問題（太字はベクトルを表します）
AB=1 AD=3 AE=2 の直方体 ABCD-EFGH があり
AB＝ａ、ＡＤ＝ｂ、ＡＥ＝ｃ
とする。
辺ＢＣを２：１に内分する点をＰとし、三角形ＥＦＧの重心をＱとする。
３点Ａ，Ｐ，Ｑを通る平面と辺ＦＧの交点をＲとするとき、ＦＲ：ＲＧ を求めよ。
解答１（ベクトルを使った方法）
ＡＰ＝ａ＋２ｂ/３
ＡＱ＝２ａ/３＋ｂ/３＋ｃ
と表せます。
ＲはＡＰＱと同じ平面上にあるので、
ＡＲ＝ｓＡＰ＋ｔＡＱ （ｓ、ｔ は実数） ・・・(1)
と表せます。
一方、ＦＲ＝ｕｂ とすると、
ＡＲ＝ＡＢ＋ＢＦ＋ＦＲ
＝ａ＋ｕｂ＋ｃ ・・・(2)
と表せます。
(1) より、
ＡＲ＝(ｓ＋２ｔ/３)ａ＋(２ｓ/３＋ｔ/３)ｂ＋ｔｃ
これを (2) と比較して、
ｓ＋２ｔ/３＝１
２ｓ/３＋ｔ/３＝ｕ
ｔ＝１
これを解いて、
ｔ＝１
ｓ＝１−２/３＝１/３
ｕ＝２/９＋１/３＝５/９
以上より、
ＦＲ＝ＦＧ×（５/９）
となるので、 ＦＲ：ＲＧ＝５：４ となります。
解答２（図形として解く方法）
ＡＱの延長線が、長方形ＢＣＧＦを含む平面と交わる点をＳとします。
直線ＰＳは、ＡＰＱを通る平面と、長方形ＢＣＧＦを含む平面との交線なので、
ＦＧとＰＳの交点がＲとなります。
ＡからＱ、さらにＳに線を延ばしたとき、Ｑまで来た時点で、直方体の高さの
２/３ を下りています。残りの１/３ を下りるためには、ＡＱの半分だけ延ばせばいいので、
ＱＳ＝ＡＱ/２
となります。
この様子を、真上から見ると、図の右のようになりますが、この図でＦＱはＦＧの１/３の位置にあるので、
ＦＱ＝１ （ただし、平面図上での長さ）
より、Ｓの位置はＦから １．５ 右に行った位置になります。
右の図よりＦＲの長さを求めると、
ＦＲ＝１．５＋０．５/３＝５/３
一方、
ＲＧ＝３−５/３＝４/５
よって、 ＦＲ：ＲＧ＝５：４ となります。
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