柳屋さんからの質問３

問題１
＜１＞�Iの方程式（ｌｏｇ₄�I）²＝ｌｏｇ₂ａ�I・・・(i)がある。
ただし、ａは正の定数である。
（１）�I＝１が (i) の解であるときａ＝□であり、�I＝４が (i) の解であるときａ＝□/□である。
（２）ａ＝８のとき、 (i) の解は�I＝□/□、□である。
（３） (i) が異なる２つの実数解をもつのはａ＞□/□のときで、その２つの解α、β
（α＜β）の間にβ＝４０９６αの関係が成り立つのは、ａ＝□のときである。　　

解答１
(1) ｘ＝１ を代入して、
　　０²＝ｌｏｇ₂ａ
　よって、ｌｏｇ₂ａ＝０ より、ａ＝１
　ｘ＝４ を代入して、
　　（ｌｏｇ₄４）²＝ｌｏｇ₂４ａ
　　１＝ｌｏｇ₂４ａ
　より、４ａ＝２　よって、　ａ＝１／２
(2)
　ａ＝８ より、
　　（ｌｏｇ₄�I）²＝ｌｏｇ₂８�I
　ｌｏｇ₄�I＝ｌｏｇ₂ｘ/ｌｏｇ₂４＝ｌｏｇ₂ｘ/２
　よって、ｌｏｇ₂ｘ＝Ｘ とおくと、
　　(Ｘ/２)²＝ｌｏｇ₂８＋ｌｏｇ₂�I＝３＋Ｘ
　両辺４を掛けて
　　Ｘ²−４ｘ−１２＝０
　　(Ｘ−６)(Ｘ＋２)＝０
　　Ｘ＝ｌｏｇ₂ｘ＝−２，６
　よって、
　　ｘ＝２^-2＝１／４　または　ｘ＝２⁶＝６４

(3)
　ｌｏｇ₂ｘ＝Ｘ とおいて、(i) を変形すると、
　　　(Ｘ/２)²＝ｌｏｇ₂ａ＋Ｘ
　　Ｘ²−４Ｘ−４ｌｏｇ₂ａ＝０
　判別式をとって、
　　D/4＝２²＋４ｌｏｇ₂ａ＞０
　　４ｌｏｇ₂ａ＞−４
　　ｌｏｇ₂ａ＞−１
　ｌｏｇ₂ａ は、ａに対して単調増加なので、
　　ａ＞1/2

　解がαと４０９６αであるとき、Ｘ＝ｌｏｇ₂α および、Ｘ＝ｌｏｇ₂４０９６α＝１２＋ｌｏｇ₂α
　　Ｘ²−４Ｘ−４ｌｏｇ₂ａ＝０
　の解が、Ｘ＝ｌｏｇ₂α 、１２＋ｌｏｇ₂α
　であるので、解と係数の関係より、
　　ｌｏｇ₂α＋(１２＋ｌｏｇ₂α)＝１２＋２ｌｏｇ₂α＝４　・・・(ii)
　　ｌｏｇ₂α(１２＋ｌｏｇ₂α)＝−４ｌｏｇ₂ａ　・・・(iii)
　(ii) より、ｌｏｇ₂α＝−４
　(iii) に代入して、
　　−４(１２−４)＝−４ｌｏｇ₂ａ
　　−３２＝−４ｌｏｇ₂ａ
　　ｌｏｇ₂ａ＝８
　　ａ＝２⁸＝２５６

問題２
　ｙ＝log₂（�I＋ａ）＋ｂ・・・(i) のグラフは点（１２，５）を通り、
直線�I＝−４を漸近線としている。ただしａ、ｂは定数である。
（１）ａ＝□、ｂ＝□
（２） (i) を�I軸の正の方向にｐ、ｙ軸の方向にｑだけ平行移動して得られるグラフが
点（０，２）を通る時、ｐをｑで表すと、ｐ＝□−２＾□−ｑ
であるからｐとｑがともに正の整数であればｐ＝□、ｑ＝□である。
（３）ｐ＝３、ｑ＝１の時（２）のグラフを (ii) とし、 (ii) を�I軸に関して対称に移動し
て得られるグラフを (iii) とする。このとき (i) と (iii) の交点の�I座標は何か？

解答２
(1)
　ｙ＝log₂�I のグラフは ｘ＝０ を漸近線とするが、これがｘ＝−４になっているのは、
　ｙ＝log₂�I のグラフ がｘ軸方向に−４移動されているためで、
　　ａ＝４
　このとき、(i) より、
　　ｙ＝log₂（�I＋４）＋ｂ
　これに、ｘ＝１２，ｙ＝５ を代入して、
　　５＝log₂（１２＋４）＋ｂ
　　５＝４＋ｂ
　よって、ｂ＝１
(2)
　(i) を�I軸の正の方向にｐ、ｙ軸の方向にｑだけ平行移動した式は、
　　ｙ＝log₂（�I＋４−ｐ）＋１＋ｑ
　これが、（０，２）を通るので、
　　２＝log₂（４−ｐ）＋１＋ｑ
　　log₂（４−ｐ）＝１−ｑ
　　４−ｐ＝２^1-q
　よって、
　　ｐ＝４−２^1-q
　２^1-q＜４ より、
　　１−ｑ＜２
　よって、
　　ｑ＞−１
　一方、ｑは正なので、ｑ＝１，２，３ を代入し、ｐが整数となるのは、
　　ｑ＝１ のとき ｐ＝３　これ以外はｐは分数になる。
　よって、ｐ＝３，ｑ＝１

(3)
　ｐ＝３，ｑ＝１ より、
　　ｙ＝log₂（�I＋１）＋２　・・・（ｉｉ）
　これをｘ軸に関して対称に移動した式は、ｙ＝−ｙ に置き換えて、
　　-ｙ＝log₂（�I＋１）＋２　・・・（ｉｉi）
　　ｙ＝log₂（�I＋４）＋１・・・(i)
　(i) と (iii) を連立させて、
　　log₂（�I＋４）＋１＝−(log₂（�I＋１）＋２)
　　log₂（�I＋４）＋log₂（�I＋１）＝−３
　　log₂{（�I＋４）（�I＋１）}＝−３
　より、
　　（�I＋４）（�I＋１）＝２^-3＝1/8
　　これを解いて、
　　ｘ＝(-20±√152)/8＝(-10±√38)/4
真数条件より、ｘ＋１＞０ より、ｘ＞−１
　この範囲で、解くと、
　　ｘ＝(-10＋√38)/4

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