問題
次の条件を満たす四角形O-ABCDを考える
四角形ABCDは一辺の長さが１の正方形である
OA=OB=OC=OD=2
線分OB上の点Eを、線分の長さの和AE+ECが最小になるように取る。三点A,C,Eを通る平面と直線ODとの交点をFとする。
OFの長さと四角錘O-AECFの体積を求めよ
解答
上図の左は、この四角錐の展開図の一部です。
Ａ−Ｅ−Ｃが直線になったときにＡＥ＋ＥＣは最小になります。
対称性より、∠ＡＥＯ＝90° となります。
△ＯＡＢにおいて、ＡＢの中点をＭとすると、三平方の定理より
ＯＭ＝√(ＯＢ2−ＭＢ2)＝√15/2
よって、△ＯＡＢの面積はＡＢを底辺とすると、ＯＭが高さとなり、
△ＯＡＢ＝(1/2)×１×√15/2＝√15/4
一方、ＯＢを底辺とすると、ＡＥが高さとなるので、
ＡＥ＝√15/4÷２×２＝√15/4
△ＯＡＥにおける三平方の定理より
ＯＥ＝√(ＯＡ2−ＡＥ2)＝7/4
よって、ＢＥ＝1/4 となります。
上図の左は、３点Ｏ，Ｂ，Ｄを通る平面に、垂直な方向から見た四角錐です。
この図上では、３点Ａ，Ｃ，Ｅを通る平面は直線ＥＦで表されています。
点ＨはＢＤの中点（ＡＣの中点でもある）ですが、この図では、ＡもＣも、Ｈと同じ位置にあります。
ＥＨの延長線と、ＯＤの延長線が交わる点がＦとなります。
ＯＤ上において、ＯＧ＝7/4 となる点をＧとし、また、ＤＦ＝ｘとします。
また、ＥＧの中点をＪ、ＦからＯＨにおろした垂線の足をＫとします。
△ＯＪＧと△ＯＫＦ の相似より
ＪＧ：ＫＦ＝(7/4)：（２＋ｘ）
△ＪＧＨと△ＫＦＨの相似より、
ＪＧ：ＫＦ＝(1/4)：ｘ
よって、(7/4)：（２＋ｘ）＝(1/4)：ｘ
これを解いて、ｘ＝1/3
よって、ＯＦ＝２＋1/3＝7/3 ・・・答え１
四角錘O-AECFは、四角錐O-ABCD から三角錐E-ABCを引いて、三角錐F-ADC を加えた立体です。
四角錐O-ABCD の体積Ｖは (1/3)×１×ＯＨ
ここで、△ＯＢＨにおける三平方の定理より
ＯＨ＝√(ＯＢ2−ＢＨ2)＝√(7/2)
よって、Ｖ＝√14/6
Ｖに対して、三角錐E-ABC は、底面積 1/2 高さ 1/8 なので、体積はＶ/16
三角錐F-ADC は、底面積 1/2 高さ1/6 なので、体積は Ｖ/12
よって、四角錘O-AECF の体積は Ｖ(1−1/16＋1/12)＝(49/48)Ｖ＝49√14/288 ・・・ 答え2
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