壺月さんからの質問２

壺月さんからの質問２

問題
a＞1、b＞1、log_aba=A、log_abb=Bとする。
(1)A+B を求めよ。
(2)log_ax+log_bx+log_abx=1とする。a、bがab=32を保ちながら変わるとき、xの最大値を求めよ。

解答

公式（底が省略されている部分は、底は任意の１以外の正数）
　(i) logA＋logB＝log(AB)
　(ii) logA－logB＝log(A/B)
　(iii) log_AB＝logB/logA

(1)公式(i)より
　Ａ＋Ｂ＝log_abab＝１

(2) 底をab=32 として、公式(iii)を適用すると
　（左辺）＝log_abｘ/log_aba＋log_abｘ/log_abb＋log_abｘ/log_abab
　　＝(log_abｘ)(1/A+1/B+1)＝１
a＞1、b＞1 およびａｂ=32＞１より、
　Ａ＞０、Ｂ＞０
1/A+1/B+1（＞０）が最小の時に、log_abｘは最大となり、ｘの最大となる。
相加・相乗平均より、
　1/A+1/B≧2√(1/AB)
等号は 1/A＝1/B のとき、すなわち A＝B＝1/2 のとき。
このとき、1/A+1/B+1＝２＋２＋１＝５
　log_abｘ＝log₃₂ｘ＝1/5
　ｘ＝32^1/5＝２
答え　ａ＝ｂ＝32^1/2＝4√2 のとき　最小値２

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