (X/2)2=log2a+X
  X2−4X−4log2a=0
 判別式をとって、
  D/4=22+4log2a>0
  4log2a>−4
  log2a>−1
 log2a は、aに対して単調増加なので、
  a>1/2

 解がαと4096αであるとき、X=log2α および、X=log24096α=12+log2α
  X2−4X−4log2a=0
 の解が、X=log2α 、12+log2α
 であるので、解と係数の関係より、
  log2α+(12+log2α)=12+2log2α=4 ・・・(ii)
  log2α(12+log2α)=−4log2a ・・・(iii)
 (ii) より、log2α=−4
 (iii) に代入して、
  −4(12−4)=−4log2
  −32=−4log2
  log2a=8
  a=28256

問題2
 y=log2(I+a)+b・・・(i) のグラフは点(12,5)を通り、
直線I=−4を漸近線としている。ただしa、bは定数である。
(1)a=□、b=□
(2) (i) をI軸の正の方向にp、y軸の方向にqだけ平行移動して得られるグラフが
点(0,2)を通る時、pをqで表すと、p=□−2^□−q
であるからpとqがともに正の整数であればp=□、q=□である。
(3)p=3、q=1の時(2)のグラフを (ii) とし、 (ii) をI軸に関して対称に移動し
て得られるグラフを (iii) とする。このとき (i) と (iii) の交点のI座標は何か?

解答2
(1)
 y=log2I のグラフは x=0 を漸近線とするが、これがx=−4になっているのは、
 y=log2I のグラフ がx軸方向に−4移動されているためで、
  a=4
 このとき、(i) より、
  y=log2(I+4)+b
 これに、x=12,y=5 を代入して、
  5=log2(12+4)+b
  5=4+b
 よって、b=1
(2)
 (i) をI軸の正の方向にp、y軸の方向にqだけ平行移動した式は、
  y=log2(I+4−p)+1+q
 これが、(0,2)を通るので、
  2=log2(4−p)+1+q
  log2(4−p)=1−q
  4−p=21-q
 よって、
  p=4−21-q
 21-q<4 より、
  1−q<2
 よって、
  q>−1
 一方、qは正なので、q=1,2,3 を代入し、pが整数となるのは、
  q=1 のとき p=3 これ以外はpは分数になる。
 よって、p=3,q=1

(3)
 p=3,q=1 より、
  y=log2(I+1)+2 ・・・(ii)
 これをx軸に関して対称に移動した式は、y=−y に置き換えて、
  -y=log2(I+1)+2 ・・・(iii)
  y=log2(I+4)+1・・・(i)
 (i) と (iii) を連立させて、
  log2(I+4)+1=−(log2(I+1)+2)
  log2(I+4)+log2(I+1)=−3
  log2{(I+4)(I+1)}=−3
 より、
  (I+4)(I+1)=2-3=1/8
  これを解いて、
  x=(-20±√152)/8=(-10±√38)/4
真数条件より、x+1>0 より、x>−1
 この範囲で、解くと、
  x=(-10+√38)/4

算数・数学の部屋に戻る