T.T.C.さんからの質問1

問題
次の方程式、不等式を解け。
1)2cos2(x+90°)-√3cos(x+180°)+1=0 ただし 0°≦x<360°
2)cos3θ+2cosθ=0 ただし -90°<θ<90°
3)sin2x>cosx ただし 0°<x<360°

解答

1)公式
 cos(x+90°)=-sin x
 cos(x+180°)=-cos x
 sin2x+cos2x=1
を使って、順に変形すると、
 2cos2(x+90°)-√3cos(x+180°)+1=0
 2sin2x+√3cos x + 1=0
 2(1−cos2x)+√3cos x + 1=0
カッコをはずして整理すると、
 2cos2x−√3cos x−3=0
因数分解して
 (2cos x + √3)(cos x −√3)=0
−1≦cos x≦1 より、
 cos x=-√3/2
 x=150°、210°

2) 公式
 cos3θ=4cos3θ−3cosθ
より、
 4cos3θ−3cosθ+2cosθ=0
 4cos3θ−cosθ=0
因数分解して
 cosθ(2cosθ−1)(2cosθ+1)=0
よって、
 cosθ=-1/2、0、1/2
-90°<θ<90° の範囲で解くと、
 θ=-60°、60°

3)公式
 sin2x=2sinxcosx
より、
 2sinxcosx>cosx
移項して因数分解すると、
 cosx(2sinx-1)>0
よって、
 cosx<0 かつ 2sinx-1<0 ………(1)
または、
 cosx>0 かつ 2sinx-1>0 ………(2)
(1) より、
 90°<x<270° かつ (0°<x<30° または 150°<x<360°)
よって、150°<x<270°
(2) より、
 (0°<x<90° または 270°<x<360°) かつ 30°<x<150°
よって、  30°<x<90°
以上より、 30°<x<90°または 150°<x<270°

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