問題１
xについての2次方程式x2-2a|x|+9=0が、-5と5の間に相異なる4つの実数解をもつためのaの値の範囲を求めよ。
解答１
左辺は
ｘ＞０ のとき x2-2ax+9
ｘ＜０ のとき x2+2ax+9
ｘ＝０ のとき 9
と書けます。
y=x2-2a|x|+9
のグラフは、a の正負によって、次の２通りになります。a=0 の場合は省略。
このうち、４つの解を持つ可能性のあるのは、ａ＞０のときです。
グラフの対称性より、y=x2-2ax+9 のグラフが０＜ｘ＜５の範囲に２つの実数解を持てばいいことがわかります。
f(x)=x2-2ax+9 とおきます。
y=f(x) のグラフの軸は、x=a です。
０＜ｘ＜５の範囲に２つの実数解を持つ条件は、
・判別式：a2-9＞０ より、a＜-3 または a＞3
・軸が０と５の間にある： 0＜a＜5
・f(0)＝9＞0
・f(5)＝34-10a＞0 より a＜3.4
以上より、ａの範囲は 3＜a＜3.4
問題２
xについての方程式ax2+(3a-8)x+4(a-6)=0が少なくとも1つの正の解をもつように、定数aの値の範囲を定めよ。
解答２
f(x)=ax2+(3a-8)x+4(a-6) とおきます。
ｘについての「２次」方程式、とは書いていないので、a=0 の可能性も考慮します。
(1) ａ＝０ のとき
-8x-24=0 より、x=-3 となり、不適
(2) ａ≠０ のとき
判別式：(3a-8)2-16a(a-6)=-7a2+48+64＞０
より、-8/7＜a＜８ ・・・(i)
２解が正と負のとき
解と係数の関係より
4(a-6)/a＜0
これを解いて、0＜a＜6 ・・・(ii)
２解がともに正であるとき
軸：-(3a-8)/2a＞０
これを解いて、0＜a＜8/3 ・・・(iii)
f(0)＝4(a-6)＞0 より、a＞6 ・・・(iv)
(i) かつ (ii) または {(iii) かつ (iv)} より、
0＜a＜6
問題３
aを実数の定数とする。関数ｆ(x)=x2-ax+a+2が a≦x≦a+1 の範囲で、常に不等式f(x) > 0を満たすようなaの値の範囲を求めよ。
解答３
・ａ＝０ のときは、ｆ(x)=x2+2＞０ より、条件を満たします。
・ａ＞０のとき
y=f(x) のグラフは、以下のようになります。
f(a)＜f(a+1) は明らかなので、
f(a)＞0 をいえばよい。
f(a)＝a+2＞0 より、a＞-2
よって、 a＞0 のときは、すべて条件を満たします。
・ａ＜０ のとき
y=f(x) のグラフは、以下のようになります。
＊a/2≦a+1 のとき、つまり、-2≦ａ＜０ のとき
範囲内に頂点を含むので、グラフ全体が正でなければならない。
判別式：a2-4(a+2)＝a2-4a-8＜０
これを解いて、 2−2√3＜ａ＜2＋2√3
よって、 2−2√3＜ａ＜０
＊a+1＜a/2 のとき、つまり a＜-2 のとき
f(a+1)＞０ をいえばよい。
f(a+1)＝2a+3＞0 より、 a＞-3/2
よって、条件を満たすａの範囲はない。
以上より、2−2√3＜ａ
算数・数学の部屋に戻る