柳屋さんからの質問２

問題１
A,B,C,D　の４人でじゃんけんを１回する。その結果は１人が勝ち３人が負ける、
２人が勝ち２人が負ける、３人が勝ち１人が負ける、だれも勝たない（あいこにな
る）の４通りの場合がある。
（１）グー、チョキ、パーの出し方は全部で何通りあるか。
またそのうちだれも勝たない場合は何通りか。
（２）Aだけが勝つ確率は何か。
４人のうち２人が勝つ確率は何か。
（３）勝った人で300点を平等に分けるとき、つまり、１人だけ勝ったときは300点、
２人→150点、３人→100点ずつに分けるとき、Aの得点の期待値は何点か。

解答１
(1) １人につき、グー、チョキ、パーの３通りがあるので、
　３×３×３×３＝８１　（通り）　　３⁴ としても良い（以下同様）
　１人だけ勝つのは、誰が勝つかで４通り、グー、チョキ、パーの何で勝つかで３通りで
　　　４×３＝１２(通り)
　２人だけ勝つのは、誰が勝つかで 4Ｃ2＝６ 通り、何で勝つかで３通り、
　　　６×３＝１８(通り)
　３人だけ勝つのは、誰が勝つかで 4Ｃ3＝４ 通り、何で勝つかで３通り、
　　　４×３＝１２(通り)
　　※誰が負けるかで４通り、としても良い。
　それ以外があいこなので、８１−１２−１８−１２＝３９(通り)

(2) Ａだけがグーで勝つ、チョキで勝つ、パーで勝つの３通りなので、
　　３÷８１＝1/27
　　(1) の２人だけ勝つ場合は、１８通りなので、その確率は
　　１８÷８１＝2/9
(3)あいこの時は、全員０点とすると、
　Ａだけが勝つのが３通りで、点数は３００点
　Ａともう１人が勝つのが、３×３＝９通りで、点数は１５０点
　　※誰が勝つかで３通り、何で勝つかで３通りです。下も同じ。
　Ａ以外の１人が負けるのが、３×３＝９通りで、点数は１００点
　よって、
　　（３×３００＋９×１５０＋９×１００）/８１＝３１５０/８１＝３５０/９ (点)

問題２
周の長さが６の円周上に６個の点A, B, C, D, E, F が等間隔に並んでいる。動点Pは、
さいころを１回投げて、３の倍数の目が出ると反時計回りに２だけ進み、それ以外の
目が出ると時計回りに１だけ進むものとする。（Pは、はじめに点Aにいる）
（１）さいころを２回投げた時、点PがEに到達する確率は？
（２）３回投げた時、PがAに到達する確率は？
（３）４回投げた時、Pが到達する点は何個あるか。
そのうちFに到達する確率は？
Cに到達する確率は？
（４）５回投げた時、PがDにとまらず通過してBに到達する確率は？

解答２　Ａ→Ｂ→Ｃ の方向が反時計回りとします。
３の倍数になる確率は 1/3、(上段)
それ以外の確率は 2/3 (下段)　です。

３回目までの樹形図を書くと上のようになります。
(1) 1/9＋4/9＝5/9
(2)1/27+4/27+4/27+4/27＝13/27
３回目ではＡとＤしかないので、まとめると、以下のようになります。

(3) ＣとＦの２つ
　Ｆの確率：26/81＋14/81＝40/81
　Ｃの確率：13/81＋28/81＝41/81
(4) 最初と２回目の関係を見ると
　Ａからスタートしたものが、２回目には4/9の確率でＢに到達しています。
　３回目にＤにいたものは条件に合いません。
　さらに上の上の表で、４つあるＡのうち、Ｄを通り過ぎているのは１だけです。
　その後Ｂまで行く確率は、
　1/27×4/9＝4/243

問題３
７行７列のマス目がある。最初に１行４列のマス目にいた人が、次の規則に従って
マス目を移動する。
＜規則＞
硬貨を同時に２枚投げて、
・表が２枚の時左に１上に２移動
・表１枚、裏１枚の時上に１移動
・裏２枚の時右に１上に２移動
（１）１回硬貨を投げて３行目にいる確率は？
２回投げて５列目にいる確率は？
（２）３回投げて、偶数番目の行にいる確率は？　　答：1/2
７行３列にいる確率は？　　答：3/64
（３）３回投げて、たどり着いた行の番号がその人の得点になるとき、その得点の期
待値は？　　答：11/2点

解答３
硬貨の出方は
　１．表が２枚　確率1/4
　２．表と裏　　確率1/2
　３．裏が２枚　確率1/4
(1) １回で３行目に行くには、１．か３．が出なければならないが、その確率は
　　1/4＋1/4＝1/2
　２回で５行目に行くには１．か３．を２回続けて出さなければならないので、
　　1/2 ×1/2＝1/4
(2) １．か３．だけでは、奇数行にしか行かないので、偶数行に行くには２．を
　１回または３回出さなければならない。
　２．が１回とあと２回が１．か３．の確率
　　２以外の出方を◎で表すと、出方は２◎◎、◎２◎、◎◎２の３通り、
　　３×1/2×1/2×1/2＝3/8
　２．が３回出る確率
　　1/2×1/2×1/2＝1/8
　よって、
　　3/8＋1/8＝1/2
(3)
　２．が３回：４行目にいる　　確率は1/8
　２．が２回：５行目にいる　　確率は３×1/2×1/2×1/2＝3/8
　２．が１回；６行目にいる　　確率は３×1/2×1/2×1/2＝3/8
　２．が０回：７行目にいる　　確率は1/2×1/2×1/2×1/2＝1/8
　以上より、
　(４×１＋５×３＋６×３＋７×１）/8＝44/8＝11/2(点)

問題４
４個のさいころを同時に投げる。
（１）４つの目がすべて異なる確率は？
（２）４つの目の積が偶数となる確率は？
（３）４つの目の和が６以下になる確率は？
（４）４つの目のうち最大のものが５である確率は？

解答
(1) １回目は何を出してもいいので、確率は１
　　２回目は１回目以外の５通りなので、確率は5/6
　　３回目は１，２回目以外の４通りなので、確率は4/6
　　４回目は１，２，３回目以外の３通りなので、確率は3/6
　よって、
　　１×5/6×4/5×3/6＝5/18

(2) 少なくとも１つは偶数になる確率＝１−奇数のみが出る確率
　であるので、
　奇数ばかり出る確率　1/2×1/2×1/2×1/2＝1/16
　１からこれを引いて、
　　１−1/16＝15/16

(3)
　１，１，１，１　の確率　1/6×1/6×1/6×1/6＝1/1296
　１，１，１，２　の確率　1/6×1/6×1/6×1/6×４＝4/1296
　　※他に１，１，２，１　　１，２，１，１　　２，１，１，１　があり、計４通りの並び方
　１，１，１，３　の確率　同様に　4/1296
　１，１，２，２　の確率　1/6×1/6×1/6×1/6×６＝6/1296
　(1+4+4+6)/1296＝15/1296＝5/432

(4)
　５以下の目だけが出る場合の数は
　　５×５×５×５＝６２５
　４以下の目だけが出る場合の数は
　　４×４×４×４＝２５６
　よって、５が最大である場合の数は
　　６２５−２５６＝３６９
　すべての目の出方は
　　６×６×６×６＝１２９６
　よって、求める確率は
　　369/1296＝41/144

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