問題
(1)楕円x2+5y2=1の傾きが1/2の2本の接線とy軸との交点をそれぞれL、Mとすると、LMの長さはいくらか？
(2)整数x,yが1/27・(1/8)(-2x+5y)/3=1/32・27x-2yを満たすときxはいくらでyはいくらか？
解答
(1)
楕円 x2+5y2=1 をｙ方向に√5 倍に拡大すると、円x2+y2=1になります。
同様に傾き1/2の直線は傾き√5/2 の直線になります。
このときの交点をＬ’，Ｍ’とすると、Ｌ’Ｍ’の傾きは、-2/√5 であるので、
各部の長さは下図のようになります。
これをもう一度、ｙ方向に 1/√5 倍に縮めると、
これより、ＬＭを求めると、
ＬＭ＝(√5/15)×√(102＋42)＝2√145/15
(2)
1/27・(1/8)(-2x+5y)/3=1/32・27x-2y を変形して、
32・(1/8)(-2x+5y)/3=27x-2y+1
32＝85/3=(1/8)-5/3 より
(1/8)(-2x+5y-5)/3=27x-2y+1
1/8＝2-3、27＝33 より、
22x-5y+5＝33(x-2y+1)
指数はいずれも整数なので、この式が成り立つのは、
20=30
となるときだけである。
２ｘ−５ｙ＋５＝０
ｘ−２ｙ＋１＝０
これを解いて、
ｘ＝５，ｙ＝３
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