問題
１）０°≦ｘ≦３６０°の時、sin2ｘ+cosx-１の最大値と最小値を求めよ。
２）ｘ＝sinθ+cosθ+１、ｙ＝sin２θである時、ｙをｘの関数で表し、かつｘの変域を求めよ。
３）点（-３，２）を通り、直線３ｘ-４ｙ-１２＝０となす角が４５°の直線の方程式を求めよ。
解答
１）
sin2ｘ＋cos2ｘ＝１ より、
sin2ｘ+cosx-１＝(１−cos2ｘ)＋cosｘ−１＝−cos2ｘ＋cosｘ
Ｘ＝cosｘ とおくと、この問題は、
ｆ（Ｘ）＝−Ｘ2＋Ｘ
の、−１≦Ｘ≦１ における、最大値、最小値を求める問題となります。
ｆ（Ｘ）＝−(Ｘ−1/2)2＋1/4
より、Ｘ＝1/2 で最大値 ｆ(1/2)＝1/4、Ｘ＝−１ で最小値 ｆ(-1)＝−２
これを、ｘで表すと、
答え ｘ＝60°または300°のとき、最大値1/4、ｘ＝180°のとき 最小値−２
２）
ｘ＝sinθ+cosθ+１
移項して
ｘ−１＝sinθ+cosθ
両辺２乗して
(ｘ−１)2＝sin2θ＋cos2θ＋２sinθcosθ＝１＋sin２θ
よって、
(ｘ−１)2＝１＋ｙ
ｙ＝ｘ2−２ｘ
また、ｘの変域は、合成公式より
ｘ＝sinθ+cosθ+１＝√2sin(θ＋45°)＋１
よって、
−√2＋１≦ｘ≦√2＋１
３）
ベクトルの内積を使う方法
直線3x-4y-12=0 の方向ベクトルは、(4,3)、ベクトルの大きさは５。
求める直線の傾きをａ とすると、その方向ベクトルは、(1,a)、ベクトルの大きさは√(1+a2)
両者の内積をとると、
成分による表し方：４・１＋３・ａ＝４＋３ａ
ベクトルの大きさとなす角による表し方：５・√(1+a2)×cos45°
よって、
４＋３ａ＝５√(1+a2)×√2/2
両辺２乗して
９ａ2＋２４a+1６＝２５(1+a2)／２
両辺２を掛けて
１８ａ2＋４８a+３２＝２５+２５a2
移項して
７ａ2−４８ａ−７＝０
(７ａ＋１)(ａ−７)＝０
よって、
ａ＝７ または ａ＝-1/7
よって、点(-3,2) を通る式を作ると、
ｙ−２＝７（ｘ＋３） または ｙ−２＝−(ｘ＋３)／７
よって、
７ｘ−ｙ＋２３＝０ または ｘ＋７ｙ−１１＝０
図形的に求める方法
図のように∠ＢＡＣ＝90°ＡＢ＝ＡＣ、∠ＢＡＤ＝90°、ＡＢ＝ＡＤ
となるような点Ｃ、Ｄをとると、ＢＣおよび、ＢＤが求める直線の傾きである。
座標より、傾きを読みとると、７ または −１／７ である。
（以下同様）
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